1 MỞ ĐẦU 1.1.Lý chọn đề tài Bài toán dựng thiết diện môn hình học không gian toán khó học sinh THPT môn học có phần trừu tượng Dạng toán liên quan đến thiết diện đa dạng thường xuyên có mặt đề thi đại học, cao đẳng hàng năm Việc giải toán dựng thiết diện không đơn giản, yêu cầu người giải không nắm vững kiến thức mà phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo phải cần thực hành nhiều Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” nhắc đến hình học không gian, cho khó thực được, chứng em thi đại học, cao đẳng em nói toán hình không gian thường để cuối có thời gian làm không thời gian Nguyên nhân em khó liên hệ hình thật hình biểu diễn, liên hệ logic yếu tố không gian yếu nên nhiều toán dễ thành khó em Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề hình học không gian, đem lại cho học sinh cách nhìn thấu đáo toán thiết diện, giúp em định hướng đường hướng giải cho dạng tập này, viết thành chuyên đề riêng dạng toán dựng thiết diện 1.2.Mục đích nghiên cứu Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh lớp 11, 12 học sinh ôn thi đại học, học sinh ôn thi học sinh giỏi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các toán dựng thiết diện mặt phẳng hình chóp, hình lăng trụ Các toán tính toán liên quan đến thiết diện 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lí luận Phương pháp điều tra lí luận thực tiễn Phương pháp thực nghiệm sư phạm Phương pháp thống kê 2.NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận: Để giải toán dựng thiết diện yêu cầu học sinh phải nắm kiền thức cần thiết sau đây: Khái niệm thiết diện (mặt cắt): Cho hình T mặt phẳng (P) Phần mặt phẳng (P) nằm T giới hạn giao tuyến sinh (P) cắt số mặt T gọi thiết diện (mặt cắt) [1] Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng có song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng ấy.[1] Hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng có song song với đường thẳng đó.[1] Các cách xác định mặt phẳng: + Biết ba điểm không thẳng hàng + Hai đường thẳng cắt + Một điểm nằm đường thẳng + Hai đường thẳng song song.[2] Một số lưu ý: - Giả thiết mặt phẳng cắt (P), hình đa diện T - Dựng thiết diện toán dựng hình cần nêu phần dựng phần biện luận có - Đỉnh thiết diện giao mặt phẳng (P) cạnh hình T nên việc dựng thiết diện thực chất tìm giao điểm (P) cạnh T - Mặt phẳng (P) không cắt hết mặt T - Các phương pháp dựng thiết diện đưa tùy thuộc dạng giả thiết đầu 2.2 Thực trạng vấn đề Khảo sát thực tế trước thực đề tài: Cho học sinh lớp 11 (48 em) làm tập sau: Cho hình chóp S.ABC , đáy tam giác ABC Qua AB dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Xác định thiết diện hình chóp cát mặt phẳng (P) Kết sau: + 27,08% (13/48) học sinh kẻ đồng thời AH ⊥ SC, BK ⊥ SC kết luận nào, có em kết luận thiết diện tứ giác AHKB + 33,33% (16/48) học sinh kẻ AH ⊥ SC (hoặc BH ⊥ SC) khẳng định tam giác AHB thiết diện cần dựng mà không lí luận (không biết lí giải sao) + 18,75 % (9/48) học sinh kẻ BH ⊥ SC sau chứng minh ∆CHB = ∆CHA (cgc) suy AH ⊥ SC thiết diện tam giác AHB + 20,84 % (10/48) học sinh biết gọi M trung điểm AB chứng minh AB ⊥ (SMC) sau dựng MH ⊥ SC thiết diện tam giác AHB Nguyên nhân: Ít em học sinh nghĩ đến việc gọi M trung điểm AB để tạo mặt phẳng phụ chứng minh AB ⊥ SC từ kẻ MH ⊥ SC suy thiết diện vấn đề thiết diện không cung cấp kiến thức cách để học sinh có định hướng phát vấn đề (sách giáo khoa phần lí thuyết đề cập vấn đề này) 2.3 Các giải pháp giải vấn đề Từ thực trạng