http://NgocHung.name.vn phơng pháp giải toán chia hết Phần I: Tóm tắt lý thuyết I Định nghĩa phép chia Cho số nguyên a b b ta tìm đợc hai số nguyên q r cho: a = bq + r Với r | b| Trong đó: a số bị chia, b số chia, q thơng, r số d Khi a chia cho b xẩy | b| số d r {0; 1; 2; ; | b| } Đặc biệt: r = a = bq, ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: ab hay b\ a Vậy: a b Có số nguyên q cho a = bq II Các tính chất Với a a a Nếu a b b c a c Với a a Nếu a, b > a b ; b a a = b Nếu a b c ac b Nếu a b ( a) ( b) Với a a ( 1) Nếu a b c b a c b Nếu a b cb a c b 10 Nếu a + b c a c b c 11 Nếu a b n > an bn 12 Nếu ac b (a, b) =1 c b 13 Nếu a b, c b m, n am + cn b 14 Nếu a b c d ac bd 15 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! III Một số dấu hiệu chia hết Gọi N = anan1 a1a0 Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho chữ số tận chữ số chẵn N a0 a0{0; 2; 4; 6; 8} Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho chữ số tận N a0 a0{0; 5} Dấu hiệu chia hết cho 25: Một số chia hết cho (hoặc 25) số tạo chữ số tận chia hết cho 25 N (hoặc 25) a1a0 (hoặc 25) Dấu hiệu chia hết cho 125: Một số chia hết cho (hoặc 125) số tạo chữ số tận chia hết cho 125 N (hoặc 125) a2 a1a0 (hoặc 125) Dấu hiệu chia hết cho 9: Một số chia hết cho (hoặc 9) tổng chữ số chia hết cho (hoặc 9) N (hoặc 9) a0+a1++an (hoặc 9) http://NgocHung.name.vn * Chú ý: số chia hết cho (hoặc 9) d tổng chữ số chia cho (hoặc 9) d nhiêu Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn tính từ trái sang phải chia hết cho N 11 [(a0+a1+) - (a1+a3+)] 11 Một số dấu hiệu khác: N 101 [( a a + a a +) - ( a a + a a +)]101 N (hoặc 13) [( a2 a1a0 + a8 a7a6 +) - [( a5 a4a3 + a11 a10a9 +) 11 (hoặc 13) N 37 ( a2 a1a0 + a5 a4a3 +) 37 N 19 ( a0+2an-1+22an-2++ 2na0) 19 IV Đồng d thức a Định nghĩa: Cho m số nguyên dơng Nếu hai số nguyên a b cho số d chia cho m ta nói a đồng d với b theo modun m Ký hiệu: a b (modun) Vậy: a b (modun) a - b m b Các tính chất Với a a a (modun) Nếu a b (modun) b a (modun) Nếu a b (modun), b c (modun) a c (modun) Nếu a b (modun) c d (modun) a+c b+d (modun) Nếu a b (modun) c d (modun) ac bd (modun) a b (modun) d d a b m Nếu a b (modun), d > d Uc (a, b, m) (modun ) d d d Nếu a b (modun), d Uc (a, b) (d, m) =1 V Một số định lý Định lý Euler Nếu m số nguyên dơng (m) số số nguyên dơng nhỏ m nguyên tố với m, (a, m) = Thì a(m) (modun) Công thức tính (m) Phân tích m thừa số nguyên tố m = p11 p22 pkk với pi p; i N* 1 Thì (m) = m(1 )(1 ) (1 ) p1` p2 pk Định lý Fermat Nếu t số nguyên tố a không chia hết cho p ap-1 (modp) Định lý Wilson Nếu p số nguyên tố ( P - 1)! + (modp) phần II: phơng pháp giải toán chia hết Phơng pháp 1: Sử dụng dấu hiệu chia hết Ví dụ 1: Tìm chữ số a, b cho a56b45 Giải: Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = để a56b45 a56b5 Xét a56b5 b {0 ; 5} http://NgocHung.name.vn Nếu b = ta có số a56b9 a + + + a + 11 a = Nếu b = ta có số a56b9 a + + + a + 16 a = Vậy: a = b = ta có số 7560 a = b = ta có số 2560 Ví dụ 2: Biết tổng chữ số số không đổi nhân số với CMR số chia hết cho Giải: Gọi số cho a Ta có: a 5a chia cho có số d 5a - a 4a mà (4 ; 9) = a (Đpcm) 111 81 Ví dụ 3: CMR số 111 81 số1 Giải: Ta thấy: 111111111 111 = 111111111(1072 + 1063 + + 109 + 1) Có 111 81 số1 Mà tổng 1072 + 1063 + + 109 + có tổng chữ số 9 1072 + 1063 + + 109 + 111 