SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GD&ĐT THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG KHAI THÁC BÀI TỐN THƠNG QUA CHUN ĐỀ CỘNG, TRỪ PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT TOÁN Người thực hiện: Nguyễn Thị Thúy Loan Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Xuân Lập – Thọ Xuân SKKN thuộc lĩnh vực mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2017 Mục lục Trang 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2.Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề I Tính tổng dãy số viết theo quy luật: II Ứng dụng cộng, trừ phân số theo quy luật vào giải tốn tìm 11 x, bất đẳng thức… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với 16 thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN, ĐỀ XUẤT 17 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Toán học mơn khoa học giữ vai trị quan trọng khoa học tự nhiên Toán học giúp học sinh phát triển lực tư duy, óc sáng tạo, có nhìn tổng qt, xác, khoa học Hình thành kỹ học tốn nói riêng q trình phức tạp khó khăn, phải phối hợp , đan xen, lồng ghép biện pháp sư phạm hài hoà Để có kỹ phải qua q trình luyện tập Việc luyện tập có hiệu quả, biết khai thác nội dung học tập từ kiến thức ban đầu sang nội dung tương tự, giúp học sinh lặp lặp lại nhiều lần nhiều tình khác nhằm rèn luyện cố, khắc sâu kiến thức, phát triển lực tư óc sáng tạo cho học sinh Để thực mục tiêu đào tạo học sinh trở thành người lao động tự chủ, động sáng tạo, việc bồi dưỡng lực sáng tạo cho học sinh nhiệm vụ quan trọng nhà trường Từ việc học sinh giải tập SGK, học sinh bước giải tập nâng cao, tốn hay khó Để từ phát triển lực, tư duy, óc sáng tạo, óc phân tích tổng hợp….Từng bước bồi dưỡng đào tạo nhân tài cho đất nước, thực tốt mục tiêu giáo dục Đảng ta thời kì cơng nghiệp hố, đại hố đất nước Là giáo viên dạy mơn tốn trường phổ thơng, tơi ý thức Tốn học mơn học tự nhiên, có vai trị vơ quan trọng phát triển tư người, chìa khoá để người khám phá lĩnh vực khác tin học, vật lý, hoá học, y học Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy mơn tốn bồi dưỡng học sinh giỏi, không ngừng học hỏi nâng cao tay nghề, học hỏi đồng nghiệp người có kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi Đặc biệt qua kỳ thi học sinh giỏi huyện tổ chức đề thi học sinh giỏi tốn 7; 8; năm có dạng toán cộng, trừ phân số theo quy luật Mặc dù lớp không tổ chức thi cấp huyện, dạng tốn lại có từ lớp 6, em học, bồi dưỡng lại tảng quan trọng có ý nghĩa thiết thực việc dạy học mơn tốn, nhằm nâng cao chất lượng dạy học, tạo nguồn học sinh giỏi năm Bản thân nhận thấy toán cộng, trừ phân số viết theo quy luật nội dung xun suốt chương trình tốn THCS Đây dạng tốn tương đối khó học sinh lớp Học sinh khó hiểu đứng trước dạng tốn này, học sinh cịn lúng túng, chưa định phương pháp giải tập (chưa tìm quy luật dãy số) Trong dạng tốn sách giáo khoa lớp đưa vài tốn dạng (*), khơng đưa phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận dụng kiến thức Dạng tốn “Dãy phân số viết theo quy luật” dạng toán tương đối khó học sinh lớp 6, tổng hợp nhiều kiến thức, học sinh phải phân tích, phán xét, nhận dạng nhanh toán để đưa quy luật dãy số Đặc biệt tập nâng cao đa dạng, phong phú, có sắc thái riêng Làm để học sinh phát giải vấn đề, khai thác phát triển tập việc làm không dễ chút nào, buộc học sinh phải suy nghĩ, phát vấn đề, làm để học sinh tự tìm tịi phát vấn đề? Nếu giáo viên làm thay cho học sinh coi khơng giải vấn đề gì, mà quan trọng tự học sinh định hướng cách giải qua tập khó Đây khơng vấn đề trăn trở riêng tơi mà cịn tất đồng nghiệp mang trách nhiệm to lớn người Thầy Qua thực tế nhiều năm giảng dạy mơn tốn bồi dưỡng học sinh giỏi, thân đúc kết nhiều kinh nghiệm, trội kinh nghiệm