CÁC KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ

6 22 0
  • Loading ...
Loading...
1/6 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 13/08/2017, 17:32

Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp CÁC KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN I Tuyệt chiêu tính giới hạn dạng ∞ ∞ 𝟎 𝟎 x→ x0 (∞)ta dùng quy tắc l'Hopital đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑡ử L=𝑙𝑖𝑚 đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑚ẫ𝑢 = đạo hàm bao h hết dạng vô định em! II Lý thuyết vô bé vô lớn: +) vô bé ( x→x0 ( x0≠ ∞) ) sinu~𝑡𝑎𝑛𝑢~𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑢~𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑢~𝑢 u→ 1-𝑐𝑜𝑠 𝑢~ 𝑢2 u→ (1 + 𝑢)𝛼 -1 ~ 𝛼𝑢 u→ Ln(1+u) ~ 𝑢 u→ Khi tính giới hạn x không tiến vô ta cố gắng sử dụng tối đa Tuyệt chiêu thay vô bé Quy tắc ngắt bỏ vô bé : ta ngắt bỏ vô bé bậc cao ( lim 𝑓(𝑥) =0 f(x) gọi vcb) 𝑥→𝑥0 +) vô lớn Khi x→ ∞ thằng tiến vô nhanh giữ lại , thằng tiến vô chậm bỏ Quy tắc ngắt bỏ vô lớn: ta ngắt bỏ vô lớn bậc thấp ( lim 𝑓(𝑥) =∞ f(x) gọi vcl) 𝑥→∞ 𝑥 100 +𝑥 50 +1 𝑥→∞ 𝑥 100 +𝑥 99 +100 VD : lim Phân tích : rõ dàng x→ ∞ tử số 𝑥 100 tiến vô nhanh ta gắt bỏ thành phần khác tử số tương đương với 𝑥 100 , 𝑙ậ𝑝 𝑙𝑢ậ𝑛 ℎ𝑜à𝑛 𝑡𝑜à𝑛 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑡𝑎 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑐ó 𝑚ẫ𝑢 𝑠ố tương đương với 𝑥 100 𝑥 100 𝑥→∞ 𝑥 100 Như L= lim I =1 Sử dụng cách diễn giải để xử lý tập Câu 13 : tính giới hạn √𝑐𝑜𝑠𝑥 − √𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑥→0 L=lim √𝑐𝑜𝑠𝑥−1+1− √𝑐𝑜𝑠𝑥−1+1 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑥→0 =lim Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp x→ sinx~𝑥 cosx-1~ − 𝑥 /2 2 √1−𝑥 − √1−𝑥 L=lim lim 𝑥2 𝑥→0 ( √1− 𝑥2 2 −1)−( √1− 𝑥2 −1) 𝑥2 𝑥→0 1 𝑥2 𝑥2 (1− ) −1−[(1− ) −1] 2 = lim 𝑥2 𝑥→0 𝛼 Khi u→ (1 + 𝑢) -1 ~ 𝛼𝑢 L== lim 𝑥→0 −1.𝑥2 −1.𝑥2 − 3.2 2.2 𝑥2 == lim −1 −1 − 3.2 2.2 𝑥→0 =12 Câu 14 : tính giới hạn 1−𝑐𝑜𝑠𝑥√𝑐𝑜𝑠2𝑥 L=lim 𝑥2 𝑥→0 =lim 𝑥2 )(1−𝑥 ) 2 𝑥 𝑥→0 𝑥2 𝑥→0 1−(1− =lim 1−(𝑐𝑜𝑠𝑥−1+1)√(𝑐𝑜𝑠2𝑥−1+1) = lim 𝑥→0 𝑥2 (2𝑥)2 )[(1− )2 −1+1] 2 𝑥2 1−(1− =lim 1−(1− 𝑥→0 𝑥2 1.