81 (Đpcm) Vậy: 111 81 số1 Bài tập tơng tự Bài 1: Tìm chữ số x, y cho a 34x5y b 2x7817 Bài 2: Cho số N = dcbaCMR a N (a + 2b) b N 16 (a + 2b + 4c + 8d) 16 với b chẵn c N 29 (d + 2c + 9b + 27a) 29 Bài 3: Tìm tất số có chữ số cho số gấp lần tích chữ số số Bài 4: Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 đến 80 ta đợc số A = 192021 7980 Hỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao? Bài 5: Tổng 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao? 11 22 22 tích số tự nhiên liên tiếp Bài 6: Chứng tỏ số 11 100 số1 100 số2 Hớng dẫn - Đáp số a x = y = x= y = b 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 x = Bài 2: a N4 ab4 10b + a4 8b + (2b + a) a + 2b4 b N16 1000d + 100c + 10b + a16 (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16 a + 2b + 4c + 8d16 với b chẵn c Có 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca 29 Mà (1000, 29) =1 dbca 29 (d + 3c + 9b + 27a) 29 Bài 1: Bài 3: Gọi ab số có chữ số Theo ta có: ab= 10a + b = 2ab (1) ab2 b {0; 2; 4; 6; 8} thay vào (1) a = 3; b = http://NgocHung.name.vn Bài 4: Có 1980 = 22.32.5.11 Vì chữ số tận a 80 A4 Tổng số hàng lẻ 1+(2+3++7).10+8 = 279 Tổng số hàng chẵn 9+(0+1++9).6+0 = 279 Có 279 + 279 = 558 A 279 - 279 = 11 A 11 Bài 5: Tổng số tự nhiên liên tiếp số lẻ nên không chia hết cho Có 46 số tự nhiên liên tiếp có 23 cặp số cặp có tổng số lẻ tổng 23 cặp không chia hết cho Vậy tổng 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46 11 Bài 6: Có 11 100 số1 22 22 = 11 11 100 02 100 số2 100 số1 99 số0 02 = 33 34 Mà 100 99 số0 11 11 100 số1 99 số3 22 22 100 số2 33 = 33 100 số3 33 34 99 số3 (Đpcm) Phơng pháp 2: Sử dụng tính chất chia hết * Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n CMR: Gọi n số nguyên liên tiếp m + 1; m + 2; m + n với m Z, n N* Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n ta đợc tập hợp số d là: {0; 1; 2; n 1} * Nếu tồn số d 0: giả sử m + i = nqi ; i = 1,n m + i n * Nếu không tồn số d số nguyên dãy chia hết cho n phải có số d trùng m + i = nqi + r m + j = qjn + r Giả sử: i; j n i - j = n(qi - qj) n i - j n mà i - j< n i - j = i = j m + i = m + j Vậy n số có số số chia hết cho n Ví dụ 1: CMR: a Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho b Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải: a Trong số nguyên liên tiếp có số chẵn Số chẵn chia hết cho Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Tích số nguyên liên tiếp chia hết tích số nguyên liên tiếp chia hết cho b Trong sô nguyên liên tiếp bao giơ có số chia hết cho Tích số chia hết cho mà (1; 3) = Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Ví dụ 2: CMR: Tổng lập phơng số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải: Gọi số nguyên liên tiếp lần lợt là: n - , n , n+1 Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n Ta thấy (n - 1)n (n + 1) (CM Ví dụ 1) http://NgocHung.name.vn 3(n - 1)n (n + 1) 9(n + 1) mà 18n A (ĐPCM) Ví dụ 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 với n chẵn, n Giải: Vì n chẵn, n ta đặt n = 2k, k Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1) Với k nên k - 2, k - 1, k + 1, k số tự nhiên liên tiếp nên số có số chia hết cho số chia hết cho (k - 2)(k - 1)(k + 1)k Mà (k - 2) (k - 1)k ; (3,8)=1 (k - 2) (k - 1) (k + 1)k 24 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k (16,24) Vậy