Công Phá Toán – Lớp 11 The best or nothing MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 15 Góc lượng giác công thức lượng giác 15 Hàm số lượng giác 17 A Lý thuyết 17 B Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác 22 C Bài tập rèn luyện kỹ 49 Phương trình lượng giác 63 Bài tập rèn luyện kỹ 94 CHỦ ĐỀ 2: TỔ HỢP – XÁC SUẤT 107 Quy tắc đếm 107 Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp 107 A Lý thuyết 107 B Các dạng toán phép đếm 110 C Bài tập rèn luyện kỹ 116 Nhị thức Newton 124 A Lý thuyết 124 B Các dạng toán sử dụng công thức tổ hợp nhị thức Newton 125 C Bài tập rèn luyện kỹ 135 Xác suất 142 A Lý thuyết 142 B Các dạng toán xác suất 144 C Bài tập rèn luyện kỹ 152 CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 159 Phương pháp quy nạp toán học 159 A Lý thuyết 159 B Các toán điển hình 159 C Bài tập rèn luyện kỹ 163 Dãy số 166 A Lý thuyết 166 B Các toán điển hình 168 MỤC LỤC More than a book C Bài tập rèn luyện kỹ 173 Cấp số cộng 179 A Lý thuyết 179 B Các dạng toán cấp số cộng 181 C Bài tập rèn luyện kỹ 186 Cấp số nhân 191 A Lý thuyết 191 B Các dạng toán cấp số nhân 194 C Bài tập rèn luyện kỹ 199 CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN 204 Giới hạn dãy số 204 A Lý thuyết 204 B Các dạng toán giới hạn dãy số 206 C Bài tập rèn luyện kỹ 222 Giới hạn hàm số 231 A Lý thuyết 231 B Các dạng toán giới hạn hàm số 234 C Bài tập rèn luyện kỹ 258 Hàm số liên tục 269 A Lý thuyết 269 B Các dạng toán hàm số liên tục 270 C Bài tập rèn luyện kỹ 277 CHỦ ĐỀ 5: ĐẠO HÀM 280 Khái niệm đạo hàm 280 A Lý thuyết 280 B Các dạng toán tính đạo hàm định nghĩa 280 C Bài tập rèn luyện kỹ 286 Các quy tắc tính đạo hàm 289 A Lý thuyết 289 B Các dạng toán quy tắc tính đạo hàm 289 C Bài tập rèn luyện kỹ 299 Vi phân Đạo hàm cấp cao 306 Công Phá Toán – Lớp 11 The best or nothing A Lý thuyết 306 B Các dạng toán vi phân đạo hàm cấp cao 307 C Bài tập rèn luyện kỹ 316 Tiếp tuyến với đồ thị hàm số 321 A Lý thuyết 321 B Các dạng toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số 321 C Bài tập rèn luyện kỹ 325 CHỦ ĐỀ 6: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG 329 Phép biến hình 329 Phép tịnh tiến 329 A Lý thuyết 329 B Các dạng toán phép tịnh tiến 330 C Bài tập rèn luyện kỹ 337 Đọc thêm: Phép đối xứng trục – Phép đối xứng tâm 343 A Lý thuyết 343 B Các dạng toán đối xứng trục, đối xứng tâm 344 Phép quay 351 A Lý thuyết 351 B Các dạng toán phép quay 352 C Bài tập rèn luyện kỹ 358 Phép dời hình hai hình 363 A Lý thuyết 363 B Các dạng toán phép dời hình 363 C Bài tập rèn luyện kỹ 366 Phép vị tự 369 A Lý thuyết 369 B Các dạng toán phép vị tự 370 C Bài tập rèn luyện kỹ 374 Phép đồng dạng 378 A Lý thuyết 378 B Các dạng toán phép đồng dạng 378 C Bài tập rèn luyện kỹ 381 MỤC LỤC More than a book CHỦ ĐỀ 7: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG 384 Đại cương đường thẳng mặt phẳng 384 A Lý thuyết 384 B Các dạng toán đường thẳng mặt phẳng 387 C Bài tập rèn luyện kỹ 391 Đường thẳng song song với đường thẳng 403 A Lý thuyết 403 B Các dạng toán đường thẳng song song với đường thẳng 404 C Bài tập rèn luyện kỹ 409 Đường thẳng song song với mặt phẳng 417 A Lý thuyết 417 B Các dạng toán đường thẳng song song với mặt phẳng 418 C Bài tập rèn luyện kỹ 422 Mặt phẳng song song với mặt phẳng 431 A Lý thuyết 431 B Các dạng toán mặt phẳng song song với mặt phẳng 433 C Bài tập rèn luyện kỹ 438 CHỦ ĐỀ 8: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC 446 Vectơ không gian 446 A Lý thuyết 446 B Các toán vectơ không gian 447 C Bài tập rèn luyện kỹ 451 Góc hai đường thẳng Hai đường thẳng vuông góc 455 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 458 Hai mặt phẳng vuông góc Góc hai mặt phẳng 462 Bài tập rèn luyện kỹ tính góc không gian 467 Khoảng cách 474 A Lý thuyết 474 B Các toán khoảng cách 476 C Bài tập rèn luyện kỹ 487 Bài tập ôn tập chủ đề 493 TRA CỨU THUẬT NGỮ TOÁN 508 Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Góc lượng giác công thức lượng giác y Giá trị lượng giác cung  B M K Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM có sđ AM   : α A’ O H Gọi M  x; y  với tung độ M y  OK , hoành độ M x  OH ta có: A x sin   OK sin  cos  ;  cos    cot   ,  sin    cos  sin  Các giá trị sin , cos , tan , cot  gọi giá trị lượng giác cung  tan   B’ Hình 1.1 Các hệ cần nắm vững y Các giá trị sin ; cos  xác định với   Và ta có: B II I O A’ sin    k 2   sin  , k  ; cos    k 2   cos  , k  H A α K B’ 