(2𝑥)2 )(1− ) 2.2 𝑥 𝟎 ( đến có dạng 𝟎 => L’Hopital dùng lần) Em nhân tính đạo hàm lần ,sau thay x=0 vào ta đc kết nhé! Câu 15 : tính giới hạn 1−𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑐𝑜𝑠2𝑥.𝑐𝑜𝑠3𝑥 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥→0 L=lim Sau biến đổi tích thành tổng ta L=lim 𝑥→0 1−𝑐𝑜𝑠6𝑥+1−𝑐𝑜𝑠4𝑥+1−𝑐𝑜𝑠2𝑥 4(1−𝑐𝑜𝑠𝑥) Sử dụng 1-𝑐𝑜𝑠 𝑢~ 𝑢2 (6𝑥)2 (4𝑥)2 (2𝑥)2 + + 2 𝑥2 𝑥→0 u→ ta (6)2 (4)2 (2)2 + + 2 𝑥→0 = lim L=lim =14 Câu 16 : tính giới hạn 𝑥 L= lim 𝑥 (1 − 𝑐𝑜𝑠 ) 𝑥→∞ Rõ dàng 𝑥 → ∞ 𝑥 → đủ điều kiện áp dụng vô bé tương đương 2 𝑥 ( ) Khi L= lim 𝑥 [ 𝑥→∞ 𝑥→∞ ] = lim =2 Câu 17 : tính giới hạn L= lim+ 𝜋 𝑥→ 𝑐𝑜𝑠𝑥 √(1−𝑠𝑖𝑛𝑥)2 𝜋 𝜋 2 𝜋 𝜋 𝜋+ √[1−sin(𝑥− + )]2 𝑥→ = lim cos(𝑥− + ) Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58 𝜋 𝜋 𝜋+ √[1−cos(𝑥− )]2 𝑥→ = lim −sinx(𝑥− ) 𝜋 2 𝜋+ (𝑥−𝜋) ]^2 𝑥→ [ 2 = lim −(𝑥− ) = lim+ 𝜋 𝑥→ −(2)3 𝜋 =-∞ (𝑥− )3 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp Câu 18 : tính giới hạn L=lim 𝑥→0 √1+𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥−1 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 Áp dụng sinx~𝑥 x→ 𝑥2 (1+𝑥 )2 −1 L=lim =lim 𝑥22 𝑥2 𝑥→0 𝑥→0 = lim 𝑥→0 1 =2 Câu 19 : tính giới hạn √1−𝑡𝑎𝑛𝑥−√1+𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑥→0 L=lim Áp dụng tanx~𝑥 sin2x~2 𝑥 x→ (1−𝑥)−(1+𝑥) √1−𝑥−√1+𝑥 2𝑥 𝑥→0 ( liên hợp )= lim 2𝑥( Ta L=lim 𝑥→0 −1 −1 =lim = √1−𝑥+√1+𝑥) 𝑥→0 (√1−𝑥+√1+𝑥) Câu20 : tính giới hạn L=lim𝜋(2𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑥→ 𝜋 ) =lim [2𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥→𝜋 𝜋 𝜋 − + )− 𝜋 𝜋 𝜋 2 ] =lim𝜋[ cos(𝑥− + ) 𝑥→ −2𝑥 𝜋 tan(𝑥− ) + 𝜋 𝜋 ] sin(𝑥− ) Thay vô bé tương đương −2𝑥 𝜋 𝑥− 𝑥− =lim𝜋( 𝑥→ 𝜋+ 𝜋 −2(𝑥− ) [ 𝜋) =lim 𝜋 𝑥→ 𝑥− 𝜋 ] =lim𝜋 −2 =-2 𝑥→ Câu 21 : tính giới hạn L=lim 𝑥→0 ln(1+3𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥) 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 Thay vô bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 u→ Khi ln(1+3𝑥 ) 𝑥2 𝑥→0 L=lim 3𝑥 𝑥→0 𝑥 =lim = lim = 𝑥→0 Câu 22: tính giới hạn ln(1+𝑥−3𝑥 ) L=lim