rèn luyện kỹ khai thác tốn thơng qua chun đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán tảng có ý nghĩa vơ quan trọng việc dạy học mơn tốn Vì tơi mạnh dạn trình bày kinh nghiệm “Rèn luyện kỹ khai thác tốn thơng qua chun đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6”, để nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS 1.2.Mục đích nghiên cứu - Đánh giá thực trạng kỹ khai thác tốn thơng qua chun đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán - Đề xuất số kỹ giải toán cộng, trừ phân số theo quy luật nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh lớp làm tảng cho năm 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Rèn luyện kỹ khai thác tốn thơng qua chun đề cộng, trừ phân số theo quy luật cho học sinh giỏi khối 6, nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đúc kết kinh nghiệm qua nhiều năm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi đưa phương pháp nghiên cứu sau - Dự thảo nội dung nghiên cứu - Xây dựng đề cương nghiên cứu - Thu thập xử lý thông tin: Đọc nghiên cứu tài liệu - Khảo sát thực tế - Tìm hiểu thái độ học sinh việc học tập môn - Hướng dẫn học sinh chủ động lĩnh hội sử dụng tri thức tốn học thơng qua chun đề “ Cộng, trừ phân số theo quy luật” - Học hỏi đồng nghiệp có kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục giai đoạn phải đào tạo người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo có tính nhân văn cao Định hướng pháp chế hoá luật giáo dục điều 24 mục II nêu ''Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo học sinh, phải phù hợp với đặc điểm môn học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh" “Phương pháp giải toán cộng, trừ dãy phân số viết theo quy luật” với mục đích định hướng giải toán, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải dãy số định Đặc biệt đưa cho học sinh phương pháp phân tích tốn cách nhanh chóng, đọc quy luật dãy số nhanh nhất, hợp lí Để bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết cao khơng kiến thức sách giáo khoa, mà học sinh cần học chuyên đề nâng cao, nhiều dạng toán với loại, dạy mà không sâu khai thác phát triển tốn sau thời gian ngắn gặp lại đa số học sinh quên cách giải, việc học không mang lại kết cao Tuy nhiên q trình dạy tốn bồi dưỡng học sinh giỏi với chuyên đề mà giáo viên sâu hướng dẫn học sinh biết khai thác phát triển toán mang lại kết cao Chính cần phải khai thác phát triển toán chuyên đề Nội dung đề tài góp phần nâng cao kiến thức, tư tốn học, khả phân tích, tính tốn cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp hợp lí, phù hợp với bài, đối tượng học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đào tạo nhân tài cho đất nước 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Là giáo viên dạy mơn Tốn trường THCS, qua q trình thực tế dạy tốn nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi, thấy với năm chưa áp dụng cách khai thác phát triển tốn cho chun đề, kết thi học sinh giỏi cấp huyện thấp, năm học 2012 – 2013 đề thi học sinh giỏi cấp huyện tốn có phân số theo quy luật học sinh trường tơi chưa làm được, kết thi học sinh giỏi hạn chế Năm học 2014 – 2015 tơi phân cơng dạy mơn tốn 6, thân tơi nghỉ cần phải đổi cách dạy mơn tốn để nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi, mà tảng em phải nắm kiến thức từ lớp Thực tế đa số học sinh nhìn chung chưa khai thác cách giải toán cộng, trừ phân số theo quy luật, chứng minh toán hay khó Nhiều học sinh mị mẫm, lúng túng, bế tắc trước toán kể học sinh giỏi Thầy giáo thường giải mẫu sẵn tốn từ dễ đến khó cho học sinh chưa phân tích dẫn dắt học sinh phát quy luật, hướng giải tốn, khơng dẫn dắt bước cần thiết, ngắn gọn, đơn giản mà có kết nhanh hấp dẫn Đây câu hỏi bỡ ngỡ Năm học 2014 – 2015 sau một kiểm tra môn số học (tiết 96 - kiểm tra chương III) kiểm tra tơi có tập khó dành cho 10 học sinh giỏi khối 1 + + + 1.2 2.3 99.100 3 b, 10.11 + 11 12 + + n( n + 1) Tính tổng: a, Kết kiểm tra thu sau: Tổng số học sinh kiểm tra: 10 học sinh * Đối với a + Có học sinh (chiếm 40,0 %) biết cách trình bày lời giải tốn + Có học sinh (chiếm 30,0%) trình bày lời giải tốn cịn lúng túng + Có học sinh (chiếm 30,0%) không định hướng cách làm * Đối với b + Có học sinh (chiếm 0,0 %) phát giải toán tổng quát từ toán cụ thể biết cách trình bày lời giải tốn + Có học sinh (chiếm 10,0%) biết tìm tốn tổng qt từ tốn cụ thể trình bày lời giải tốn cịn lúng túng + Có học sinh (chiếm 20,0%) biết tìm tốn tổng qt từ tốn cụ thể khơng biết cách trình bày lời giải tốn + Có học sinh (chiếm 70,0%) không định hướng cách làm Kết cho thấy kỹ phát vấn đề, khai thác tổng qt hóa tốn q trình giải tốn học sinh cịn hạn chế Nhưng có kỹ tổng qt hóa tốn giúp cho học sinh phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, lực tư Đồng thời sau chứng minh toán tổng qt, giúp học sinh có nhìn sâu rộng hơn, khái quát có phương pháp giải lớp toán dạng Đứng trước thực trạng định chọn nghiên cứu đề tài : “Rèn luyện kỹ khai thác tốn thơng qua chun đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6”, để củng cố thêm cho nghiệp vụ giảng dạy Cũng qua đề tài tơi tự học, tự vươn lên góp phần nhỏ bé sức lực nghiệp trồng người 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Khảo sát chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân biện pháp nâng cao chất lượng dạy học Ôn tập, củng cố kiến thức thực phép tính kiến thức bổ trợ Từ việc đưa tốn cụ thể, mang tính đơn lẻ, có tính chất dễ dàng lĩnh hội giáo viên đặt học sinh vào tình tốn tổng qt tốn đơn lẻ Từ giáo viên dẫn dắt để học sinh phát tốn, trường hợp tổng qt có nhu cầu chứng minh tốn tổng qt Người thầy phải tổ chức tốt hoạt động dạy học lớp tạo cho học sinh hứng thú học tập, say mê nghiên cứu khám phá điều lạ kiến thức, giúp cho học sinh có niềm vui khám phá Đề tài trình bày địi hỏi phải giải số vấn đề sau: Khai thác đề bài, cách tìm lời giải tốn dẫn đến việc nắm quy luật dãy số Từ việc khai thác nêu phương pháp giải toán cụ thể Đưa toán tổng quát Nêu ứng dụng phương pháp Trên sở toán cụ thể dạng tốn tơi hướng dẫn em cách giải tốn, từ hướng dẫn em tìm tốn tổng qt cách giải tổng qt tốn Ở đề tài đề cập đến chuyên đề dạng cộng, trừ phân số theo quy luật gồm hai phần tính tổng dãy số theo quy luật ứng dụng tính tổng dãy số theo quy luật vào tốn tìm x, chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức Đây tốn hay khó chương trình lớp Ứng với 10 tốn điển hình từ đơn giản đến phức tạp làm dẫn chứng cho dạng tốn nêu Với tốn tơi hướng dẫn tạo tình có vấn đề để học sinh suy nghĩ tự tìm cách giải tốn từ tổng qt hóa toán khắc sâu cách giải từ đến tập để học sinh tự luyện Thông qua tốn có bước phân tích lí do: "tại lại nghĩ quy luật tốn đó?" Thậm chí có tốn phải tìm quy luật tìm lời giải tốn Tuy nhiên với tốn có lời giải ngắn gọn vấn đề phải đầu tư suy nghĩ Tuỳ tốn cụ thể có cách hướng dẫn, gợi cho học sinh nghĩ đến quy luật nào, phải làm để tạo tốn có quy luật, để đ ưa đến cách giải hay độc đáo Song công việc sáng tạo khơng thể tuỳ tiện Việc tìm quy luật, tạo quy luật phải tuân theo phép biến đổi học Với toán việc phát giải vấn đề khai thác, tổng quát toán quan trọng làm để học sinh tự làm việc này? Đó hướng nghiên cứu đề tài Sau đưa số dạng tập để khai thác phát triển tốn sau I Tính tổng dãy số viết theo quy luật: Loại tốn tìm tổng dãy số viết theo quy luật, thường có phân số đầu số cụ thể cịn phân số sau cho dạng tổng quát Để làm dạng toán ta cần nhận xét, so sánh tử mẫu, tử (hay mẫu) với nhau, phân số cụ thể