1  sin   1;   cos   x M III tan  xác định với   IV Hình 1.2   k,  k  cot  xác định với   k  ,  k    Dấu giá trị lượng giác cung  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối y cung AM   đường tròn lượng giác (hình 1.2) Ta có bảng xác định dấu giá trị lượng giác sau: I II cos   OH Góc phần tư x III O Giá trị lượng giác cos IV sin cot  tan  Hình 1.3 I II III IV + + + +    +    +   + + Ở hình 1.3 cách nhớ khác để xác định dấu giá trị lượng giác Công thức lượng giác Công thức Cung đối sin x  cos x  sin   x    sin x cos x cot x   sin x Công thức cộng cos   x   cos x Cung bù cos  x  y   cos x cos y sin x sin y cos x   cos  x    2 tan x   sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y tan   x    tan x sin x  sin    x  LOVEBOOK.VN| 15 Chủ đề 1: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác tan  x  y   tan x  tan y tan x tan y The best or nothing tan x  tan  x    Công thức đặc biệt     sin x  cos x  sin  x    cos  x   4    STUDY TIP Ở từ công thức góc nhân đôi, góc nhân ba ta suy công thức góc chia đôi, chia ba mà không cần nhớ nhiều công thức     sin x  cos x  sin  x     cos  x   4    Góc nhân đôi Góc chia đôi sin2 x  1  cos 2x  cos2 x  1  cos x  Góc chia ba sin3 x   3sin x  sin 3x  cos x   3cos x  cos 3x  sin x  sin x cos x cos x  cos x    sin x  cos x  sin x Góc nhân ba sin 3x  sin x  sin x cos3x  cos x  cos x tan x  tan x  tan x Biến đổi tích thành tổng tan 3x  Biến đổi tổng thành tích xy xy cos 2 xy xy cos x  cos y  2 sin sin 2 xy xy sin x  sin y  sin cos 2 xy xy sin x  sin y  cos sin 2 cos x cos y  cos  x  y   cos  x  y  sin x sin y  cos  x  y   cos  x  y  sin x cos y  sin  x  y   sin  x  y  STUDY TIP Từ bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt bên ta thấy quy luật sau để độc giả nhớ giá trị lượng giác cung đặc biệt: Giá trị lượng giác cung đặc biệt  (độ) 30 45 60 90    2 2 2   (radian) 0 sin Các giá trị tử số tăng dần từ cos tan  3  sin  30 45 60 90 2 đến Ngược lại giá trị cos , tử số giảm dần từ LOVEBOOK.VN | 16 cos x  cos y  cos Không xác định 180  Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book Hàm số lượng giác A Lý thuyết Khái niệm: Hàm số y  sin x hàm số y  cos x Hàm số f  x  xác định D gọi hàm tuần hoàn tồn số T  cho với x thuộc D Quy tắc đặt tương ứng số thực x với sin góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số sin, kí hiệu y  sin x Quy tắc đặt tương ứng số thực x với côsin (cos) góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số côsin, kí hiệu y  cos x  x  T  D; x  T  D ta có   f  x  T   f  x  Tập xác định hàm số y  sin x; y  cos x Số dương T nhỏ (nếu có) thỏa mãn tính chất gọi chu kỳ hàm tuần hoàn a) Hàm số y  sin x Nhận xét: Hàm số y  sin x hàm số lẻ hàm số có tập xác định D tập đối xứng  sin x  sin  x  Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì 2 Sự biến thiên: Sự biến thiên hàm số y  sin x đoạn ;  biểu thị sơ đồ (hình 1.4) phía dưới: y B Khi x tăng từ A’ O A x N + điểm M chạy đường tròn lượng giác theo chiều dương từ A’ đến B’ điểm N x M đến chạy dọc trục sin từ O đến B’, ta thấy dần từ đến giảm B’ y B Khi x tăng từ A’ A O x x M N đến điểm M chạy đường tròn lượng giác theo chiều dương từ B’ đến B điểm N chạy dọc trục sin từ B’ đến B, ta thấy dần từ đến tăng + B’ y B + M N Khi x tăng từ x A’ điểm M chạy đường tròn lượng giác theo chiều dương từ B đến A’ điểm N chạy A x O đến dọc trục sin từ B đến O, ta thấy đến giảm dần từ B’ Hình 1.4 Bảng biến thiên: Từ ta có bảng biến thiên hàm số y  sin x đoạn ;  sau: LOVEBOOK.VN| 17 Chủ đề 1: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác The best or nothing B Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác Dạng Bài toán tìm tập xác định hàm số lượng giác Cách Tìm tập D x để f  x  có nghĩa, tức  tìm D  x  STUDY TIP Ở phần cần nhớ kĩ điều kiện xác định hàm số sau: Hàm số y  sin x y  cos x xác định f  x   Cách Tìm tập E x để f  x  nghĩa, tập xác định hàm số D  \ E CHÚ Ý A Với hàm số cho biểu thức đại số ta có: , điều kiện: * có nghĩa Hàm số y  tan x xác định *   \   k k   2  Hàm số y  cot x xác định trên  \ k k   có nghĩa , điều kiện: * có nghĩa điều kiện: có nghĩa B Hàm số xác định xác định xác định * có nghĩa xác định * có nghĩa xác định 2cos x     5 A D  \   k 2,  k 2 k   B D  \   k 2 k  3   3    5 5 C D    k 2,  k 2 k   D D  \   k 2 k  3  3 Đáp án A Lời giải Cách 1: Hàm số cho xác định     cos x  cos  x   k  cos x      ,k  cos x  cos 5  x  5  k    3 Ví dụ 1: Tập xác định hàm