Hệ nhị phân Hệ nhị phân (hay hệ đếm số hai) hệ đếm dùng hai ký tự để biểu đạt giá trị số, tổng số lũy thừa Hai ký tự thường 1; chúng thường dùng để biểu đạt hai giá trị hiệu điện tương ứng (có hiệu điện thế, hiệu điện cao không có, thấp 0) Do có ưu điểm tính toán đơn giản, dễ dàng thực mặt vật lý, chẳng hạn mạch điện tử, hệ nhị phân trở thành phần kiến tạo máy tính đương thời Trong kỷ 17, nhà triết học người Đức tên Gofried Leibniz ghi chép lại cách trọn vẹn hệ thống nhị phân viết “Giải thích toán thuật hệ nhị phân” (Explication de l'Arithmétique Binaire) Hệ thống số mà Leibniz dùng bao gồm số số 1, tương đồng với hệ số nhị phân đương đại.[1] Năm 1854, nhà toán học người Anh, George Boole cho xuất viết chi tiết hệ thống lôgic mà sau biết đại số Boole, đánh dấu bước ngoặt lịch sử toán học Hệ thống lôgic ông trở thành tảng việc kiến tạo hệ nhị phân, đặc biệt việc thực thi hệ thống bảng điện tử.[2] Lịch sử Hệ nhị phân nhà toán học cổ người Ấn Độ Pingala Vào năm 1937, nhà toán học kỹ sư điện tử người Mỹ, phác thảo từ kỷ thứ ba trước Công Nguyên Claude Elwood Shannon, viết luận án cử nhân MIT, trình bày phương thức kiến tạo hệ thống đại số Boole số học nhị phân dùng rơ-le công tắc lần lịch sử Bài viết với đầu đề "Bản phân tích tượng hình mạch điện dùng rơ-le công tắc" (A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits) Bản luận án ông chứng minh có tính khả thi việc thiết kế mạch điện kỹ thuật số.[3] áng 11 năm 1937, ông George Stibitz, lúc làm việc Bell Labs, hoàn thành việc thiết kế máy tính dùng rơ-le đặt tên cho “Mô hình K” (Model K) - chữ K chữ từ kitchen tiếng Anh, nghĩa “nhà bếp”, nơi ông lắp ráp máy tính Máy tính ông tính toán dùng phép tính cộng hệ nhị phân.[4] Cơ quan Bell Labs lệnh cho phép chương trình nghiên cứu tổng thể thi hành vào cuối năm 1938 đạo ông Stibitz Máy tính số phức hợp (Complex Number Computer) họ, hoàn thành vào ngày tháng năm 1940, giải trình số phức hợp Trong Hệ 64 quẻ Tiên thiên Hà đồ Kinh dịch luận chứng hội nghị Hội Toán học Mỹ (American Mathematical Society), tổ chức Một trọn hình bát quái với 64 hình sáu cạnh, Dartmouth College vào ngày 11 tháng năm 1940, ông tương đồng với bit bit hệ số nhị phân, Stibitz truyền lệnh cho Máy tính số phức hợp ghi lại điển tịch cổ Kinh Dịch từ xa, thông qua đường dây điện thoại, máy Nhiều tổ hợp nhị phân tương tự tìm thấy điện báo đánh chữ (teletype) Đây máy tính hệ thống bói toán truyền thống châu Phi, ví sử dụng với phương pháp điều khiển từ xa dùng dụ Ifá, môn bói đất phương Tây đường dây điện thoại Một số thành viên tham gia hội Tổ hợp thứ tự hình sáu cạnh Kinh nghị chứng kiến thuyết trình bao gồm Wiener, Dịch, đại diện cho dãy số nguyên thập phân từ John von Neumann, John Mauchly Norbert[5][6][7] viết lại kiện hồi ký đến 63, với công thức để sinh tạo dãy số ấy, học giả nhà triết học người Trung Hoa tên iệu Ung ( ), kỷ 11, thiết lập Dầu vậy, ghi chép để lại, thể chứng iệu Ung thông hiểu cách tính toán, dùng