BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRẦN THANH BÌNH MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN VÀ BÀI TOÁN CAUCHY CHO CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRẦN THANH BÌNH MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN VÀ BÀI TOÁN CAUCHY CHO CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số chuyên ngành: 62 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Bích Huy PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn TP HỒ CHÍ MINH - THÁNG NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Bích Huy PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án chưa công bố trước Tác giả MỤC LỤC Lời cam đoan Mục lục Một số ký hiệu dùng luận án Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Một số không gian hàm 11 1.2 Toán tử tuyến tính chuỗi Fourier 11 1.3 Bài toán chỉnh lý thuyết chỉnh hóa Tikhonov 13 Chương Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình parabolic 15 2.1 Bài toán xác định hàm nguồn với hệ số phụ thuộc thời gian không bị nhiễu 15 2.1.1 Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov 15 2.1.2 Chỉnh hóa Tikhonov cách chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm 23 2.2 Phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian bị nhiễu 29 2.3 Kết luận Chương 33 Chương Bài toán parabolic ngược thời gian với nguồn Lipschitz địa phương 3.1 34 Kết thứ 35 3.1.1 Chứng minh Định lí 3.1.1 37 3.1.2 Chứng minh Định lí 3.1.2 43 3.2 Kết thứ hai 54 3.3 Kết luận Chương 62 Chương Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic dạng phi tuyến 63 4.1 Giới thiệu toán 63 4.2 Các kết 4.3 63 4.2.1 Chứng minh Định lí 4.2.1 66 4.2.2 Chứng minh Định lí 4.2.2 72 Kết luận Chương 83 Kết luận chung kiến nghị 84 Danh mục công trình nghiên cứu sinh có liên quan đến luận án 85 Tài liệu tham khảo 86 MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN R : Tập hợp số thực C [0, 1], R : Tập hợp hàm liên tục [0, 1] nhận giá trị R C [0, T ] : Tập hợp hàm liên tục [0, T ] nhận giá trị R C [0, 1], H : Tập hợp hàm liên tục [0, 1] nhận giá trị không gian Hilbert H C [0, 1], H : Tập hợp hàm khả vi liên tục [0, 1] nhận giá trị không gian Hilbert H ·,· · u : Tích vô hướng không gian Hilbert H : Chuẩn không gian Hilbert : Đạo hàm hàm u ∈ C [0, 1], H LỜI NÓI ĐẦU Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng hướng nghiên cứu quan trọng toán học có nhiều ý nghĩa khoa học kỹ thuật Hiện nay, loại toán nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Theo tìm kiếm Mathscinet, có khoảng 10.000 công trình chủ đề Số lượng tạp chí công bố chủ đề lớn, có nhiều tạp chí có uy tín nhà xuất lớn như: Springer, Elsevier, Taylor Francis Trong luận án này, tập trung trình bày ba chủ đề toán Cauchy cho phương trình parabolic elliptic Chủ đề 1: Bài toán Cauchy cho phương trình parabolic Chủ đề 2: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến Chủ đề 3: Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic phi tuyến Đối với chủ đề 1, chủ đề chủ đề 3, toán Cauchy cho phương trình parabolic elliptic có nhiều dạng nghiên cứu khác nhau, tập trung nghiên cứu tính không chỉnh loại toán Bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard toán không thỏa ba tính chất: tồn tại, ổn định nghiệm