n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 với n chẵn, n Bài tập tơng tự Bài 1: CMR: a n(n + 1) (2n + 1) b n5 - 5n3 + 4n 120 Với n N Bài 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 Với n Z Bài 3: CMR: Với n lẻ a n2 + 4n + b n3 + 3n2 - n - 48 c n12 - n8 - n4 + 512 Bài 4: Với p số nguyên tố p > CMR : p2 - 24 Bài 5: CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có số có tổng chữ số chia hết cho 27 Hớng dẫn - Đáp số Bài 1: a n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)] = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) b n - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n = n(n2 - 1) (n2 - 4) = n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2) 120 Bài 2: n4 + 6n3 + 6n + 11n2 = n(n3 + 6n2 + + 11n) = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) 24 Bài 3: a n2 + 4n + = (n + 1) (n + 3) b n3 + 3n2 - n - = n2(n + 3) - (n + 3) = (n2 - 1) (n + 3) = (n + 1) (n - 1) (n + 3) = (2k + 4) (2k + 2) (2k với n = 2k + 1, k N) = 8k(k + 1) (k +2) 48 c n12 - n8 - n4 + = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1) = (n4 - 1) (n8 - 1) = (n4 - 1)2 (n4 + 1) = (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1) = 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1) Với n = 2k + n2 + n4 + số chẵn (n2 + 1)2 ; n4 + n12 - n8 - n4 + (24.22 22 21) Vậy n12 - n8 - n4 + 512 Bài 4: Có p2 - = (p - 1) (p + 1) p số nguyên tố p > p ta có: (p - 1) (p + 1) http://NgocHung.name.vn p = 3k + p = 3k + (k N) (p - 1) (p + 1) Vậy p2 - 24 Bài 5: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp n, n +1; n + 2; ; n + 1989 (1) 1000 tự nhiên liên tiếp n, n + 1; n + 2; ; n + 999 có số chia hết cho 1000 giả sử n0, n0 có tận chữ số giả sử tổng chữ số n0 s 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; ; n0 + 99; n0 + 199; n0 + 899 (2) Có tổng chữ số lần lợt là: s; s + ; s + 26 Có số chia hết cho 27 (ĐPCM) * Chú ý: n + 899 n + 999 + 899 < n + 1989 Các số (2) nằm dãy (1) Phơng pháp 3: xét tập hợp số d phép chia Ví dụ 1: CMR: Với n N Thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hết cho Giải: Ta thấy thừa số n 7n + số chẵn Với n N A(n) Ta chứng minh A(n) Lấy n chia cho ta đợc n = 3k + (k N) Với r {0; 1; 2} Với r = n = 3k n A(n) Với r = n = 3k + 2n + = 6k + A(n) Với r = n = 3k + 7n + = 21k + 15 A(n) A(n) với n mà (2, 3) = Vậy A(n) với n N Ví dụ 2: CMR: Nếu n A(n) = 32n + 3n + 13 Với n N Giải: Vì n n = 3k + r (k N); r {1; 2; 3} A(n) = 32(3k + r) + 33k+r + = 32r(36k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + ta thấy 36k - = (33)2k - = (33 - 1)M = 26M 13 33k - = (33 - 1)N = 26N 13 với r = 32n + 3n + = 32 + +1 = 13 13 32n + 3n + 13 với r = 32n + 3n + = 34 + 32 + = 91 13 32n + 3n + Vậy với n A(n) = 32n + 3n + 13 Với n N Ví dụ 3: Tìm tất số tự nhiên n để 2n - Giải: Lấy n chia cho ta có n = 3k + (k N); r {0; 1; 2} Với r = n = 3k ta có 2n - = 23k - = 8k - = (8 - 1)M = 7M với r =1 n = 3k + ta có: 2n - = 28k +1 - = 2.23k - = 2(23k - 1) + mà 23k - 2n - chia cho d với r = n = 3k + ta có : 2n - = 23k + - = 4(23k - 1) + mà 23k - 2n - chia cho d Vậy 23k - n = 3k (k N) Bài tập tơng tự 2 Bài 1: CMR: An = n(n + 1)(n + 4) Với n Z Bài 2: Cho A = a1 + a2 + + an http://NgocHung.name.vn B = a51 + a52 + + a5n Bài 3: CMR: Nếu (n, 6) =1 n2 - 24 Với n Z Bài 4: Tìm số tự nhiên n để 22n + 2n + Bài 5: Cho