hệ nhị phân 2 BIỂU ĐẠT GIÁ TRỊ DÙNG HỆ NHỊ PHÂN Biểu thức Bất số biểu đạt hệ nhị phân dãy đơn vị bit (binary digit, số ký nhị phân), diễn giải cấu có khả thể hai thể trạng biệt lập Bản liệt kê dãy ký tự sau cho phép giải nghĩa tương đồng với giá trị số hệ nhị phân: 1010011010|-| ||-|-xoxooxxoxoynynn y y n y n Giá trị số biểu đạt trường hợp Khi nói, ký tự số giá trị số nhị phân thường phát âm riêng biệt, để phân biệt chúng với số thập phân Chẳng hạn, giá trị “100” nhị phân phát âm “một không không”, thay “một trăm”, để biểu đạt cụ thể tính nhị phân giá trị nói đến, đồng thời đảm bảo xác việc truyền tin qua lại Vì giá trị “100” tương đương với giá trị “4” hệ bát phân, nên truyền đạt “một trăm” gây hỗn loạn tư Biểu đạt giá trị dùng hệ nhị phân Cách đếm hệ nhị phân tương tự cách đếm hệ thống số khác Bắt đầu số hàng đơn vị với ký tự, việc đếm số khai triển dùng ký tự cho phép để ám giá trị, theo chiều tăng lên Hệ thập phân đếm từ ký tự đến ký tự 9, hệ nhị phân dùng ký tự mà Khi ký tự cho hàng dùng hết (như hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm hệ thập phân), số hàng (về bên trái) nâng giá trị lên vị trí, số hàng hoàn trả lại vị trí dùng ký tự Trong hệ thập phân, chu trình đếm tương tự sau: Một đồng hồ nhị phân dùng LED để biểu tả số nhị phân Trong đồng hồ này, cột đèn LED biểu tả số thập phân mã hóa hệ nhị phân (binary-coded decimal), đại diện cho thời gian, dùng hệ lục thập phân (sexagesimal) (60) truyền thống 000, 001, 002,… 007, 008, 009, (số cuối bên phải quay trở lại vị trí ban đầu số bên trái nâng cấp lên giá trị) 010, 011, 012,… … phụ thuộc vào giá trị mà gán ghép để đại diện 090, 091, 092,… 097, 098, 099, (hai số bên phải Trong máy tính, giá trị số biểu chuyển vị trí ban đầu số hai hiệu điện khác nhau; đĩa từ tính (magnetic bên trái nâng cấp lên giá trị) disk) chiều phân lưỡng cực từ 100, 101, 102,… dùng để biểu hai giá trị Một giá trị biểu đạt trạng thái “dương”, “có" “chạy” nghĩa Sau số đạt đến ký tự 9, số giá trị tương tự với số hệ số, song tuỳ hoàn trả lại vị trí ban đầu số 0, đồng thời gây cho thuộc vào kiến trúc hệ thống dùng số bên trái nâng cấp lên vị trí Song hành với chữ số Ả Rập thường dùng, số nhị phân Trong hệ nhị phân, quy luật đếm số tương đồng thường biểu đạt hai ký tự Khi áp dụng, khác điều số viết, số nhị phân thường ký hiệu hóa gốc ký tự dùng có mà thôi, tức ký tự hệ số Những phương thức ký hiệu thường dùng dùng mà Vì vậy, số chuyển lên đến ký tự hệ nhị phân, nâng cấp liệt kê đây: giá trị bắt hoàn trả lại vị trí ban đầu, tức số 0, nâng cấp số bên trái lên giá trị: 100101 binary (đặc tả phân dạng hệ số) 100101b (chữ b nối tiếp ám phân dạng hệ số nhị phân - lấy chữ đầu binary tiếng Anh, tức “nhị phân”) 000, 001, (số cuối bên phải hoàn trả lại vị trí ban đầu, số hàng bên cạnh phía tay trái nâng cấp lên giá trị) bin 100101 (dùng ký hiệu dẫn đầu để đặc tả phân dạng hệ số nhị phân - bin lấy từ binary) 010, 011, (hai số cuối bên phải hoàn