Chương bốn: ứng dụng Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số Phép biến đổi Fourier được nghiên cứu ở chương ba cho phép phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số có độ dài vô hạn, theo hàm tần số với ω liên tục. Tuy nhiên, các hệ xử lý số thực tế chỉ có thể xử lý các tín hiệu số có độ dài hữu hạn, theo hàm tần số với ω rời rạc. Do đó người ta xây dựng phép biến đổi Fourier cho các dãy có độ dài hữu hạn, với biến tần số góc ω rời rạc, và gọi là phép biến đổi Fourier rời rạc, nó được viết tắt theo tiếng Anh là DFT (Discrete Fourier Transform). Chương bốn trình bầy phương pháp xây dựng DFT , cách tính DFT , và các tính chất, các ứng dụng của DFT. 4.1 biến đổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn Để xây dựng biến đổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn, xuất phát từ chuỗi Fourier của hàm liên tục tuần hoàn x p (t). Xét hàm liên tục tuần hoàn x p (t), có chu kỳ 0 2 ωπ = o T . Nếu x p (t) thỏa mãn các điều kiện Dirichlet, thì có thể khai triển x p (t) thành chuỗi Fourier : ∑ ∞ −∞= • = k tjk kp etx C 0 )( ω [4.1-1] Với các hệ số : dtetx T T tjk pk T C ∫ − − • = 2 2 0 )( 0 1 ω [4.1-2] Nếu hàm liên tục tuần hoàn x p (t) có phổ hữu hạn f < f max , thì có thể rời rạc hóa x p (t) với chu kỳ T sao cho N.T = T o , và T thỏa mãn điều kiện của định lý lấy mẫu max 21 f T ≤ . Theo định lý lấy mẫu, hàm tuần hoàn x p (t) xác định tại các giá trị rời rạc t = nT và tạo thành dãy rời rạc tuần hoàn x p (nT), do đó có thể viết lại [4.1-1] dưới dạng : ∑ ∞ −∞= • = k nTjk kp enx CT 0 )( ω Vì NNTT 00 2 ω π == nên : ∑∑ ∞ −∞= • ∞ −∞= • == k njk k k njk kp N N eenx CCT π π ω ω 2 2 0 0 )( Khi thực hiện chuẩn hóa chu kỳ lấy mẫu T = 1 , thì x p (nT) = x p (n) và chu kỳ của dãy tuần hoàn x p (t) là T o = N, nên có : ∑ ∞ −∞= • = k njk k p N enx C π 2 .)( [4.1-3] Hay : ∑ ∞ −∞= = k njk pp ex kX N n 1 )( 1 )( ω [4.1-4] Trong đó : k p CX N k • = )( 1 [4.1-5] ở đây, X p (k) là biên độ của các dao động điều hòa ứng với tần số góc 1 ωω k k = , nó là dãy phức. Còn ω 1 là tần số góc rời rạc cơ bản ứng với chu kỳ N của dãy tuần hoàn x p (t) : N π ω 2 1 = [4.1-6] Do dãy x p (t) và hàm njk e 1 ω đều tuần hoàn với chu kỳ N nên có thể viết lại [4.1-4] cho một chu kỳ N : ∑ − = = 1 0 1 )( 1 )( N k njk pp enx kX N ω [4.1-7] Biểu thức [4.1-7] chính là chuỗi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn x p (n) , hay còn gọi là biến đổi Fourier rời rạc ngược. Để tìm biểu thức của biến đổi Fourier rời rạc thuận, nhân cả hai vế của [4.1-7] với thừa số njm e 1 ω − , sau đó lấy tổng theo n = 0 ÷ (N - 1) : ∑∑∑ − = − = − − = − = 1 0 1 0 1 0 111 )( 1 )( N NN n k njmnjk p n njm p eekenx X N ωωω hay: ∑∑∑ − = − − = − = − = 1 0 )( 1 0 1 0 11 1 )()( NNN k nmkj n p n njm p eenx N kX ωω [4.1-8] Theo tính chất của hàm trực chuẩn có : 145    ≠ = = ∑ − = − mKhi mKhi e k k N N n nmkj 0 1 1 0 )( 1 1 ω nên từ [4.1-8]nhận được : ∑ − = − = 1 0 1 )()( N n njk pp enx kX ω [4.1-9] Biểu thức [4.1-9] chính là biến đổi Fourier rời rạc thuận của dãy tuần hoàn x p (n). Kết hợp cả hai biểu thức [4.1-7] và [4.1-9] nhận được cặp biến đổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn x p (n), trong đó X p (k) là dãy phức của biến tần số góc rời rạc 1 ωω k k = , với 1 ω được xác định theo [4.1-6]. )()( )()()( kj p kj pp ee kAkXkX θϕ == Mô đun )( kX p là dãy biên độ tần số rời rạc. Argumen )(k ϕ là dãy pha tần số rời rạc. A p (k) là dãy độ lớn, còn )(k θ là dãy pha. Ví dụ 4.1 : Xác định X p (k) của dãy tuần hoàn x p (n) = n với chu kỳ N = 4. Giải : Theo công thức biến đổi Fourier rời rạc thuận [4.1-9] có : ∑∑∑ = − = − − = − === 3 0 3 0 1 0 24 2 1 )()( n njk n njk n njk pp enenenx N kX ππ ω Tại k = 0 : 0 3 0 0 6632100 2 .)( j n nj p een X ==+++== ∑ = π Tại k = 1 : ∑ = − − −− +++== 3 0 2 3 22 3201 )( n j j jnj p eeeen X πππ π 78,0 .322321 )( j p ejjj X − ≈+−=+−−= Tại k = 2 : ∑ = −−−− +++== 3 0 32. 3202 )( n jjjnj p eeeen X ππππ π j p e X − =−=−+−= .223212 )( Tại k = 3 : ∑ = − − −− +++== 3 0 3 . 2 9 2 3 2 3 3203 )( n j j jnj p eeeen X πππ π 78,0 .322323 )( j p ejjj X ≈−−=−−= Trên hình 4.1 là đồ thị của dãy x p (n) = n có chu kỳ N = 4, và đồ thị của các dãy biên độ tần số X p (k) , pha tần số )(k ϕ . X p (k) )(k ϕ Hình 4.1 : Đồ thị các dãy x p (n), X p (k), )(k ϕ ở ví dụ 4.1. 146 32- 1- 2 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 765- 3- 4- 5- 6- 7- 8 98 8- 8 - 5 - 3 6310- 2- 7 52 2 - 4 97- 1- 6 3 3 6 2 3 3 6 2 3 3 6 2 3 3 6 8- 8 - 5 3- 2 52- 4 97- 1- 6 - 0 , 7 8 0 , 7 8 3 , 1 4 - 0 , 7 8 0 , 7 8 3 , 1 4 - 0 , 7 8 0 , 7 8 3 , 1 4 - 0 , 7 8 0 , 7 8 3 , 1 4 n x ( n ) n n . rạc của dãy tuần hoàn Để xây dựng biến đổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn, xu t phát từ chuỗi Fourier của hàm liên tục tuần hoàn x p (t). Xét hàm liên