số y  STUDY TIP Đối với hàm côsin, chu kỳ tuần hoàn hàm số 0,2   tồn hai  5 góc có số đo 3 thoả mãn  5 cos  cos  3 ta kết luận điều kiện Từ bạn đọc đưa lập luận cho sin, tan, cot, từ đưa tổng kết ban đầu cho giải phương trình lượng giác học LOVEBOOK.VN | 22 Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị hàm số y  x       2cos x   5 x  ta thấy hàm số không xác định, từ ta chọn A 3 Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book Cách bấm sau: Nhập vào hình : cos  X    5 máy báo lỗi, tương tự với trường hợp X  Từ 3  5 suy hàm số không xác định x  ; x  3 Ấn rgán X  Ví dụ 2: Tập xác định hàm số y  cot x sin x  A D    \   k 2 k   3  B D     \ k k     C D    \   k 2; k k   2  D D    \   k 2 k   2  Đáp án C Lời giải Hàm số cho xác định STUDY TIP Trong toán này, nhiều độc giả sử dụng điều kiện để hàm phân thức + cot x xác định  sin x  + sin x    x  k sin x     , k  sin x    x   k 2  xác định ( sin x   ) không ý điều kiện để hàm cot x xác định, bị Ví dụ 3: Tập hợp thiếu điều kiện chọn D sai A y   \ k k   cos x sin x  tập xác định hàm số nào? B y   cos x 2sin x C y   cos x  cos x D y  sin x sin x Đáp án C Lời giải Phân tích: Với toán dạng ta để ý x  k sin x  sin 2 x  k  k  sin x      x ,k  sin x  sin  2 x    k 2  x   k   chút thấy hàm cosx xác định với x  Nên ta xét mẫu số, có đến ba phương án có sin x  sin x  k 2 sin x      x  k, k  sin x  sin   x    k 2 mẫu số có chứa sin x A; D B Do ta chọn đáp án C Trong ví dụ ta gộp hai họ nghiệm k 2   k2 thành k dựa theo lý thuyết sau: Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác biểu diễn điểm đường tròn lượng giác * x    k 2, k  y biểu diễn điểm đường tròn lượng giác * x    k  , k  biểu diễn hai điểm đối xứng qua O đường tròn lượng giác O Hình 1.11 k 2 , k  biểu diễn ba điểm cách nhau, tạo thành đỉnh tam giác nội tiếp đường tròn lượng giác k 2 , k  , n  * biểu diễn n điểm cách nhau, tạo thành n đỉnh * x  n đa giác nội tiếp đường tròn lượng giác * x x Giải thích cách gộp nghiệm ví dụ ta có: LOVEBOOK.VN| 23 Chủ đề 1: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác The best or nothing Đọc thêm Dạng Dạng đồ thị hàm số lượng giác Các kiến thức dạng đồ thị hàm số lượng giác đưa phần 1: Lý thuyết bản: Sau ta bổ sung thêm số kiến thức lý thuyết để giải toán nhận dạng đồ thị hàm số lượng giác cách hiệu Sơ đồ biến đổi đồ thị bản: Đối xứng qua gốc O Tịnh tiến theo trục Ox a đơn vị Tịnh tiến theo trục Oy b đơn vị Đối xứng qua trục Ox Tịnh tiến theo vectơ Tịnh tiến theo trục Ox a đơn vị Đối xứng qua trục Oy Tịnh tiến theo trục Oy b đơn vị Các kiến thức liên quan đến suy diễn đồ thị hàm số chứa trị tuyệt đối: Cho đồ thị hàm số y  f  x  Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta suy diễn: Đồ thị hàm số y  f  x  gồm * Phần từ trục hoành trở lên đồ thị y  f  x * Đối xứng phần đồ thị hàm số y  f  x    gồm Đồ thị hàm số y  f x phía trục hoành qua trục hoành * Phần đồ thị hàm số y  f  x  nằm bên phải trục Oy * Đối xứng phần đồ thị qua trục Oy Đồ thị hàm số y  u  x  v  x  với f  x   u  x  v  x  gồm * Phần đồ thị hàm số y  f  x  miền thỏa mãn u  x   * Đối xứng phần đồ thị y  f  x  miền u  x   qua trục hoành LOVEBOOK.VN | 44 Chủ đề 7: ĐT MP không gian Quan hệ song song The best or nothing CHỦ ĐỀ 7: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Đại cương đường thẳng mặt phẳng A Lý thuyết Mặt phẳng Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng cho ta hình ảnh phần mặt phẳng Mặt phẳng bề dày giới hạn Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ in hoa chữ Hy Lạp đặt dấu ngoặc () Ví dụ mặt phẳng  P  , Q ,    ,  Để biểu diễn mặt phẳng, ta thường dùng hình bình hành miền góc ghi tên mặt phẳng vào góc hình biểu diễn P Đường thẳng mặt phẳng tập hợp điểm Do đó: - Nếu điểm A thuộc đường thẳng a, ta kí hiệu A  a nói đường thẳng a qua điểm A P - Nếu điểm A thuộc mặt phẳng   , ta kí hiệu A    nói mặt phẳng   qua điểm A - Nếu đường thẳng a chứa mặt phẳng   , ta kí hiệu a     nói mặt phẳng   qua (hoặc chứa) đường thẳng a Quy tắc để vẽ hình biểu diễn hình không gian - Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng, đoạn thẳng đoạn thẳng - Hình biểu diễn hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt Hai đoạn thẳng song song phải vẽ song song Trung điểm đoạn thẳng phải lấy điểm đoạn thẳng - Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc điểm đường thẳng - Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất Các tính chất thừa nhận hình