Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu nâng cao về số phức 20172018 hay khó cho học sinh rèn luyện đạt kết quả cao trog kì thi thpt quốc gia..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học số phức CHỦ ĐỀ BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CÁC SỐ PHỨC Phương pháp Trong mặt phẳng phức, số phức z x yi, (x,y ) biểu diễn : Điểm M x; y , kí hiệu M z Vectơ OM x; y Vectơ u (x; y) Biểu diễn hình học z, z, z M z M z đối xứng với qua gốc tọa độ M z M(z) đối xứng với qua trục Ox Biểu diễn hình học z z' ,z z' ,kz k Gọi M, u biểu diễn số phức z; M' ,v biểu biểu diễn số phức z’ Ta có: OM OM' u v biểu diễn số phức z z’ ; OM OM' M'M u v biểu diễn số phức z z’ ; kOM, ku biểu diễn số phức kz Với M, A, B biểu diễn số phức z, a, b : OM z ; AB b a I NỘI DUNG BÀI GIẢNG Ví dụ Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng biểu diễn số phức a,b,c Gọi M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác ABC D điểm đối xứng A qua G Các điểm M,G,D biểu diễn số phức m,g,d a) Tính số phức m, g, d theo a, b, c b) Nếu thêm giả thiết a b c , chứng minh tam giác ABC tam giác a b c Giải a) M trung điểm AB OM 1 OA OB m a b 2 G trọng tâm tam giác ABC OG 1 OA OB OC g a b c 3 D điểm đối xứng A qua G G trung điểm AD C 2OG OA OD 2g a d d 2g a a b c a 2 d b c a 3 D d G A M B b) Giả thiết a b c OA OB OC O tâm đường Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học số phức tròn ngoại tiếp tam giác ABC Như tam giác ABC tam giác O G g a b c Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Ba đỉnh A, B ,C biểu diễn số phức a 2i, b 1 i,c mi m R a) Tìm số phức d (biểu diễn điểm D); b) Định m cho ABCD hình chữ nhật Giải a) ABCD hình bình hành A CD BA d c a b D dacb d 2i mi 1 i d m i B C b) ABCD hình chữ nhật AC BD c a d b mi 2i m i i m i m i m i m i 32 m m 2 2 m 4m 81 m 8m 16 12m 84 m Ví dụ Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm M, A, B biểu diễn số phức : 3i i z z, z Chứng minh rằng: a) z C, tam giác OMA vuông M; b) z C, tam giác MAB tam giác vuông; c) z C, tứ giác OMAB hình chữ nhật Giải 3i i z a) Đặt a z b Ta có: OM z OA a 3i 1 z 1 i z 1 z z 3 3 i i MA a z z z z z 3 3 Nhận thấy: OM2 MA2 z z z OA2 , z 3 Vậy tam giác OMA vuông M b) Ta có: Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học số phức i i MA a z z z z z 3 3 MB b z i AB b a i zz i 1 z z 1 z 3 i z 1 z z 3 2 Ta thấy MA AB z z z z MB2 z 2 Vậy tam giác MAB vuông A với z C b) Xét tam giác MOB, ta có: OB b i z z ; OM z MB b z Suy ra: OM OB z B 2 4z 3 A z MB2 O M Vậy tam giác MOB vuông O với z C Tứ giác OMAB có góc vuông nên hình chữ nhật Lưu ý: Ở ta sử dụng tính chất z1z2 z1 z2 Tứ giác có ba góc vuông hình chữ nhật Ví dụ Gọi A, B, C ba điểm biểu diễn số phức a 1 i, b i, c ki, k a) Định k để ba điểm A, B, C thẳng hàng; b) Xét hàm số w f z z2 Đặt a' f a ,b' f b ,c' f c Tính a’, b’,c’ c) Gọi A’, B’, C’ điểm biểu diễn số phức a’, b’, c’ Định k để A’, B’, C’ ba điểm thẳng hàng; d) Nếu u,v biểu diễn số phức z, z’ Chứng minh u v z số ảo z' Áp dụng: Tính k để tam giác A’B’C’ vuông A’ Giải a) Định hướng: Ba điểm A,B,C thẳng hàng BA BC ab ab R số thực cb cb Như vậy, ta giải toán sau: Ta có: a b c b 1 2i k 1 i a b 1 i i 1 2i c b ki i k 1 i 1 k 1 i 1 k 1 i 1 2i k 1 i k 1 k 1 2k k i ki 1 Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên đề: Số Phức Suy Chủ đề 2: Biểu diễn hình học số phức ab số thực k k cb b) Ta có a' f a a 1 i 1 i i 2i 2i 2 b' f b b i 1 c' f c c 1 ki k 2ki c) Định hướng : Trước hết ta cần tìm điều kiện để ba điểm A’,B’,C’ phân biệt a',b',c' đôi khác (*) Để giải (*) ta dùng phương pháp “phần bù” Kết hợp điều kiện ba điểm A’,B’,C’thẳng hàng B'C' B'A', R c' b' a' b' c' b' số thực a' b' Từ ta có lời giải sau: Hiển nhiên a' b' 1 k Ta có a' c' 2i k 2ki k 1 2k Suy a' c' k 1 k Ta có b' c' 1 k 2ki k Vậy b' c' 2k Tóm lại điểm A’,B’,C’ phân biệt k Ta có k 2ki 1 2i c' b' k 2ki k 4k 4 2k 2k a' b' 2i 5 1 2i 1 2i i Suy a'c' b'b' số thực 2k2 2k k 1,k 2 k 2 vì,k 1 Vậy A’,B’,C’ điểm phân biệt thằng hàng k 2 d) Đặt z x iy,z' x' iy', u,v biểu diễn số phức z,z’ u x; y v x'; y' Ta có z x iy x iy x' iy' xx' yy' x' y y' x i z' x' iy' x' iy' x' iy' x'2 y'2 Như z số ảo xx' yy' u.v u v z' Xem tam giác A’B’C’ ta có A'C' biểu diễn số phức z c' a' k2 2k 2 i A' B' biểu z' b' a' 1 2i k 2k i k 2k i 1 2i z diễn số phức z' 1 2i 2i 2i 1 1 k 2k 2k 2k i Theo chứng minh trên: tam giác A’B’C’ vuông A’ A'C' A' B' z số ảo z' 1 k2 4k k2 4k 3 0 k 1 (loại) k k Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học số phức Ví dụ Cho số phức z m m 3 i,m a) Tìm m để biểu diễn số phức nằm đường phân giác góc phần tư thứ hai y x b) Tìm m để biểu diễn số phức nằm Hyperbol y x c) Tìm m để khoảng cách điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ nhỏ Giải a) Gọi M m; m điểm biểu diễn số phức z m m i M nằm đường thẳng y x m m m b) M nằm Hyperbol y 2 m3 x m m m m 3m m c) Ta có: OM m m OM 2 3 2m 6m m 2 m 2 Ví dụ Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biễu diễn số 4i ; i 1 1 i 1 2i ; 6i 3i a) Chứng minh ABC tam giác vuông cân b) Tìm số phức biểu diễn điểm D cho tứ giác ABCD hình vuông Giải a) Ta có 4i 1 i 4i 2i A 2; 2 i 1 i 1 i 1 i 1 2i i B 3;1 6i 2i C 0; 3i BA BC Nhận thấy: ABC vuông cân B 2 AC AB BC b) Gọi D đỉnh thứ tư hình vuông ABCD BA CD 1; 3 x D ; y D D( 1; 1) Vậy D biểu diễn số phức 1 i Ví dụ Trong mặt phẳng phức cho điểm: O (gốc tọa độ), A điểm biểu diễn số 1, B điểm biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z' B’ biểu diễn số phức zz' Chứng minh rằng: Tam giác OAB tam giác OA' B' đồng dạng Giải Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học số phức Vì z số thực nên điểm O, A, B theo thứ tự biểu diễn số 0, 1, z đỉnh tam giác Với z' , xét điểm A’, B’ theo thứ tự biểu diễn số z', zz' ta có: OA' z' OB' zz' A' B' zz' z' z' z 1 z' , z' , z' OA OB AB z z 1 z 1 Vậy tam giác OA’B’ đồng dạng với tam giác OAB Lưu ý: Ở ta sử dụng tính chất z1z2 z1 z2 Dựa vào định nghĩa tam giác đồng dạng OA' OB' A' B' k tam giác OA’B’ đồng dạng với tam giác OAB OA OB AB Ví dụ Biết A, B, C, D bốn điểm mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự số: 1 i, i, 2i, 2i a) Tìm số z1 ,z2 ,z3 ,z4 theo thứ tự biểu diễn vectơ AC,AD,BC,BD b) Tính z1 z từ suy A, B, C, D nằm đường tròn Tâm đường tròn biểu , z2 z4 diễn số phức nào? Giải a) Ta có: A 1;1 , B 1; 1 , C 0; , D 2; 2 Lúc đó: AC 1,1 , AD 3; 3 , BC 1,3 , BD 3, 1 Do đó: z1 i, z2 3i, z3 3i, z4 i b) Ta có: z1 1 i i số ảo nên AC AD hay AC AD (1) z2 3i z 3i i số ảo nên BC BD hay BC BD (2) z4 i Từ (1) (2) suy A, B, C, D nội tiếp đường tròn đường kính CD Do đó, tâm trung điểm CD nên biểu diễn số phức 2i 2i 1 II CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu Gọi A, B theo thứ tự điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z khác z ' tam giác OAB tam giác A Tam giác cân C Tam giác vuông 1 i z Lúc đó, B Tam giác D Tam giác vuông cân Hướng dẫn giải Giả sử z x yi ta có A x; y Vì z nên x y2 Ta có z ' 1 i xy xy z 1 i x yi i 2 2 Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học số phức xy x y Vậy B có tọa độ: B ; 2 x y2 xy xy Ta lại có: OA x y2 ; OB2 2 2 xy xy xy yx x y2 AB x y OB AB Từ suy ra: Vậy tam giác OAB vuông cân B 2 OA OB AB Vậy chọn đáp án D Câu Các điểm A, B, C A’, B’, C’ tương ứng biểu diễn số phức z1 ,z2 ,z3 z'1 ,z'2 ,z'3 ( A, B, C A’, B’ , C’ không thẳng hàng) Hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm A z1 z2 z3 z1' z'2 z'3 B z1 z2 z3 z1' z'2 z'3 C z1 z2 z3 z1' z'2 z'3 D z12 z22 z23 z'12 z'22 z'32 Hướng dẫn giải Đặt z1 x1 y1i A(x1 ; y1 ) x x x y1 y y z2 x2 y i B(x2 ; y ) G ; 3 z3 x3 y 3i C(x ; y ) x' x'2 x'3 y'1 y'2 y'3 Trọng tâm: G' ; 3 x x2 x3 x'1 x'2 x'3 Nếu z1 z2 z3 z'1 z'2 z'3 G G' y1 y2 y3 y'1 y'2 y'3 Vậy hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm Vậy chọn đáp án A Câu Cho A, B, C, D bốn điểm mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số i; i; 3i; i Chọn khẳng định A ABCD hình bình hành B AD 2CB C D trọng tâm tam giác ABC D Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Ta có: A 4,3 ; B 2,3 ; Hướng dẫn giải C 1,3 ; D 3;1 Ta xét mệnh đề: ABCD hình bình hành AB DC Nhận thấy AB 2;0 DC 2; 2 Như ta loại A AD 4 2 3,86 ; CB 12 3 2 Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học số phức AD 2CB Như ta loại B Ta thấy: 4 21 3 3 Suy ra: D không trọng tâm tam giác ABC Vậy chọn đáp án D Lời bình: Để chứng minh D ta chứng minh A sau: Đặt Đặt ACB CA.CB CA CB cos cos ADB DA.DB DA DB cos cos β B D α C Vậy 300 ABCD nội tiếp đường tròn Chú ý: Cho hai đường thẳng a,b có vectơ phương a, b Gọi ; góc hai vectơ a, b hai đường thẳng a,b Lúc đó: cos Chú ý: 00 1800 ; a.b a.b ; cos a.b a.b ; 00 900 Câu Cho ba điểm A ,B, C biểu diễn số phức a 1,b 1 i c b2 Câu 4.1 Xác định cho A,B,C ba đỉnh tam giác A B 1 C 1 D Câu Khi A, B, C ba đỉnh tam giác Hỏi tam giác ABC tam giác gì? B Tam giác D Tam giác vuông cân A Tam giác cân C Tam giác vuông Câu 4.3 Tìm số phức d biểu biễn D cho ABCD hình chữ nhật A d 2 i B d 1 2 i C d 1 2 i D d 1 2 i Hướng dẫn giải Câu 4.1 Ta có: b a 2 i AB 2; c a 2i AC ; 2 c b 3i BC ; 3 Điều kiện A,B,C phân biệt không thẳng hàng Vậy chọn đáp án D Câu Ta có: AB.AC 22 22 AB AC Vậy tam giác ABC vuông Vậy chọn đáp án C Câu 4.3 d 1 2 i Vậy chọn đáp án B Câu Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức z1 ,z ,z Hỏi trọng tâm tam giác ABC biểu diễn số phức nào? Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học số phức A z1 z2 z2 C B z1 z2 z2 z z2 z2 D z z2 z2 Hướng dẫn giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC OG OA OB OC Vì OA,OB,OC theo thứ tự biểu diễn z1 ,z2 ,z2 nên G biểu diễn số phức z z2 z3 Vậy chọn đáp án C Câu Xét ba điểm A, B,C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1 ,z ,z thỏa mãn z1 z2 z3 Ba điểm A, B, C ba đỉnh tam giác z1 z2 z3 A z1 z2 z3 B z1 z2 z3 C z1z2 z2 z3 z3 z1 D z12 z2 z32 Hướng dẫn giải Ba điểm A, B, C theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1 ,z2 ,z2 thỏa mãn z1 z2 z3 nên ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm O (O gốc tọa độ) Tam giác ABC tam giác trọng tâm G trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tức G O hay z1 z2 z3 Câu Cho M, N hai điểm mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự số phức z1 , z khác thỏa mãn đẳng thức z12 z22 z1z2 Tam giác OMN tam giác gì? B Tam giác D Tam giác vuông cân Hướng dẫn giải A Tam giác cân C Tam giác vuông Ta có: z12 z 22 z z z z z z1 z z1 z1z 2 z1 z z1 z z1 z z z1 * Vì z1,z2 nên z1 , z Từ (*) ta có: z z1 z2 z1 2 z1 z2 3 z1 z z1 z Do z2 z1 z1 z2 Mà OM z1 ; ON z2 ; MN z2 z1 Vậy tam giác OMN Vậy chọn đáp án B Câu Cho ba điểm A, B, C biểu diễn số phức a i, b a2 c x i, x Tìm x cho Câu 8.1 Tam giác ABC vuông B A x 1 B x 2 C x 3 D x 5 Câu 8.2 Tam giác ABC cân C Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên đề: Số Phức A x 7 Chủ đề 2: Biểu diễn hình học số phức B x 2 C x 3 D x 5 Hướng dẫn giải Câu 8.1 Ta có: a i A 1;1 Mặt khác, theo đề b a 1 i 2i B 0; c x i, x C x; 1 Ta có: AB 1;1 , BC x; 3 Để tam giác ABC vuông B AB BC AB.BC x x 3 Vậy chọn đáp án C Câu 8.2 Tam giác ABC cân C nên CA CB x 2 Vậy chọn đáp án B Câu Cho u,v biểu diễn hai số phức 3i 2i Gọi x biểu diễn số phức 4i Hãy phân tích x qua u,v A x 24 14 u v 11 11 B x 24 14 u v 11 11 C x 24 14 u v 11 11 D x 24 14 u v 11 11 Hướng dẫn giải Ta có u 1; ,v 3; ,x 6; 24 m 11 m 3m 24 14 Giả sử x m.u nv x u v 11 11 3m 2n n 14 11 Vậy chọn đáp án C Câu 10 Tìm điểm biểu diễn số phức z biết điểm biểu diễn số phức z,z2 ,z3 lập thành Câu 10.1.Tam giác vuông A A Quỷ tích z đường thẳng x 1 B Quỷ tích z đường tròn x2 y2 x2 y2 C Quỷ tích z đường elip D Quỷ tích z Parabol y x Câu 10.2.Tam giác vuông B A Quỷ tích z đường thẳng x B Quỷ tích z đường thẳng y C Quỷ tích z đường thẳng x 0, trừ gốc tọa độ D Quỷ tích z đường thẳng y 0, trừ gốc tọa độ Câu 10.3 Tam giác vuông C A Quỷ tích z đường thẳng x B Quỷ tích z đường thẳng y Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 10 Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học số phức 1 C Quỷ tích z đường tròn x y 2 D Quỷ tích z hai đường thẳng y 0, x Hướng dẫn giải Đặt z a bi a,b gọi A,B,C điểm biểu diễn tương ứng z,z2 ,z3 z Vì A,B,C tạo thành tam giác nên phải có: z z z z z 1 Khi AB z2 z ,BC z3 z2 ,AC z3 z Câu 10.1 Tam giá ABC vuông A ta có AB2 AC2 BC2 2 2 2 z2 z z3 z z3 z2 z2 z z2 z z z z z Do A,B,C ba điểm phân biệt nên từ đẳng thức ta có: 2 2 z z z z z z z z 2 x 1 Trong trường hợp quỷ tích z đường thẳng x 1 Vậy chọn đáp án A 2 Lưu ý: Ta dể dàng chứng minh z z z z Câu 10.2 Tam giá ABC vuông B hay BA2 BC2 AC2 Tương tự ta có quỷ tích z đường thẳng x trừ gốc tọa độ Vậy chọn đáp án C Câu 10.3 Tam giác ABC vuông C hay CA2 CB2 AB2 1 Tương tự ta có quỷ tích z đường tròn x y 2 Vậy chọn đáp án C Câu 11 (Đề minh họa bộ) Cho số phức z thỏa mãn (1 i) z i Hỏi điểm biểu diễn z điểm điểm M, N, P, Q hình bên ? A Điểm P B Điểm Q C Điểm M D Điểm N Hướng dẫn giải Gọi z x yi( x, y ) Khi đó: (1 i) z i ( x y 3) ( x y 1)i Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 11 Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học số phức x y x Q(1; 2) x y 1 y 2 Vậy chọn đáp án B Câu 12 (Đề thử nghiệm lần bộ) Điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z Tìm phần thực phần ảo y số phức z A Phần thực −4 phần ảo O x B Phần thực phần ảo −4i C Phần thực phần ảo −4 -4 D Phần thực −4 phần ảo 3i M Hướng dẫn giải Vậy chọn đáp án C BDKT LT THPT Quốc gia Môn Toán ĐC: P5 Dãy 22 Tập thể Xã tắc-Đường Ngô Thời Nhậm Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Facebook: Trần Đình Cư Page face: https://www.facebook.com/trandinhcu01234332133/ Liên hệ trực tiếp thầy Cư để biết khóa học hè 2017-2018 Các giảng update liên tục Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 12 ... gia, TP Huế Page Chuyên đề: Số Phức A x 7 Chủ đề 2: Biểu diễn hình học số phức B x 2 C x 3 D x 5 Hướng dẫn giải Câu 8.1 Ta có: a i A 1;1 Mặt khác, theo đề b a 1 i ... Quốc gia, TP Huế Page 11 Chuyên đề: Số Phức Chủ đề 2: Biểu diễn hình học số phức x y x Q(1; 2) x y 1 y 2 Vậy chọn đáp án B Câu 12 (Đề thử nghiệm lần bộ) Điểm M hình... Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên đề: Số Phức Suy Chủ đề 2: Biểu diễn hình học số phức ab số thực k k cb b) Ta có a' f a