tổng quát để tìm cách viết quy luật phân số tìm cách giải Để làm dạng toán người ta dùng phương pháp khử liên tiếp số hạng Bài tốn : Tính tổng sau: S= 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 100.101 * Phân tích tốn: Khi gặp tốn quy đồng thực phép tính khơng ? Cách giải vơ khó khăn Vậy có cách giải khác ? Chúng ta quan sát tử mẫu toán Bài toán tổng phân số có tử cịn mẫu phân số 1.2; 2.3; 3.4; 100.101 Như mẫu phân số tích số tự nhiên liên tiếp Cách giải toán biến đổi phân số cho thành hiệu phân số, biến dãy tính cộng thành dãy tính cộng trừ Chẳng hạn: 1 1 1 1 = − ; … ; − = 1− ; = 1.2 2.3 100.101 100 101 Mục đích ta triệt tiêu số hạng đối Đây chìa khóa vàng để giải tốn * Cách giải: 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 100.101  1 100 1   1   1   − = = − =  −  +  −  +  −  + +  1       100 101  101 101 S= * Từ tốn GV hướng dẫn HS đưa toán tổng quát sau: 1 1 Tính tổng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1)        =  −  +  −  +  −  + +  − 1 1 2 2 1 3 3 4 n  1 n = = − n + 1 n + n +1 *Bài tập áp dụng Bài 1: Tính tổng A = 1 + + + 10.11 11 12 49.50 Với tập 100% em làm 5 Bài 2: Tính tổng B = 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) Với tập có em làm tốt, em lúng túng cách giải chưa phát quy luật Vì tơi đưa câu hỏi “làm để đưa toán dạng toán 1” Lúc em phát cách làm: Đặt thừa số chung Ngồi em cịn phát cách làm khác là: 5 5 5 − + − + + − 2 n n +1 1 1 Bài 3: Tính tổng C = + + + + + 12 20 90 B= Với tập có em phát quy luật, em chưa phát quy luật Vì tơi hướng dẫn em tách = 1.2; = 2.3 Trên tốn có quy luật, mẫu tích số tự nhiên liên tiếp Vậy gặp tốn mà mẫu số tích số tự nhiên khơng liên tiếp cách ta làm nào? Bài tốn 2: Tính tổng: P = 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 99.101 * Phân tích tốn : Ta thấy P tổng phân số có tử 2, mẫu phân số tích số lẻ liên tiếp đơn vị, ta viết phân số hiệu phân số, phân số bị trừ có tử mẫu thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử mẫu thừa số thứ VD: 1 1 1 1 = − ; = − ; = − ; …; = − 1.3 3.5 5.7 99.101 99 101 Vậy nốt thắt tốn mở, nên ta dễ dàng tính tổng cho * Cách giải: P= 2 2 1 1 1 1 100 + + + + = = − + − + − + + − = 1− 1.3 3.5 5.7 99.101 3 5 99 101 101 101 + Bài toán tổng quát: 2 2 Tính tổng: P= 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101 + + n.(n + 2) 1 3 5 n = − + − + − + + − 1 n +1 = = 1− n+2 n+2 n+2 *Bài tập áp dụng Bµi 1: TÝnh tỉng: 1 1 A= + + + + 25.27 27.29 29.31 73.75 Với có học sinh làm cịn học sinh chưa nghĩ cách giải, em chưa phát khoảng cách số mẫu tử Vì muốn làm phải nhân tử mẫu số hạng A với đặt Sau nắm cách làm tập việc giải tập 2; 3; 4; đơn giản, dễ dàng 100% em làm tốt tập sau 6 6 Bµi 2: B= + + + + 15.18 18.21 21.24 87.90 2 3 32 Bµi 3: C= + + + + 8.11 11 14 14.17 197.200 15 15 15 15 Bµi 4: D= + + + + 90.94 94.98 98.102 146.150 1 1 + + + Bµi 5: Tính tổng: S= + (Với n ∈ N) 66 176 (5n + 1)(5n + 6) Hướng dẫn giải 1 1 + + + S= + = 66 176 (5n + 1)(5n + 6)  1 5 5  + + + +   1.6 6.11 11 16 (5n + 1)(5n + 6)  1 1 1 1   = 1 − + - + - + +  6 11 11 16 5n + 5n +  1   5(n + 1)  n +  =  = = 1 −  5n +   5n +  5n + Đối với toán chưa cho trước quy luật mẫu số mà cần yêu cầu tư cao tìm quy luật sao? Bài tốn 3: TÝnh tæng M= 1 1 + + + + 10 15 21 120 * Phân tích tốn: Ta nhận thấy mẫu số hạng tổng phân tích thành tích khơng có quy luật nên không áp dụng công thức Vậy làm đưa toán tốn có quy luật Nếu nhân tử mẫu số hạng tổng với (không làm thay đổi giá trị phân số) dễ dàng viết viết mẫu theo quy luật Đây mấu chốt tốn Nhân tử mẫu M với 2, 2 2 2 2 + + + + + + + + = 20 30 42 240 5 6 15.16 1 3 1  1 1 1 =2  − + − + − + + −  =  −  = = 15 16  16 4 5 6  16  M= * Bài tập áp dụng: Bài Tính tổng A= 7 7 + + + + 10 45 Với tập 100% làm (nhân tử