học không gian - Tính chất 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt - Tính chất 2: Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng Như vậy, mặt phẳng không gian xác định cách thức sau: - Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C Kí hiệu mp ABC  - Mặt phẳng qua đường thẳng a điểm A không thuộc đường thẳng a Kí hiệu: mp  A, a  - Mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt a b Kí hiệu: mp  a, b - Mặt phẳng qua hai đường thẳng song song a, b LOVEBOOK.VN | 384 Công Phá Toán – Lớp 11 B Nếu có số điểm thuộc mặt phẳng ta nói điểm đồng phẳng Tính chất cho thấy ba điểm luôn đồng phẳng Nhưng bốn điểm, tính chất cho thấy điều tương tự b a C Nhận xét a b a A A More than a book - Tính chất 3: Trong không gian có bốn điểm không thuộc mặt phẳng - Tính chất 4: Trong không gian, hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng - Tính chất 5: Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng - Tính chất 6: Trong mặt phẳng không gian, kết biết hình học phẳng Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng không gian a) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng   Có thể xảy khả d sau: - Đường thẳng d mặt phẳng   điểm chung Trong trường hợp ta nói đường thẳng d song song với mặt phẳng   , kí hiệu d d //    - Đường thẳng d mặt phẳng   có điểm chung Trong trường hợp ta nói đường thẳng d cắt mặt phẳng   điểm A, ta kí d hiệu d      A - Đường thẳng d mặt phẳng   có nhiều điểm chung Trường hợp ta nói đường thẳng d nằm mặt phẳng   , ta kí hiệu d     b) Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng phân biệt      Có thể xảy khả sau: α - Hai mặt phẳng    điểm chung Trong trường hợp ta nói mặt phẳng    song song với nhau, kí hiệu    //  β - Hai mặt phẳng    có điểm chung Trong trường α hợp ta nói mặt phẳng    có phần chung đường thẳng, giả sử đường thẳng d, ta kí hiệu      d β d Đường thẳng d gọi giao tuyến hai mặt phẳng Như vậy, việc xác định giao tuyến hai mặt phẳng tương ứng với việc xác định hai điểm thuộc đồng thời hai mặt phẳng phân biệt Ngoài ra, biết ba điểm phân biệt thuộc đồng thời hai mặt phẳng ba điểm phải nằm đường thẳng LOVEBOOK.VN| 385 Chủ đề 7: ĐT MP không gian Quan hệ song song The best or nothing + Do cạnh thiết diện đoạn giao tuyến mặt phẳng   với mặt T Do số cạnh nhiều mà thiết diện có số mặt T - Đối với hình chóp tam giác (hoặc tứ diện), thiết diện cắt mặt phẳng   tam giác tứ giác (ở ta quy ước không xét trường hợp suy biến thiết diện mặt cạnh hình chóp) - Đối với hình chóp tứ giác, thiết diện tam giác, tứ giác ngũ giác Các toán liên quan tới thiết diện gồm dạng: + Dựng thiết diện + Xác định hình dạng thiết diện + Tính diện tích thiết diện + Tính tỉ số thể tích hai phần thiết diện phân chia khối thể tích cho (sẽ trình bày Công phá toán tập 3) Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M N trung điểm SA SC Gọi  P  mặt phẳng qua điểm M, N, B a) Tìm giao tuyến  P  SAB ;  P  SBC  b) Tìm giao điểm I đường thẳng SO với mặt phẳng  P  giao điểm K đường thẳng SD với mặt phẳng  P  c) Xác định giao tuyến mặt phẳng  P  với mặt phẳng SAD  mặt phẳng SDC  Từ suy thiết diện hình chóp S.ABCD cắt  BMN  d) Xác định giao điểm E, F đường thẳng DA, DC với  P  Chứng minh E, B, F thẳng hàng Lời giải a) Ta có: M SA,SA  SAB  M  SAB (1) S Lại có M   BMN  (2) K M Từ (1) (2) suy M  SAB   BMN  (3) N I Ta có: B  SAB   BMN  (4) A D E O C B F Từ (3) (4) suy BM  SAB   BMN  Tương tự ta suy BN  SBC    BMN  b) Trong mặt phẳng SAC  , gọi I giao điểm SO với MN Ta có: I  MN , MN   BMN   I   BMN   I giao điểm SO với  BMN  Trong mặt phẳng SBD gọi K giao điểm BI với SD Ta có: K  BI , BI   BMN   K   BMN  Suy K giao điểm SD với  BMN   K   BMN   K   BMN    SAD  c) Ta có:   K   SAD  Ta lại có: M   BMN   SAD Do đó: MK   BMN   SAD Tương tự ta có: NK   BMN   SDC  Như tứ giác BMKN thiết diện hình chóp SABCD cắt mp  BMN  d) Trong mặt phẳng SAD  , gọi E  MK  AD Ta có E   BMN  Vậy E giao điểm AD với  BMN  LOVEBOOK.VN | 388 MK   BMN  nên Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book C Bài tập rèn luyện kỹ S S Câu 1: Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? E A Dùng nét đứt để biểu diễn cho đường bị che khuất B Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng C Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc E B A B A D C D C A B điểm đường thẳng S S D Hình biểu diễn hai đường cắt hai đường song song A B B biểu diễn hình tứ diện? (Chọn câu nhất) C A A D sang