số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4 + = n2 CMR: mn 55 Hớng dẫn - Đáp số Bài 1: + A(n) + Lấy n chia cho n = 5q + r r {0; 1; 2; 3; 4} r = n A(n) r = 1, n2 + A(n) r = 2; n2 + A(n) A(n) A(n) 30 Bài 2: Xét hiệu B - A = (a51 - a1) + + (a5n - an) Chỉ chứng minh: a5i - 30 đủ Bài 3: Vì (n, 6) =1 n = 6k + (k N) Với r { 1} r = n2 - 24 Bài 4: Xét n = 3k + r (k N) Với r {0; 1; 2} Ta có: 22n + 2n + = 22r(26k - 1) + 2r(23k - 1) + 22n + 2n + Làm tơng tự VD3 Bài 5: Có 24m4 + = n2 = 25m4 - (m4 - 1) Khi m mn Khi m (m, 5) = m4 - (Vì m5 - m (m4 - 1) m4 - 5) n2 ni5 Vậy mn Phơng pháp 4: sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử Giả sử chứng minh an k Ta phân tích an chứa thừa số k phân tích thành thừa số mà thừa số chia hết cho thừa số k Ví dụ 1: CMR: 36n - 26n 35 Với n N Giải: Ta có 36n - 26n = (36)n - (26)n = (36 - 26)M = (33 + 23) (33 - 23)M = 35.19M 35 Vậy 36n - 26n 35 Với n N Ví dụ 2: CMR: Với n số tự nhiên chăn biểu thức A = 20n + 16n - 3n - 232 Giải: Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = ta chứng minh A 17 A 19 ta có A = (20n - 3n) + (16n - 1) có 20n - 3n = (20 - 3)M 17M 16n - = (16 + 1)M = 17N 17 (n chẵn) A 17 (1) ta có: A = (20n - 1) + (16n - 3n) có 20n - = (20 - 1)p = 19p 19 có 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q 19 (n chẵn) A 19 (2) Từ (1) (2) A 232 Ví dụ 3: CMR: nn - n2 + n - (n - 1)2 Với n >1 Giải: Với n = nn - n2 + n - = (n - 1)2 = (2 - 1)2 = nn - n2 + n - 1(n - 1)2 với n > đặt A = nn - n2 + n - ta có A = (nn - n2) + (n - 1) http://NgocHung.name.vn = n2(nn-2 - 1) + (n - 1) = n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + + 1) + (n - 1) = (n - 1) (nn-1 + nn-2 + + n2 +1) = (n - 1) [(nn-1 - 1) + +( n2 - 1) + (n - 1)] = (n - 1)2M (n - 1)2 Vậy A (n - 1)2 (ĐPCM) Bài tập tơng tự 2n +1 2n +2 Bài 1: CMR: a +2 4 b mn(m - n ) 30 Bài 2: CMR: A(n) = 3n + 63 72 với n chẵn n N, n Bài 3: Cho a b số phơng lẻ liên tiếp CMR: a (a - 1) (b - 1) 192 Bài 4: CMR: Với p số nguyên tố p > p4 - 240 Bài 5: Cho số nguyên dơng a, b, c thoả mãn a2 = b2 + c2 CMR: abc 60 Hớng dẫn - Đáp số 2n +1 2n +2 2n Bài 1: a +2 = 3.3 + 2.2n n n = 3.9 + 4.2 = 3(7 + 2)n + 4.2n = 7M + 7.2n b mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) 30 Bài 3: Có 72 = 9.8 mà (8, 9) = n = 2k (k N) có 3n + 63 = 32k + 63 = (32k - 1) + 64 A(n) Bài 4: Đặt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k N) Ta có (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) 64 Bài 5: Có 60 = 3.4.5 Đặt M = abc Nếu a, b, c không chia hết cho a2, b2 c2 chia hết cho d a2 b2 + c2 Do có số chia hết cho Vậy M Nếu a, b, c không chia hết cho a2, b2 c2 chia d b2 + c2 chia d 2; a2 b2 + c2 Do có số chia hết cho Vậy M Nếu a, b, c số lẻ b2 c2 chia hết cho d b2 + c2 (mod 4) a2 b2 + c2 Do số a, b phải số chẵn Giả sử b số chẵn Nếu C số chẵn M Nếu C số lẻ mà a2 = b2 + c2 a số lẻ b a + c a c b = (a - c) (a + b) = b chẵn b m Vậy M = abc 3.4.5 = 60 Phơng pháp 5: biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng tổng Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) dạng tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tử chia hết cho k Ví dụ 1: CMR: n3 + 11n với n z Giải: Ta có n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n = n(n + 1) (n - 1) + 12n Vì n, n - 1; n + số nguyên liên tiếp n (n + 1) (n - 1) 12n Vậy n3 + 11n http://NgocHung.name.vn