trả lại vị trí ban đầu, số hàng bên cạnh phía tay trái nâng cấp lên giá trị) 1001012 (ký hiệu viết nhỏ phía ám gốc nhị phân) 100, 101,… Nhị phân đơn giản hóa Để đơn giản hoá hệ nhị phân, nghĩ sau: Chúng ta dùng hệ thập phân Điều có nghĩa giá trị hàng số (hàng đơn vị, hàng chục v.v ) biểu đạt 10 ký tự mà thôi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chúng ta thông thuộc với ký tự cách dùng chúng hệ thập phân Khi đếm giá trị, bắt đầu ký tự 0, luân chuyển đến ký tự Chúng ta gọi “một hàng” Với số hàng, liên tưởng đến vấn đáp tính nhân Số hiểu × 100 (100 =1) tương đương với x 1, số có mũ (tất nhiên loại trừ số ra) Khi khai triển sang bên trái vị trí, nâng số mũ 10 lên giá trị, để biểu đạt 50, dùng phương pháp tương tự số viết x 101 , đơn giản x 10 5834 = (5 × 10 ) + (8 × 10 ) + (3 × 10 ) + (4 × 10 ) Các phép tính dùng hệ nhị phân Phép tính dùng hệ nhị phân tương tự phép tính áp dụng hệ khác Tính cộng, tính trừ, tính nhân tính chia áp dụng với giá trị số nhị phân 5.1 Tính cộng A 500 = (5 × 102 ) + (0 × 101 ) + (0 × 100 ) phía bên trái hoàn trả tất số vị trí bên phải số “0”, tạo thành 100000 Phương thức dùng cho ký tự dãy số Chẳng hạn với dãy số 100111 Nếu cộng thêm vào số này, phải chuyển vị trí bên trái vị trí bên cạnh số trùng lặp (vị trí thứ tư), nâng cấp vị trí từ số lên số 1, hoàn trả tất số bên tay phải vị trí số không, tạo thành 101000 B Khi dùng hết ký tự hệ thập phân, chuyển vị trí sang bên trái bắt đầu với số 1, đại diện cho hàng chục Tiếp hoàn trả hàng "đơn vị" ký tự đầu tiên, số không Hệ nhị phân có gốc 2, hoạt động nguyên lý hệ thập phân, song dùng ký tự để đại diện cho hai giá trị: Chúng ta bắt đầu hàng "đơn vị", đặt số trước tiên, nâng cấp lên số Khi lên đến số 1, không ký tự để tiếp tục biểu đạt giá trị cao hơn, phải đặt số “hàng hai” (tương tự hàng chục hệ thập phân), ký tự “2” hệ nhị phân để biểu đạt giá trị làm hệ thập phân Trong hệ nhị phân, giá trị 10 biểu đạt hình thức tương tự (1 x 21 ) + (0 x 20 ) Giá trị hệ thập phân Nhị phân sang thập phân tương đồng: 12 = × = × = 110 102 = (1 × 21 ) + (0 × 20 ) = + = 210 1012 = (1×22 )+(0×21 )+(1×20 ) = 4+0+1 = 510 Để quan sát công thức biến chuyển cụ thể từ hệ sang hệ kia, xin xem thêm phần Phương pháp chuyển hệ S C Một sơ đồ mạch điện (circuit diagram) mạch bán cộng nhị phân, dùng để cộng hai bit với nhau, tạo nên tổng số nhớ mang sang hàng bên cạnh Phép tính đơn giản hệ nhị phân tính cộng Cộng hai đơn vị hệ nhị phân làm sau: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 + = (nhớ lên hàng thứ 2) Cộng hai số “1” với tạo nên giá trị “10”, tương đương với giá trị hệ thập phân Điều xảy tương tự hệ thập phân hai số đơn vị cộng vào với Nếu kết cao giá trị gốc (10), giá trị số hàng nâng lên: + = 10 + = 16 Ngược lại, suy nghĩ theo cách khác Khi dùng hết ký tự hệ thống số, Hiện tượng gọi “nhớ" “mang sang”, chẳng hạn dãy số “11111”, cộng thêm “1” vào hầu hết hệ thống số dùng để tính, đếm Khi PHÉP TOÁN THAO TÁC BIT