BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN QUỐC HƯNG NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN GIẢI ĐƯỢC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Sơn La, năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN GIẢI ĐƯỢC Chuyên ngành: Giải Tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn: TS VŨ VIỆT HÙNG Sơn La, năm 2017 LỜI CẢM ƠN Lời em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy TS.Vũ Việt Hùng, người định hướng nghiên cứu hướng dẫn tận tình em, giúp đỡ em tài liệu nghiên cứu động viên em có nghị lực hoàn thành khóa luận Trong trình làm khóa luận, em nhận giúp đỡ thầy cô giáo Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt thầy cô tổ môn Giải tích, Phòng QLKH & QHQT, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, bạn sinh viên lớp K54 ĐHSP Toán Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên quý thầy cô, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành đề tài Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn giúp đỡ quý báu nói Sơn La, tháng năm 2017 Người thực Sv: Nguyễn Quốc Hưng Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach 1.2 Không gian thương 1.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 1.4 Không gian khả li 1.5 Ba nguyên lý Giải tích hàm 10 1.5.1 Nguyên lý bị chặn 10 1.5.2 Định lý ánh xạ mở đồ thị đóng 11 1.5.3 Định lý Hahn-Banach 11 Một số kiến thức liên quan toán tử tuyến tính liên tục 13 1.6 Phương trình tích phân 14 2.1 Phân loại 14 2.1.1 Phương trình tích phân Fredholm loại 14 2.1.2 Phương trình Fredholm loại 15 2.1.3 Phương trình Voltera loại 16 2.1.4 Phương trình Voltera loại 16 2.1.5 Một số toán dẫn tới phương trình tích phân 18 Toán tử tích phân 20 2.2 2.2.1 Toán tử 21 2.2.2 Không gian Hilbert hệ trực chuẩn 23 2.2.3 Toán tử tích phân Fredholm 25 2.3 Phương trình tích phân hạch đối xứng 30 2.4 Phương trình tích phân với nhân suy biến 32 2.5 Phương trình liên hợp 40 2.6 Phương trình tích phân với nhân tử bé 46 2.6.1 Nguyên lý ánh xạ co không gian metric 46 2.6.2 Phương trình tích phân với nhân tử bé 46 2.6.3 Phương trình tích phân với nhân trực giao 54 2.6.4 Giải phương trình Fredholm ứng dụng liên tục phổ 55 2.7 Phương trình Fredholm với nhân tổng quát 61 2.8 Phương trình Voltera 64 2.8.1 Phương trình Voltera loại 2, phương pháp xấp xỉ liên tiếp 64 2.8.2 Giải phương trình Voltera loại phương pháp toán tử 74 Kết luận 81 Tài liệu tham khảo 82 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Nhiều vấn đề toán học ( phương trình vi phân với điều kiện ban đầu hay điều kiện biên ), học, vật lý dẫn đến hàm chứa biến nằm dấu tích phân Những loại phương trình gọi phương trình tích phân Phương trình tích phân xem công cụ toán học hữu ích nhiều lĩnh vực nên quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác Nó có ứng dụng rộng rãi không toán học mà nhiều ngành khoa học khác, ví dụ nghiên cứu phương trình tích phân với điều kiện xác định để giải số vấn đề vật lý mà phương trình vi phân mô tả tượng khuếch tán, tượng truyền, Vì