Ví dụ 2: Cho a, b z thoả mãn (16a +17b) (17a +16b) 11 CMR: (16a +17b) (17a +16b) 121 Giải: Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b) 11 16a +17b 11 (1) 17a +16b 11 Có 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) 11 (2) 16a + 17b 11 Từ (1) (2) 17a + 16b 11 Vậy (16a +17b) (17a +16b) 121 Ví dụ 3: Tìm n N cho P = (n + 5)(n + 6) 6n Giải : Ta có P = (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30 = 12n + n2 - n + 30 Vì 12n 6n nên để P 6n n2 - n + 30 6n n2 - n n(n - 1) (1) 30 6n 30 n (2) Từ (1) n = 3k n = 3k + (k N) Từ (2) n {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Vậy từ (1); (2) n {1; 3; 6; 10; 15; 30} Thay giá trị n vào P ta có n {1; 3; 10; 30} thoả mãn Vậy n {1; 3; 10; 15; 30} P = (n + 5)(n + 6) 6n Bài tập tơng tự 3 3 Bài 1: CMR: + + + 23 Bài 2: CMR: 36n2 + 60n + 24 24 Bài 3: CMR: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1 59 b 2n + 14 Bài 4: Tìm n N cho n3 - 8n2 + 2n n2 + Hớng dẫn - Đáp số 3 3 Bài 1: + + + = (1 + 73) + (33 + 53) = 8m + 8N 23 Bài 2: 362 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24 Ta thấy n 3n + không đồng thời chẵn lẻ n(3n + 5) ĐPCM Bài 3: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1 = 5n(25 + 26) + 2n+1 = 5n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 + 8.59m 59 b 2n + 14 = 2n - + 15 = (81n - 1) + 15 = 80m + 15 Bài 4: Có n - 8n2 + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + (n2 + 1) n + n2 + Nếu n + = n = -8 (thoả mãn) Nếu n + n + n2 + n + -n Với n n + n + Với n n + n + Với n n n Với n n {-2; 0; 2} thử lại Vậy n {-8; 0; 2} Phơng pháp 6: Dùng quy nạp toán học Giả sử CM A(n) P với n a (1) http://NgocHung.name.vn Bớc 1: Ta CM (1) với n = a tức CM A(n) P Bớc 2: Giả sử (1) với n = k tức CM A(k) P với k a Ta CM (1) với n = k + tức phải CM A(k+1) P Bớc 3: Kết luận A(n) P với n a Ví dụ 1: Chứng minh A(n) = 16n - 15n - 225 với n N* Giải: Với n = A(n) = 225 225 n = Giả sử n = k nghĩa A(k) = 16k - 15k - 225 Ta phải CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 225 Thật vậy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - = 16.16k - 15k - 16 = (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15 = 16k - 15k - + 15.15m = A(k) + 225 mà A(k) 225 (giả thiết quy nạp) 225m225 Vậy A(n) 225 Ví dụ 2: CMR: với n N* n số tự nhiên lẻ ta có m 12 n +2 Giải: Với n = m2 - = (m + 1)(m - 1) (vì m + 1; m - số chẵn liên tiếp nên tích chúng chia hết cho 8) k Giả sử với n = k ta có m 12 k +2 ta phải chứng minh n m2 k +1 12 k +3 Thật m m 2k =2 k+ có m2 k k +2 12 k +2 m = q k (q z ) k +2 q +1 ( k = m2 ) ( ) = 2k+2.q +1 =2k+4.q2 +2k+3.q = k +3 ( k +1 q + q ) k +3 Vậy m n 12 n +2 với n Bài tập tơng tự Bài 1: CMR: - 26n - 27 29 với n 2n+2 Bài 2: CMR: - 15 Bài 3: CMR số đợc thành lập 3n chữ số giống chia hết cho 3n với n số nguyên dơng Hớng dẫn - Đáp số Bài 1: Tơng tự ví dụ Bài 2: Tơng tự ví dụ 3n+3 a a 3n (1) { Bài 3: Ta cần CM a n Với n = ta có số a aa a =111 a a 3k Giả sử (1) với n = k tức aa 3k sốa Ta chứng minh (1) với n = k + tức phải chứng minh aa a 3k+1 ta có 3k+1 = 3.3k = 3k + 3k +3k k+ sốa aa a =a a a a a a = aa a.10 2.3 + aa a.103 + a a Có k k k k 3k + sốa 3 k 3k http://NgocHung.name.vn ( k k ) 2.3 k +1 = aa a 10 + 10 + 3 k Phơng pháp 7: sử dụng đồng d thức Giải toán dựa vào đồng d thức chủ yếu sử dụng định lý Euler định lý Fermat Ví dụ 1: CMR: 