Chúng ta liệt kê số toán không chỉnh nhiều nhà toán học nước quan tâm sau • Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình parabolic • Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic • Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình elliptic Do chủ đề loại toán không chỉnh cho phương trình parabolic elliptic nhiều nên chọn vài chủ đề để nghiên cứu luận án Chúng ta sơ lược qua lịch sử chủ đề luận án CHỦ ĐỀ Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình parabolic lôi nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Luận án khảo sát toán sau  ∂u   (x, t) ∈ (0, π) × (0, T ) , − ∂ a (t) ∂u  ∂x = F (x, t),  ∂t ∂x u (0, t) = u (π, t) = 0,     u (x, 0) = 0, (0.1) u (x, T ) = g (x) , x ∈ (0, π) , a(t) > 0, a ∈ C ([0, T ]) , g ∈ L2 (0, π) hàm cho trước Bài toán xác định hàm nguồn toán tìm hàm F biết trước liệu a(t) g(x) Bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard Một sai số nhỏ liệu (a, g) dẫn đến sai số lớn F Hiện nay, đa số kết khảo sát cho trường hợp F phụ thuộc vào biến không gian (biến x) Các kết F phụ thuộc hai biến có dạng F (x, t) = ϕ(t)f (x) hạn chế Ta lược sơ qua kết khảo sát toán xác định hàm nguồn F (x, t) = F (x) • Năm 2010, Chu Li Fu Fan Yang [43] dùng phương pháp Tikhonov để chỉnh hóa toán trường hợp F (x, t) = F (x) • Năm 2014, Chu Li Fu Fan Yang [42] dùng phương pháp làm nhuyễn (molification) để chỉnh hóa toán trường hợp ϕ = • Năm 2014, Chu Li Fu Fan Yang [45] sử dụng phương pháp tựa biên (quasi-boundary value method) để chỉnh hóa toán CHỦ ĐỀ Chúng xét toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến, nhằm tìm hàm u : [0, 1] → H thỏa mãn   ut + A(t)u = f (t, u(t)),  u (1) = ϕ, t ∈ (0, 1) , (0.2) đó, A(t) toán tử tuyến tính, xác định dương cho A−1 compact không gian Hilbert H Hàm f : [0, 1] × H → H hàm nguồn ϕ ∈ H giá trị cuối xác định trước • Với toán tử A(t) = − , toán (0.2) trở thành toán ngược cho phương trình truyền nhiệt với hệ số số sau   ut (x, t) − uxx (x, t) = f (x, t, u),  t ∈ [0, 1), (0.3) u(x, 1) = ϕ(x) Bài toán (0.3) khảo sát nhiều gần nhiều tác giả Đặng Đức Trọng, Nguyễn Huy Tuấn, Phạm Hoàng Quân, Đinh Nho Hào, Nguyễn Văn Đức, Phan Thành Nam, Rashidinia, Wang, Qian, • Gần nhất, với trường hợp toán tử A toán (0.2) không phụ thuộc thời gian, nghĩa A(t) ≡ A f hàm số thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương, toán (0.2) trở thành   ut + Au = f t, u(t) ,  u(1) = ϕ t ∈ (0, 1), (0.4) Bài toán (0.4) tác giả Đặng Đức Trọng Nguyễn Huy Tuấn nghiên cứu báo [35] Trong đó, tác giả dùng phương pháp Quasi-reversibility có điều chỉnh để chỉnh hóa toán (0.4) • Từ liệt kê trên, toán liên quan đến phương trình parabolic khảo sát nhiều từ trước đến nhiên số lượng công trình nghiên cứu trường hợp hàm thỏa điều kiện Lipschitz địa phương hạn chế nên vấn đề mà khảo sát có tính mẻ Hơn nữa, thực tế truyền nhiệt vật phụ thuộc vào nhiều yếu tố có yếu tố quan trọng vật liệu Ngoài ra, vật liệu có hệ số dẫn nhiệt khác vật liệu có biến đổi theo thời gian yếu tố khác hao mòn, oxy hóa, nên hệ số phụ thuộc vào môi trường (không gian) thời gian Mục đích khảo sát toán nghiên cứu chỉnh hóa toán ngược cho phương trình parabolic với A(t) = a(t)A biến thiên theo t nguồn f thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương hai trường hợp: ◦ Hàm f thỏa điều kiện Lipschitz địa phương ◦ Hàm f thỏa điều kiện Lipschitz địa phương dạng tổng quát CHỦ ĐỀ Cho T số thực dương, H không gian Hilbert với tích vô hướng · , · , chuẩn · A : D(A) ⊂ H −→ H toán tử tự liên hợp, xác định dương cho A−1 compact H Xét toán tìm hàm u : [0 , T ] −→ H thỏa mãn    u = Au + f (t, u(t)), t ∈ (0 , T ),   tt u(0) = ϕ, (0.5)     u (0) = g, t ϕ, g hàm cho trước H • Đối với trường hợp tuyến tính không nhất, có số kết công bố như: ◦ Năm 2006, tác giả Hans-Jurgen Reinhardt, Houde Han Dinh Nho Hao [15] đưa sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa toán:    ∆u = f (x, y),    (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1], u(0, y) = γ0 (y), u(1, y) = γ1 (y), y ∈ [0, 1], (0.6)   ∂   u(x, 0) = f2 (x), x ∈ [0, 1]  u(x, 0) = f1 (x), ∂y ◦ Năm 2008, tác giả Zhi Qian, Chu-Li Fu Zhen-Ping Li [21] dùng phương pháp chỉnh hóa bậc để khảo sát toán tuyến tính không sau    u + uyy = f (x, y),   xx < x < π, < y < 1, u(x, 0) = ϕ (x), u (x, 0) = ϕ (x), ≤ x ≤ π, y     u(0, y) = g (y), u(π, y) = g (y), ≤ y ≤ (0.7) 76 Theo (4.2), ta có M = max 1, λ1 Suy u(T ), φp + ut (T ), φp ≤ M u(T ), φp λp =M + M ut (T ), φp u(T ), φp + ut (T ), φp Chứng minh xong Bổ đề 4.2.6 Bổ đề 4.2.7 Với t ∈ [0 , T ] u ∈ C [0 , T ], H Giả sử ϕε , g ε ∈ H liệu đo thỏa (4.6) với giả thuyết (4.2), (4.7) Khi đó, tồn số thực dương N thỏa mãn bất đẳng thức sau ∞ ϕεp − ϕp p=1 ∞ ≤ε + M2 (4.26) u(T ), φp p=1 ∞ ≤ 2E + ut (T ), φp (4.27) T β(ε) p=1 gpε − gp + √ λ1 s T −1 ε fp (v )(s) − fp (u)(s) ds ≤ K T N (4.28) Chứng minh • Đầu tiên, ta chứng minh bất đẳng thức (4.26) sau Ta có ∞ ϕεp p=1 − ϕp + √ gpε − gp λ1 ∞ 2 ϕεp − ϕp ≤ p=1 +2 √ gpε − gp λ1 gε − g 2λ1 ≤ 2ε2 + ε = ε2 + ≤ ε2 2λ1 2λ1 ≤ ϕε − ϕ Chứng minh xong bất đẳng thức (4.26) • Chứng minh bất đẳng thức (4.27) 2 + + M2 77 Ta có ∞ ∞ u(T ), φp ≤ + ut (T ), φp u(T ), φp + ut (T ), φp p=1 p=1 ≤2 u(T ) + ut (T ) ≤ 2E Chứng minh xong bất đẳng thức (4.27) • Chứng minh bất đẳng thức (4.28) Theo bất đẳng thức H¨older, ta có ∞ T β(ε) s T −1 ε fp (v )(s) − fp (u)(s) ds p=1 ∞ T T ≤ ds p=1 ∞ 2s β(ε) T −2 fp (v ε )(s) − fp (u)(s) ds T 2s β(ε) T −2 fp (v ε )(s) − fp (u)(s) ds =T p=1 Vì f Lipschitz nên ta có ∞ T s β(ε) T −1 fp (v ε )(s) − fp (u)(s) ds p=1 T 2s β(ε) T −2 v ε (s) − u(s) ≤ K 2T ds 0 2t Xét hàm y(t) = β(ε) T −2 v ε (t) − u(t) với t ∈ [0 , T ] Vì hàm y(t) liên tục [0 , T ] nên y(t) đạt giá trị lớn [0 , T ] Do đó, tồn t0 ∈ [0 , T ] số thực N cho N = max y(t) = y(t0 ) Khi 0≤t≤T ∞ T β(ε) p=1 s T −1 ε fp (v )(s) − fp (u)(s) ds Chứng minh xong bất đẳng thức (4.28) Vây, Bổ đề 4.2.7 chứng minh Chứng minh Định lí 4.2.2 T ds = K T N ≤ K TN 78 Chứng minh Đặt up (t) = u(t), φp Theo công thức nghiệm (4.4), ta có up (t) = cosh λp t ϕp + = coshε + λp t λp + λp sinhε sinh gp + t + sinh λp (t − s) λp (t − s) sinh λp λp t − fp (u)(s)ds λp t ϕ p sinhε λp t λp gp fp (u)(s)ds λp (t − s) − λp gp + λp λp t λp t − coshε λp t ϕp + cosh sinhε t λp t sinh sinhε λp (t − s) fp (u)(s)ds λp Sử dụng đẳng thức Bổ đề 4.2.4, ta có up (t) = cosh ε sinhε λp t ϕp + λp t λp t gp + sinhε λp (t − s) fp (u)(s)ds λp √ √ β(ε)e λp t β(ε)e λp t √ √ ϕp + gp + β(ε) + e− λp T λp β(ε) + e− λp T √ t β(ε)e λp (t−s) √ + fp (u)(s)ds λp β(ε) + e− λp