việc nghiên cứu phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng lý thuyết toán học Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu phương trình tích phân Đồng thời đóng góp thêm số lời giải cho toán liên quan, mạnh dạn lựa chọn đề tài " Nghiên cứu số phương trình tích phân giải " để làm khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Khóa luận tập trung nghiên cứu vấn đề sau: - Nghiên cứu số phương trình tích phân giải - Vận dụng số phương pháp giải phương trình tích phân để giải số tập liên quan ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Nghiên cứu số phương trình tích phân giải NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Tìm hiểu khái quát khái niệm giải tích hàm, phương trình tích phân giải - Làm rõ phương pháp giải phương trình tích phân giải PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Sưu tầm, đọc nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp kiến thức - Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày seminar với tổ môn TÍNH MỚI VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA KHÓA LUẬN 6.1 Tính mẻ khóa luận: Đây vấn đề thân giải tích Đồng thời vấn đề chưa tiếp cận nhiều bạn sinh viên ĐHSP Toán 6.2 Hướng phát triển khóa luận: Nghiên cứu tổng hợp, thống kê phương trình tích phân giải NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN Khóa luận nêu phương pháp giải cho số loại phương trình tích phân tập liên quan CẤU TRÚC KHÓA LUẬN Với mục đích khóa luận chia thành chương với nội dung sau đây: Chương 1: Nội dung chương em trình bày số kiến thức quan trọng giải tích hàm khái niệm không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian thương, không gian hữu hạn chiều Ba nguyên lí giải tích hàm: Nguyên lí bị chặn đều, Định lí ánh xạ mở đồ thị đóng, Định lí Hahn - Banach với kết liên quan sử dụng cho chứng minh chương Chương 2: Trình bày nội dung đề tài, trình bày số loại phương trình tích phân giải phương pháp giải phương trình Đồng thời số toán có liên quan Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trước hết trình bày số kiến thức quan trọng giải tích hàm không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian hữu hạn chiều, , ba nguyên lí giải tích hàm với số kết quan trọng phục vụ chương 1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa 1.1 Hàm ρ xác định không gian vector E gọi chuẩn E ρ thỏa mãn điều kiện sau: 1) ρ( x ) > với x ∈ E ρ( x ) = ⇒ x = 0, 2) ρ(λx ) = |λ|ρ( x ) với λ ∈ K với x ∈ E, 3) ρ( x + y) ρ( x ) + ρ(y) với x, y ∈ E Khi ρ thỏa mãn điều kiện 2) 3), điều kiện 1) thay điều kiện: 1’) ρ( x ) với x ∈ E, ρ gọi nửa chuẩn E Định nghĩa 1.2 Không gian vector E với chuẩn ρ xác định E gọi không gian tuyến tính định chuẩn Một không gian tuyến tính định chuẩn thường gọi ngắn gọn không gian định chuẩn Khi E không gian định chuẩn với chuẩn ρ với x ∈ E ta viết ρ( x ) = || x || gọi số || x || chuẩn vector x Định nghĩa 1.3 Không gian tuyến tính định chuẩn E gọi không gian Banach E với metric sinh chuẩn E không gian metric đầy Định