nghiên cứu để phân loại thành dạng toán dựng thiết diện, dạng có phương pháp giải cụ thể để em dễ tiếp thu hơn, từ em vận dụng linh hoạt vào việc giải dạng tập Một số dạng toán phương pháp dựng thiết diện I Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đường thẳng cắt một điểm nằm một đường thẳng… Phương pháp giải Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến (P) với mặt T (thường gọi giao tuyến gốc) Trên mặt phẳng T ta tìm thêm giao điểm giao tuyến gốc cạnh T nhằm tạo thêm số điểm chung Lặp lại trình với mặt khác T tìm thiết diện Ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang (AB // CD, AB > CD) Gọi I, J trung điểm SB, SC Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AIJ).[3] Giải: Ta có mặt phẳng cắt qua ba điểm không thẳng hàng A, I, J Có giao tuyến gốc AI, IJ Kéo dài AD cắt BC K, kéo dài IJ cắt SK E ta có E điểm chung (AIJ) (SAD) Nối AE cắt SD F ta có AF, FJ đoạn giao tuyến Thiết diện tứ giác AIJF Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ điểm M, N nằm đoạn thẳng AD, AB Dựng thiết diện hình hộp mặt phẳng (MNC’) Giải: Ta có MN đoạn giao tuyến gốc Ta tìm thêm giao điểm MN cạnh hình bình hành ABCD Kéo dài MN cắt CB CD E, F ta có thêm giao điểm Nối C’E cắt BB’ I, nối C’F cắt DD’ J Ta thiết diện ngũ giác MNIC’J Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay, để dựng thường phải giải toán phụ: Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P điểm nằm tam giác DAB, DBC, ABC Dựng thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (MNP).[4] Giải: Chưa có giao tuyến gốc mặt phẳng cắt tứ diện Mặt phẳng(MNP) có điểm chung P với mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm chung ta tìm giao điểm O MN với (ABC) Kéo dài DM cắt AB M1, kéo dài DN cắt BC N1 mặt phẳng (DM1N1) chứa MN cắt (ABC) theo giao tuyến M1N1 nên O giao điểm MN M1N1 ⇒ OP giao tuyến gốc Nối OP cắt AB BC E, F Tùy theo vị trí OP tam giác ABC ta có thiết diện tứ giác EFIK (hình a) tam giác EFI (hình b) Khi MN // M1N1 giao tuyến gốc đường thẳng qua P song song với M1N1 Hình a Hình b Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Đường thẳng d nằm mặt phẳng (ABCD) cho d song song với BD, M trung điểm cạnh SA Hãy xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (M, d) trường hợp: a Đường thẳng d không cắt cạnh đáy ABCD b Đường thẳng d qua điểm C.[3] Giải: a) d giao tuyến gốc ta tìm thêm giao điểm d với cạnh tứ giác ABCD Gọi H, E, F giao điểm AB AC, AD với d Xét (M, d) (SAB) có M, H chung nối MH cắt SB N ta có đoạn giao tuyến MN Tương tự nối ME cắt SC P, nối MF cắt SD Q Thiết diện tứ giác MNPQ b) Tương tự phần a lúc E ≡ C thiết diện tứ giác MNCQ Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác lồi Gọi M, N trọng tâm tam giác SAB SAD; E trung điểm CB Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNE) [3] Giải: Gọi I trung điểm SA Ta có M thuộc BI, N thuộc DI Từ IM IN = = ⇒ MN / / BD IB ID Xét mặt phẳng (MNE) mặt phẳng (ABCD) có E chung MN // BD nên (MNE) cắt (ABCD) theo giao tuyến EF // BD (F ∈ CD) Ta có EF giao tuyến gốc Gọi G giao điểm EF AD ta có G điểm chung (MNE) (SAD) Nối GN cắt SD, SA P, Q, nối QM cắt SB K, nối KE, PF Ta có thiết diện ngũ giác EFPQK Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng tính chất: Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng II Mặt phẳng (P) cho tính chất song song Mặt phẳng (P) qua d song song với đường thẳng d, chéo với đường thẳng l a Phương pháp Trên (P) có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’ cắt d d’ // l Cách dựng: Ta chọn mặt phẳng (Q) chứa d cho giao điểm A d (Q) dựng Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A d’ // d (P) xác định hai đường thẳng cắt d d’ b Ví dụ Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình bình hành, H điểm thuộc cạnh SC Dựng thiết diện hình chóp mặt phẳng (P) chứa AH song song với BD [4] Giải: Chọn mp (SBD) chứa BD Gọi O giao điểm AC BD Đường thẳng AH cắt mặt (SBD) I giao điểm AH SO Trong mp (SBD) kẻ qua I đường thẳng song song với BD, gọi M, N giao điểm đường thẳng SB SD Mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa AH MN Thiết diện tứ giác AMHN Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm AB N điểm thuộc cạnh CD không trùng với C D Mặt phẳng (P) chứa MN song song với BC a Hãy xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (P) b Xác định vị trí N CD cho thiết diện hình bình hành Giải: a Chọn mặt phẳng (ABC) ⊃ BC ta có M giao điểm MN (ABC) Qua M kẻ ME // BC (E thuộc AC) (P) xác định MN, ME (P) (BCD) có N chung chứa hai đường thẳng song song nên (P) ∩ (BCD) theo giao tuyến NF // BC (F ∈ BD), nối MF, EN Thiết diện tứ giác MENF b Theo cách dựng thiết diện phần a) thiết diện hình thang MENF (ME // NF) ta có ME = BC nên để MENF hình bình hành NF = BC hay N trung điểm CD Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD, G trọng tâm tứ diện, E điểm thuộc cạnh BC Hãy dựng thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (P) qua EG song song với AD Giải: H.1 H.2 Gọi I, J trung điểm BC, AD G trung điểm IJ Ta có mặt phẳng (IAD) chứa G AD // (P) ⇒ (IAD) cắt (P) theo giao tuyến qua G song song với AD cắt AI, ID M N Nối EM cắt AC F, nối EN cắt CD K E trùng với I thiết diện không tồn E không trùng với I thiết diện tam giác EFK Tuỳ theo E thuộc IB hay I thuộc IC ta có cách vẽ theo H.1 H.2 Mặt phẳng (P) qua một điểm M song song với hai đường thẳng chéo d l a Phương pháp Ta xét mặt phẳng (M, d) (M, l) mặt phẳng chứa đường thẳng qua M song song với d l Mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa hai đường thẳng vừa dựng b Ví dụ Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình bình hành, M trọng tâm tam giác SBD Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) qua M song song với SB AC [4] Giải: Gọi O giao điểm AC BD Ta có trọng tâm M thuộc SO Mặt phẳng (M,SB) (SBD) mp kẻ qua M đường thẳng song song với SB cắt SD, DB N, K Mặt phẳng (M, AC) mặt phẳng (SAC) nên qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA SC P, I (P) chứa NK, PI Xét mp (P) mp (ABCD) có điểm K chung (P) // AC nên (P) cắt đáy (ABCD) theo giao tuyến qua K song song với AC cắt AB BC E, F Ngũ giác EFINP thiết diện cần dựng Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M điểm thuộc AD Dựng thiết diện hình hộp cắt (P) qua M song song với BD AC’ [2] Giải: Nhận xét: Mặt phẳng (M, BD) (ABCD) mặt phẳng (M, AC’) khó xác định Vậy ta cần mặt phẳng (M, BD) (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến qua M song song với BD cắt AB CB CD N, F, E (P) mặt phẳng qua E, F song song với AC’ (trở thành toán 1) EF cắt AC I nên (P) ∩ (ACC’A’) theo giao tuyến qua I song song với AC’ cắt CC’ J Nối JE cắt DD’ G, JF cắt BB’ H Thiết diện ngũ giác MNHJG Chú ý: Nếu mặt phẳng (M, l) khó xác định ta cần xét mặt phẳng (M, d) (gọi mặt phẳng (P) Trong mặt phẳng (P) dựng d’ qua M song song với l (P) mặt phẳng chứa d’ song song với l Ví dụ 11: Cho lăng trụ OAB.O’A’B’ Gọi M, E, F trung điểm OA OB OE, H điểm thuộc AA’ cho AH = HA’ Dựng thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (P) trường hợp: a Qua F song song với B’E A’O b Qua M song song với A’E OH Giải: a Ta có mặt phẳng (OBB’O’) mặt phẳng qua F song song B’E, mặt phẳng qua F song song với A’O khó xác định Trong mp (OBB’O’) qua F kẻ đường thẳng song song với B’E cắt O’B’ K (P) mặt phẳng chứa FK song song A’O Kéo dài FK cắt OO’ I, ta OO ' = 2OI = A ' J nên A ' JIO hình bình hành Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua I đường thẳng d song song OA’ d cắt OA AA’ M, J trung điểm OA AA ' Mặt phẳng (P) cắt (OAB) theo giao tuyến FM nên cắt (O’A’B’) theo giao tuyến KQ // FN (Q thuộc B’A’) Thiết diện ngũ giác FKQJM (H1) H1 H2 b Mặt phẳng qua M song song với OH mp (OAA’O’) mặt phẳng qua M song song với A’E khó xác định Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua M đường thẳng song song với OH cắt AA’ L (P) mặt phẳng chứa ML song song với A’E Trong mặt phẳng (A’AE) kẻ LT // A’E (T thuộc AE) Khi T điểm chung (P) (OAB) Nối MT cắt AB G Thiết diện tam giác MLG (H2) Mặt phẳng (P) qua điểm M song song với mặt phẳng (Q) a Phương pháp Dựa vào tính chất: Nếu mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song phải cắt mặt phẳng lại giao tuyến chúng song song Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) a Khi (P) ∩ (R) = a’,a’ // a a’ qua M Ta tìm thêm giao điểm a’ với cạnh đa giác (R) Tiếp tục trình với giao điểm dựng thiết diện b Ví dụ Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang (AB // CD) Điểm M thuộc cạnh BC không trùng với B C Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (SAB) Thiết diện hình gì? [3] Giải: Ta có (ABCD) chứa M, (ABCD) ∩ (SAB) = AB nên (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến MN // AB (N∈AD) Mặt phẳng (SAD) chứa N, (SAD) ∩ (SAB) = SA nên (P) cắt (SAD) theo giao tuyến NE // SA (E∈SD) Mặt phẳng (SCB) chứa M (SCB) ∩ (SAB) = SB Nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến MF // SB (F ∈SC) Nối EF, ta thiết diện tứ giác MNEF Ta có (P) (SCD) có MN // CD (CD // AB) mà (P) ∩ (SCD) = EF Suy EF // MN Thiết diện MNEF hình thang III Mặt phẳng (P) cho yếu tố vuông góc Mặt phẳng (P) qua một điểm M vuông góc với một đường thẳng d a Phương pháp Tìm hai đường thẳng a a’ vuông góc với d (P) mặt phẳng qua M song song với a a’ (Dựa vào tính chất: Nếu (P) đường thẳng a vuông góc với đường thẳng d a // (P) a ⊂ (P)) b Ví dụ Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, M trọng tâm tam giác BCD Dựng thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (P) qua M vuông góc với AB [4] 10 Giải: Gọi I trung điểm AB ta có SI ⊥ AB (do tam giác SAB đều), BC ⊥ AB suy (P) qua M song song với BC, SI Xét mặt phẳng (P) mặt phẳng (ABCD) có M chung song song với BC nên ( P ) ∩ ( ABCD ) = EF với EF qua M song song với BC cắt AB CD E, F Tương tự (SAB) kẻ qua E đường thẳng song song với SI cắt SB H, (SBC) kẻ đường thẳng qua H song song với BC cắt SC G Thiết diện tứ giác EFGH Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông SA vuông góc với đáy Dựng thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC [4] Giải: Kẻ AH ⊥ SC ta có AH ⊂ (P) Ta có: BD ⊥ AC , BD ⊥ SA nên BD ⊥ SC Vậy (P) chứa AH song song BD Gọi O giao điểm AC BD, E giao điểm SO AH Xét mặt phẳng (P) (SBC) có E chung, (P) // BD nên qua E kẻ đường thẳng song song với BD cắt SD, SB M, N Ta thiết diện tứ giác AMHN Ví dụ 15: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy tam giác vuông, CA = CB = a AA’ = a , M trung điểm