22225555 + 55552222 Giải: Có 2222 - (mod 7) 22225555 + 55552222 (- 4)5555 + 45555 (mod 7) Lại có: (- 4)5555 + 42222 = - 45555 + 42222 1111 = - 42222 (43333 - 1) = - 2222 ( ) Vì 43 = 64 (mod 7) 22225555 + 55552222 (mod 7) Vậy 22225555 + 55552222 (( 1111 ) ) (mod 7) Ví dụ 2: CMR: 32 +33 +522 với n N Giải: Theo định lý Fermat ta có: 310 (mod 11) 210 (mod 11) Ta tìm d phép chia 24n+1 34n+1 cho 10 Có 24n+1 = 2.16n (mod 10) 24n+1 = 10q + (q N) Có 34n+1 = 3.81n (mod 10) 34n+1 = 10k + (k N) n +1 n +1 Ta có: 32 +33 +5 = 310 q +2 +210 k +3 = 32.310q + 23.210k + 1+0+1 (mod 2) (mod 2) mà (2, 11) = n +1 n +1 Vậy 32 +33 +522 với n N n +1 n +1 Ví dụ 3: CMR: 2 +7 11 với n N Giải : Ta có: (mod) 24n+1 (mod 10) 24n+1 = 10q + (q N) 24 n +1 = 210 q +2 Theo định lý Fermat ta có: 210 (mod 11) 210q (mod 11) n +1 n +1 22 +7 =210 q +2 +7 4+7 (mod 11) (mod 11) Vậy 2 +7 11 với n N (ĐPCM) Bài tập tơng tự 26 n +2 Bài 1: CMR +319 với n N Bài 2: CMR với n ta có 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 38 Bài 3: Cho số p > 3, p (P) CMR 3p - 2p - 42p Bài 4: CMR với số nguyên tố p có dạng 2n - n (n N) chia hết cho p Hớng dẫn - Đáp số Bài 1: Làm tơng tự nh VD3 Bài 2: Ta thấy 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 Mặt khác 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 = 2n(52n-1.10 + 6n-1) Vì 25 (mod 19) 5n-1 6n-1 (mod 19) n+ http://NgocHung.name.vn 25n-1.10 + 6n-1 6n-1.19 (mod 19) (mod 19) Bài 3: Đặt A = 3p - 2p - (p lẻ) Dễ dàng CM A A A Nếu p = A = 37 - 27 - 49 A 7p Nếu p (p, 7) = Theo định lý Fermat ta có: A = (3p - 3) - (2p - 2) p Đặt p = 3q + r (q N; r = 1, 2) A = (33q+1 - 3) - (23q+r - 2) = 3r.27q - 2r.8q - = 7k + 3r(-1)q - 2r - (k N) với r = 1, q phải chẵn (vì p lẻ) A = 7k - - - = 7k - 14 Vậy A mà A p, (p, 7) = A 7p Mà (7, 6) = 1; A A 42p Bài 4: Nếu P = 22 - = 2 Nếu n > Theo định lý Fermat ta có: 2p-1 (mod p) 2m(p-1) (mod p) (m N) Xét A = 2m(p-1) + m - mp A p m = kq - Nh p > p có dạng 2n - n N = (kp - 1)(p - 1), k N chia hết cho p Phơng pháp 8: sử dụng nguyên lý Đirichlet Nếu đem n + thỏ nhốt vào n lồng có lồng chứa từ trở lên Ví dụ 1: CMR: Trong n + số nguyên có số có hiệu chia hết cho n Giải: Lấy n + số nguyên cho chia cho n đợc n + số d nhận số sau: 0; 1; 2;; n - có số d có số d chia cho n Giả sử = nq1 + r r j; q, k N aj - aj = 1993(q - k) 111 1100 =1993( q k ) i - j 1994 số1 i số0 j 111 11.10 =1993( q k ) i - j 1994 số1 mà (10j, 1993) = 111 11 1993 (ĐPCM) 1994 số1 Bài 3: Xét dãy số gồm 17 số nguyên a1, a2, , a17 Chia số cho ta đợc 17 số d phải có số d thuộc tập hợp{0; 1; 2; 3; 4} Nếu 17 số có số chia cho có số d tổng chúng chia hết cho Nếu 17 số số có số d chia cho tồn số có số d khác tổng số d là: + + + + = 10 10 Vậy tổng số chia hết cho Bài 4: Xét dãy số a1 = 1993, a2 = 19931993, 1993 a1994 = 1993 1994 số1993 đem chia cho 1994 có 1994 số d thuộc tập {1; 2; ; 1993} theo nguyên lý Đirichlet có số hạng có số d Giả sử: = 1993 1993 (i số 1993) aj = 1993 1993 (j số 1993) aj - aj 1994 i < j 1994 1993 10 1993 ni 1993 j - i số1993 Phơng pháp 9: phơng pháp phản chứng Để CM A(n) p (hoặc A(n) p ) + Giả sử: A(n) p (hoặc A(n) p ) + CM giả sử sai + Kết luận: A(n) p (hoặc A(n) p ) Ví dụ 1: CMR n2 + 3n + 121 với n N Giải: Giả sử tồn n N cho n2 + 3n + 121 4n2 + 12n + 20 121 (vì (n, 121) = 1) (2n + 3)2 + 11 121 (1) (2n + 3)2 11 Vì 11 số nguyên tố 