T ε = cosh sinhε λp t ϕp + λp t λp √ β(ε)e λp t √ + β(ε) + e− λp T t gp + t gp ϕp + sinhε λp e− + fp (u)(s)ds λp √ λp s λp λp (t − s) fp (u)(s)ds Áp dụng Bổ đề 4.2.5, ta suy up (t) = cosh ε λp t ϕp + √ + β(ε)e λp t √ β(ε) + e− λp T √ β(ε)e λp t √ − β(ε) + e− λp T sinhε λp t λp √ e− λp T T t gp + λp s λp sinhε fp (u)(s)ds λp (t − s) λp u(T ), φp + √ e− t ut (T ), φp λp fp (u)(s)ds 79 up (t) = cosh ε λp t ϕp + √ + sinhε β(ε)e gp + λp √ λp (t − s) λp T ut (T ), φp u(T ), φp + λp T sinhε λp (t−T ) β(ε) + e− t λp t β(ε)e− − λp fp (u)(s)ds λp (s−t) λp β(ε) + e− t √ √ λp T fp (u)(s)ds (4.29) Từ công thức nghiệm xấp xỉ (4.5), ta có vpε (t) = v ε (t), φp ε = cosh λp t + √ T β(ε)e− − t ϕεp sinhε t λp t gpε λp √ λp β(ε) + e λp (t − s) λp λp (s−t) − + sinhε fp (v ε )(s)ds fp (v ε )(s)ds λp T (4.30) Lấy (4.30) trừ (4.29) theo vế, ta vpε (t) − up (t) = cosh t + ε ϕεp λp t sinhε − ϕp + λp (t − s) sinhε λp t λp gpε − gp fp (v ε )(s) − fp (u)(s) ds λp √ T β(ε)e− λp (s−t) √ + t λp β(ε) + e− λp T √ √ β(ε)e λp t √ − e− λp T β(ε) + e− λp T fp (u)(s) − fp (v ε )(s) ds u(T ), φp + ut (T ), φp λp Từ đó, ta vpε (t) − up (t) ≤ coshε λp t sinhε λp t + ϕεp − ϕp gpε − gp λp t + sinhε λp (t − s) λp √ T β(ε)e− + t + β(ε)e fp (v ε )(s) − fp (u)(s) ds λp (s−t) λp β(ε) + e √ √ − λp T fp (v ε )(s) − fp (u)(s) ds λp (t−T ) β(ε) + e √ − λp T u(T ), φp + ut (T ), φp λp 80 Sử dụng bất đẳng thức Bổ đề 4.2.1 Bổ đề 4.2.6, ta t − Tt vpε (t) − up (t) ≤ β(ε) t + ϕεp β(ε)− T ε + √ gp − gp λ1 − ϕp s−t M β(ε) T fp (v ε )(s) − fp (u)(s) ds T s−t M β(ε) T fp (v ε )(s) − fp (u)(s) ds + t t + M β(ε)1− T u(T ), φp + ut (T ), φp Bất đẳng thức viết lại sau t vpε (t) − up (t) ≤ β(ε)− T ϕεp − ϕp + √ gpε − gp λ1 t M β(ε)1− T + t M β(ε)1− T + u(T ), φp T + ut (T ), φp s β(ε) T −1 fp (v ε )(s) − fp (u)(s) ds Ta xét ∞ ε v (t) − u(t) |v ε (t) − u(t)|2 = p=1 Lúc đó, ε v (t) − u(t) 2t ≤2 1+ β(ε)− T k +2 1+ k ∞ ϕεp 2t M β(ε)2− T M β(ε) + (1 + k) 2− 2t T − ϕp p=1 ∞ + ut (T ), φp p=1 T β(ε) s T −1 ε fp (v )(s) − fp (u)(s) ds Áp dụng bất đẳng thức Bổ đề 4.2.7, ta có v ε (t) − u(t) ≤2 1+ 2 u(T ), φp ∞ p=1 + √ gpε − gp λ1 + M2 2t β(ε)− T ε2 k 2t M β(ε)2− T 2E +2 1+ k 2t 2− M β(ε) T 2 + (1 + k) K T N 81 Thu gọn bất đẳng thức trên, ta v ε (t) − u(t) 2t (M + 4)β(ε)− T ε2 k 2t M E β(ε)2− T + 1+ k 2t 1+k 2 + K M T N β(ε)2− T ≤ 1+ 2t Nhân β(ε) T −2 cho hai vế, ta 2t β(ε) T −2 v ε (t) − u(t) 2t β(ε) T −2 v ε (t) − u(t) Vì max 0≤t≤T 2 (M + 4)β(ε)−2 ε2 k M 4E + 1+ k 1+k 2 K M T N + ≤ 1+ (4.31) = max y(t) = N t = t0 nên chọn t = t0 0≤t≤T bất đẳng thức (4.31) trở thành N ≤ 1+ 1+k 2 K M T N (M + 4)β(ε)−2 ε2 + + M 4E + k k Dẫn đến N 1− 1+k 2 K M T ≤ 1+ k M + β(ε)−2 ε2 + M E Vì k > nên ta suy N k − (k + 1)K M T ≤ 4(k + 1) M + β(ε)−2 ε2 + M E Khi − (k + 1)K M T > 0, tức 0 tồn tε ∈ (0 , T ) cho tε T − tε = β(ε)1− T (4.34) Do khoảng (0 , T ), vế trái (4.34) hàm nghịch biến theo biến tε vế phải (4.34) hàm đồng biến theo biến tε Khi đó, lấy logarit tự nhiên hai vế (4.34), ta ln(T − tε ) = T − tε ln β(ε) T Suy ln(T − tε ) ln β(ε) = · T − tε T 83 Với t > 0, ta có ln t > − t nên −1 ln β(ε) ln(T − tε ) = · < (T − tε ) T − tε T Suy ln β(ε)−1 · > (T − tε )2 T Dẫn đến T − tε < T ln β(ε) · (4.35) Từ (4.33), (4.34) (4.35), ta có u(T ) − v ε (t) ≤ sup ut (t) + Q(ε, k) t∈[0 ,T ] T ln β(ε) · Chứng minh xong Định lí 4.2.2 4.3 Kết luận Chương Chương giải vấn đề sau: - Chúng xét hai phương pháp chỉnh hóa toán Cauchy cho phương trình elliptic với nguồn không nhất, đặt tên Bài toán (4.1) Chúng thiết lập sai số loại logarit cho t ∈ [0, T ] với giả định nghiệm xác - Chứng minh tính nghiệm chỉnh hóa cho toán (4.1) (Định lý 4.2.1) - Đưa đánh giá sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa (Định lý 4.2.2) 84 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận chung Trong luận án này, đưa kết Một xác định hàm nguồn cho phương trình parabolic có dạng tách biến Hai chỉnh hóa toán ngược thời gian cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian không bị nhiễu bị nhiễu Ba chỉnh hóa dạng toán phi tuyến cho phương trình elliptic lớp hàm Lipschitz toàn cục cách xấp xỉ phương trình tích phân Kết luận án công bố ba báo quốc tế (SCIE) báo chuẩn bị gửi đăng II Kiến nghị Trong thời gian tới nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu toán xác định hàm nguồn với hàm nguồn có dạng tổng quát dạng tách biến Tiếp tục nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian không gian Banach, phương trình dạng Lipschitz địa phương Nghiên cứu toán Cauchy cho hệ phương trình elliptic phi tuyến 85 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [N1] Van Thinh Nguyen, Huy Tuan Nguyen, Thanh Binh Tran and Anh Khoa Vo, On an inverse problem in the parabolic equation arising from groundwater polution problem, Boundary Value Problems (2015), 2015:67, (SCI-E) [N2] Tuan, Nguyen Huy; Binh, Tran Thanh, Two regularized solutions of an illposed problem for the elliptic equation with inhomogeneous source, Filomat 28 (2014), No.10 , 2091–2110, (SCI-E) [N3] N H Tuan, T T Binh, T Q Viet, Daniel Lesnic (2016), On the Cauchy problem for semilinear elliptic equations, Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, Volume 24, Issue 2, 123–138, (SCI-E) [N4] Tran Thanh Binh, On a nonlinear parabolic equation with locally Lipschitz source and time dependent coefficients, gửi đăng 86 Tài liệu tham khảo [Tài liệu tiếng Việt] [1] Nguyễn Văn Đức, Phương trình parabolic ngược thời gian Luận án tiến sĩ toán học (2011) [2] Nguyễn Đình Phư (2002), Phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh [3] Nguyễn Hữu Khánh, Lê Thanh Tùng (2014), Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Cần Thơ [4] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, Nhà xuất giáo dục [5] Trần Đức Vân (2008), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [Tài liệu tiếng Anh] [6] G Alessandrini, L Rondi, E Rosset, S Vessella (2009), Conditional stability estimates and regularization with applications to Cauchy problems for the Helmholtz equation, Numer Funct Anal Optim 30, 1065–1097 [7] L Bourgeois, J Dard (2010), About stability and regularization of ill-posed elliptic Cauchy problems: the case of Lipschitz domains, Appl Anal 89 (11), 1745–1768 [8] Choulli M., Yamamoto M (2004), Conditional stability in determining a heat source, Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 12(3), 233–243 87 [9] F.F Dou, C.L Fu, F.L Yang (2009), Optimal error bound and Fourier regularization for identifying an unknown source in the heat equation J Comput Appl Math 230 , No 2, 728–737 [10] L Elden, F Berntsson (2005), A stability estimate for a Cauchy problem for an elliptic partial differential equation, Inverse Problems 21, 1643–1653 [11] L C Evans (1998), Partial Differential Equations American Mathematical Society, Vol 19 [12] Franklin J N.