hình 2D), hình chiếu (nhìn từ xuống B D C (có thể nhìn từ lên)), hình chiếu cạnh (từ từ trái sang (có thể nhìn từ phải sang)) thể (II) sau: A A C từ trước vào (có thể nhìn từ sau) để từ hình 3D chuyển D (I) D C D Câu 5: Một hình không gian có hình chiếu đứng (nhìn C B A E E Câu 2: Trong hình vẽ sau hình hình Hình chiếu cạnh Hình chiếu đứng C B C D D B Hình chiếu (IV) (III) A (I), (II) B (I), (II), (III), (IV) C (I), (II), (III) D (I) Hãy vẽ hình biểu diễn hình đó? Câu 3: Hình sau vẽ quy tắc? A C B D Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB gấp đôi đáy nhỏ CD, E trung điểm đoạn AB Hình vẽ sau vẽ quy tắc? A B C D Câu 6: Mệnh đề sau đúng? A Qua ba điểm xác định mặt phẳng B Qua ba điểm phân biệt xác định mặt phẳng C Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định hai mặt phẳng phân biệt D Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định mặt phẳng Câu 7: Xét mệnh đề sau đây: (I) Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt (II) Có mặt thẳng qua ba điểm phân biệt (III) Tồn bốn điểm không thuộc mặt phẳng LOVEBOOK.VN| 391 Chủ đề 7: ĐT MP không gian Quan hệ song song (IV) Nếu hai mặt phẳng có điểm chung chúng có điểm chung khác Số mệnh đề sai mệnh đề là: A B C D Câu 8: Cho n điểm phân biệt không gian (n  4) Biết bốn điểm n điểm cho thuộc mặt phẳng Khẳng định sau đúng? A Tất n điểm thuộc mặt phẳng B Có n  điểm thuộc mặt phẳng C Có n điểm thuộc mặt phẳng D Không tồn mặt phẳng chứa tất n điểm Câu 9: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Có hai mặt phẳng cắt theo đường thẳng cho trước B Hai mặt phẳng có điểm chung C Hai mặt phẳng chứa hai cạnh tam giác trùng D Có hai mặt phẳng phân biệt qua ba điểm phân biệt Câu 10: Cho tứ giác lồi ABCD điểm S không thuộc mặt phẳng  ABCD Có mặt phẳng qua S hai số bốn điểm A, B, C, D? A B C D Câu 11: Cho năm điểm A, B, C, D, E phân biệt điểm nằm mặt phẳng Hỏi có mặt phẳng tạo ba năm điểm cho? A B 10 C 60 D Câu 12: Cho n ( n  3, n  ) đường thẳng phân biệt đồng quy O ba đường thẳng nằm mặt phẳng Có mặt phẳng qua hai số n đường thẳng trên? n! n! n! B A C D n ! n  2! n  2! Câu 13: Cho mặt phẳng   hai đường thẳng a, b cắt nằm  The best or nothing SN  2NB , O giao điểm AC BD Cặp đường thẳng sau cắt nhau: A SO AD B MN SO C MN SC D SA BC Câu 16: Cho bốn điểm A, B, C, D không nằm mặt phẳng Trên AB, AD lấy điểm M N cho MN cắt BD I Điểm I không thuộc mặt phẳng đây: A  ACD B  BCD  C CMN  D  ABD  Câu 17: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm CD, AB Khi BC MN hai đường thẳng: A chéo B có hai điểm chung C song song D cắt Câu 18: Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm cạnh AC, N điểm thuộc cạnh AD cho AN  2ND O điểm thuộc miền tam giác BCD Mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Mặt phẳng OMN  qua giao điểm hai đường thẳng MN CD B Mặt phẳng OMN  chứa đường thẳng AB C Mặt phẳng OMN  qua điểm A D Mặt phẳng OMN  chứa đường thẳng CD Câu 19: Ba điểm phân biệt thuộc hai mặt phẳng phân biệt A Cùng thuộc đường tròn B Cùng thuộc đường thẳng C Cùng thuộc elip D Tạo thành tam giác Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD (AB đáy lớn, CD đáy nhỏ) Khẳng định sau sai: A Hình chóp S.ABCD có bốn mặt bên B Giao tuyến hai mặt phẳng SAB SCD SK K điểm thuộc mặt phẳng  ABCD Gọi A điểm C Giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) thuộc đường thẳng a không thuộc đường SO O giao điểm hai đường thẳng AC BD thẳng b P điểm nằm    Khẳng định sau đúng: A PA b chéo B PA b song song C PA b cắt D PA b trùng Câu 14: Cho tứ diện ABCD, I, J trung điểm AD BC Khẳng định sau đúng: A AJ, BI song song B AJ, BI trùng C AJ, BI cắt D AJ, BI chéo Câu 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD tứ giác (AB không song song với CD) Gọi M trung điểm SD, N điểm nằm cạnh SB cho D Giao tuyến hai mặt phẳng SAD SBC  SI I giao điểm AD BC Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác (AB không song song với CD) Gọi M trung điểm SD, N điểm nằm cạnh SB cho SN  2NB , O giao điểm AC BD Giả sử đường thẳng d giao tuyến SAB SCD Nhận xét sau sai: A d cắt CD B d cắt MN C d cắt AB D d cắt SO Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang ( BC // AD ) Mặt phẳng  P  di động chứa đường LOVEBOOK.VN | 392 Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book Đường thẳng song song với đường thẳng A Lý thuyết Định nghĩa Trong phần vị trí tương đối hai đường thẳng không gian, ta biết hai đường thẳng phân biệt chéo song song cắt Nếu hai