2n + 11 (2n + 3)2 121 (2) Từ (1) (2) 11 121 vô lý Vậy n2 + 3n + 121 Ví dụ 2: CMR n2 - n với n N* Giải: Xét tập hợp số tự nhiên N* Giả sử n 1, n N* cho n2 - n Gọi d ớc số chung nhỏ khác n d (p) theo định lý Format ta có http://NgocHung.name.vn 2d-1 (mod d) m < d ta chứng minh m\n Giả sử n = mq + r (0 r < m) Theo giả sử n2 - n nmq+r - n 2r(nmq - 1) + (2r - 1) n 2r - d r < m mà m N, m nhỏ khác có tính chất (1) r = m\n mà m < d có tính chất (1) nên điều giả sử sai Vậy n2 - n với n N* Bài tập tơng tự Bài 1: Có tồn n N cho n + n + 49 không? Bài 2: CMR: n2 + n + với n N* Bài 3: CMR: 4n2 - 4n + 18 289 với n N Hớng dẫn - Đáp số Bài 1: Giả sử tồn n N để n2 + n + 49 4n2 + 4n + 49 (2n + 1)2 + 49 (1) (2n + 1)2 Vì số nguyên tố 2n + (2n + 1)2 49 (2) Từ (1); (2) 49 vô lý Bài 2: Giả sử tồn n2 + n + với n (n + 2)(n - 1) + 3 (1) n + số nguyên tố (n + 2)(n - 1) (2) n 13 Từ (1) (2) vô lý Bài 3: Giả sử n N để 4n2 - 4n + 18 289 (2n - 1)2 + 17 172 (2n - 1) 17 17 số nguyên tố (2n - 1) 17 (2n - 1)2 289 17 289 vô lý Bài tập phơng pháp Cỏch 1: chng minh A(n) chia ht cho k, cú th xột mi trng hp s d chia n cho k Vớ d: Chng minh rng: a) Tớch ca hai s nguyờn liờn tip chia ht cho b) Tớch ca ba s nguyờn liờn tip chia ht cho Giải: a) Vit tớch ca hai s nguyờn liờn tip di dng A(n) = n(n + 1) Cú hai trng hp xy : * n => n(n + 1) * n khụng chia ht cho (n l) => (n + 1) => n(n +1) b) Xét trờng hợp: n chia hết cho 3; n=3q+1; n = 3q+2 + Nếu n chia hết cho 3, hiển nhiên A(n) chia hết cho + Nếu n = 3q+1 => n+2 = 3q+3 chia hết cho + Nếu n= 3q+2 => n+1 = 3q+2+1 = 3q+3 chia hết cho Trong trờng hợp A(n) chứa thừa số chia hết cho Vậy A(n) chia hết cho (đpcm) Cỏch 2: chng minh A(n) chia ht cho k, cú th phõn tớch k tha s: k = pq + Nu (p, q) = 1, ta chng minh A(n) p v A(n) q + Nu (p, q) 1, ta phõn tớch A(n) = B(n) C(n) ri chng minh:B(n) p v C(n) q Vớ d 1: a) Chng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2) b) Chng minh: tớch ca hai s chn liờn tip chia ht cho Giải: a) Ta cú = 2.3; (2,3) = Theo chng minh trờn ó cú A(n) chia ht cho v Do ú A(n) chia ht cho b) Ta vit A(n) = 2n(2n + 2) = 2n 2(n +1) = 4n(n + 1) http://NgocHung.name.vn = Vỡ 4 v n(n +1) nờn A(n) Vớ d : Chng minh rng n5 - n chia ht cho 10, vi mi s nguyờn dng n (Trớch thi HSG lp cp tnh nm hc 2005 - 2006) 2 Giải: A(n) = n - n = n(n - 1) = n(n - 1)(n + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 +1) n = 5k + => (n - 1) n = 5k + => (n + 1) n = 5k + => n2 + = (5k + 2)2 + = (25k2 + 20k + + 1) n = 5k + => n2 + = (5k + 3)2 + = (25k2 + 30k + + 1) Vy : A(n) chia ht cho v nờn phi chia ht cho 10 Cỏch 3: chng minh A(n) chia ht cho k, cú th bin i A(n) thnh tng (hiu) ca nhiu hng t, ú mi hng t u chia ht cho k (ó hc tớnh cht chia ht ca mt tng lp 6) (Liờn h: A(n) khụng chia ht cho k ) Vớ d 1: Chng minh n3 - 13n (n > 1) chia ht cho (Trớch thi HSG cp II ton quc nm 1970) Giải: n3 - 13n = n3 - n - 12n = n(n2 - 1) - 12n = (n - 1)n(n + 1) - 12n (n - 1)n(n + 1) l tớch ca s t nhiờn liờn tip nờn chia ht cho ; 12n Do ú A(n) Vớ d 2: Chng minh n2 + 4n + khụng chia ht cho , vi mi s n l Giải: Vi n = 2k +1 ta cú: A(n) = n2 + 4n + = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + = 4k2 + 4k + + 8k + + = 4k(k + 1) + 8(k + 1) + A(n) bng tng ca ba hng t, ú hai hng t u u chia ht cho , ch cú hng t khụng chia ht cho Vy A(n) khụng chia ht cho Cỏch 4: Phõn tớch A(n) thnh nhõn t Nu cú mt nhõn t chia ht cho k thỡ A(n) chia ht cho k H qu: Nu A(n) = B(n).C(n) m B(n)v C(n) u khụng chia ht cho k thỡ A(n) khụng chia ht cho k A(n) = k B(n) Trờng hợp thờng sử dụng kết quả: * (an - bn ) chia hết cho (a - b) với (a b) n n * (a - b ) chia hết cho (a - b) với (a b; n chẵn) (an - bn ) chia hết cho (a - b) với (a - b; n lẻ) Vớ d 1: Chng minh : + 22 + 23 + + 260 chia ht cho 15 Giải: Ta cú: + 22 +23 + + 260 = (2 + 22 + + 24) + (25+ + 28) + + (257 + + 260) = 2(1 + + + 8) + 25(1 + + + 8) + + 257(1 + + + 8) = 15.(2 + 25 + + 257) 15 Vớ d 2: Chứng minh rằng: 27 + 37 + 57 chia hết cho Giải: Vì số lẻ nên (27 + 37) chia hết cho (2 + 3) hay 27 + 37 chia hết cho => 27 + 37 + 57 chia hết cho (đpcm) mà chia hết cho Cỏch 5: Dựng nguyờn tc Dirichlet: Nguyờn tc Dirichlet phỏt biu di dng hỡnh nh nh sau: Nu nht k chỳ th vo m chung m k> m thỡ phi nht ớt nht hai chỳ th vo chung mt chung Vớ d: Chng minh rng m + s nguyờn bt kỡ th no cng cú hai s cú hiu chia ht cho m Giải: Chia mt s nguyờn bt kỡ cho m ta c s d l mt m s 0; ; 2; 3; ; m - Theo nguyờn tc Dirichlet, chia m + 1s cho m thỡ phi cú ớt nht hai s cú cựng s d Do ú hiu ca hai s ny s chia ht cho m Cỏch 6: Dựng phng phỏp qui np toỏn hc: chng minh A(n) k ta lm theo trỡnh t sau: Th vi n = hoc 2(Tc s n nh nht chn ra) Nu sai => Dng.Nu ỳng A(1)k.Tip tc: http://NgocHung.name.vn Gi s A(k) k Chng t A(k + 1) k Nu ỳng => Kt lun : A(n) k Vớ d: Chng minh : 16n - 15n - chia ht cho 225 Giải: t A(n) = 16n - 15n -1 , ta cú : A(1) = 16 - 15 - = 225 => A(1) ỳng Gi s A(k) ỳng : A(k) = 16k - 15k -1 225 Ta chng minh A(k + 1) ỳng, tc l c/m: 16k + - 15(k + 1) - 1225 Tht vy, 16k+1 - 15(k + 1) - = 16 16k - 15k - 15 - = (15 + 1) 16k - 15k - 15 - = 15.16k + 16k - 15k -15 - = (16k - 15k - 1) + 15(16k - 1) = (16k - 15k - 1) + 15(16 - 1) (16k-1 + +1) = (16k - 15k - 1) + 225(16k-1+ + 1) 225 Khi gp nhng bi toỏn chng minh vi l s t nhiờn, ta thng dựng phng phỏp quy np C th lc ca cỏch gii ny l: Gi s , ta chng minh Nhng ý rng nu thỡ Vỡ vy cú th xem õy l mt bin dng ca phng phỏp quy np, chng minh ta qua hai bc: p dng phng phỏp ny, ta cú th gii c mt lot cỏc bi toỏn chia ht khỏ cng knh Vớ d 1: Chng minh cú chia ht cho 125 Giải: Cú Xột nhng nờn (pcm) Vớ d 2: Chng minh cú chia ht cho 64 Giải: Cú Xột Li ỏp dng phng phỏp trờn vi Cỏch 7: Phng phỏp phn chng: chng minh A(n) k ta chng minh A(n) khụng chia ht cho k l sai A => B B => A Vớ d: Chng minh nu a2 + b2 thỡ a v b u chia ht cho Giải: Gi s a v b khụng chia ht cho => a = 3k ; b = 3h a2 + b2 = (3k 1)2 + (3h 1)2 = 9k2 6k + + 9h2 6h + = 3(3k2 + 3h2 2k 2h) + khụng chia ht cho mõu thun vi GT Tng t cho trng hp ch cú mt hai s chia ht cho Do ú a v b phi chia ht cho  ... + 2 57( 1 + + + 8) = 15.(2 + 25 + + 2 57) 15 Vớ d 2: Chứng minh rằng: 27 + 37 + 57 chia hết cho Giải: Vì số lẻ nên ( 27 + 37) chia hết cho (2 + 3) hay 27 + 37 chia hết cho => 27 + 37 + 57 chia. .. (16a +17b) (17a +16b) 11 CMR: (16a +17b) (17a +16b) 121 Giải: Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b) 11 16a +17b 11 (1) 17a +16b 11 Có 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) 11 (2) 16a + 17b 11... dãy số gồm 17 số nguyên a1, a2, , a 17 Chia số cho ta đợc 17 số d phải có số d thuộc tập hợp{0; 1; 2; 3; 4} Nếu 17 số có số chia cho có số d tổng chúng chia hết cho Nếu 17 số số có số d chia cho