BÀI TẬP LỚN Môn: Tin học ứng dụng Đề tài: SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA MÔ PHỎNG BÀI TOÁN HIỆU ỨNG XUYÊN NGẦM Giảng viên: TS Nguyễn Chính Cương ThS Nguyễn Trọng Dũng Nhóm : Lê Thành Đạt Bùi Thị Thu Hiền Nguyễn Thị Nhung Lớp: CLC K62 Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết MỤC LỤC Phần 1: Lí chọn đề tài Phần 2: Cơ sở lí thuyết I II Khối sóng Gaussian Phương pháp sai phân hữu hạn áp dụng Phần 3: Mô toán hiệu ứng xuyên ngầm I II III Code mô toán hiệu ứng xuyên ngầm Kết Kết luận Phần 4: Tài liệu tham khảo Phần Lí chọn đề tài Trong năm gần đây, khoa học – kĨ thuật phát triển nhanh chóng, đặc biệt lĩnh vực truyền thông tin học ứng dụng Những thiết bị nghe nhìn, thiết bị kĩ thuật số, máy tính… trở thành phương tiện phổ biến xã hội, máy tính Có thể nói máy tính phương tiện thiết yếu tất người Ngoài việc giúp người học tính toán, giải phương trình cách nhanh chóng, máy tính giúp mô vấn đề, tượng… Trong trình học tập giảng đường đại học, môn học quen thuộc cơ, nhiệt, điện, quang với tượng quen thuộc dễ tưởng tượng, tiếp xúc với với môn học lượng tử với nhiều công thức phức tạp, toán lượng tử như: chuyển động electrong, lan truyền sóng hố thế… chưa biết đến Các tượng học lượng tử đơn trình bày công thức, thiếu ví dụ thực tế sống gây khó khăn cho sinh viên Vì vậy, thực mong muốn có video thực tế, hình ảnh mô toán Công việc mô toán thực sinh viên với công cụ máy tính Hiện có nhiều phần mềm hỗ trợ tính toán với nhiều tính ứng dụng khác như: Mapple, Matlab, Mathematica… Mathematica phần mềm có khả ứng dụng lớn Việc mô toán lượng tử máy tính giúp sinh viên có nhìn trực quan tượng lượng tử Từ đó, giúp hiểu sâu sắc thêm nội dung kiến thức, phát triển tư sáng tạo Vì lí trên, định nghiên cứu đề tài “Sử dụng phần mềm Mathematica Mô Bài toán Hiệu ứng xuyên ngầm” Đề tài trình bày mô tránh khỏi việc điểm hạn chế, mong người đọc cho ý kiến đóng góp Xin chân thành cảm ơn! Phần 2: Cơ sở lí thuyết I KHỐI SÓNG GAUSSIAN Để đơn giản xét lan truyền sóng theo chiều Hàm sóng chiều có dạng: Ψ(x, t)= φ(x) f(t) Tiến triển theo thời gian hàm sóng tuân theo phương trình Schrodinger: Xét hố có chiều cao V(x,t) ta có Khi ta có biểu thức Thay vào phương trình Schrodinger ta được: Chia vế cho ta có Mà vế trái hàm t vế phải hàm x, Khi ta hệ phương trình sau: Giải (1) ta hàm riêng   Ta có biểu thức tổng hàm sóng là: Từ ta có phương trình tổng quát: Tương tự ta có:  với lượng riêng Mặt khác Tức lượng riêng đại lượng bảo toàn theo thời gian Hàm sóng tiến triển theo thời gian Tại t=0 ta có: Với t>0: Trong Xét k= k0 đỉnh bền vững , khai triển hàm Taylor ta có giá trị xấp xỉ sau: Với ta thu được: Ta viết lại biểu thức sau: Đặt , ta viết lại biểu thức Với ý: Từ ta thu biểu thức cuối : II Phương pháp sai phân hữu hạn Xấp xỉ đạo hàm hàm sai phân hữu hạn sau: Ta biết đạo hàm hàm xác định giới hạn cảu thương số sai phân: Để giải phương trình vi phân, thay đạo hàm xấp xỉ thương số sai phân Nếu hàm vi phân nhiều lần, sử dụng khai triển Taylor để xác định xấp xỉ sai phân