TRONG HỆ NHỊ PHÂN tổng số vượt lên gốc hệ số, phương thức làm “nhớ" sang vị trí bên trái, thêm hàng Phương thức “nhớ" hoạt động tương tự hệ nhị phân: • Nếu số B 0, tích cục • Nếu số B 1, tích cục số A 1 1 (nhớ) 1 + 1 1 - = 0 00 Ví dụ, hai số nhị phân 1011 1010 nhân với Trong ví dụ trên, hai số cộng với nhau: 011012 (13 sau: thập phân) 101112 (23 thập phân) Hàng 1 (A) × 1 (B) - 0 0 ← tương đương biểu đạt số nhớ, mang sang Bắt đầu với B + 1 ← tương đương với cột cuối bên phải, + = 102 mang sang A + 0 0 + 1 - = 1 1 bên trái, viết vào hàng tổng phía dưới, cột cuối bên phải Hàng thứ hai từ cột cuối bên Xem thêm Phương pháp làm tính nhân Booth phải cộng tiếp theo: + + = 102 ; Số lại nhớ lại mang sang, số viết xuống 5.4 Tính chia Cột thứ ba: + + = 112 Lần nhớ mang sang hàng bên cạnh, viết xuống hàng Tính chia nhị phân tương tự phép chia Tiếp tục khai triển theo quy luật cho hệ thập phân đáp án cuối 1001002 1 1 |1 Trong Đánh thức tài 5, tập 22 ghi Ở ta có số bị chia 110112 , 27 số thập kiến thức phân, số chia 1012 , số thập phân Cách làm tương tự với cách làm số thập phân Ở ta lấy số đầu số bị chia 1102 để chia với số chia, tức 5.2 Tính trừ 1012 , 1, viết lên hàng kẻ Kết Phép tính trừ theo quy chế tương tự: nhân với số chia, tích số trừ với số đầu số bị chia Số số hạ xuống để tạo nên dãy số có ba số, tương tự với số lượng 0−0=0 số số chia: − = (mượn bit tiếp theo) 1 1 | 1 − 1 - 1 1−0=1 y luật lặp lại với hàng số mới, tiếp 1−1=0 tục tất số số bị chia dùng hết: Một đơn vị nhị phân trừ với đơn vị nhị phân 1 1 1 | 1 − 1 - 1 − 0 khác sau: - 1 − 1 - * * * * (hình đánh dấu cột phải mượn) 1 1 Phân số 110112 chia cho 1012 1012 , liệt kê − 1 1 - = 1 1 phía đường kẻ, số dư lại viết Trừ hai số dương tương tự “cộng” số âm hàng cuối 102 Trong hệ thập phân, 27 chia cho với giá trị tương đồng số tuyệt đối; máy tính 5, dư thường dùng ký hiệu Bù để diễn đạt số có giá trị âm Ký hiệu loại trừ nhu cầu thiết phải có phương pháp làm phép trừ biệt lập Xin xem thêm chi Phép toán thao tác bit hệ tiết chương mục Bù nhị phân 5.3 Tính nhân Phép tính nhân hệ nhị phân tương tự phương pháp làm hệ thập phân Hai số A B nhân với tích số cục bộ: với số B, tích với số số A tính viết xuống hàng mới, hàng phải chuyển dịch vị trí sang bên trái, hầu cho số cuối bên phải đứng cột với vị trí số B dùng Tổng tích cục cho ta kết tích số cuối Vì có hai số hệ nhị phân, nên có kết khả quan tích cục bộ: Mặc dù không liên quan trực tiếp đến nhận dạng ký tự hệ nhị phân, song dãy số nhị phân thao tác dùng toán tử lôgic Boole Khi dãy số hệ nhị phân thao tác dùng toán tử này, gọi Phép toán thao tác bit Những thao tác dùng toán tử AND (tương tự với tác động chữ “và" lôgic, hai đơn vị so sánh phải cho kết 1), OR (tương tự với tác động chữ “hoặc” lôgic, hai đơn vị so sánh cho kết 1), XOR (nếu bit so sánh mà khác kết 1, giống 0) thi hành với cặp bit tương đồng cặp số hai số nhị phân ao 7.1 Hệ thập phân tác toán tử lôgic NOT (phép đổi