SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HOÀN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA Người thực hiện: Đỗ Thị Toàn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học THANH HOÁ NĂM 2017 Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ Mục lục Trang I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1.Một số công thức quy tắc tính đạo hàm 2 2 2.1.2.Một số định lí cực trị hàm số 2.1.3.Các kiến thức đường thẳng mặt phẳng 2.1.4.Các kĩ biến đổi đại số, giải phương trình, bất phương trình 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 4 2.3 Giải pháp 2.3.1 Giới thiệu dạng toán phân tích 2.3.2 Các bước thực toán 2.3.3 Các bước áp dụng 2.3.4 Bài tập tự luyện 14 2.4 Hiệu SKKN 16 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục chữ viết tắt Danh mục SKKN đạt giải cấp tỉnh GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn 17 17 17 18 19 Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình Toán lớp 12, cực trị hàm số nội dung quan trọng thường xuyên gặp đề thi Trung học phổ thông Quốc gia môn Toán Bài toán cực trị đa dạng,trong toán liên quan đến viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại,cực tiểu đồ thị hàm số bậc ba toán hay gặp Với thay đổi lớn hình thức thi chuyển từ tự luận sang trắc nghiệm,chúng ta cần phải có thay đổi cách dạy học, làm mà phải làm nhanh.Trong trình giảng dạy cho đối tượng học sinh trung bình khá, thấy phương pháp hữu hiệu cung cấp cho em số cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba cho em rèn luyện kĩ qua ví dụ Phương pháp hữu hiệu với em em không cần tư nhiều mà cần áp dụng công thức Tuy nhiên để ghi nhớ lâu dài công thức em cần làm nhiều tập liên quan đến công thức Chính lí chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Góp phần giải lớp toán liên quan đến viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba Cung cấp thêm cho học sinh công cụ để rèn luyện kĩ giải toán cực trị hàm bậc ba.Qua em tự tin bước vào kỳ thi THPTQG Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ thân, để trau đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp đóng góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu toán liên quan đến viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba toán liên quan Đề tài áp dụng cho học sinh trung bình lớp 12A5, 12A7, năm học 2016 - 2017 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liên quan ,SGK,tài liệu cực trị - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận Để sử dụng phương pháp học sinh phải nắm số vấn đề sau đây: 2.1.1 Một số công thức quy tắc tính đạo hàm + ( c ) ' = (với c số) [ 3] n n −1 + ( x ) ' = n.x [ 3] n n −1 + ( kx ) ' = n k.x [ 3] + ( u ± v ± w ) ' = u'± v'± w ' [ 3] n n −1 + f ( ) ( x ) =  f ( ) ( x )  [ 3] 2.1.2 Một số định lí cực trị hàm số * Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi ,nếu f có đạo hàm x0 f '(x ) = [ 2] * Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí Giả sử hàm số f liên tục khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng ( a; x0 ) ( x0 ; b ) Khi a)Nếu f '(x) < với x ∈ ( a; x0 ) f '( x) > với x ∈ ( x0 ; b ) hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 [ 2] b)Nếu f '(x) > với x ∈ ( a; x0 ) f '( x) < với x ∈ ( x0 ; b ) hàm số f đạt cực đại điểm x0 [ 2] ' *Điều kiện để hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d ,(a ≠ 0) có cực trị y ' = ⇔ 3ax + 2bx + c = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = b − 3ac > [ 3] 2.1.3 Các kiến thức đường thẳng mặt phẳng Cho