CA Dựng thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua M vuông góc với A’B [4] 11 Giải: Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân C nên AB = a Tứ giác ABB’A’ hình vuông ⇒AB’ ⊥ A’B Gọi H trung điểm AB ⇒ CH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ (ABB’A’) ⇒ CH ⊥ A’B Vậy (P) qua M song song với CH, AB’ Xét mặt phẳng (P) (ABC) có M chung, (P) // CH nên mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với CH cắt AB N ( P ) ∩ ( ABC ) = MN Tương tự mặt phẳng (ABB’A’) kẻ qua N đường thẳng song song với AB’ cắt BB’ P Kéo dài MN cắt BC E, nối EP cắt CC’ Q, nối MQ thiết diện tứ giác MNPQ Mặt phẳng (P) qua một đường thẳng d vuông góc với một đường thẳng l a Phương pháp Dựng mặt phẳng phụ (Q) chứa l vuông góc với d điểm M Trong (Q) dựng qua M đường thẳng vuông góc với l H mặt phẳng (P) mặt phẳng (H, d) b Ví dụ Ví dụ 16: Cho hình chóp S.ABC đỉnh S chiều cao h, đáy tam giác cạnh a Qua AB dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện theo a h [5] Giải: Gọi O trọng tâm tam giác ABC ta có SO ⊥ ( ABC ) SO ⊥ AB , gọi M trung điểm AB tam giác ABC nên CM ⊥ AB AB ⊥ ( SMC ) Trong mp(SMC) kẻ MH ⊥ SC ta có mặt phẳng (AHB) ⊥ SC Thiết diện tam giác AHB Ta có : S∆AHB = MH AB Theo giả thiết AB = a ta có MC = OC = a , a , SO = h, SC = SO + OC = h + a2 12 a 3ah = Ta có: MH.SC = SO.MC ⇒ MH = a 2 3h + a h2 + 3a h S∆AHB = MH AB = 3h + a Nhận xét: Mặt phẳng (Q) lý thuyết mặt phẳng (SMC) Mặt phẳng (P) qua đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Q) cho (d xiên góc với (Q)) a Phương pháp Tìm đường thẳng a vuông góc (Q) (P) qua d song song với a (Sử dụng tính chất: mặt phẳng (P) đường thẳng d vuông góc với (Q) (Q) // d (Q) ⊃ d) b Ví dụ Ví dụ 17: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên Gọi M, N trung điểm AB AC Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) chứa MN vuông góc với mặt phẳng (SBC) [4] h Giải: Gọi I trung điểm BC, H trung điểm SI Do hình chóp nên BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ AH Mặt khác: AI = AB = = SA nên tam giác SAI cân ta có AH ⊥ SI AH ⊥ (SBC) nên (P) // AH (P) qua MN song song AH Cách dựng: Gọi E giao điểm MN AI Trong mặt phẳng (SAI) kẻ qua E đường thẳng song song với AH cắt SI F, F điểm chung (P) (SBC) Xét mặt phẳng (P) (SBC) có F chung MN // BC nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến qua F song song với BC cắt SB SC Q, P Thiết diện tứ giác MNPQ Ví dụ 18: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy tam giác vuông, CA = CB = a AA’ = a , M, N, I, K trung điểm CA CC’, AB BB’ Dựng thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (P) qua MN vuông góc với mặt phẳng (IKC) [4] Giải: 13 Ta tìm đường thẳng vuông góc (IKC) Theo giả thiết: CI ⊥ AB ⇒ CI ⊥ ( ABB ' A ') ⇒ CI ⊥ A ' B  CI ⊥ AA ' Lại có: AA’ = AB = a nên ABB’A’ hình vuông nên A ' B ⊥ AB ', IK / / AB ' ⇒ A ' B ⊥ IK suy A’B ⊥ (IKC) Vậy (P) chứa MN song song với A’B Cách dựng: Kéo dài MN cắt AA’ G, xét mặt phẳng (P) (ABB’A’) có G chung, (P) // A’B nên kẻ qua G đường thẳng song song với A’B cắt BB’ H, nối NH cắt CB E, nối ME ta có thiết diện tam giác MNE Ví dụ 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc với đáy Gọi F trung điểm SA M điểm AD (P) mặt phẳng chứa FM vuông góc với mặt phẳng (SAD) Dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) [4] Giải: Từ giả thiết, hai mặt phẳng (SAB), (SAD) vuông góc với đáy nên SA ⊥ (ABCD) Ta có:  AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ ( SAD )  AB ⊥ SA  