mẫu số hạng tổng A với dễ dàng viết mẫu theo quy luật) Bài Tính tổng B= 1 1 + + + + 30 70 198 Với tập có em làm tốt, cịn em chưa biết cách biến đổi tìm quy luật đặt (các mẫu chia hết cho 2) từ tìm quy luật dãy số Đối với toán phức tạp hơn, việc đưa tốn có quy luật lại khó Vậy gặp tốn giáo viên phải hướng dẫn để học sinh tự tìm quy luật tốn Bài tốn 4: Tính tổng E= + + + + 1.6 6.2 2.13 13.3 15.4 * Phân tích tốn: Đây tốn lạ, hay khó, học sinh khó khăn việc xác định quy luật Làm để đưa tốn có quy luật, hướng toán Học sinh biết nhân tử mẫu số hạng tổng với (không làm thay đổi giá trị phân số ) dễ dàng đưa từ tốn lạ toán quen thuộc Vậy cánh cửa toán mở Khi ta có 5 + + + + + + + = ( + ) 1.6 6.2 2.13 13.3 15.4 1.6 6.2 2.13 13.3 15.4  1 1 1 1 1 + + + = 5( + ) = 5 − + − + − + − + −  5.6 6.10 10.13 13.15 15.20  6 10 10 13 13 15 15 20  3 1  = 5 −  = = 20  20  E= * Bài tập áp dụng: Bài Tính tổng M = 4 + + + 1.7 7.3 3.13 13.6 Khi cho học sinh làm có HS làm tốt cịn HS lúng túng chưa biết nhân tử mẫu số hạng tổng M với đặt ngồi Bài Tính tổng N= + + + 1.1 1.8 2.13 13.5 Sau định hướng hướng dẫn cách làm 100% học sinh làm tốt tốn em biết (nhân tử mẫu số hạng tổng N với đặt ngồi) Mấu chốt tốn học sinh biết vận dụng chọn nhân với số cho hợp lý Với toán mà quy luật mẫu số tích số liên tiếp ta làm nào? Bài tốn 5: Tính tổng B = 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 * Phân tích toán: Ta thấy phân số tổng B có tử cịn mẫu phân số tích số tự nhiên liên tiếp Ta viết số hạng tổng thành hiệu hai số cho số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau Ta tách phân số bị trừ có tử cịn mẫu tích số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cịn mẫu tích số tự nhiên liên tiếp sau ( có số trùng nhau).Vậy tia sáng giải tốn lóe lên Ta thấy: 1 1 1  − = =>  − = 1.2 2.3 1.2.3  1.2 2.3  1.2.3 1 1 1  − = =>  − = 2.3 3.4 2.3.4  2.3 3.4  2.3.4 … 1 1  =>  − =  37.38 38.39  37.38.39 1 Tổng quát ta áp dụng: n(n + 1) − (n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2) 1 − = 37.38 38.39 37.38.39 * Cách giải: 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 1 1  1 1  1 1  −  =  −  +  −  +…+   1.2 2.3   2.3 3.4   37.38 38.39  1 1 1 1  + − + + −  =  −  2 3 37.38 38.39  1 1  11  741 − 1 740 370 185 =  −  = =  − = = =  1.2 38.39   38.39  38.39 38.39 741 741 B= * Bài toán tổng quát: B=  1 1 1  − + + + + = n(n + 1)(n + 2)  (n + 1).(n + 2)  1.2.3 2.3.4 3.4.5  (n + 1).(n + 2) −  (n + 1).(n + 2) − = 4(n + 1).(n + 2)  2(n + 1).(n + 2)  =  * Bài tập áp dụng: Tính tổng B= 7 + + + 3.4.5 4.5.6 98.99.100 Qua tập đa số học sinh giải tốt em u thích mơn tốn Bài tốn 6: Tính tổng B= 1 1 + + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 47.48.49.50 * Phân tích tốn: Sau giải xong toán trên, gặp tốn này, tơi nghĩ học sinh khơng cịn sợ gặp toán tương đối phức tạp Trái lại em hăng say để khám phá cách giải toán Vậy mấu chốt giải toán ? Chỉ cần tìm quy luật sau: Ta thấy: 1 1 1  − = =>  − = 1.2.3 2.3.4 1.2.3.4  1.2.3 2.3.4  1.2.3.4 1 1 1  − = =>  − = 2.3.4 3.4.5 2.3.4.5  2.3.4 3.4.5  2.3.4.5 1 1 1  − = =>  − = 47.48.49 48.49.50 47.48.49.50  47.48.49 48.49.50  47.48.49.50 * Cách giải: 1 1 + + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 47.48.49.50 1 1  1 1  1 1  − − − +   +…+   =   1.2.3 2.3.4   2.3.4 3.4.5   47.48.49 48.49.50  1 1 1 1  − + − + + −  =   1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 47.48.49 48.49.50  1 1  6533  11 − =  − = =   1.2.3 48.49.50   117600  39200 B= * Bài toán tổng quát: B=  1 1 1  − + + + + = n(n + 1)(n + 2)( n + 3)  (n + 1).