hai đường thẳng (∆1 ) : y = a1 x + b1 ;( ∆ ) : y = a2 x + b2 Khi a1 = a2 [ 4] + ∆1 P∆ ⇔  b ≠ b 1 + ∆1 ⊥ ∆ ⇔ a1.a2 = −1 [ 4] a1 = a2 [ 4] + ∆1 ≡ ∆ ⇔  b = b 1 + ∆1 tạo với ∆ góc α tan α = a1 − a2 , ( α ≠ 900 ) [ 4] + a1.a2 GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ + ∆1 tạo với Ox góc α tan α = a1 [ 4] + ∆1 qua điểm M ( xM ; yM ) yM = a1 + b1 xM [ 4] 2.1.4 Các kĩ biến đổi đại số, giải phương trình, bất phương trình… Kĩ chia đa thức đa thức cho đa thức,giải phương trình,bất phương trình bậc hai,phương trình quy phương trình bậc hai,… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Khi giảng dạy cực trị hàm số bậc ba cho học sinh thi THPTQG, thấy toán liên quan đến viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị toán liên quan đến điểm cực trị hàm số bậc ba làm cho học sinh trung bình,thậm chí học sinh '' ngại " phải tính toán, biến đổi đại số nhiều phức tạp, toán có chứa tham số làm nhiều thời gian cho kết Lí là: Các em chưa có phương pháp thích hợp, chưa có kĩ giải toán Trước thực trạng tìm tòi, tham khảo phương pháp giải nhanh toán có phương pháp dùng máy tính cầm tay đưa số ví dụ hình thức trắc nghiệm cho em rèn luyện 2.3 Giải pháp 2.3.1 Giới thiệu dạng toán phân tích Dạng toán: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ,(a ≠ 0) Yêu cầu: Hãy viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số Phân tích: Với toán dạng hiểu đơn giản ta phải thực tìm tọa độ hai điểm cực trị đồ thị hàm số, sau viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Vấn đề đặt phương trình f'(x)' = ⇔ 3ax + 2bx + c = nghiệm " đẹp " việc ta tìm hai điểm cực trị viết phương trình qua hai điểm cực trị khó khăn tốn nhiều thời gian Chính đưa công thức áp dụng để thực toán cách nhanh chóng Xây dựng công thức: Công thức ' + Thực phép chia f ( x) cho f ( x) ta : b  ' 2 b2  bc 1 f ( x) =  x + ÷ f ( x) +  c − ÷x + d − [ 3] 9a  3 3a  9a 3 b  2∆ ' bc 1 =  x + ÷ f ' ( x) − x+d − 9a  9a 9a 3 (Với ∆ ' = b − 3ac ) GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ  f ' ( x1 ) = + Gọi x1 ; x2 hai điểm cực trị hàm số ,khi ta có:  '  f ( x2 ) = 2∆ ' bc  y1 = − x1 + d − '   f ( x1 ) =  9a 9a [ 3] Do  ' nên hai cực trị hàm số  ' f ( x ) = ∆ bc  y = − x2 + d −  9a 9a Tọa độ hai điểm cực trị đồ thị hàm số thỏa mãn phương trình đường thẳng 2∆ ' bc y=− x+d − nên phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị 9a 9a đồ thị hàm số là: 2∆ ' bc y=− x+d − 9a 9a Công thức ' + Thực phép chia f ( x) cho f ( x) ta : x b  x b  f ( x) =  + ÷ f ' ( x ) + g ( x) ⇔ g ( x) = f ( x ) −  + ÷ f ' ( x )  9a   9a  Trong g ( x ) phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số x b 3ax + b 6ax + 2b y" y" = = = = Xét h( x) = + [ 1] 9a 9a 18a 3.6a y ' Với : f "( x ) = 6ax + 2b;f'''(x) = 6a Như vậy: f"(x).f'(x) y '' y ' g ( x) = f ( x) − = y− [ 1] f '''(x) y ''' Với công thức dùng máy tính cầm tay Casio Fx570 tìm nhanh phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số sau: ' '' ''' + Tính: y = 3ax + 2bx + c; y = 6ax + 2b; y = 6a + Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx -570ES PLUS fx -570VN PLUS thực theo bước: y ' y '' - Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức y − ''' [ 1] 3y - Bấm CALC, gán x = i với i đơn vị số phức (bấm ENG) kết dạng p + qi [ 1] - Đường thẳng qua điểm cực đại,cực tiểu đồ thị hàm số có phương trình là: GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ y = qx + p [ 1] +Trong trường hợp hàm số chứa tham số m ta thực bước tương tự: y ' y '' - Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức y − ''' ( m gán M) 3y - Bấm CALC, gán x = i, M = 100 với i đơn vị số phức (bấm ENG) kết dạng p + qi với p, q số dạng lũy thừa 100 Thế 100= m để phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại,cực tiểu đồ thị hàm số phụ thuộc vào m [ 1] - Kết luận đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số 2.3.2 Các bước thực toán : " Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d ,(a ≠ 0)" Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị ' + Tính đạo hàm: y = 3ax + 2bx + c ' + Hàm số có hai cực trị y = có hai nghiệm phân biệt ⇔ 3ax + 2bx + c = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = b − 3ac > Bước 2: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại ,cực tiểu đồ thị hàm số Cách 1: + Tìm tọa độ hai điểm cực trị đồ thị hàm số A ( x1; y1 ) ,B ( x2 ; y2 ) + Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B x − xA y − yA = [ 4] Phương trình đường thẳng AB : xB − x A y B − y A Cách 2: Áp dụng công thức ' 2 +Tính đạo hàm y = 3ax + 2bx + c; ∆ ' = b − 3ac + Xác định: a, b, c, d , ∆ ' + Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: 2∆ ' bc y=− x+d − 9a 9a Cách 3: Áp dụng công thức ' '' ''' + Tính: y = 3ax + 2bx + c; y = 6ax + 2b; y = 6a + Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx -570ES PLUS fx -570VN PLUS thực theo bước: y ' y '' - Chuyển sang chế độ MODE 2,nhập biểu thức y − ''' [ 1] 3y GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ - Bấm CALC, gán x = i với i đơn vị số phức (bấm ENG) kết dạng p + qi [ 1] - Đường thẳng qua điểm cực đại,cực tiểu đồ thị hàm số có phương trình là: y = qx + p [ 1] + Trong trường hợp hàm số chứa tham số m ta thực bước tương tự: y ' y '' - Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức y − ''' ( m gán M) 3y - Bấm CALC, gán x = i, M = 100 với i đơn vị số phức (bấm ENG) kết dạng p + qi với p, q số dạng lũy thừa 100 Thế 100= m để phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại,cực tiểu đồ thị hàm số phụ thuộc vào m - Kết luận đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số Nhận xét: Tuy nhiên đề thi ta lại thường gặp toán liên quan đến phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số phải thực thêm bước Bước 3: Giải điều kiện liên quan * Một số điều kiện thường gặp: Giả sử đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số là: ( ∆ ) : y = p + qx Cho đường thẳng ( ∆ ) : y = k + hx Khi p = k ' + ∆ P∆ ⇔  q ≠ h ' + ∆ ⊥ ∆ ⇔ pk = −1 p = k ' + ∆≡∆ ⇔ q = h p−k , ( α ≠ 900 ) + ∆ tạo với ∆' góc α tan α = + pk + ∆ tạo với Ox góc α tan α = p + ∆ qua điểm M ( xM ; yM ) yM = p + qxM ' 2.3.3 Ví dụ áp dụng GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ Để giúp học sinh rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số bậc ba cách áp dụng công thức, đưa 10 ví dụ có hướng dẫn kèm để em luyện tập Ví dụ 1: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3x + là: A y = x − B y = − x C y = x + D y = −2 x − Hướng dẫn: ' + Ta có : y = 3x − x =1 y ' = ⇔ 3x − = ⇔   x = −1 + Với x = ⇒ y = −1 x = −1 ⇒ y = + Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A ( 1; −1) ; B ( −1;3) + Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị: x −1 y +1 = ⇔ y = −2 x + −1 − + Đáp án: B Ví dụ 2: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − x − x + [ 3] là: A y = −6 x + B y = x − C y = x + D y = −6 x − Hướng dẫn: ' + Ta có : y = 3x − x − y ' = ⇔ 3x − x − = + Có ∆ ' = 27 > ,hàm số có hai điểm cực trị + Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Viết theo cách 2: Ta có a = 1; b = −3; c = −6; d = 8; ∆ ' = 27 2∆ ' bc 2.27 (−3).