ngược, thành ngược lại) thi hành bit số nhị phân Đôi khi, phép thao tác dùng làm phương pháp cắt ngắn (làm nhanh) thao tác số học, đồng thời chúng cung cấp lợi ích khác việc xử lý máy tính Lấy ví dụ, loại bỏ bit cuối (bên phải) số nhị phân (còn gọi phép toán chuyển vị nhị phân - binary shiing) tương đương với phép chia hệ thập phân, làm vậy, giá trị số giảm xuống nửa Xin xem thêm Phép toán thao tác bit 7.1 Phương pháp chuyển hệ từ nhị phân sang hệ khác ngược lại Hệ thập phân mấu chốt phép biến đổi hệ số Trong bước làm, viết xuống số phải đổi hệ theo công thức × k + × k + với số nguyên k đó, trở thành số mà muốn đổi 118 tương đương: × 26 + × 25 + × 24 + × 23 + × 22 + × 21 + × 20 11101102 Do phương pháp biến đổi số nguyên, hệ thập phân sang hệ nhị phân tương đương, tiến hành cách chia số với 2, số dư viết xuống vào hàng (đơn vị) Kết lại tiếp tục chia với 2, số dư lại viết xuống vào hàng (chục) Phương thức tiếp tục nhắc lại thương số phép chia Ví dụ, 118, hệ thập phân là: Phương pháp áp dụng để chuyển số từ gốc nào, song bên cạnh có phương Lược trình số dư theo thứ tự từ lên trên, thức tốt cho số tích số mũ, với cho số nhị phân 11101102 số nguyên 2, chẳng hạn hệ bát phân (23 ), hệ Để biến đổi số nhị phân sang hệ thập phân, chúng thập lục phân (24 ) liệt kê làm ngược lại Bắt đầu từ bên trái, nhân đôi kết quả, Trong hệ thống số với giá trị số định cộng số bên cạnh không số vị vị trí dãy ký hiệu số, Lấy ví dụ để đổi 1100101011012 sang hệ thập số vị trí thấp hơn, vị trí quan trọng phân: (ít quan trọng tính toán số lớn sai số xảy ra, số không quan trọng không gây ảnh hưởng lớn đến kết tính toán, chẳng hạn số thập phân 10034 tính tròn số lại thành 10000 thống kê dân số mà không Kết 3245 gây ảnh hưởng lớn đến kết thống kê), thường có số Phần phân số số tự nhiên biến đổi với mũ nhỏ theo hệ số gốc (20 < 23 ) Số mũ đầu tiên, phương pháp, dựa vào phép toán chuyển vị số số lượng chữ số, số nhị phân để tăng gấp đôi giảm xuống nửa giá đó, giá trị Một số có chữ số có số mũ trị số Trong hệ thập phân, gốc hệ 10, Với phân số nhị phân có giá trị “0,110101101012 ", giá trị số cuối bên trái số có chữ số có số phần thập phân 12 , số mũ 4, thể vị trí 104 (chục nghìn) số thứ hai ( 12 )2 = 14 , vân vân Vậy có Xem xét ví dụ sau: giá trị sau dấu phẩy giá trị số thập phân phải 12 , tương tự ngược lại Nếu 97352 tương đương với: gấp đôi giá trị số lên giá trị số phải Điều khiến liên tưởng đến thuật toán: liên tục nhân đôi số cần biến đổi, ghi lại kết kết 1, vứt Phép nhân với gốc hệ số trở thành phép tính phần số nguyên đơn giản Vị trí chữ số dịch sang bên trái Ví dụ: ( 13 ) , nhị phân là: vị trí, số thêm vào phía bên phải dãy số Ví dụ 9735 nhân 10 97350 Một cách định giá trị dãy số, số cộng vào sau số cuối cùng, cách nhân tất chữ số trước số cuối với gốc Vì phần phân số nhắc nhắc lại 0,333… tương hệ, trừ số cuối ra, cộng với số sau đương với phần phân số nhắc nhắc lại hệ nhị 97352 = 9735 x 10 + Một ví dụ hệ nhị phân