đường thẳng phân biệt đồng phẳng không cắt ta nói hai đường thẳng song song song với Định nghĩa: Hai đường thẳng phân biệt a, b không gian gọi song song với nhau, kí hiệu a // b chúng đồng phẳng không cắt Tính chất Định lí 1: Trong không gian, cho đường thẳng d điểm A d Lúc tồn A đường thẳng a qua A song song với đường thẳng d Chú ý: Định lí cho ta thêm cách xác định đường thẳng không gian: đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước không chứa điểm Kết hợp với định lí cho ta cách để xác định giao tuyến hai mặt phẳng a c b Định lí (về giao tuyến ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng a c b Đến ta bổ sung phương pháp tìm giao tuyến hai mặt phẳng: Bước 1: Chỉ hai mặt phẳng    ,  chứa hai đường thẳng song song a b Bước 2: Tìm điểm chung M hai mặt phẳng Bước 3: Khi       Mx // a // b Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với a // c Như vậy, cho hai đường thẳng phân biệt thỏa mãn   a // b b // c Góc hai đường thẳng không gian a) Định nghĩa Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a’, b’ qua điểm song song với a b LOVEBOOK.VN| 403 Chủ đề 7: ĐT MP không gian Quan hệ song song The best or nothing b) Phương pháp tính góc hai đường thẳng không gian Bước 1: Dựng góc - Tìm hình vẽ xem góc hai đường thẳng có sẵn hay không? - Nếu sẵn ta tiến hành: + Chọn điểm O không gian + Qua O dựng đường thẳng a // a , b // b Góc nhọn hay góc vuông tạo a’, b’ góc a b - Lưu ý: + Ta thường lấy điểm O thuộc hai đường thẳng a b + Chọn O cho góc a’, b’ góc tam giác mà độ dài cạnh biết tính dễ dàng Bước 2: Tính góc Dùng hệ thức lượng tam giác: tỉ số lượng giác hay định lí cosin, sin Trường hợp góc hai đường thẳng a, b 900 ta nói a  b B Dạng toán đường thẳng song song với đường thẳng Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song không gian Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng song song không gian ta sử dụng cách sau: Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng, sau áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng tính chất đường trung bình, định lí Thales đảo, tính chất song song hai đường thẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng thứ ba…) Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu: Chứng minh hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba Cách 3: Áp dụng định lí giao tuyến ba mặt phẳng Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trọng tâm tam giác ABC, ABD Đường thẳng IJ song song với đường thẳng: A CM M trung điểm BD B AC C DB D CD Đáp án D Lời giải Cách 1: (Đưa mặt phẳng vận dụng kiến thức hình học phẳng) I  CE Gọi E trung điểm AB Ta có:  nên suy IJ CD đồng phẳng  J  DF EI EJ   Do I, J trọng tâm tam giác ABC ABD nên ta có: EC ED Suy IJ // CD Cách 2: (Sử dụng tính chất bắc cầu) Gọi M, N trung điểm BD BC Suy ra: MN // CD (1) Do I , J trọng tâm tam giác ABC ABD nên ta có: Suy IJ // MN (2) Từ (1) (2) suy IJ // CD Cách 3: (Sử dụng định lí giao tuyến ba mặt phẳng) LOVEBOOK.VN | 404 AI AJ   AN AM Chủ đề 8: Vectơ không gian Quan hệ vuông góc The best or nothing CHỦ ĐỀ 8: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC Vectơ không gian A Lý thuyết Cho vectơ tùy ý a , b , c k , l  Cộng vectơ A Lấy O tùy ý không gian, vẽ OA  a , AB  b OB  a  b B O Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm M, N, K MN  MK  KN Trừ vectơ:   a  b  a  b Quy tắc ba điểm: MN  KN  KM Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AB  AD  AC Quy tắc AB AD hình AA hộp: Cho hình hộp ABCD.A B C D ta có AC Tích vectơ: Tích vectơ a với số thực k vectơ Kí hiệu ka + Cùng hướng với a k  + Ngược hướng với a k  + ka  k a Hệ quả: Nếu I trung điểm A, B, O tùy ý OA  OB  2OI Tích vô hướng hai vectơ   - Định nghĩa: a.b  a b cos a, b B - Hệ quả: a  b  a.b  - a  a.a  a A C - Với điểm A, B, C ta có: AB.AC  AB2  AC  BC 2 - Quy tắc hình chiếu: Cho hai vectơ a b Gọi a hình chiếu vuông góc a đường thẳng chứa vecto b thì: a.b  a.b Định nghĩa Ba vectơ a , b , c gọi đồng phẳng giá chúng song song nằm mặt phẳng Các định lí a) Cho a , b không phương: a , b , c đồng phẳng   m, n  : c  ma  nb (m, n xác định nhất) b) Nếu ba vectơ a , b , c không đồng phẳng vectơ x biểu diễn dạng: x  ma  nb  kc với m, n, k xác định LOVEBOOK.VN | 446 Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book Góc hai đường thẳng Hai đường thẳng vuông góc Định nghĩa - Góc hai đường thẳng cắt a b góc nhỏ bốn a góc mà a b cắt tạo nên - Góc hai đường thẳng cắt a b không gian