(−6) y=− x+d − =− x +8− = −6 x + 9a 9a 9.1 9.1 + Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số : y = −6 x + Đáp án: A ' '' ''' Viết theo cách 3: Ta có y = 3x − x − 6; y = x − 6; y = Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx -570ES PLUS fx -570VN PLUS thực theo bước: - Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức 3x − x − ) ( x − ) ( y ' y '' y − ''' = ( x − 3x − x + 8) − 3y 18 GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ - Bấm CALC, gán x = i với i đơn vị số phức (bấm ENG) kết quả: − 6i - Đường thẳng qua điểm cực đại,cực tiểu đồ thị hàm số có phương y = −6 x + trình là: Đáp án: A Nhận xét 1: Ở VD1 ta tính ∆' số phương nên viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị cách dễ dàng Ở VD2 ta tính ∆' số phương nên việc viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị cách khó khăn hơn, sử dụng cách cách thuận lợi nhiều Ví dụ 3: Giả sử đồ thị hàm số y = x − 3mx + ( m + ) x + có hai điểm cực trị Khi phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: 2 A y = x + m + 6m + B y = ( − m + 6m + ) x + m + 6m + C y = −2 x + m + 6m + D Tất sai [ 1] (Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng-Phú Yên) Hướng dẫn: ' + Ta có : y = 3x − 6mx + ( m + ) ∆ , = ( m2 − m − ) + Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.Khi phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: , Viết theo cách 2: Ta có a = 1; b = −3m; c = ( m + ) ; d = 1; ∆ = ( m − m − ) 2.9 ( m − m − ) 2∆ ' bc (−3m).3(m + 6) y=− x+d − =− x +1− 9a 9a 9.1 9.1 = ( −m + m + ) x + m + 6m + + Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số : y = ( − m + m + ) x + m + 6m + Đáp án: B '' ''' Viết theo cách 3: Ta có y = 3x − 6mx + ( m + ) ; y = x − 6m; y = Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx -570ES PLUS fx -570VN PLUS thực theo bước: - Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức ' 3x − 6mx + ( m + )  ( x − ) y ' y '' y − ''' = [x − 3mx + ( m + ) x + 1] − 3y 18 GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn 10 Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ - Bấm CALC, gán x = i, m = 100 với i đơn vị số phức (bấm ENG) kết : 10601 − 19788i Ta có: 10601 − 19788i = 1002 + 6.100 + − ( 2.100 − 2.100 − 12 ) i ⇒ y = m + 6m + + ( − m + m + ) i - Vậy đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số có y = ( −m + m + ) x + m + 6m + phương trình là: Đáp án: B Nhận xét 2: + Đối với hàm số có chứa tham số việc sử dụng cách cách thuận lợi nhiều so với cách + Cũng với hàm số gặp số yêu cầu khác như: - Tìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = x + 2017 - Tìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số qua điểm M ( 0;17 ) - Tìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng x − 12 y + 2017 = Tuy nhiên để giải toán trước viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số ta phải tìm điều kiện m để hàm số có hai điểm cực trị Ví dụ 4: Đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − x − m qua điểm M ( 3; −1) m bằng: A m = B m = −1 C m = D Một giá trị khác (Trích đề thi thử tạp chí Toán học Tuổi trẻ lần 7) Hướng dẫn: ' +Ta có : y = 3x − ∆ , = > nên hàm số có hai điểm cực trị +Khi phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: Viết theo cách 2: Ta có a = 1; b = 0; c = −1; d = m; ∆ , = 0.