(n + 2)( n + 3)  1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 * Bài tập áp dụng Bài tập: Tính tổng M= 3 3 + + + + 10.11 12.13 11 12.13.14 12.13.14.15 97.98.99.100 Với tập 100% học sinh biết cách làm em hứng thú học tập Sau làm dạng tập ứng dụng cộng, trừ phân số theo quy luật vào giải tốn tìm x, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tính giá trị biểu thức… 10 II Ứng dụng cộng, trừ phân số theo quy luật vào giải tốn tìm x, bất đẳng thức, tính giá trị biểu thức … Khi em thành thạo việc tính tổng phân số theo quy luật việc áp dụng vào tốn tìm x, chứng minh bất đẳng thức, tính giá trị biểu thức… khơng cịn vấn đề Trái lại cịn tạo niềm tin, hứng thú, hăng say học tập, thích khám phá quy luật để áp dụng vào giải toán Bài tốn 1: Tìm x biết 1 1 101 + + +…+ x( x + 3) = 5.8 8.11 11 14 1540 *Phân tích tốn: Ta thấy vế bên trái đẳng thức phân số có tử số cịn mẫu số tích số đơn vị Các em nhanh chóng tìm lời giải toán sau: Ta xét 1 1 1 − = =>  −  = 5.8   5.8 1 1  − = =>  −  = 11 8.11  11  8.11 1 11 1 − = =>  −  = 11 14 11 14  11 14  11 14 1  1 1 − = = x( x + 3) =>  − x x+3  x x +  x.( x + 3) Từ ta có cách giải tốn * Cách giải: Tìm x 1 1 101 + + +…+ x( x + 3) = 5.8 8.11 11 14 1540 Ta viết đẳng thức cho sau: 1 1+  −  5 8  1  +  1  +…+  −   −   11   11 14   = 101 1  −   x x +  1540 1  101 1 1 1 =  − + − + − + + − x x +  1540  8 11 11 14  101 1 =  −  x +  1540 1 303 = − = x + 1540 1540 1 = x + 308 Ta có hai phân số với tử mẫu phải nhau, tức là: x+3 = 308 => x = 308 – = 305 * Bài tập áp dụng Tìm x ∈ N biết: 11 20 20 20 20 − − − − = 11 13 13.15 15.17 53.55 11 Với tập 100% học sinh làm tốt Niềm vui thể qua kết làm em Bài toán Tìm số tự nhiên x biết rằng: x- 1 1998 + + + + = 10 x( x + 1) 2000 * Phân tích tốn: Trước hết ta xét phân số x( x + 1) ta nhận thấy phân số có tử 2, có mẫu tích số liên tiếp, nên viết:  1 2. −  = x( x + 1)  x x + 1 1 ; dạng phân số có 10 Vấn đề đặt ta biến đổi phân số: ; ; tử mẫu tích số tự nhiên liên tiếp khơng ? Đó mấu chốt tốn Để có tử cho phân số trên, ta cần áp dụng tính chất phân số, cụ thể là: 1.2 1.2 1.2 = = = = = ; = ; 2.3 2.3 6.2 3.4 10 10.2 4.5 Như vế trái đẳng thức gồm phân số có dạng tử cịn mẫu tích số tự nhiên liên tiếp Cần tính tổng phân số vế trái để đưa toán dạng tìm x đơn giản mà ta biết * Cách giải: Tìm x 1 1998 biết + + 10 + + x( x + 1) = 2000 Ta viết đẳng thức cho sau: 2 2 1998 + + +…+ x( x + 1) = 2.3 3.4 4.5 2000  1 1  1998 + + +  + = x ( x + 1)  2000  2.3 3.4 4.5 1  1998 1 1 1  − + − + − + − = x x + 1 2000 2 3 4  1998 1 =  −  x +  2000 1 999 = − x + 2000 1000 − 999 = = x +1 2000 2000 x+1 = 2000 => x = 1999 12 * Bài tập áp dụng 1 2 + + + + = 21 28 36 x( x + 1) 2 2 + + + + = Giải.Ta có: 42 56 72 x( x + 1) 1  1 1 1 =  − + − + − + + − x x + 1 6 7 8 Từ tìm x = 17 Với tập 100% học sinh làm tốt hứng thú học tập Vì em học khai thác tốn cộng, trừ phân số theo quy luật nên việc giải tốn nhanh xác Bài tập: Tìm x, biết Bài tốn 3: Chứng minh rằng: 1 1 a+c < b+d c < d Vậy nốt thắt tốn mở Từ ta có điều phải chứng minh: 1 1 1 1 + + + + + + + + < 99.100 100 1.2 2.3 3.4 1 1 1 =1 − + − + − + + − 2 3 99 100 99 =1 − = + + + + = − = > = 2 2013 4.5 5.6 6.7 2013.2014 2014 4028 5020 1 1 1 = > < + + + + + < 5 2013 1 1 + + + + < 3 4 18.19.20 Với tập 100% học sinh làm * Giải: Ta có: 1 2 2  + + + +  A =   1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20  1 1 1 1  − + − + + −  A =   1.2 2.3 2.3 3.4 18.19 19.20  1 1  189 189 − = A =  =  1.2 19.20  380 760 189 189 1 < = Mà => A < 760 756 4 Bài 2: CMR: A= Bài 3: CMR: B= 36 36 36 36 + + + + B <  = B =  − Mà 783 87 87 87  783  Với tập có em làm tốt, em chưa biết đặt làm thừa số chung 14 Bài toỏn Tính giá trị biểu thức 1 1 + + + + 97 99 P= 1 1 + + + + + 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 1+ * Phân tích tốn Đây tốn hay khó Làm để rút gọn biểu thức Chúng ta quan sát kỹ tử số mẫu số phân số Trước hết ta ghép phân số số bị chia thành cặp để làm