góc hai đường thẳng a b qua điểm song song b a’ α (hoặc trùng) với a b b’ Chú ý: Góc hai đường thẳng góc nhọn (hoặc vuông) Phương pháp - Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin tỉ số lượng giác - Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: Nếu u v hai vectơ phương (hoặc vectơ pháp tuyến) hai đường thẳng a b góc  hai đường thẳng xác định công thức:   cos   cos u, v  u.v u.v Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.ABCD Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, BC , CD Xác định góc hai đường thẳng MN AP A 45 B 30 C 60 D 90 Đáp án A Lời giải M A B a a Vì ADP vuông D nên: AP  AD2  DP  a     2 N D * Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh a MN // AC nên: ̂ ) Ta tính góc PAC ̂ ̂ ) = (AC,AP (MN,AP C a 5 3a AAP vuông nên ta có: AP  AA  AP  a         A’ D’ B’ P C’ 2 CCP vuông C  nên: CP  CC2  CP  a2  a2 a  Ta có AC đường chéo hình vuông ABCD nên AC  a ̂ Áp dụng định lý cosin cho ACP ta có: CP2  AC2  AP2  AC.AP cos CAP 2 ̂  AC  AP  CP   cos CAP AC.AP ̂  45  90 nên (AC,AP ̂ ) = CAP ̂  45 hay (MN,AP ̂ )  45 Chọn A  cos CAP  * Phương pháp 2: Ta có: MN.AP  MN AP cos MN , AP    cos MN , AP   MN.AP MN AP   (*) Ta có: MN.AP  MB  BN AA  AD  DP   MB.AA  MB.AD  MB.DP  BN.AA  BN.AD  BN.DP LOVEBOOK.VN| 455 Chủ đề 8: Vectơ không gian Quan hệ vuông góc The best or nothing Hai mặt phẳng vuông góc Góc hai mặt phẳng Định nghĩa - Góc hai mặt phẳng      góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng - Nếu hai mặt phẳng song song trùng góc chúng Phương pháp tính góc hai mặt phẳng cắt * Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a , b vuông góc với hai mặt  phẳng   Khi đó, góc hai mặt phẳng    ̂ )=(a,b ̂ ) Tính góc (a,b ̂ ) ((α),(β) * Phương pháp 2: - Xác định giao tuyến c hai mặt phẳng      β - Dựng hai đường thẳng a , b nằm hai mặt phẳng ̂ )=(a,b ̂ ) vuông góc với c qua điểm c Khi ((α),(β) b H         a;       b a α + Hay ta xác định mặt phẳng phụ    vuông góc với giao tuyến c mà c ̂ )=(a,b ̂ )  ((α),(β) * Phương pháp 3: (Trường hợp đặc biệt) Nếu có đoạn thẳng nối hai điểm A, B ( A     , B  ) mà AB    A α β qua A B ta dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến c hai ̂ ) = AHB ̂ mặt phẳng H Khi ((α),(β) H B Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA  SB  SC  SD  a Tính cosin góc hai mp SAB SAD  A B C D 1 Đáp án B S Lời giải  BI  SA Gọi I trung điểm SA Do tam giác SAD SAB nên   DI  SA I a a D A a O C a B  Góc hai mặt phẳng SAB SAD  góc đường thẳng IB ID * Ta tính góc ̂ BID: Áp dụng định lý cosin cho BID ta có: ̂  cos((SAB),(SAD) ) LOVEBOOK.VN | 462 a 3 a 3      a 2 2    IB  ID  BD   cos ̂ BID  IB.ID a a 2    Chủ đề 8: Vectơ không gian Quan hệ vuông góc The best or nothing  AB  SAD  AB  SD S Giả sử SB  SD  SD  SAB (vô lý) H Hay SBD tam giác vuông Câu 75: Đáp án B A A’ O B B’ Do SABC hình chóp nên SO   ABC  K A  SAO vuông O , dựng OH  SA C H I O  B Cách 1: Dựng CK  IC K , d C; IC  CK 1 1     OH OA2 OS2  a 2  a 2          OC.CI Xét ICC ta có: OC.CI  CK.IC   CK  IC a a 3     OH  a a a Câu 78: Đáp án D a Mà OC   OC.tan 60  3a CI  C C’ S a a2 13a2 , IC2  OI  C O2   a2  12 12  d  C ; IC    CK  3a 13 13 A N Cách 2: Dựng OH  IC , ta có: OI  CI 1  2 OH OI OC2 OH.IC  OI.OC Suy OH hay Câu 76: Đáp án C A’ B’ H A D B C Vì CCA vuông C nên ta dựng CH  AC CH khoảng cách từ C đến AC 1 1    2  2 2 CH CA CC 2a a 2a  CH  2a2 a a  CH   3 Câu 77: Đáp án A LOVEBOOK.VN | 508 M C Cách 1: Gọi I hình chiếu A BM H hình chiếu A SI  AH  SI   AH   SBM   AH  d A; SBM   AH  BM   Gọi N trung điểm AB  DN // BM        d D; SBM   d N; SBM   d A; SBM  Mặt khác ta có hình chiếu vuông góc DS lên ̂  30 SAC  SO  DSO C’ D’ K O I B  d C; IC  3d O; IC  3OH Sau dùng công thức D H Đặt DO  x  SO  x (O  AC  BD) Từ SO  AO2  SA2  x  a  BD  a 2  ABCD hình vuông cạnh a a2  SABM  SABCD  2SBCM  2a 1 Mà SABM  AI BM  AI    2 2 AH AI SA a 2a  d D; SBM    AH  3 1 1 Cách 2:     2  2 2 AH AB AS AK a 4a 4a 2a a  AH   d D; SBM   AH  3 Câu 79: Đáp án C     Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book S B’ C’ O’ A’ D A D’ S C B M H C K B Trong mặt phẳng  ABC  dựng HK  BC K  BC  SKH  ̂  30 , BC  AB2  AC  4a Từ giả thiết ta có SHK ̂ Ta có: sin ABC a AC HK  HK    BC HB 2 ̂ a Trong SHK ta có: SH  HK.tan SKH Do M trung điểm cạnh BC nên MH // AC      MH // SAC   d M; SAC   d H; SAC  Trong mặt phẳng SAB kẻ DH  SA D ta có: AC  SAB  AC  DH  DH  SAC   1 a    HD  2 DH HA HS  O A   D   AB  AD Theo giả thiết   BAD