ln(1+3𝑥−4𝑥2 ) 𝑥→0 Thay vô bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 u→ Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp 𝑥−3𝑥 1−3𝑥 Khi L=lim 3𝑥−4𝑥2 = lim 3−4𝑥 =3 𝑥→0 𝑥→0 Câu 23: tính giới hạn ln(𝑥 −𝑥+1) 𝑥→∞ ln(𝑥 10 +𝑥 +1) L= lim Thay vô lớn tương đương Tử số ~ ln(𝑥 ) = 2𝑙𝑛𝑥 Mẫu số ~ ln(𝑥 10 ) = 10𝑙𝑛𝑥 2𝑙𝑛𝑥 = lim = 10𝑙𝑛𝑥 10 𝑥→∞ 𝑥→∞ Khi L= lim Câu 24: tính giới hạn ln(𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥) ln(𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥−1+1) L=lim ln(𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥) =lim ln(𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥−1+1) 𝑥→0 𝑥→0 Vì cosax-1→ 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → , tương tự cosbx-1→ 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → Do áp dụng thay vô bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 u→ −(𝑎𝑥)2 Ta L= 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥−1 lim =lim 2 𝑥→0 c𝑜𝑠𝑏𝑥−1 𝑥→0 −(𝑏𝑥) =lim 𝑥→0 −(𝑎)2 −(𝑏)2 = 𝑎2 𝑏2 Câu 25: tính giới hạn 8𝑥 −7𝑥 L=lim 6𝑥 −5𝑥 𝑥→0 𝟎 (có dạng 𝟎 => L’Hopital dùng lần) 8𝑥 𝑙𝑛8−7𝑥 𝑙𝑛7 1.𝑙𝑛8−1.𝑙𝑛7 𝑙𝑛8−.𝑙𝑛7 L=lim 6𝑥 𝑙𝑛6−5𝑥 𝑙𝑛5 = lim 1.𝑙𝑛6−1.𝑙𝑛5 =lim 𝑙𝑛6−.𝑙𝑛5 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 Câu 26: tính giới hạn 𝑥 𝑥 −1 𝑥→1 𝑥𝑙𝑛𝑥 L=lim 𝟎 (có dạng 𝟎 => L’Hopital dùng lần) Trước hết anh nói cách tính đạo hàm 𝑥 𝑥 Đặt y=𝑥 𝑥 𝑚ụ𝑐 𝑡𝑖ê𝑢 𝑐ủ𝑎 𝑡𝑎 𝑙à đ𝑖 𝑡í𝑛ℎ 𝑦′=> ( lấy loganepe vế ) lny=xlnx Bây đạo hàm vế ta 𝑦′ 𝑦 = (xlnx)’ = lnx+1 Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp Do y’=y.(lnx+1)= 𝑥 𝑥 (𝑙𝑛𝑥 + 1) hay (𝑥 𝑥 )′ = 𝑥 𝑥 (𝑙𝑛𝑥 + 1) (𝑥 𝑥 −1)′ 𝑥 𝑥 (𝑙𝑛𝑥+1) =lim =lim 𝑥 𝑥 𝑥→1 (𝑥𝑙𝑛𝑥)′ 𝑥→1 (𝑙𝑛𝑥+1) 𝑥→1 Áp dụng L’Hopital L=lim =1 Câu 27: tính giới hạn 1+𝑡𝑎𝑛𝑥 L=lim ( 1+𝑠𝑖𝑛𝑥 )𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑥→0 Tuyệt chiêu tính giới hạn dạng L= lim [𝑓(𝑥)] 𝑔(𝑥) ( với x0 số vô cực ) 𝑥→𝑥0 lim 𝑔(𝑥).ln[𝑓(𝑥)] Thì L=𝑒 𝑥→𝑥0 =…………… ( ý 𝑓(𝑥)∞ mà f(x) tiến đến dạng vô định ) Áp dụng Vào toán : trước hết ta thay vô bé tương đương 1+𝑥 lim ln( L=lim (1+𝑥)𝑥 =𝑒 𝑥→0𝑥 1+𝑥 ) 1+𝑥 𝑥→0 lim [ln( =𝑒 𝑥→0 1+𝑥 )]′ 1+𝑥 𝑥′ lim [ln( =𝑒 𝑥→0 1+𝑥 )]′ 1+𝑥 𝑥′ tanx~𝑥 sinx~𝑥 x→ 𝟎 (có dạng 𝟎 => L’Hopital dùng lần) lim 𝑜 =𝑒 𝑥→01 =𝑒 𝑜 =1 Câu 28: tính giới hạn 𝑥 𝑥 L= lim (𝑠𝑖𝑛 + 𝑐𝑜𝑠 )𝑥 𝑥→∞ Trước hết ta thay vô bé tương đương ta : 𝑥→∞ 𝑥 𝑥 ) 2𝑥 L= lim ( + − 𝑥 Vì ln( + − ) 2𝑥 1 1 lim 𝑥.ln( +1− ) lim 𝑥.