(1974), On Tikhonov’s method for Ill-Posed Problems Math Comput., Vol 28, No 128, 889 – 907 [13] X L Feng, L Elden, C L Fu (2010), A quasi-boundary-value method for the Cauchy problem for elliptic equations with nonhomogeneous Neumann data, Journal Inverse Ill-Posed Problems,6, 617–645 [14] A S Fokas, B Pelloni (2012), The Dirichlet-to-Neumann map for the elliptic sine-Gordon equation, Nonlinearity 25, 1011–1031 [15] Hans–Jurgen Reinhardt, Houde Han, Dinh Nho Hao (2006), Stability and regularization of a discrete approximation to the cauchy problem for Laplace’s equation, SIAM J Numer Anal., 36 (3) 890–905 [16] Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations Springer.(2011) [17] Dinh Nho Hao, Nguyen Van Duc (2011), Stability results for backward parabolic equations with time dependent coefficients, Inverse Problems, Vol 27, No [18] Isakov V., Inverse Source Problems, American Mathematical Society (1990) [19] A Kirsh (1996), An introduction to the mathematical theory of inverse problems, Springer 88 [20] Kirsch, An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, 2nd edn Applied Mathematical Sciences, Vol 120 Springer, Berlin (2011) [21] Z Qian, C L Fu, Z P Li (2008), Two regularization methods for a Cauchy problem for the Laplace equation, J Math Anal Appl 338 (1), 479–489 [22] H H Qin, T Wei (2009), Quasi-reversibility and truncation methods to solve a Cauchy problem for the modified Helmholtz equation, Math Comput Simulat 80 (2), 352–366 [23] Quan P H., Trong D D., Triet L M., Tuan N H (2011), A modified quasi-boundary value method for regularizing of a backward problem with time-dependent coefficient, Inverse Problems in Science and Engineering, Vol 19, No 3, 409–423 [24] Quan P H., Trong D D., Triet L M (2013), On a backward nonlinear parabolic equation with time and space dependent thermal conductivity: Regularization and error estimates, Journal Inverse Ill-Posed Problems., Vol 22, Issue 3, 375–401 [25] T Reginska, R Kazimierz (2006), Approximate solution of a Cauchy problem for the Helmholtz equation, Inverse Problems 3, 975–989 [26] T Reginska, U Tautenhahn (2009), The stability for the Cauchy problem for elliptic equations, Inverse Problems 25, 123 [27] Savateev (1995),On problems of determining the source function in a parabolic equation, Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, Vol.3,83 –102 [28] Tikhonov A N, Arsenin V Y (1977), Solutions of Ill-Posed Problems Winston, Washington [29] Tikhonov A N (1943), On the stability of inverse prolems Dokl Akad Nauk SSSR 39, No 5, 195–198 (Russian) 89 [30] D D Trong, N H Tuan (2009), Regularization and error estimate for the nonlinear backward heat problem using a method of integral equation, Nonlinear Anlysis 71, 4167–4176 [31] Dang Duc Trong, Nguyen Thanh Long, Pham Ngoc Dinh Alain (2005), Nonhomogeneous heat equation: Identification and regularization for in the inhomogeneous term, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 312, 93 – 104 [32] N H Tuan, D D Trong, L D Thang, V A Khoa (2014), Approximation of mild solutions of the linear and nonlinear elliptic equations, Inverse Problems in Science and Engineering, 23 (7), 1237–1266 [33] N H Tuan, D D Trong, P H Quan (2010), A note on a Cauchy problem for the Laplace equation: regularization and error estimates, Appl Math Comput 217 (7), 2913–2922 [34] Tuan N H., Quan P H., Trong D D., Triet L M (2013), On a backward heat problem with time-dependent coefficient: Regularization and error estimates, Applied Mathematics and Computation, Vol 219, Issue 11, 6606–6073 [35] Dang Duc Trong and Nguyen Huy Tuan (2014), On a backward parabolic problem with local Lipschitz source, J Math Anal Appl., Vol 414, Issue 2, 678–692 [36] N H Tuan, L D Thang, V A Khoa (2015), A modified integral equation method of the nonlinear elliptic equation with globally and locally Lipschitz source, Applied Mathematics and Computation, 265, 245–265 [37] N H Tuan, L D Thang, Daniel Lesnic (2015), A new general filter regularization method for Cauchy problems for elliptic equations with a locally Lipschitz nonlinear source, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 44 (4), 363–378 90 [38] N H Tuan, T Q Viet, N V Thinh (2013), Some remarks on a modified Helmholtz equation with inhomogeneous source, Appl Math Model 37 (3), 793–814 [39] N H Tuan, T T Binh, T Q Viet, Daniel Lesnic (2015), On the Cauchy problem for semilinear elliptic equations, Journal Inverse Ill-Posed Problem, Vol 24, Issue 2, 123–138 [40] H.T.Nguyen, V.T.Nguyen, T.B.Tran, A.K.Vo (2015), On an inverse problem in the parabolic equation arising from groundwater pollution problem, Boundary Value Problems, 2015:67 [41] Triet L M., Quan P H., Trong D D., Tuan N H (2013), A backward parabolic equation with a time-dependent coefficient Regularization and error estimates, Journal of Computational and Applied Mathematic, Vol 237, Issue 1, 432–441 [42] F Yang, C.L Fu (2014), A mollification regularization method for the inverse spatial-dependent heat source problem, J Comput Appl Math 255, 555–567 [43] F Yang, C.L Fu, A simplified Tikhonov regularization method for determining the heat source, Appl Math Model 34 (2010), No 11, 3286–3299 [44] F Yang, C.L Fu (2009), Two regularization methods for identification of the heat source depending only on spatial variable for the heat equation, J Inverse Ill-Posed Probl 17, No 8, 815–830 [45] F Yang, C.L Fu, X.X Li,(2014), A quasi-boundary value regularization method for determining the heat source, Math Methods Appl Sci 37, No 18, 3026–3035 ... toỏn Cauchy cho phng trỡnh parabolic v elliptic Ch 1: Bi toỏn Cauchy cho phng trỡnh parabolic Ch 2: Bi toỏn ngc thi gian cho phng trỡnh parabolic phi tuyn Ch 3: Bi toỏn Cauchy cho phng trỡnh elliptic. .. ngun cho phng trỡnh parabolic Bi toỏn ngc thi gian cho phng trỡnh parabolic Bi toỏn giỏ tr ban u cho phng trỡnh elliptic Do ch v cỏc loi bi toỏn khụng chnh cho phng trỡnh parabolic v elliptic. .. ngc cho phng trỡnh parabolic vi h s dn nhit bin thiờn theo thi gian Chng 4: Bi toỏn Cauchy cho phng trỡnh elliptic dng phi tuyn Ni dung ny trỡnh by phộp chnh húa mi cho bi toỏn Cauchy dng phi tuyn