cạnh a  BAD  60  OA  OB OO   ABCD  Tứ diện OSAB a a ; OA  ; OS  a 2 1    2 OA OB OS2 vuông O có OB     d O; SAB a 3       a 2      d O;  SAB    4 19  2 2  2 a 3a a a 3a a 19 Câu 82: Đáp án C  Vậy d M ; SAC   d H ; SAC   HD  B a A D Câu 80: Đáp án A C B C A B1 H A1 H F E K K C1 C’ B’ Gọi K trung điểm C F A’ Theo giả thiết mặt phẳng  ABC tạo với  ABC Do A1 B1C1 nên A1 F  B1C1  EK  B1C1 EK // A1 F  A1 F //  DEK    ̂  60 góc 60 nên AKA' Dựng FH  DK  d  DE; A1 F   d A1 F;  DKE  FH a a Ta có: AK  AC   AA  AK.tan 60  2 d B;  ABC   d A;  ABC  (vì FH   DKE )     Dựng AH  AK  AH   ABC    d A;  ABC  AH   a  d BC ;  ABC   Câu 81: Đáp án B Tính AH  Trong tam giác vuông DFK ta có: 1 1 1 16 17    2  2  2 2 FH FD FK a a a a a 4    FH  a 17 LOVEBOOK.VN| 509 Tra cứu thuật ngữ The best or nothing TRA CỨU THUẬT NGỮ A Ảnh điểm Ảnh hình 372, 375 333 B Biến cố Biến cố độc lập Biến cố đối Biến cố giao Biến cố xung khắc Biểu thức tọa độ 142, 143 143 143 143 150 330 C Các tính chất thừa nhận 384 Cấp số cộng 159, 179 Cấp số nhân 159, 191 Chỉnh hợp 107, 108 Công bội 191 Công sai 179 Công thức nhị thức Newton 124 D Đạo hàm hàm số điểm 297 Định lý ba đường vuông góc 504 Đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo 475 Đường hình sin 18, 19, 45 Đường tiệm cận 20, 21 Đường thẳng song song với mặt phẳng 417 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 458 G Gia tốc tức thời 306 Giả thiết quy nạp 159 Giao hai biến cố 143 Giao tuyến hai mặt phẳng 385, 387 Giới hạn 204 Giới hạn vô cực 205, 206, 209, 210, 215, 216 Giới hạn vô cực hàm số điểm 231 Giới hạn hàm số điểm 231 Giới hạn bên phải 231 Giới hạn bên trái 231 Giới hạn bên 231 Góc đường thẳng mặt phẳng 467 Góc hai mặt phẳng 462 Góc quay 351 H Dạng vô định 233, 240, 252, 254 Dãy số 159, 166 Dãy số bị chặn 167 Dãy số bị chặn 167 Dãy số bị chặn 167 Dãy số có giới hạn hữu hạn 204 Dãy số có giới hạn 204 Dãy số có giới hạn  205 Dãy số có giới hạn  205 Dãy số có giới hạn vô cực 205 Dãy số giảm 166 Dãy số hữu hạn 179, 191 Dãy số 166 Dãy số tăng 166 Dãy số vô hạn 166 Hàm số hợp 289 Hàm số liên tục 269 Hàm số liên tục điểm 269 Hàm số liên tục khoảng 269 Hàm số lượng giác 15, 17 Hàm số tuần hoàn 17 Hai đường thẳng chéo 417 Hai đường thẳng song song 403 Hai đường thẳng vuông góc 323, 495 Hai mặt phẳng song song 475 Hai mặt phẳng vuông góc 462 Hai mặt phẳng cắt 462 Hệ thức truy hồi 166 Hoán vị 107 Đ K Đạo hàm 280 Đạo hàm cấp cao 306 Đạo hàm cấp hai 306 Đạo hàm cấp n 306 Đạo hàm hàm số hợp Kết thuận lợi 142, 143 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 475 Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng LOVEBOOK.VN | 510 289 474, 475 474 Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng 474 Không gian mẫu 142 Quy tắc nhân 107 Quy tắc nhân xác suất M S Mặt phẳng 384 143 Số hạng tổng quát dãy số P T Phép biến hình 329 Phép chiếu song song 433 Phép chiếu vuông góc 363 Phép dời hình 363 Phép đối xứng tâm 343, 365 Phép đối xứng trục 343 Phép đồng dạng 378 Phép quay 351 Phép thử ngẫu nhiên 142 Phép tịnh tiến 329 Phép vị tự 369 Phương pháp quy nạp toán học 159, 160 Phương trình bậc sin x; cos x Tam giác Pascal 124 Tâm đối xứng 18, 344 Tâm quay 351 Tâm vị tự 369 Tâm vị tự hai đường tròn Tâm vị tự 370 Tâm vị tự 370 Thiết diện 387 Tiếp điểm 321 Tiếp tuyến 321 Tổ hợp 107 Phương trình lượng giác 70, 94 Phương trình tiếp tuyến 321 Q Quy tắc ba điểm 446 Quy tắc cộng 107 Quy tắc cộng xác suất 143 Quy tắc đếm 107 Quy tắc hình bình hành Quy tắc hình hộp 446 71 166, 168 370 V Vectơ tịnh tiến 329 Vectơ không gian Vi phân 306 Vận tốc tức thời 306 446 X 446 Xác suất Xác suất biến cố 142 142 LOVEBOOK.VN| 511 GIA ĐÌNH LOVEBOOK  Cuối cùng, toàn thể anh chị em ĐẠI GIA ĐÌNH LOVEBOOK muốn gửi riêng tới em học sinh: Nhất định em làm Đừng nản chí em nhé! ... Mệnh đề dãy số đúng? Câu 12: Trong dãy số dãy số dãy số tăng? A u11  210 .11! B u11  210 .11! C u11  210 .111 0 D u11  210 .111 0 Câu 5: Cho dãy số u  n A Dãy  an  , với an   1 xác định... hợp A công việc gồm n công đoạn Công đoạn 1: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất: n cách Công đoạn 2: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai:  n  1 cách LOVEBOOK.VN| 107 Công Phá Toán – Lớp 11. .. LOVEBOOK.VN | 124 Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book B Các dạng toán sử dụng công thức tổ hợp nhị thức Newton Dạng Xác định điều kiện số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước Phương pháp chung: -