CHUYÊN ĐỀ 6: Đại số tổ hợp. 1. Quy tắc cộng: Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y, và nếu cách chọn đối tượng x không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng y nào, thì có (m + n) cách chọn một trong các đối tượng đã cho. 2. Quy tắc nhân: Nếu có m 1 cách chọn đối tượng x 1 , sau đó với mỗi cách chọn x 1 có m 2 cách chọn đối tượng x 2 , sau đó với mỗi cách chọn x 1 , x 2 như thế có m 3 cách chọn đối tượng x 3 ,…, cuối cùng với mỗi cách chọn x 1 , x 2 , x 3 ,…, x n-1 như thế có m n cách chọn đối tượng x n , thì có tất cả m 1 .m 2 …m n cách chọn dãy x 1 , x 2 ,…, x n . * Cách phát biểu ngắn gọn quy tắc nhân: Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp, bước 1 có m 1 cách, bước 2 có m 2 cách,…, bước n có m n cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m 1 .m 2 … m n cách khác nhau. 3. Hoán vò: 3.1. Đònh nghóa: Cho tập hợp A, gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vò của n phần tử đó. 3.2. Số hoán vò của n phần tử: Số hoán vò của n phần tử được cho bởi công thức: P n = n! = n.(n - 1)…3.2.1. 4. Chỉnh hợp: 4.1. Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1 k n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. 4.2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được cho bởi công thức: )) .(( 1kn1nnA k n +−−= hay )!( ! kn n A k n − = 5. Tổ hợp: 5.1. Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (0 k n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A. 5.2. Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Số các tổ hợp chập k của n phần tử được cho bởi công thức: )!(! ! knk n C k n − = 5.3. Các hệ thức giữa các số k n C : 5.3.1. kn n k n CC − = 5.3.2. k n k 1n 1k 1n CCC =+ − − − 6. Nhò thức Newton: 6.1. Nhò thức Newton: (a + b) n = 0 n C a n + 1 n C a n - 1 b +…+ k n C a n - k b k +…+ n n C b n . 6.2. Các tính chất: 6.2.1. Số các số hạng của công thức bằng n +1. 6.2.2. Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhj thức ((n - k) + k = n). 6.2.3. Số hạng tổng quát có dạng: T k + 1 = k n C a n - k b k (k = 0, 1, 2,…, n) 6.2.4. Các hệ số nhò thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau vì kn n k n CC − = . . n k n CC − = 5.3.2. k n k 1n 1k 1n CCC =+ − − − 6. Nhò thức Newton: 6.1. Nhò thức Newton: (a + b) n = 0 n C a n + 1 n C a n - 1 b +…+ k n C a n - k b