xuất mẫu chung giống với mẫu phân số tương ứng số chia, từ việc giải tốn trở nên dễ dàng hấp dẫn Ta có: 100 100 100 100  1  1   + + + + 1 +  +  +  + +  +  49.51  49 51  = 1.99 3.97 5.95 P =  99   97  1 1   1 1 2 + + + +  + + + + + 49.51   1.99 3.97 5.95 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 100 = 50 = Vậy giá trị biểu thức P = 50 * Bài tập áp dụng Cho biểu thức 1 + + + 1.2 3.4 37.38 M Tính N M = N= Và 1 + + + 20.38 21.37 38.20 Với tập đa số em biết phân tích phối hợp hợp lý số hạng thích hợp với Lời giải: 1 1 1 − 37 38 1 1  1 1 + + + + − 2 + + + +  38  38  1 1 1 1 1 + + + + − − − − − = + + + + 38 19 20 21 22 38 1 1 1        +  +  +  +  +  + + 29  20 38   21 37   22 36   58 58 58 29  + + +  + + + + = 29  29  20.38 21.37 30.28 29.29  20.38 21.37 1 2 + + + + + + + = 20.38 21.37 38.20 20.38 21.37 30.28 29 M = − + − + + M= M= M= M= N= M = 29 N 15 Trên 10 tốn điển hình tập áp dụng cho dạng tốn mà tơi hướng dẫn học sinh cách khai thác phát triển toán làm cho tiết học thêm sinh động hấp dẫn hơn, góp phần nâng cao chất lượng đại trà, đặc biệt chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường * Đối với hoạt động giáo dục Sau áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi khối thu kết sau đây: Học sinh hình thành kỹ khai thác phát triển toán nắm hiểu phương pháp tổng qt hóa tốn để có tốn hay lí thú Các em hiểu sâu toán cụ thể, đam mê, hứng thú học tốn có thói quen xét tốn trường hợp tổng qt có nhu cầu chứng minh tốn tổng qt Trong chun đề đề kiểm tra tổng hợp có đủ dạng tốn tương tự 10 tốn điển hình mà tơi bồi dưỡng học sinh khá, giỏi khối trường THCS thu kết đáng mừng sau: Tổng số học sinh kiểm tra: 10 học sinh Có học sinh (chiếm 90,0%) biết tìm tốn tổng qt biết cách trình bày lời giải tốn Có học sinh (chiếm 10,0%) biết tìm tốn tổng qt trình bày lời giải tốn tổng qt cịn lúng túng Có học sinh (chiếm 0,0%) khơng phát tốn tổng qt Đặc biệt q trình bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi áp dụng cách dạy cho chuyên đề khác Năm học 2015-2016 giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn khối thu kết tương đối tốt, có em tham gia thi học sinh giỏi mơn tốn cấp huyện đạt giải ( đó: giải nhì; giải 3; giải khuyến khích) 100% học sinh tơi giải tốt tốn tính tổng A= 1 1 + + + + 10.11 12 11 12.13 27.28.29 28.29.30 (trích đề thi HSG cấp huyện toán năm học 2015-2016 huyện Thọ Xuân) Vì năm học 2016-2017 tơi lại tiếp tục áp dụng cách dạy vào BDHSG toán 8, kết bước đầu em đội tuyển ham mê có hứng thú học mơn tốn Đặc biệt học chuyên đề phân thức em nhanh chóng định hướng cách giải tốn hay khó * Đối với thân đồng nghiệp nhà trường Sau trình nghiên cứu thực trạng, áp dụng đề tài “Rèn luyện kỹ khai thác tốn thơng qua chun đề cộng, trừ phân số theo quy luật tốn 6” thân tơi, đồng nghiệp, nhà trường rút học kinh nghiệm sau: Mỗi giáo viên dạy mơn tốn THCS cần xác định việc nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi nhiệm vụ quan trọng, đòi hỏi phải có quan tâm, đầu tư trí tuệ hợp lực giáo viên học sinh 16 Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi để đạt kết cao hai mà trình rèn luyện học tập Làm tốt cơng tác xã hội hố giáo dục, thu hút quan tâm nhà trường, phụ huynh học sinh tham gia việc nâng cao chất lượng dạy học Giáo viên cần sáng tạo công tác vận dụng linh hoạt phương pháp hình thức dạy học tích cực q trình dạy học, tìm tịi học hỏi để nâng cao nghiệp vụ chuyên môn Song song với việc kiểm tra, đôn đốc cần trọng đến công tác thi đua, khen thưởng cho học sinh Từ giao tiêu rõ ràng điều kiện kèm với tiêu để khuyến khích em học sinh cố gắng đạt mục tiêu đề Đây giải pháp quan trọng mang tính đột phá việc thúc đẩy em học sinh tìm tịi, cố gắng, tâm dành thành tích cao học tập Việc nghiên cứu