nghĩa 1.4 Tập X không gian định chuẩn E gọi là: a) Tập bị chặn sup{|| x || x ∈ X } < +∞ b) Tập hoàn toàn bị chặn Với ε > tồn tập hữu hạn A ⊂ E cho (∀ x ∈ X )(∃y ∈ A)| x − y < ε ⇔ x ⊂ B(y, ε) y∈ A Tập hữa hạn A ⊂ E thỏa mãn b) gọi ε- lưới hữu hạn X c) Tập compact dãy { xn } ⊂ X có dãy { xnk } hội tụ tới phần tử x ∈ X Mệnh đề 1.5 Nếu F không gian không gian định chuẩn E bao đóng F F không gian E Chứng minh Thật vậy, rõ ràng F = ∅ Cho x, y ∈ F, α, β ∈ K Khi đó, tồn dãy { xn } ⊂ F, {yn } ⊂ F để xn → x, yn → y Suy dãy {αxn + βyn } dãy phần tử F hội tụ đến αx + βy nên αx + βy ∈ F Định lý 1.6 Giả sử f phiếm hàm tuyến tính không gian định chuẩn E Khi f liên tục ker f không gian đóng E Chứng minh Điều kiện tầm thường Ngược lại, giả sử ker f đóng Vì f = nên tồn e ∈ E cho f (e) = Do ker f đóng e ∈ / ker f , tồn r > để B(e, r ) ∩ ker f = ∅, B(e, r )z = { x ∈ E : x − c < r } = e + B(0, r ) Khi f ( B(0, r )) ⊂ {λ ∈ K : |λ| < 1} Thật trái lại, tồn x0 ∈ B(0, r ) để | f ( x0 )| e − Do − x0 ∈ B(0, r ) f ( x0 ) x0 ∈ B(e, r ) ∩ ker f Trái giả thiết B(e, r ) ∩ ker f = ∅ Như f ( x0 ) giới nội (bị chặn), f ( x ) khả tích tuyệt đối trình xấp xỉ liên tiếp picar hội tụ với λ Chứng minh Nhân K ( x, s) giới nội ∃ M > : |K ( x, s)| ≤ M, ∀ x, y, s ∈ [ a, b] |K1 ( x, s)| = |K ( x, s)| ≤ M = M ( b − a )0 0! x |K2 ( x, s)| = K ( x, t)K (t, s)dt s   x |K ( x, t)||K (t, s)|dt ≤ s   x M2 dt ≤ s = M2 ( x − s), x ∈ [ a, b]; s ∈ [ a, x ] ≤ M2 ( b − a ) 1! Tổng quát |Kn ( x, s)| ≤ M n ( b − a ) n −1 , ∀n ≥ ( n − 1) ! Thật vậy, giả sử bất đẳng thức đến m, ta chứng minh với m + 68 Ta có x |Km+1 ( x, s)| = K ( x, t)Km (t, s)dt s   x |K ( x, t)|.|Km (t, s)|dt ≤ s  x ≤ M M m ( t − s ) m −1 ( m − 1) ! s =M m +1 ( t − s ) m m! (x = M m +1  dt x s − s)m m! ( b − a)m m +1 ≤M m! Theo nguyên lí quy nạp, ∀n ≥ |Kn ( x, s)| ≤ Mn+1 ( b − a ) n −1 n! Suy x n λ ψn ( x ) = λ n Kn ( x, s) f (s)ds a x n n ⇒ |λ ψn ( x )| = |λ | Kn ( x, s) f (s)ds a x ≤ |λ| n a = | Mλ| Do (chỉ cần áp dụng f ∈ L2 [ a, b]): M n ( b − a ) n −1 | f (s)|ds ( n − 1) ! a ) n −1 ( n − 1) ! x | f (s)|ds a | f (s)|ds < +∞ f khả tích tuyệt đối a Vậy |λn ψn ( x )| ≤ A x n (b − B n −1 , A, B số chứng tỏ (theo dấu hiệu hội tụ ( n − 1) ! Weierstrass) chuỗi ∞ ∑ λn ψn (x) i =0 69 hội tụ tuyệt đối và { ϕn } hội tụ Định lí sau cho ta kết giới hạn { ϕn } nghiệm ϕ phương trình Voltera Định lý 2.59 Nếu K ∈ L2[ a,b]×[ a,b] bị chặn; f ∈ L2[ a,b] tồn ϕ( x ) ∈ L2[ a,b] nghiệm phương trình Voltera Hơn nữa: x Γ( x, s, λ) f (s)ds ϕ( x ) = f ( x ) + λ a ∞ với Γ( x, s, λ) = ∑ λi−1 Ki ( x, s) gọi kết thức phương trình i =1 Bởi K ( x, s) ∈ L2 [ a, b] × [ a, b] nên theo định lý Fubini hàm sau thuộc L2 [ a, b]:  1/2 b  K2 ( x, s)ds  K(x) =  , x ∈ [ a, b] a  1/2 b  K2 ( x, s)ds  K (s) =  , s ∈ [ a, b] a theo định lí Fubini  1/2  K2 ( x, s)dxds  K =  1/2 b  K2 ( x )dx   =   k2 (s)ds  = a a [ a,b]×[ a,b] 1/2 b Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhia - Cauchy - Schwarz x |K2 ( x, s)| = K ( x, t)K (t, s)dt s  1/2  x K2 ( x, t)dt ≤ s 1/2  x K2 ( x, t)dt ≤ 1/2 K2 (t, s)dt  s  x s x K2 (t, s)dt  s = K ( x ).K (s) 70 1/2 x |K3 ( x, s)| = K ( x, t)K2 (t, s)dt s  1/2  x K2 ( x, t)dt ≤ s 1/2  b 1/2 x  [K (t)K (s)]2 dt  K2 ( x, t)dt  ≤ K22 (t, s)dt  s  1/2 x s a  1/2 x K2 (t)dt = K ( x )K (s)  (2.26) s  1/2 b  K2 (t)dt  ≤ K ( x )K (s)  a = K ( x )K (s) K Do K ( x, s) ∈ L2[ a,b]×[ a,b] nên K < +∞ Bằng quy nạp ta chứng minh (áp dụng cho (2.26), tương tự định lí sau) K n |Kn+2 ( x, s)| ≤ √ K ( x )K (s) n! n ⇒ |λ Kn+1 ( x, s)| ≤ |λ||λ| K n −1 n −1 ( n − 1) ! K ( x )K (s) [|λ| K ]n−1 K ( x )K (y) hội tụ tuyệt đối với λ ( n − 1) ! n =1 Chứng minh: Trong phép chứng minh định lý 1, ta có với dãy hạch lặp ∞ Chuỗi ∑ {Kn ( x, s)} x K1 ( x, s) = K ( x, s); Kn ( x, s) = K ( x, t)k n−1 (t, s)ds s ta có M n ( x − s ) n −1 |Kn ( x, s)| ≤ ( n − 1) ! n M ( b − a ) n −1 ≤ , ∀n ≤ ( n − 1) ! 71 Vậy chuỗi hàm Γ( x, s, λ) = ∞ ∑ λi−1 Ki (x, s) i =1 hội tụ tuyệt đối đều, từ x Γ( x, s, λ) f (s)ds = x ∞ ∑ λi−1 Ki (x, s) f (s)ds a i =1 ∞ x a = ∑ λi−1 Ki ( x, s) f (s)ds i =1 a Do Ki , f ∈ L2 [ a, b] nên Γ( x, s, λ) ∈ L2 [ a, b], L2 [ a, b] không gian Banach (đầy đóng) Từ hàm x Γ( x, s, λ) f (s)ds := ϕ( x ) f (x) + λ a 72 Mặt khác, Γ( x, s, λ) = ∞ ∑ λi−1 Ki (x, s) = K(x, s) + λK2 (x, s) + + λn−1 Kn (x, s) i =1 = K ( x, s) + λ K2 ( x, s) + λK3 ( x, s) + + λn−2 Kn ( x, s) +  x x K ( x, t)K (t, s)dt + λ = K ( x, s) + λ  s s  x + λ n −2 K ( x, t)K2 (t, s)dt + + K ( x, t)Kn−1 (t, s)dt +  s x K ( x, t) K (t, s) + λK2 (t, s) + + λn−2 Kn−1 (t, s) + = K ( x, s) + λ s x K ( x, t)Γ(t, s, λ)dt = K ( x, s) + λ s b Γ( x, s, λ) f (s) − K ( x, s) ϕ(s) ds = f (x) + λ + a x x Γ( x, s, λ) f (s)ds − λ = f (x) + λ a  x − λ2 a s Γ(s, t, λ) f (t)dt ds K ( x, s)  a a x x Γ( x, s, λ) f (s)ds − λ = f (x) + λ  x Γ(t, s, λ)K ( x, t)dt ds f (s)  a K ( x, s) f (s)ds a a x − λ2 K ( x, s) f (s)ds s x  x Γ( x, s, λ) − K ( x, s) − λ = f (x) + λ a Γ(t, s, λ)K ( x, t)dt f (s)ds s = f (x) + 73  s x K2 (t)dt a = λ6 K2 ( x )||ω ||2 a 2! x K2 (t)dt a = λ6 K2 ( x )||ω ||2 2! Tiếp tục áp dụng (lặp lại) bước nêu trên, cho ta x a ω ( x ) ≤ λ2n+2 K2 ( x )||ω ||2 ≤ λ2n+2 K2 ( x )||ω ||2 n K2 (t)dt , ∀n ≥ n! ||K ||2n , (lũy thừa chậm giai thừa) n! Cho n → +∞, suy ω ( x ) → 0, n → +∞ ⇒ ω ( x ) = ⇔ ϕ ( x ) = ϕ ∗ ( x ) 2.8.2 Giải phương trình Voltera loại phương pháp toán tử Xét phương trình Voltera loại L2 [ a, b] x K ( x, s) ϕ(s)ds + f ( x ), ϕ( x ) = 2λ a x ∈ [ x, b] (rõ s ∈ [ a, x ]) Ta nhận thấy phương trình voltera trường hợp đặt biệt phương trình Fredholm (loại 2) ta xem K ( x, s) = 0, ∀ ≥ x, khiến cho việc lấy tích phân thực s từ a đến b, trường họp từ a đến x lúc b x K ( x, s) ϕ(s)ds = a K ( x, s) ϕ(s)ds a b Nếu nhân K ( x, s) bị chặn |K ( x, s)| ≤ M Đặt s = a +∞ 74 | f ( x )|dx, ∃ f ∈ L2[a,b] , s < Ta đặt toán tử A phương trình Voltera, xác định A : L2[ a,b] → L2[ a,b] ϕ→ϕ x Aϕ( x ) = a K ( x, s) ϕ(s)ds , x ∈ [ a, b] Khi A gọi toán tử Volrera Khi đó, tương tự Phương trình tích phân với đủ bé, ta viết phương trình toán tử ϕ = λAϕ + f , với A toán tử Voltera (xác định trên) Ta tìm nghiệm phương trình Voltera phương pháp xấp xỉ dần sau: Đặt: ϕ0 ( x ) = ϕ1 = f ; ϕ2 = f + λAϕ1 = f + λA f ϕ3 = f + λAϕ2 = f + λA( f + λA f ) = f + λA f + λ2 A2 f ϕn = f + λA f + · · · + λn−1 An−1 f (*) Dựa vào tính liên tục toán tử A- Voltera (lúc trường hợp riêng toán tử Fredholm compact) suy { ϕn } hội tụ L2[ a,b] λAϕ =λ lim Aϕn = λ lim A( f + A f + · · · + An−1 f ) n→+∞ n→+∞ = λ ( A f + A2 f + · · · + A n f + ) = lim ( ϕn − f ) n→∞ =ϕ − f Tức ϕ nghiệm phương trình Voltera loại cho Như biết, điều tương đương ϕ điểm bất động toán tử B = λA + f Hơn L2[ a,b] không gian Hilbert nên phương trình cho 75 có điểm bất động (là nghiệm) B dễ thấy || Bϕ − Bψ|| = |λ| Aϕ − Aψ ≤ |λ| A || ϕ − ψ|| nên trường hợp này, |λ| A ≤ 1, toán tử B ánh xạ co đó, phương trình Voltera có nghiệm Nghiệm tìm phương pháp xấp xỉ liên tiếp nói Chuỗi (*) gọi chuỗi Newmann Chú ý rằng, điều kiện |λ| A ≤ điều kiện đủ để chuỗi Newmann hội tụ, áp dụng phương phấp xấp xỉ dần tìm nghiệm Xong không điều kiện cần Rõ ràng, ta ||λn An f || ≤ Cn , ∀n n! (**) Chuỗi Newmann hội tụ (đều) theo chuẩn L2[ a,b] , tìm nghiệm theo phương pháp xấp xỉ dần nói Hơn thế, dễ dàng chứng minh nghiệm Bây giờ, ta bất đẳng thức (**) Thật x |λA f ( x )| = |λ K ( x, s) f (s)ds| ≤ SM|λ| a x 2 |λ A f ( x )| = |λ K ( x, s)[ A f (s)]ds| a x ≤ |λ MSMds| a = SM2 ( x − a)|λ2 | 76 Tổng quát − a ) n −1 n |λ A f ( x )| ≤ SM | λ |, ∀ n ≥ ( n − 1) ! n −1 n n n (b − a) ⇒ | λ | A f ≤ S1 M | λ n |, ∀ n ≥ ( n − 1) ! n n (x n với S1 số Vậy chuỗi Newmann f + λA f + · · · + λn An f + từ số hạng thứ làm trội chuỗi hội tụ 2 S1 M|λ| + S1 M (b − a)|λ| + · · · + S1 M a ) n −1 n |λ| ( n − 1) ! n (b − Vậy chuỗi Newmann hội tụ L2[ a,b] Và theo , tổng cho ta nghiệm phương trình Voltera loại Cụ thể ta xác định tổng chuỗi này, tương tư, ta có dạng toán tử λn An f sau: Toán tử A sinh hạch K ( x, b) A1 x sinh hạch K1 ( x, b) = K ( x, t)K (t, s)ds s An sinh hạch Kn ( x, s) = x s K (s, t)Kn−1 (t, s)dt Đối với dãy hạch lặp Kn ( x, s) ta |Kn ( x, s)| ≤ M n ( b − a ) n −1 , ∀n ≥ ( n − 1) ! suy | M.λ|n (b − a)n−1 |λ |.|Kn ( x, s)| ≤ ,n ≥ ( n − 1) ! n Chuỗi ∞ | Mλ|n (b − a)n−1 ∑ ( n − 1) ! n =1 77 hội tụ Do đó, chuỗi hạch ∞ ∑ λn Kn (x, s) n =1 hội tụ L2[ a,b]×[ a,b] hàm H ( x, s) ∈ L2[ a,b]×[ a,b] Gọi H toán tử sinh hạch H ( x, s) ta H = λA + λ2 A2 + + λn An + Thật vậy, rõ ràng toán tử λA + + λn An sinh hạch λK + + λn Kn Do toán tử A b b K2 ( x, s)dxds || A|| ≤ a a nên b b n n [ H ( x, s) − λK ( x, s) − − λn Kn ( x, s)]2 dx || H − (λA + + λ A )|| ≤ a a → 0, n → +∞ Vậy λA + + λn An + = H hay I + λA + + λn An + = H + I Mặt khác, chuỗi f + λA f + + λn An f + chuỗi Newmann, theo hội tụ tới nghiệm phương trình Voltera cho Như vậy, nghiệm phương trình Voltera cho ( H + I )( f ) = H f + f , ∀ f ∈ L2[a,b] 78 Định lí : phương trình Voltera loại x ϕ( x ) = λ K ( x, s) ϕ(s)ds + f ( x ) a với K ∈ L2[ a,b]×[ a,b] , f ∈ L2[ a,b] , |K ( x, s)| s ∀ f cho trước, nghiệm phương trình là: ϕ = Hf + f x = H ( x, s) f (s)ds + f ( x ) a x λK ( x, s) + λ2 