Vậy (P) mặt phẳng qua MF song song với AB Cách dựng: Xét (P) (ABCD) có M chung, (P) // AB nên kẻ qua M đường thẳng song song với AB cắt BC N (P) ∩ (ABCD) = MN Tương tự mặt phẳng (SAB) kẻ qua F đường thẳng song song với AB cắt SB E Nối EN thiết diện tứ giác MNEF Nhận xét: Qua số phương pháp giải ví dụ minh hoạ học sinh nắm cách dựng thiết diện Tuy nhiên đề dựng thành thạo học sinh cần phải thực hành nhiều 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau tổ chức dạy cho học sinh theo chuyên đề trên, cho em học sinh lớp 11A làm kiểm tra Đề : Cho tứ diện ABCD , M điểm cạnh AB, N P nằm tam giác BCD tam giác ACD Xác định thiết diện cắt tứ diện mặt phẳng MNP 14 Hướng dẫn giải: Hình a Hình b Kẻ DN, DP cắt BC AC K, H Xét trường hợp: Trường hợp 1: Trong (DKH), NP cắt KH E thiết diện tứ giác MJIL hình a Trường hợp 2: Trong (DKH), NP song song với KH thiết diện tứ giác MJIL hình b MJ song song với KH (Một số trường hợp vẽ hình hình khác cách dựng trên) Ý tưởng đưa đề bài: Trong học sinh gặp phải số khó khăn: - Không làm - Vẽ hình không xác - Làm không xét hết trường hợp Kết thực tế: Đa phần học sinh học xong phân tích làm tập Cụ thể sau : Tổng số 48 học sinh - Điểm 5: học sinh - Điểm từ đến : 10 học sinh - Điểm từ 6,5 đến 7,5 : 13 học sinh - Điểm từ đến 10 : 25 học sinh Dựa em nhận thấy: Khả học tập phân môn hình học em tốt Đa phần em hiểu bài, nắm bắt phương pháp thể kỹ làm tương đối tốt.Và điều quan trọng thấy em tỏ tự tin với môn hình học không gian, có số em tỏ thực yêu thích môn học 15 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm nêu số phương pháp dựng thiết diện Qua phân tích, phương pháp ví dụ học sinh phần nắm cách dựng thiết diện dạng toán liên quan tới thiết diện nhằm củng cố kiến thức cần thiết phần kiến thức Các em yêu thích tự tin với phân môn hình học không gian Với cách trình bày logic, khoa học, súc tích sở tảng kiến thức toán THPT, đề tài có khả ứng dụng, triển khai buổi sinh hoạt Tổ chuyên môn, câu lạc toán học, cho ôn thi học sinh giỏi, học sinh ôn thi đại học để nâng cao kiến thức cho học sinh Hướng phát triển đề tài, tác giả sâu vào toán có liên quan đến thiết diện như: - Tính diện tích thiết diện - Tỉ số thể tích ứng dụng tỉ số thể tích - Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán thiết diện 3.2 Kiến nghị Để việc dạy học nâng cao kiến nghị sở giáo dục đào tạo nên công bố sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng toàn ngành để giáo viên có điều kiện tham khảo trao đổi chuyên môn để nâng cao lực giảng dạy Mặc dù thân cố gắng nhiều, song điều viết không tránh khỏi sai sót Tôi mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp, bạn đọc để đề tài hoàn thiện đạt hiệu giảng dạy học tập học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nguyễn Thị Hà Thanh Hóa, ngày15 tháng năm2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Hồ Thị Mai 16 17 18 ... - Giả thiết mặt phẳng cắt (P), hình đa diện T - Dựng thiết diện toán dựng hình cần nêu phần dựng phần biện luận có - Đỉnh thiết diện giao mặt phẳng (P) cạnh hình T nên việc dựng thiết diện thực... : Tổng số 48 học sinh - Điểm 5: học sinh - Điểm từ đến : 10 học sinh - Điểm từ 6,5 đến 7,5 : 13 học sinh - Điểm từ đến 10 : 25 học sinh Dựa em nhận thấy: Khả học tập phân môn hình học em tốt Đa... nghiệm nêu số phương pháp dựng thiết diện Qua phân tích, phương pháp ví dụ học sinh phần nắm cách dựng thiết diện dạng toán liên quan tới thiết diện nhằm củng cố kiến thức cần thiết phần kiến thức