B. Nội dung I. Lý thuyết: Với hai số không âm a, b bất kỳ ta có: ab ba + 2 Chứng minh: Ta có: ( a - b ) 0 (*) a > 0. b > 0 <=> a - 2 ab + b 0 <=> a + b ab2 <=> ab ba + 2 Theo (*) dấu => sảy ra <=> a = b (Đpcm) II. Bài tập vận dụng 1. áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số để chứng minh các bất đẳng thức Bài tập 1: Cho hai số dơng a, b chứng minh rằng: baba + + 411 Giải: Do a, b dơng => 0 1 .0 1 >> ba áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số ba 1 , 1 ta có: baba 1 . 1 2 11 + (1) <=> ab ba 211 + Mà 2 ba ab + (2) => ba ab + 21 => ba ab + 42 => baba + + 411 Từ (1) và (2) ta thấy dấu bằng xảy ra <=> a = b (Đpcm) Bài tập 2: Cho hai số dơng a, b chứng minh rằng: 2 + a b b a Giải: Do a, b dơng => a b b a .0 > > 0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số b a và a b ta có: a b b a a b b a .2 + => 12 + a b b a => 2 + a b b a Dấu = sảy ra <=> a b b a = <=> a 2 = b 2 <=> a = b ( Đpcm) 2. Vận dụng bất đẳng thức côsi và các bài tập trên để giải bài toán cực trị: Dựa vào bất đẳng thức côsi: ab ba + 2 hoặc a + b ab2 ( a, b )0 Ta rút ra đợc một số nhận xét sau: Nhận xét 1: Với hai số không âm bất kỳ có tổng không đổi tích lớn nhất khi hai số bằng nhau Nhận xét 2 Với hai số không âm bất kỳ có tích không đổi tổng bé nhất khi hai số bằng nhau Từ hai nhận xét trên ta có thể khai thác cho trờng hợp không thể có điểm rơi nh sau: tổng quát hơn ( nằm đúng cho trờng hợp có điểm rơi) Nhận xét 3: Với hai số không âm bất kỳ có tổng không đổi tích lớn nhất khi giá trị tuyệt đối của hiệu hai số bé nhất Chứng minh: Nhận xét 1, nhận xét 2 hiển nhiên Ta sẽ chứng minh nhận xét 3 Với a >0, b > 0 và a + b = S không đổi ta phải chứng minh P = a.b bé nhất Nếu S = / a b / nhỏ nhất Thật vậy ta có: S 2 = / a b/ 2 = a 2 2 ab + b 2 = (a + b) 2 4 ab => S 2 = S 2 4 P => P = S 2 - S 2 4 mà S không đổi => S 2 không đổi => P = ab lớn nhất khi S = / a b/ nhỏ nhất Dựa vào các nhận xét trên ta có thể đa vào bài tập sau: Bài tập 1: Cho a 0,0 b và a.b = 1 . Tìm min S = a + b Giải : Vận dụng nhận xét 2 ta thấy a.b = 1 không đôi => S = a + b nhỏ nhất <=> a = b <=> a = b = 1 <=> S min = 2 <=> a = b = 1 Bài tập 3: Bài 3: Cho biến thiên y = 2 18 x x + x > 0. Tìm min y ? Giải: Do x > 0 => 0 2 .0 18 >> x x => áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho hai số 2 ; 18 x x ta có: 2 18 x x + 2 . 18 2 x x 92 Dấu = sảy ra <=> 2 18 x x = <=> x 2 = 36 <=> x = 6 Vậy y min = 6 <=> x = 6 Bài tập tơng tự: Cho y = 1 2 2 + x x ( x > 1) tìm y min? HD: y = 2 1 1 2 2 1 + + x x Bài tập 4: Cho y = xx + 1 11 0 < x < 1 tìm ymin Giải: Do 0 < x < 1 nên xx > 1 1 .0 1 > 0 => y = xx + 1 11 xx + 1 4 = 4 Dấu = sảy ra <=> x = 1 x <=> x = 2 1 => y min = 4 <=> x = 2 1 Bài tập 5: Cho P = x (1 x ) x ( 0,1) Tìm P max? Giải: Do x ( 0,1) => x > 0; 1 x >0 => P = x ( 1 x) lớn nhất <=> x = 1- x <=> x = 2 1 . ( 0,1) => P max = 2 1 (1 - 2 1 ) <=> x = 2 1 . => P max = 4 1 <=> x = 2 1 . Bài tập tơng tự: Cho Q = ( 8 + x + x 2 ) (20 - x x 2 ) x > -5 Tìm Qmax? Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của P = 1 24 2 ++ xx x Giải: P = 2 2 1 1 1 x x ++ P = 1 1 1 2 2 ++ x x Ta cã: x 2 + 2 1 2 ≥ x => P 12 1 + ≤ P 3 1 ≤ DÊu “=” s¶y ra <=> x 2 = 2 1 x <=> x = ± 1 = > P max = 1 3 1 ±=<=> x Bµi tËp 7: Cho a, b ∈ N * vµ a + b = 2007 P = a.b T×m P max ? Gi¶i: Ta thÊy kh«ng tån t¹i a, b ®Ó:      ∈ =+ = * , 2007 Nba ba ba Sö dông nhËn xÐt 3 ta thÊy: P max <=> / a – b/ min Do a + b = 2007 => a, b kh«ng cïng tæng ch½n lÎ => / a – b / min <=>    = = 1003 1004 b a hoặc = = 1004 1003 b a = > Pmax = 1003. 1004 <=> (a;b) = (1003; 1004) Bài tập 8: Chứng minh rằng trong tất cả các tam giác không có cùng cạnh huyền . Tam giác không không cân có diện tích lớn nhất. Giải: Thực ra ta có thể sử dụng và chứng minh trực tiếp sang ta có thể vận dụng bất đẳng thức côsi nh sau: S cbABC . 2 1 = Theo bất đẳng thức côsi ta có: bc 2 22 ba + => 4 . 2 1 22 ba ba + Do ABC vuông => b 2 + c 2 = a 2 => S ABC )( 4 1 22 cb + => S ABC 2 4 1 a Dấu = sảy ra <=> b = c => ABC là tam giác vuông cân (Đpcm) Bài 9: Chứng minh rằng trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vị , hình vuông có diện tích lớn nhất Chứng minh: a Theo bài ra ta có: b B C A c a b Chu vi P = 2 (a + b) Không đổi Diện tích hình chữ nhật S = a.b P = 2 (a + b) không đổi => a + b không đổi => S = a.b lớn nhất <=> a = b => Hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau => Hình chữ nhật có diện tích lớn nhất khi nó là hình vuông. Bài tơng tự: Chứng minh rằng trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi bé nhất. Bài tập 10 Cho ABC vuông tại A, đờng cao AH không đổi. Chứng minh rằng khi ABC là vuông cân thì diện tích tam giác ABC là bé nhất Chứng minh: Ta có: 22 222 . 2111 cb cbh += => 22 2 . 21 cb h => bch 21 2 => bc 2 h 2 => 2 2 1 hbc => S ABC 2 h Dấu = xảy ra <=> b = c Tức là ABC vuông cân (Đpcm) B C A H B Bài tập 11: Cho ABC, M là điểm thuộc miền trong tam giác , MA, MB, MC cắt các cạnh của tam giác tại A 1 , B 1 , C 1 và có: 6 111 =++ MC CM MB BM MA AM Chứng minh G là trọng tâm của ABC Giải: Đặt S là diện tích ABC S 1, S 2 , S 3 lần lợt là diện tích của ABC, MAC, MAB ta có: = 1 1 MA AA => 1 3 1 2 1 S S S S MA AM += Tơng tự ta có : = 1 MB MB = 22 1 3 S S S S + => 3 1 3 2 1 S S S S MC MC += => )()()( 1 3 3 1 2 3 3 1 2 1 1 2 111 S S S S S S S S S S S S MC MC MB MB MA MA +++++=++ 6 111 ++ MC MC MB MB MA MA Dấu = xảy ra <=> S 1 = S 2 = S 3 => 3 1 ; 3 1 ; 3 1 111 === MC MC MB BM MA AM => M là trọng tâm của ABC S 1 + S 2 + S 3 S 1 S 1 + S 2 + S 3 S 2