( − ) 𝑥 𝑥 2𝑥 = 2𝑥 =𝑒 𝑥→∞ =𝑒 𝑥→∞ 𝑥 ~ − 2𝑥 lim (1− ) 𝑒 𝑥→∞ = 𝑒 =e 2𝑥 Câu 29: tính giới hạn L= lim (𝑐𝑜𝑠 𝑥)𝑥 𝑥→∞ Trước hết thay vô bé tương đương L = lim (1 − 2𝑥 )𝑥 = 𝑒 𝑥→∞ 1 lim𝑥 2.ln(1− ) lim𝑥 2.(− ) 2𝑥 =𝑒 𝑥→∞ 2𝑥 = 𝑥→∞ √𝑒 Vì ln(1 − 2𝑥 ) ~ − 2𝑥2 Câu 30: tính giới hạn 𝑛 √𝑎 + 𝑛→∞ L= lim ( 𝑛 √𝑏 𝑛 ) với (a , b >0) Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp Đặt x=𝑛 , x→ 𝑎 𝑥 +𝑏𝑥 L=lim ( )𝑥 𝑥→0 𝑒 =𝑒 𝑎𝑥 +𝑏𝑥 lim ( −1) 𝑥→0 𝑥 𝑎𝑥 +𝑏𝑥 ln( −1+1) 𝑥→0 𝑥 lim =𝑒 𝑎𝑥 +𝑏𝑥 −2 lim 2𝑥 𝑥→0 =𝑒 = lim 𝑥→0 (𝑎𝑥 +𝑏𝑥 −2)′ (2𝑥)′ lim 𝑎𝑥 𝑙𝑛𝑎+𝑏𝑥 𝑙𝑛𝑏 lim𝑥.( −2 ) 𝑥+1 =𝑒 𝑥→0 =𝑒 𝑙𝑛𝑎+𝑙𝑛𝑏 =√𝑎 +√𝑏 Câu 31: tính giới hạn 𝑥−1 𝑥 ) 𝑥→∞ 𝑥+1 L= lim ( −2 𝑥 ) 𝑥+1 = lim (1 + 𝑥→∞ lim𝑥.ln(1+ =𝑒 𝑥→∞ −2 ) 𝑥+1 =𝑒 𝑥→∞ = 𝑒2 Câu 32: tính giới hạn 1 1 1 L= lim (𝑒 𝑥 + 𝑥)𝑥 = lim (𝑒 𝑥 − + + 𝑥)𝑥 = lim (𝑥 +1 + 𝑥)𝑥 = lim (1 + 𝑥)𝑥 =𝑒 𝑥→∞ 𝑥→∞ 𝑥→∞ 𝑥 lim 𝑥.ln(1+ ) 𝑥→∞ 𝑥→∞ =𝑒 𝑥 lim 𝑥.( ) 𝑥→∞ =𝑒 Câu 33: tính giới hạn 𝑡𝑎𝑛2 2𝑥 L=lim𝜋(𝑠𝑖𝑛2𝑥) 𝑥→ =lim𝜋[𝑠𝑖𝑛2(𝑥 − + 𝑥→ 𝜋 𝜋 𝜋 =lim𝜋 sin [2 (𝑥 − [2(𝑥−𝜋)] =lim𝜋 cos [2 (𝑥 − )]𝑡𝑎𝑛 𝑥→ 𝜋 𝑡𝑎𝑛2 2(𝑥−𝜋+𝜋) 4 ) 4 𝜋 ==lim𝜋[1 − 𝑥→ + 𝜋 𝜋 𝑡𝑎𝑛 [2(𝑥− )+ ] ] [2(𝑥− )]2 [2(𝑥−𝜋)]2 4 ] 𝜋 𝑥→ 𝜋 ) Đặt (𝑥 − ) = t L=lim[1 − 2𝑡 ]4𝑡2 ==𝑒 ln(1−2𝑡 ) 𝑡→0 4𝑡2 lim 𝑡→0 lim = 𝑒 𝑡→0 (−2𝑡 ) 4𝑡2 = √𝑒 Câu 34: tính giới hạn 𝑥 𝛼 −2𝛼 L= lim 𝑥 𝛽−2𝛽 𝑥→2 phân tích : rõ dàng thay x=2 vào L có dạng 0 thỏa mãn điều kiện L'Hopital đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑡ử L=đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑚ẫ𝑢 (viết cho vui thôi_ thi băm :)) 𝛼.𝑥 𝛼−1 −𝑜 𝛼 L=lim 𝛽.𝑥 𝛽−1 −𝑜 = 𝛽 𝑥 𝛼−𝛽 𝑥→2 Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội ... Ln(1+u) ~
- Xem thêm -

Xem thêm: CÁC KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ, CÁC KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ, CÁC KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay
Nạp tiền Tải lên
Đăng ký
Đăng nhập