K2 ( x, s) + + λn Kn ( x, s) f (s)ds + f ( x ) = a x K ( x, s) + λK2 ( x, s) + + λn−1 Kn ( x, s) f (s)ds + f ( x ) =λ a x =λ Γ( x, s, λ) f (s)ds + f (s) a ∞ với Γ( x, s, λ) = ∑ λn−1 Kn (x, s) n =1 với Kn ( x, s) hạch lăp: x K1 ( x, s) = K ( x, s); Kn ( x, s) = K ( x, t)Kn−1 (t, s)dt a Γ( x, s, λ) goi kết thức phương trình Voltera cho Nhật xét +) Chúng ta xét phương trình Fredholm, Voltera, loại với phương trình dạng toán tử ϕ = λAϕ + f với nhân K ( x, s) ∈ L2[ a,b]×[ a,b] A toán tử compact không gian Hilbert 79 L2[ a, b] với tích vô hướng: b < x, y >= x (t)y(t)dt a Tuy nhiên, hoàn toàn không gian làm chuyển cho phương trình xét gian Banach tùy ý mà không cần thay đổi vào chủ yếu ý điều kiện trực giao không gian Hilbert ( f , ϕ) = (khong gian Hilbert)không gian Banach, có nghĩa ϕ( f ) = 0, với ϕ ∈ E∗ = L( E, R) +) Phổ toán tử Voltera σ ( A ) = {0} +) Các phương trình Fredholm, Voltera loai nói xét không gian Hilbert thưc L2[ a, b] Tuy nhiên hoàn toàn tương tự thu không gian tương tự cho phương trình nói không gian Hilbert phức(khi λ số phức) 80 KẾT LUẬN Với nhiệm vụ nghiên cứu đặt trình bày số dạng phương trình tích phân giải Ngoài ra, khóa luận bước đầu trình bày phương pháp giải cho phương trình tích phân đó, đồng thời nêu cách giải số toán liên quan Tuy nhiên khóa luận để lại nhiều hướng phát triển cần nghiên cứu cách đầy đủ kĩ lưỡng Chúng bước đầu nghiên cứu số phương pháp giải cho số toán cụ thể chưa có phương pháp chung Câu trả lời đòi hỏi phải tiếp tục nghiên cứu thời gian tới Cuối cùng, trình thực khóa luận, cố gắng, cẩn thận, tỉ mỉ song có nhiều hạn chế thiếu sót chưa khắc phục Tôi mong nhận bảo, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện 81 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê ( 2001), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm, Nxb Giáo dục [2] Nguyễn Xuân Liêm (2001), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục [3] Phạm Minh Thông (2009), Giải tích hàm, Giáo trình Trường Đại học Tây Bắc [4] Phạm Minh Thông (2007), Không gian tôpô - Độ đo – Tích phân, Nxb Giáo dục [5] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [6] A N Kolmogorov, S.V Fomine (1971 - 1981), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm, Nxb Giáo dục [7] C S Kubrusly (2011), The Elements of Operator Theory, Springer Science and Business Media 82 ... Nghiên cứu số phương trình tích phân giải NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Tìm hiểu khái quát khái niệm giải tích hàm, phương trình tích phân giải - Làm rõ phương pháp giải phương trình tích phân giải PHƯƠNG... NGHIÊN CỨU Khóa luận tập trung nghiên cứu vấn đề sau: - Nghiên cứu số phương trình tích phân giải - Vận dụng số phương pháp giải phương trình tích phân để giải số tập liên quan ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU... loại 2, phương trình sau phương trình Fredholm loại không 19 c) Đưa phương trình vi phân phương trình tích phân Một loạt trường hợp giải phương trình vi phân đưa giải phương trình tích phân Chúng