thực trạng, áp dụng đề tài: “Rèn luyện kỹ khai thác toán thông qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật tốn 6” góp phần tạo cho thân cá nhân tự tin công tác giảng dạy Đặc biệt kích thích tinh thần ham học học sinh quan tâm, đầu tư phụ huynh nhà trường Từ tạo “địn bẩy” việc nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường năm học Sáng kiến “Rèn luyện kỹ khai thác tốn thơng qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6” ứng dụng triển khai tới trường THCS toàn huyện vào năm học KẾT LUẬN, ĐỀ XUẤT * Kết luận: Sau áp dụng cách khai thác tốn thơng qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật học sinh làm tốt tập dạng áp dụng cách dạy cho chuyên đề khác công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, bước đầu thu thành công đáng kể có nhiều học sinh đạt giải kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện học sinh khơng cịn cảm giác sợ mơn tốn nữa, trái lại em đam mê, hứng thú, hăng say khám phá tốn học Tích cực, chủ động, sáng tạo việc giải tốn hay khó Đó niềm vui lớn đời nhà giáo Qua thực tế nghiên cứu giảng dạy mơn tốn giảng dạy tốn “Cộng, trừ phân số viết theo quy luật” trường THCS, kinh nghiệm thân đồng nghiệp với mục đính xây dựng phương pháp giảng dạy, thể vấn đề qua đề tài “ Rèn luyện kỹ khai thác tốn thơng qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6” nhằm thể phương pháp giảng dạy cho giáo viên nâng cao chất lượng học tập, đặc biệt nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn 17 Trong nội dung đề tài tơi đưa dạng tốn “Cộng, trừ phân số theo quy luật”, phương pháp tìm lời giảng toán để đưa cách giải cụ thể cho để có tốn tổng quát cho dạng Qua đề tài tơi muốn đưa đến cho học sinh thói quen suy nghĩ tìm tịi lời giải tốn sở kiến thức học Đề tài nhằm nối lý thuyết với thực hành toán học Mỗi tốn tơi đưa ra: - Phân tích toán - Cách giải - Bài toán tổng quát - Các tập áp dụng (có tính chất tương tự) Từ cách đưa này, giáo viên, học sinh nhận dạng tốn thật dễ dàng nhanh đọc đáp số với tốn thuộc quy luật Trên tồn phần trình bày nội dung đề tài Mong vấn đề đề cập đến đề tài nhiều góp phần vào việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Cũng qua chuyên đề mở rộng cho chuyên đề khác làm tảng cho năm * Đề xuất Phòng Giáo Dục Đào Tạo nên triển khai sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao, áp dụng vào trường THCS tồn huyện thơng qua lớp chun đề Với vấn đề mang tính chất khoa học sâu rộng trên, khn khổ có hạn sáng kiến kinh nghiệm Vì thế, cịn nhiều dạng tốn, nhiều tốn điển hình, tổng qt chưa đề cập đề tài trình nghiên cứu thực không tránh thiếu sót Rất mong nhận hội đồng khoa học bạn đồng nghiệp, xây dựng góp ý để trao đổi thêm vấn đề Tôi xin chân thành cảm ơn! * Tài liệu tham khảo - Sách nâng cao phát triển toán tập Vũ Hữu Bình - Sách tài liệu chuyên tốn THCS tốn tập Vũ Hữu Bình - Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên - 450 toán dành cho học sinh khá, giỏi - Toán tuổi thơ - Đề thi HSG cấp năm - Khai thác mạng Internet… Thọ Xuân, tháng năm 2017 HIỆU TRƯỞNG Tác giả Đỗ Đình Tồn Nguyễn Thị Thúy Loan 18 ... rèn luyện kỹ khai thác tốn thơng qua chun đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán tảng có ý nghĩa vơ quan trọng việc dạy học mơn tốn Vì tơi mạnh dạn trình bày kinh nghiệm ? ?Rèn luyện kỹ khai thác. .. đính xây dựng phương pháp giảng dạy, thể vấn đề qua đề tài “ Rèn luyện kỹ khai thác toán thông qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6? ?? nhằm thể phương pháp giảng dạy cho giáo viên... giá thực trạng kỹ khai thác tốn thơng qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán - Đề xuất số kỹ giải toán cộng, trừ phân số theo quy luật nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh