Đang tải... (xem toàn văn)
1. Lí do chọn đề tài Chuỗi số là một phần kiến thức rất quan trọng trong chương trình giải tích toán học và nó cũng có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý và hóa học. Khi tiếp cận học phần Phép tính vi phân và tích phân hàm nhiều biến số, có nhiều kiến thức quan trọng được vận dụng để giải quyết các vấn đề của chuỗi số như lý thuyết giới hạn, dãy hàm, hàm số..., điều này đã kích thích sự tò mò tìm hiểu sâu hơn kiến thức và sự vận dụng lý thuyết của chuỗi số của chúng tôi. Mặt khác, giáo trình hiện hành đưa ra các định lý, dấu hiệu có phần trừu tượng, hơn nữa các ví dụ minh họa chưa thật cụ thể, hơn nữa phần bài tập còn dàn trải nên rất khó khăn cho sinh viên trong quá trình tự đọc, tự nghiên cứu. Nhiều bạn sinh viên gặp khó khăn trong học tập vì chưa có tài liệu rèn kĩ năng nhận dạng và giải bài tập của phần chuỗi số này. Từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài “Một số phương pháp nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi số dương”. 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại kiến thức về lý thuyết của chuỗi số, chuỗi số dương thông qua nêu các khái niệm, tính chất và định lý; từ đó đưa ra các phương pháp nghiên cứu, xét hội tụ của chuỗi số dương kèm với một lượng bài tập minh họa. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết chuỗi số, chuỗi số dương. Nghiên cứu các phương pháp xét sự hội tụ của chuỗi dương và thực hành giải toán về chuỗi số, chuỗi số dương.
1 A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Chuỗi số phần kiến thức quan trọng chương trình giải tích toán học có nhiều ứng dụng toán học, vật lý hóa học Khi tiếp cận học phần Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến số, có nhiều kiến thức quan trọng vận dụng để giải vấn đề chuỗi số lý thuyết giới hạn, dãy hàm, hàm số , điều kích thích tò mò tìm hiểu sâu kiến thức vận dụng lý thuyết chuỗi số Mặt khác, giáo trình hành đưa định lý, dấu hiệu có phần trừu tượng, ví dụ minh họa chưa thật cụ thể, phần tập dàn trải nên khó khăn cho sinh viên trình tự đọc, tự nghiên cứu Nhiều bạn sinh viên gặp khó khăn học tập chưa có tài liệu rèn kĩ nhận dạng giải tập phần chuỗi số Từ lý chọn đề tài “Một số phương pháp nghiên cứu hội tụ chuỗi số dương” Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại kiến thức lý thuyết chuỗi số, chuỗi số dương thông qua nêu khái niệm, tính chất định lý; từ đưa phương pháp nghiên cứu, xét hội tụ chuỗi số dương kèm với lượng tập minh họa Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu lý thuyết chuỗi số, chuỗi số dương - Nghiên cứu phương pháp xét hội tụ chuỗi dương thực hành giải toán chuỗi số, chuỗi số dương Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết tập chuỗi số dương khuôn khổ Đề cương chi tiết học phần Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến số Giả thuyết khoa học Nếu đề tài hoàn thành tốt sinh viên có thêm tài liệu để tự nghiên cứu Đặc biệt lý thuyết chuỗi số dương hệ thống cách hoàn chỉnh, qua kỹ vận dụng lý thuyết để giải tập, nhận dạng tập củng cố thêm Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu sử dụng số phương pháp nghiên cứu sau: + Nghiên cứu lý thuyết, phân tích, tổng hợp, sưu tầm tài liệu + Xêmina với giáo viên hướng dẫn bạn đồng môn Cấu trúc đề tài Đề tài gồm có phần: A Phần mở đầu B Phần nội dung gồm có hai chương: Chương Cơ sở lý thuyết Chương Phương pháp xét hội tụ chuỗi số dương C Phần kết luận D Tài liệu tham khảo B NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Khái niệm chuỗi số 1.1 Định nghĩa Cho dãy số vô hạn , tổng vô hạn gọi chuỗi số, ký hiệu là: gọi số hạng thứ n Ví dụ 1.2 Dãy tổng riêng Ví dụ - Chuỗi (1) có dãy tổng riêng - Chuỗi (2) có dãy tổng riêng 1.3 Chuỗi số hội tụ, phân kỳ phân kỳ chuỗi số tổng 1.4 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ Định lý Chứng minh Hệ Ví dụ Chú ý 1.5 Tính chất chuỗi số hội tụ Tính chất Tính chất Tính chất Tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi số không thay đổi ta ngắt bỏ khỏi chuỗi số số hữu hạn số hạng Khái niệm chuỗi số dương Định nghĩa Ví dụ Tính chất : Chuỗi số dương hội tụ dãy bị chặn Chứng minh: Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số dương sau: Ta có Suy bị chặn Vậy chuỗi cho hội tụ Ta có Suy không bị chặn Vậy chuỗi cho phân kỳ Sự hội tụ tuyệt đối Chú ý Chuỗi đan dấu, dấu hiệu Lepnit 4.1 Chuỗi đan dấu Định nghĩa Chuỗi đan dấu chuỗi số có dạng: Trong >0, n ≥1 Ví dụ 4.2 Định lý Lepnit Định lý Nếu chuỗi đan dấu (*) thỏa mãn lim = chuỗi (*) hội tụ Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số: Ta có: (2): Dấu hiệu so sánh 5.1 So sánh Định lý Chứng minh Do tính chất chuỗi số hội tụ, giả sử N=1, nghĩa 5.2 Tiêu chuẩn tương đương Định lý Dấu hiệu Đalămbe Định lý Dấu hiệu Cauchy Định lý Dấu hiệu tích phân Định lý Dấu hiệu Raap Định lý 10 Dấu hiệu Gauss Định lý CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP XÉT SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ DƯƠNG Sử dụng dấu hiệu so sánh Ví dụ Giải: Ví dụ Giải: Giải: Tiêu chuẩn tương đương Ví dụ Giải: Ví dụ Giải: Ví dụ Giải: Sử dụng dấu hiệu Đalămbe Ví dụ Giải: Ví dụ Giải: Ví dụ Giải: 10 Sử dụng dấu hiệu Cauchy Ví dụ Giải: Ví dụ 10 Giải: Ví dụ 11 Giải: 11 Tiêu chuẩn tích phân Ví dụ 12 Giải: Ví dụ 13 Giải: 12 Dấu hiệu Raap Ví dụ 14 Giải: Ví dụ 15 Dấu hiệu Gauss Ví dụ 16 13 Giải: Bước 1.Theo công thức Taylor: C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Đề tài giải mục đích yêu cầu đặt ở phần mở đầu Nó cung cấp cho sinh viên phương pháp xét, nghiên cứu hội tụ chuỗi 14 số dương, cách cụ thể, rõ ràng Qua sinh viên hệ thống lý thuyết tập chuỗi số Đề tài trình bày hai nội dung cụ thể sau: - Chương thứ kiến thức có liên quan lý thuyết chuỗi số, chuỗi số dương làm sở cho việc đưa phương pháp nghiên cứu hội tụ chuỗi số dương Các kiến thức chuỗi số dương trình bày ngắn gọn súc tích đầy đủ, đảm bảo tính hệ thống Một số định lý, tính chất trình bày chứng minh - Ở chương thứ hai, phương pháp dùng để nghiên cứu hội tụ chuỗi số dương đưa đầy đủ, phương pháp trình bày tường minh theo bước thực hiện; ví dụ minh họa phương pháp thực trình bày gắn liền bước nêu phương pháp Có lượng tập vận dụng phương pháp nghiên cứu hội tụ giới thiệu kèm với lời giải vắn tắt gợi ý đáp số Tất điều làm thành chỉnh thể mảng đề tài khai thác, vận dụng lý thuyết vào hình thành phương pháp giải tập hội tụ chuỗi số dương nói riêng, mảng tập nội dung toán học nói chung D TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Mạnh Quý, Nguyễn Xuân Liêm (2005), Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến số NXB ĐHSP Nguyễn Mạnh Quý, Nguyễn Xuân Liêm (2005), Bài tập vi phân tích phân hàm nhiều biến số NXB ĐHSP 15 Nguyễn Văn Khuê, Cần Văn Tuất, Đầu Thế Cấp(1998), Phép tính vi phân & tích phân( giải tích I, II) ĐHQG Hà Nội – Trường ĐHSP,… Nguyễn Văn Đoảnh, Nguyễn Doãn Tuấn (1999), Bài tập phép tính vi phân phép tính tích phân NXB Đại học quốc gia Hà Nội Website: - https://thunhan.wordpress.com/bai-giang/giai-tich-1/chuoi-so-duong/; - https://thunhan.wordpress.com/bai-giang/giai-tich-1/chuoi-so/ ... minh: Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số dương sau: Ta có Suy bị chặn Vậy chuỗi cho hội tụ Ta có Suy không bị chặn Vậy chuỗi cho phân kỳ Sự hội tụ tuyệt đối Chú ý Chuỗi đan dấu, dấu hiệu Lepnit 4.1... dụ 16 13 Giải: Bước 1.Theo công thức Taylor: C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Đề tài giải mục đích yêu cầu đặt ở phần mở đầu Nó cung cấp cho sinh viên phương pháp xét, nghiên cứu hội tụ chuỗi 14 số dương,... kết luận D Tài liệu tham khảo B NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Khái niệm chuỗi số 1.1 Định nghĩa Cho dãy số vô hạn , tổng vô hạn gọi chuỗi số, ký hiệu là: gọi số hạng thứ n Ví dụ 1.2 Dãy tổng riêng