( −1) 2∆ ' bc 2.3 y=− x+d − =− x+m− =− x+m 9a 9a 9.1 9.1 ' '' ''' Viết theo cách 3: Ta có y = x − 1; y = x; y = + Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx -570ES PLUS fx -570VN PLUS thực theo bước: - Chuyển sang chế độ MODE 2, nhập biểu thức GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn 11 Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ 3x − 1) x ( y ' y '' y − ''' = ( x − x + m) − 3y 18 - Bấm CALC, gán x = i, m = 100 với i đơn vị số phức (bấm ENG) kết : 2 100 − i ⇒ y = m − x 3 - Vậy đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số có phương trình là: y=− x+m + Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số qua điểm M ( 3; −1) khi: −1 = − + m ⇔ m = Đáp án: A Ví dụ 5: Có giá trị m để đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ 3 thị hàm số y = x − 3mx + 3m song song với đường thẳng (∆) : y = −2 x + 2017 ? A B C D Hướng dẫn: ' + Ta có : y = 3x − 6mx ∆ , = 9m + Hàm số có hai điểm cực trị ∆ , = 9m > ⇔ m ≠ + Khi phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: y = −2m x + 3m + Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số song song với đường −2m = −2 ⇔ m = ±1 thẳng (∆) : y = −2 x + 2017 khi:  3m ≠ 2017 Đáp án: C Ví dụ 6: Tìm tất giá trị m để đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − 3(m + 1) x + x [ 1] vuông góc với đường thẳng (∆) : x − y + 2017 = 0? A m = −4; m = B m = −2 C m = 4; m = −2 D Đáp án khác Hướng dẫn: ' + Ta có : y = x − 6(m + 1) x + ∆ , = 9(m + 2m − 3) GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn 12 Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ  m < −3 , + Hàm số có hai điểm cực trị ∆ = 9(m + 2m − 3) > ⇔  m > + Khi phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: y = −(m + 2m − 3) x + m + + Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số vuông góc với đường 2017 thẳng (∆ ) : x − y + 2017 ⇒ ( ∆) : y = x + khi: 5 − ( m + m − ) = −1 ⇔ m + m − =  m = −4(t / m) ⇔  m = 2(t/ m) Đáp án: A Ví dụ 7: Tìm tất giá trị m để đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x + 3(m − 1) x + ( m − ) x − 1[ 3] tạo với đường thẳng (∆) : y = 3x + góc 450 ? A m = 1; m = B m = ± C m = ± D m ∈∅ Hướng dẫn: ' + Ta có : y = x + 6( m − 1) x + ( m − ) ∆ , = 9(m − 6m + 9) , + Hàm số có hai điểm cực trị ∆ = 9(m − 6m + 9) > ⇔ m ≠ + Khi phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: y = −( m − 6m + 9) x − ( m − 3m + ) + Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng (∆ ) : y = x + góc khi: 450 + m − 6m + + m − 6m + tan 450 = ⇔ = ⇔ m = ± 2(t / m) − 3(m − 6m + 9) − 3(m − 6m + 9) Đáp án: B Ví dụ 8: Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y = x + 3( m − 1) x + 6m ( − 2m ) x có hai điểm cực trị nằm đường thẳng (∆) : y = −4 x ? [ 3] 1 A m = B m = − C m = − D m = Hướng dẫn: ' + Ta có : y = x + 6( m − 1) x + 6m ( − 2m ) ∆ , = 9(9m − 6m + 1) GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn 13 Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ + Khi phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: y = −(9m − 6m + 1) x + (m − 1) ( −2m + m ) , + Hàm số có hai điểm cực trị ∆ = 9(9m − 6m + 1) > ⇔ m ≠ + Để đồ thị hàm số y = x + 3(m − 1) x + 6m ( − 2m ) x − có hai điểm cực trị nằm đường thẳng (∆) : y = −4 x đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số trùng với đường thẳng (∆) : y = −4 x + Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số trùng với đường thẳng  m = ∨ m = −  −9( m − 6m + 1) = −4 (∆) : y = −4 x khi:  ⇔ ⇔ m =1  (m − 1)( − m + m ) =  m = ∨ m = ∨ m =  Đáp án: D Ví dụ 9: Tìm tất giá trị m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x + x − ( m − 1) x tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích (đvdt)? 10 A m = 1; m = B m = − ; m = 3 1 C m = ; m = D m = − ; m = −3 3 Hướng dẫn: + Ta có : y ' = x + x − 3(m − 1) ; ∆ , = 9m + Hàm số có hai điểm cực trị ∆ , = 9m > ⇔ m > + Khi phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: (∆) : y = −2mx + m −  m −1  ;0 ÷ Với m > ta có: + ( ∆ ) ∩ Ox = A ( 0; m − 1) ; ( ∆ ) ∩ Oy = B   2m  m = 1 1 m −1 S∆ABC = ⇔ OA.OB = ⇔ m − = ⇔ 3m − 10m + = ⇔  (t / m) m = 3 2m 3  Đáp án: B Ví dụ 10: Tìm tất giá trị m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x + 3mx + cắt đường tròn tâm I ( 1;1) ,bán kính M , N cho ∆IMN có diện tích lớn nhất? GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn 14 Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ ± 12 2± 1+ B m = C m = D m = 2 Hướng dẫn: ' + Ta có : y = x − 3m ∆ , = 9m + Hàm số có hai điểm cực trị ∆ , = 9m > ⇔ m > + Khi phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: ( ∆ ) : y = −2mx + ⇔ ( ∆ ) : 2mx + y − = + Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cắt đường tròn tâm I ( 1;1) ,bán kính r = M , N Diện tích tam giác IMN xác định: 1 · · · S∆IMN = IM IN sin IMN = r sin IMN = sin IMN 2 · · Do sin IMN ≤ nên S ∆IMN lớn sin IMN = ⇔ IM ⊥ IN Khi ∆IMN vuông cân I 2 Gọi H trung điểm MN ta tính IH = ⇔ d ( I , ∆) = 2 2m − ⇔ = 4m + ⇔ 4m − 8m + = A m = ⇔m= 2± Đáp án: B Nhận xét 3: Trên ví dụ cần sử dụng trực tiếp phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số, nhiên trình làm toán cực trị hàm số bậc ba sử dụng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số để tìm giá trị cực trị hàm số tìm tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số để giải điều kiện liên quan 2.3.4 Bài tập tự luyện Bài 1: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − x + x − là: A y = x + B y = x − C y = −2 x + D y = −2 x − Bài 2: Trong đường thẳng sau, đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x + 3x + x − là: 1 A y = x − B y = x + C y = x − 10 D x − y − 10 = 3 GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn 15 Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ 2 Bài 3:Giả sử hàm số y = x + 3mx + 3(m − 1) x + m − 3m + có hai điểm cực trị Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: A x + y + 2m − = B x − y + 2m + = C x − y + 2m − = D x + y + m + = Bài 4: Cho hàm số y = x + mx + x + 2017 Tìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng ( d ) : 3x − y − 2017 = ? 5 10 B m = ± C m = ± D m = ± 3 2 Bài 5: Với giá trị m đồ thị hàm số y = x − 2mx + 3m − m có hai điểm cực trị thẳng hàng với gốc tọa độ? 1 A m = 0; m = B m = C m = D m ≠ 3 Bài 6: Tìm tất giá trị m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ 2 thị hàm số y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m − m + 2017 qua điểm A ( 1;2017 ) ? A m = 1; m = −2 B m = −1; m = C m = −1; m = −2 D m ∈∅ Bài 7: Tìm tất giá trị m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ 3 thị hàm số y = x − 3mx + 4m + song song với đường thẳng ( d ) : y = −2 x + ? A m = ± D m = − m Bài 8: Tìm tất giá trị để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − 3x − mx + tạo với trục Ox góc 450 ? A m = − ; m = − B m = − 2 −4 −4 3(− − 4) C m = D m = ;m = 4 Đáp án phần tập tự luyện Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Đáp án C D A C C B B B A m = 1; m = −1 ( B m = −1 ) GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn C m = ( ) 16 Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ 2.4 Hiệu SKKN Sau cung cấp kĩ thuật rèn luyện qua hệ thống kiến thức trên, hầu hết em học sinh trung bình thấy thích