Ví dụ: Viết lại phương trình (2) ta được: Khi lấy giới hạn ta thu xấp xỉ sau: Chúng ta giữ lại phần thương số sai phân độ lớn khoảng bậc , kí hiêu phương trình (3) sai số xấp xỉ Chú ý rằng, sai só phụ thuộc vào độ rộng Cụ thể hơn, hàm Từ đó, nói sai số nếu: Chú ý thương số sai phân phương trình (3) cách để xấp xỉ Thật vậy, xét khai triển : Từ phương trình (4) (2), trừ vế với vế ta được: Với ý phần sai số phương trình bậc , kí hiệu , sai số tiến nhanh tới Để thu xấp xỉ từ phương trình (2) phương trình (4) ta thu được: Do tính đối xứng xấp xỉ (5) (6) nên chúng gọi xấp xỉ sai phân tâm Xấp xỉ sai phân (3) gọi xấp xỉ sai phân tiến Giải phương trình truyền nhiệt việc sử dụng sai phân hữu hạn Ban đầu ta xem xét điều kiện biên ban đầu phương trình truyền nhiệt Ý tưởng thay đạo hàm phương trình truyền nhiệt thương số sai phân Chúng ta xem xét mối liên hệ với khoảng cách lân cận khoảng thời gian Sử dụng xấp xỉ thương số sai phân phần ta thu xấp xỉ sai phân thành phần đây: • Sai phân tiến theo thời gian: Viết lại phương trình ta được: • Sai phân tâm theo không gian: Biến đổi phương trình ta được: Thay (2) (3) vào (1a) ta đươc: Viết lại : Chúng ta chia nhỏ đoạn [0,1] thành N +1 điểm sau thành M + điểm sau xấp xỉ sau : Được thực hiên bảng tính [0,T] Thực đạo hàm điều kiện biên : Đoạn [0,T] chia Tại điểm không thời gian trên, có Giả sử điều kiện biên (1b) chuyển thành : Xét xấp xỉ sai phân tâm đến , nơi mà Sắp xếp lại ta : Tại quan sát thấy đưa thêm vào có giá trị giống với từ cột nằm đoạn [0,1] từ ta thu phương trình : chép sang cột Chú ý điều kiện biên thực theo đường khác mà không cần đến việc đưa thêm cột bổ sung việc loại bỏ Nếu phương trình cuối thực không cần cho thêm thực phương trình sai phân cho (**) điều kiện biên đạo hàm xác định 3 Sử dụng phương pháp Sai phân hữu hạn để giải phương trình Schrodiger phụ thuộc thời gian với hàng rào khác không Trong phần trình bày cách giải phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian khối sóng Gaussian phương pháp sai phân hữu hạn Khối sóng Gaussian chiều định xứ đoạn [0 , x max], khoảng thời gian [0,t] Sự lan truyền sóng theo thời gian nghiệm phương trình Schrodinger: Với ý , ta viết lại phương trình Schrodinger sau: Ta sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn sau: Chia đoạn [0 , xmax] thành N điểm , chia đoạn [0, t] thành M điểm Ta áp dụng phương pháp sai phân Crank – Nichelson cho phương trình (1) sau: Đặt: Và kí hiệu Áp dụng sai phân tiến cho Áp dụng sai phân lùi cho c, tương ứng ta có ta được: ta được: Do đó: Với ý áp dụng sai phân tâm cho ta có biểu thức sau: Do đó, phương trình (1) viết lại dạng tính số sau: Ta viết lại phương trình dạng sau: Ta chuyển phương trình phương trình ma trận sau: Giải phương trình ma trận với bước nhảy thời gian M cho trước, ta thu tiến triển theo thời gian khối sóng Gaussian chuyển động qua hàng rào Phần 3: Mô toán hiệu ứng xuyên ngầm I Code Bước 1: Chia điểm gián đoạn TimeSteps = 150; (bước nhảy thời gian) n = 1000; (số điểm gián đoạn) xmax = 1.5; (bề rộng hộp :0