phân 0,0101… 11011001112 = 1101100112 x + Đây lấy ví dụ số 0,110 , hệ nhị phân là: PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN HỆ TỪ NHỊ PHÂN SANG CÁC HỆ KHÁC VÀ NGƯỢC LẠI Để biến đổi số nhị phân sang hệ thập lục phân tương đương, phải phân nhóm ký tự thành nhóm bốn ký tự số (nhóm bốn số) Nếu số lượng số bội số (4, 8, 16…), cần thêm số vào phía bên trái số, gọi phép độn thêm số (padding) Chẳng hạn: Đây phân số vô hạn tuần hoàn 0,000110011… Có điều đáng ngạc nhiên có phân số thập phân không tuần hoàn chuyển sang nhị phân, lại trở thành phân số tuần hoàn Chính lý mà nhiều người thấy ngạc nhiên họ kiểm nghiệm thấy phép cộng 0,1 +… + 0,1 (gồm 10 số hạng) khác với giá trị 10100102 = 0101 0010 nhóm lại với số giải toán dùng phép toán phân số (floating point độn thêm = 5216 arithmetic) ực tế cho thấy, phân số nhị phân 110111012 = 1101 1101 nhóm lại = DD16 không tuần hoàn dạng thập phân thương phép chia số nguyên lũy thừa số 2( 12 , 14 , 38 ) số nguyên bội Để biến đổi số thập lục phân sang số thập phân 10( 10 , 100 ) tương đương, nhân giá trị thập phân Phương pháp biến đổi sau cách đổi phân số nhị số số thập lục phân với số mũ 16, phân sang thập phân Khó khăn trường hợp tìm tổng giá trị: phân số tuần hoàn, ra, phương pháp thực cách dịch vị trí dấu C0E716 = (12 × 163 ) + (0 × 162 ) + (14 × 161 ) + thập phân, làm tròn thành số nguyên, biến đổi cách (7 × 160 ) = (12 × 4096) + (0 × 256) + (14 × 16) trên, sau chia với số mũ tương ứng hệ + (7 × 1) = 49.38310 thập phân Lấy ví dụ: 7.4 Hệ bát phân (cơ số 8) Một cách khác để biến đổi hệ nhị phân sang thập phân nhanh hơn, người quen thuộc với hệ thập lục phân, làm cách gián tiếp, đổi ( x hệ nhị phân) sang ( x hệ thập lục phân), đổi ( x hệ thập lục phân) sang ( x hệ thập phân) 7.2 Hệ số 32 Số nhị phân đổi sang hệ số 32 Do 32 = 25 Phải cần ký tự số để biểu đạt dễ dàng 7.3 Hệ thập lục phân (cơ số 16 hay hệ hexa) Số nhị phân biến đổi sang hệ bát phân cách dễ dàng, bát phân dùng gốc 8, số mũ (chẳng hạn 23 , số bát phân cần ký tự số nhị phân để biểu đạt trọn vẹn số bát phân) Sự tương ứng số bát phân số nhị phân giống tương đương với tám số hệ thập lục phân, liệt kê bảng trước Số nhị phân 000 tương đương với số bát phân 0, số nhị phân 111 tương đương với số bát phân 7, tương tự Phương pháp đổi bát phân sang nhị phân tương tự cách làm hệ thập lục phân: 658 = 110 1012 178 = 001 1112 Số nhị phân đổi sang hệ thập lục phân đôi chút dễ dàng Sự dễ dàng gốc hệ thập lục phân (16) số mũ gốc hệ nhị phân (2) Cụ thể từ nhị phân sang bát phân: 16 = 24 Vậy phải cần ký tự số hệ nhị phân để biểu đạt ký tự số hệ thập lục phân 1011002 = 101 1002 nhóm lại = 548 Bảng liệt kê sau cho ký tự số hệ thập lục phân, với giá trị tương ứng hệ thập phân, dãy bốn ký tự số tương đương hệ nhị phân Để biến đổi từ hệ thập lục phân sang số nhị phân tương đương, đơn giản thay dãy ký tự số tương đương hệ nhị phân: 3A16 = 0011 10102 E716 = 1110 01112 100112 = 010 0112 nhóm lại