thú thực tốt việc viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba, đồng thời em giải toán liên quan Các em biết tìm chọn làm tập tương tự tài liệu tham khảo Qua em rèn luyện nhiều kĩ khác như: Kĩ biến đổi đại số, kĩ giải phương trình, bất phương trình … Tôi áp dụng phương pháp nhóm học sinh có học lực môn Toán học tương đương thông qua việc kiểm tra cũ, kiểm tra 15 phút, kết thu sau: - Nhóm không sử dụng phương pháp (nhóm đối chứng): Lớp Sĩ số 12A6 12A8 41 40 Đạt yêu cầu Số lượng % 18 43.90 15 37.50 Không đạt yêu cầu Số lượng % 23 56.10 25 62.50 - Nhóm thực nghiệm (có sử dụng phương pháp mới) Lớp Sĩ số 12A5 12A7 43 39 Đạt yêu cầu Số lượng % 38 88.37 32 82.05 GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn Không đạt yêu cầu Số lượng % 11.63 17.95 17 Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Dạy Toán trường THPT trình sáng tạo Mỗi giáo viên tự hình thành cho đường ngắn nhất, dễ nhất, lĩnh hội kinh nghiệm hay để đạt mục tiêu giảng dạy Trước thay đổi hình thức thi điều cần thiết Cực trị nội dung quan trọng chương trình toán phổ thông Để làm tốt toán phần phải nắm vững kiến thức mà phải có kĩ tốt để làm nhanh toán Trong trình giảng dạy ,đọc tham khảo nhiều tài liệu rút số kinh nghiệm nêu Đề tài " Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ " rèn luyện cho học sinh dạng toán nhỏ chuyên đề cực trị hàm số nên chưa đủ giúp em làm hết đầy đủ toán cực trị hàm số Nhưng hy vọng đóng góp nhỏ đề tài thầy cô em học sinh tham khảo, phần giúp ích việc nghiên cứu,giảng dạy học tập chuyên đề cực trị hàm số Trong trình nghiên cứu tránh khỏi sai sót, hạn chế, mong giúp đỡ, đóng góp ý kiến đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị Qua xin đề đạt nguyện vọng với cấp lãnh đạo việc triển khai áp dụng SKKN hay, hội đồng cấp đánh giá, công nhận Các sáng kiến nên gửi trường phổ thông tài liệu tham khảo bổ ích cho đồng nghiệp để phục vụ tốt cho nghiệp giáo dục Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hoá, ngày 01 tháng 06 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Đỗ Thị Toàn GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn 18 Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương trình đường thẳng qua cực đại ,cực tiểu hàm số bậc thạc sĩ Phùng Quyết Thắng Toán Math Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao-Nguyễn Huy Đoan chủ biên-Nhà xuất Giáo dục ,2008 Tuyển tập chuyên đề LTĐH môn Toán Hàm số Trần Phương ,nhà xuất Hà Nội ,2006 Tuyển tập chuyên đề LTĐH môn Toán Hình Giải tích Trần PhươngLê Hồng Đức ,nhà xuất Hà Nội ,2006 GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn 19 Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT - THPTQG: Trung học phổ thông Quốc gia THPT: Trung học phổ thông SGK:Sách giáo khoa SKKN: Sáng kiến kinh nghiệm LTĐH:Luyện thi đại học t / m :Thỏa mãn l :Loại GV: Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn 20 ... thị hàm số, nhiên trình làm toán cực trị hàm số bậc ba sử dụng phương trình đường thẳng qua hai đi m cực trị đồ thị hàm số để tìm giá trị cực trị hàm số tìm tọa độ đi m cực trị đồ thị hàm số để... Đỗ Thị Toàn - Trường THPT Lê Hoàn 13 Rèn luyện kĩ viết phương trình đường thẳng qua hai đi m cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ + Khi phương trình đường thẳng qua hai đi m cực trị đồ thị. .. phương trình đường thẳng qua hai đi m cực trị đồ thị hàm số bậc ba qua số ví dụ 2 Bài 3:Giả sử hàm số y = x + 3mx + 3(m − 1) x + m − 3m + có hai đi m cực trị Phương trình đường thẳng qua hai đi m cực