với số độn thêm = 238 từ bát phân sang thập phân: 658 = (6 × 81 ) + (5 × 80 ) = (6 × 8) + (5 × 1) = 5310 1278 = (1 × 82 ) + (2 × 81 ) + (7 × 80 ) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 8710 Biểu thị số thực Những số số nguyên biểu thị số mũ âm, dùng dấu tách biệt phân số (dấu “phẩy”) làm cho chúng biệt lập khỏi số khác Lấy ví dụ, số nhị phân 11,012 có nghĩa là: • ere are 10 kinds of people in the world—those who understand binary, and those who don't.” (Chỉ có 10 loại người gian mà thôi, loại hiểu nhị phân loại không hiểu nhị phân ) • 11 is the magic number (11 số kỳ diệu.) 10 Nhị phân sang chữ Tổng số 3,25 hệ thập phân a: 01100001 Tất nhị thức số hữu tỷ 2pa có số nhị phân hữu hạn— Biểu thức nhị phân có dãy số giới hạn sau điểm chia phân số (radix point) Các số hữu tỷ khác có biểu thị nhị phân (binary representation), song thay dãy số hữu hạn, loạt dãy số hữu hạn lặp lặp lại, theo tiến trình vô hạn Chẳng hạn: b: 01100010 = 12 112 c: 01100011 d: 01100100 e: 01100101 f: 01100110 g: 01100111 = 0.0101010101…2 h: 01101000 11002 = 10001 10110100…2 12 17 = 0.10110100 10110100 i: 01101001 10 j: 01101010 Hiện tượng biểu thị nhị phân cho phân thức dãy số hữu hạn (terminating) dãy số vô hạn thấy hệ số dựa số khác (radix-based numeral systems) Xem thêm phần giải thích phân tích hệ thập phân Một biểu tương tự cách biểu thị phân số hữu hạn, dựa vào thực tế 0,111111… tổng cấp số nhân (geometric series) 2−1 + 2−2 + 2−3 +… tức 11 k: 01101011 Số nhị phân vừa số hữu hạn, số vô hạn gọi số vô tỷ (irrational number) Chẳng hạn: 16 p: 01110000 • 0.10100100010000100000100… dãy số có mô hình nhắc lại, dãy số mô hình nhắc lại giới hạn số lượng, gọi số vô tỷ 19 s: 01110011 • 1.0110101000001001111001100110011111110… √ biểu thức nhị phân (căn bậc hai 2), số vô tỷ khác Số vô tỷ mô hình nhắc √ lại nhận dạng, song để chứng minh số vô tỷ phải đòi hỏi chứng Xin xem số vô tỷ để rõ thêm 22 v: 01110110 Tếu nhị phân • Binary is as easy as 1, 10, 11 (Nhị phân dễ 1, 10, 11 vậy.) • I'm just 10 people short of a threesome! (Tôi thiếu 10 người để nhóm hú hí.) 12 l: 01101100 13 m: 01101101 14 n: 01101110 15 o: 01101111 17 q: 01110001 18 r: 01110010 20 t: 01110100 21 u: 01110101 23 w: 01110111 24 x: 01111000 25 y: 01111001 26 z: 01111010 11 Xem thêm • Hệ thập lục phân • Hệ thập phân • Cơ số 36 14 LIÊN KẾT NGOÀI 12 Chú thích [1] Aiton, Eric J (1985), Leibniz: A Biography, Taylor & Francis, tr 245–8, ISBN 0-85274-470-6 [2] Boole, George (2009) [1854] An Investigation of the Laws of ought on Which are Founded the Mathematical eories of Logic and Probabilities (PDF) New York: Cambridge University Press ISBN 9781108001533 [3] Shannon, Claude Elwood (1940) A symbolic analysis of relay and switching circuits Cambridge: Massachuses Institute of Technology [4] “National Inventors Hall of Fame – George R Stibitz” Ngày 20 tháng năm 2008 Truy cập ngày tháng năm 2010 [5] “George Stibitz: Bio” Math & Computer Science Department, Denison University Ngày 30 tháng năm 2004 Truy cập ngày tháng năm 2010 [6] “Pioneers – e people and ideas that made a difference – George Stibitz (1904–1995)” Kerry Redshaw Ngày 20 tháng năm 2006 Truy cập ngày tháng năm 2010 [7] “George Robert Stibitz – Obituary” Computer History Association of California Ngày tháng năm 1995 Truy cập ngày tháng năm 2010 13 Tham khảo • Sanchez, Julio; Canton, Maria P (2007), Microcontroller programming: the microchip PIC, Boca Raton, FL: CRC Press, p 37, ISBN 0849371899 14 Liên kết • Converting Decimal, Hexadecimal, text, numbers, and ascii to binary and back • Binary numeral system • Indian mathematics • Binary System at cut-the-knot • Conversion of Fractions at cut-the-knot • Converting Hexadecimal to Decimal • Converting Decimal to Hexadecimal • Weisstein, Eric W., "Binary" từ MathWorld 9 15 15.1 Nguồn, người đóng góp, giấy phép cho văn hình ảnh Văn • Hệ nhị phân Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/H%E1%BB%87_nh%E1%BB%8B_ph%C3%A2n?oldid=26622204 Người đóng góp: Mxn, DHN, Mekong Bluesman, Nguyễn anh ang, Trung, Vinhtantran, Newone, DHN-bot, Ctmt, Namle, Hai Dang ang, Escarbot, JAnDbot, ijs!bot, ALE!, VolkovBot, TXiKiBoT, Synthebot, AlleborgoBot, SieBot, TVT-bot, PipepBot, Idioma-bot, Qbot, Magicknight94, Pq, SilvonenBot, Future ahead, Ptbotgourou, ArthurBot, Rubinbot, Xqbot, ithithi, EINBNIE, Prenn, Tô Nam Sơn, TjBot, Tnt1984, TuHan-Bot, EmausBot, FoxBot, WikitanvirBot, Cheers!-bot, Klosetei, JhsBot, Justincheng12345-bot, Alphama, AlphamaBot, Addbot, OctraBot, itxongkhoiAWB, Tuanminh01, TuanminhBot, Tiensuitie, Tranngocnhatminh, ynhminh 42 người vô danh 15.2 Hình ảnh • Tập_tin:Binary_clock.png Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/7/72/Binary_clock.png Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: ? • Tập_tin:Half-adder.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Half-adder.svg Giấy phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: is vector image was created with Inkscape Nghệ sĩ đầu tiên: en:User:Cburnett • Tập_tin:He64quetienthien_1.jpg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/f/f8/He64quetienthien_1.jpg Giấy phép: CC-BYSA 1.0–3.0 Người đóng góp: Tôi sáng tạo toàn tác phẩm Nghệ sĩ đầu tiên: Lê Đức Hồng 15.3 Giấy phép nội dung • Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0 ... hàng chục hệ thập phân) , ký tự “2” hệ nhị phân để biểu đạt giá trị làm hệ thập phân Trong hệ nhị phân, giá trị 10 biểu đạt hình thức tương tự (1 x 21 ) + (0 x 20 ) Giá trị hệ thập phân Nhị phân sang... x hệ nhị phân) sang ( x hệ thập lục phân) , đổi ( x hệ thập lục phân) sang ( x hệ thập phân) 7.2 Hệ số 32 Số nhị phân đổi sang hệ số 32 Do 32 = 25 Phải cần ký tự số để biểu đạt dễ dàng 7.3 Hệ. .. phân sang nhị phân tương tự cách làm hệ thập lục phân: 658 = 110 1012 178 = 001 1112 Số nhị phân đổi sang hệ thập lục phân đôi chút dễ dàng Sự dễ dàng gốc hệ thập lục phân (16) số mũ gốc hệ nhị