1 MỞ ĐẦU 1.1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình vô tỉ chương trình toán THCS đề cập đến lớp , sách giáo khoa đại số tiết lí thuyết để dạy phần tập đa dạng phong phú Phương trình vô tỉ thường xuất kỳ thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 PTTH thi vào trường chuyên tỉnh quốc gia Thực tế qua theo dõi kỳ thi HSG cấp huyện, cấp tỉnh , thi vào chuyên có nhiều toán giải phương trình vô tỉ khó ,học sinh thường khó xác định cách giải giải cách thiếu chặt chẽ không xác Vì mà việc giúp em định hướng cách giải phương trình vô tỉ rèn khả linh hoạt sáng tạo giải toán việc làm thật quan trọng cần thiết Với lí nêu viết đề tài “Rèn kỹ giải phương trình vô tỉ cho học sinh lớp trường THCS Lý Tự Trọng-TPTH ” Thông qua đề tài muốn góp thêm cách làm để giúp học sinh có kỹ thành thao việc phương trình vô tỉ , phát huy lực tư sáng tạo học toán có ý tưởng sáng tạo giải toán, giúp em thêm yêu thích môn toán nhiều 1.2.MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI - Đề tài giúp học sinh nắm dạng phương trình vô tỉ , phương pháp giải từ giúp em định hướng cách giải đứng trước phương trình vô tỉ - Đề tài giúp bồi dưỡng lực phát tìm tòi lời giải toán , phát huy khả suy luận óc phán đoán học sinh - Nghiên cứu đề tài muốn trao kinh nghiệm dạy “Phương trình vô tỉ ” với đồng nghiệp giúp việc dạy học đạt kết tốt 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Phương trình vô tỉ (Phương trình chứa ẩn dấu căn) 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối năm học từ 2011 đến 2017 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN: Trong xu phát triển ngày cao xã hội giáo dục ngày phải đổi nhiều để tiến kịp với phát triển Với mục tiêu đào tạo học sinh trở thành người phát triển toàn diện đạo đức ,trí tuệ , thẩm mỹ, kỹ , phát triển lực cá nhân , tính động sáng tạo Vì dạy học cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động , sáng tạo học sinh phù hợp với đặc trưng môn , bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học , khả hợp tác rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tế gây hứng thú học tập cho học sinh Do để giúp cho học sinh có phương pháp tự học tốt chủ động sáng tạo việc tiếp thu kiến thức việc hình thành cho học sinh kỹ giải tập , cách phát đường lối giải đứng trước toán cụ thể việc làm vô quan cần thiết điều làm cho HS vững vàng tự tin làm toán Đối với việc dạy học sinh giải phương trình vô tỉ: - Giúp HS nắm số dạng phương trình vô tỉ cách giải - Cần giúp cho học sinh xác định phương pháp giải phương trình vô tỉ từ giúp học sinh định hướng cách giải - Học sinh cần hiểu chất việc giải phương trình vô tỉ thông qua hệ thống tập - Cần giúp học sinh biết giải phương trình vô tỉ dạng khác 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Phương trình vô tỉ phần PT khó, học sinh không học tiết lí thuyết lớp nhiều học sinh lúng túng đứng trước giải PT vô tỉ Khảo sát kiểm tra sau học xong chương I “ Căn bậc hai , bậc ba” giải phương trình vô tỉ cho 10 HS thuộc nhóm HS giỏi với đề bài: Giải phương trình: Bài (3 điểm) : x − − x − = 3x − Bài 2: (5điểm): x − x + + ( x + 1) 3x − = Bài 3: (2điểm) : x −1 + − x = − x2 + 2x + Kết sau: Điểm SL % 80 Điểm 5-7 SL Điểm 8-10 % 20 SL % Tôi nhận thấy học sinh chưa có định hướng cách giải phương trình vô tỉ , biến đổi không hướng nên không tìm kết quả, điều kiện đặt thiếu chặt chẽ Vì em học học phương pháp giải PT vô tỉ rèn tập tổng hợp kết tốt nhiều Xuất phát từ nhu cầu thực tế viết kinh nghiệm mà đúc kết từ nhiều năm giảng dạy trường THCS đặc biệt dạy đội tuyển học sinh giỏi dạng đề tài “ Rèn kỹ giải phương trình vô tỉ cho học sinh lớp trường THCS Lý Tự Trọng” 2.3.GIẢI PHÁP THỰC HIỆN a) Các kiến thức cần nhớ thức: +) A xác định A ≥ +) A2 = A +) ( A )2 = A với A ≥ +) A.B = A B với A ≥ 0; B ≥ +) A = B +) A2 B = A B với B ≥ +) A B = A2 B với A ≥ B ≥ A B = − A2 B với A < B ≥ A = AB với AB ≥ B ≠ B B +) A A B = với B > B B +) ( A )3 = A A với A ≥ 0; B > B +) +) C C( A m B = +) A− B A± B với A ≥ B ≥ A ≠ B +) 3 AB = A B A 3A = ( B ≠ 0) B 3B b) Phương pháp chung để giải phương trình vô tỉ: - Tìm tập xác định phương trình ( cần) Biến đổi đưa phương trình quen thuộc ( Làm dấu thức) Giải phương trình vừa tìm Đối chiếu kết với tập xác định trả lời c Các phương pháp giải phương trình vô tỉ Phương pháp 1: Phương pháp nâng hai vế lên lũy thừa Dạng : f ( x ) = g(x) (1) Khi bình phương hai vế để đến phương trình tương đương hai vế phải  g ( x ) ≥ f ( x ) = g(x) ⇔   f ( x ) = g ( x ) không âm : Điều kiện gx) ≥ điều kiện cần đủ f(x) = g2(x) ≥ Không cần đặt thêm điều kiện fx) ≥ Ví dụ1 : Giải phương trình x − = x - (1 ) Điều kiện x ≥ (*) Khi pt(1) ⇔ 3x - = (x - 3)2 ⇔ x2 - 6x + = 3x - ⇔ x2 - 9x + 13 =  + 29 x = ⇔  − 29 x =  đối chiếu với điều kiện (*) ta nghiệm phương trình (1) x = + 29 ! Lưu ý: không cần phải thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà cần so sánh với điều kiện x ≥ (*) để lấy nghiệm f ( x ) = g( x ) Dạng f ( x ) = g( x ) (2)  f ( x) ≥  ⇔  g ( x) ≥  f ( x) = g ( x)  +) Ví dụ 2: Giải phương trình −3 x + = Điều kiện 2x +1 , (1)  −3 x + ≥ −1 ⇔ ≤x≤  (*) 2 x + ≥ pt(1) ⇔ -3x + = 2x + ⇔ 5x = ⇔ x = (thoả mãn với điều kiện (*) ) Vậy nghiệm phương trình x = + Ví dụ3: Giải phương trình 3x + - x +1 = 3x + ≥ Điều kiện  x +1 ≥ (2)  x ≥ − ⇔ ⇔ x ≥ −1 (**)   x ≥ −1 Chuyển vế bình phương hai vế ta pt(2) ⇔ 3x + = + x +1 với điều kiện (**) nên hai vế không âm , bình phương hai vế ta ⇔ 3x + = x + + x + ⇔ x +1 = x + tiếp tục bình phương hai vế vế không âm ⇔ 4x + = x2 + 2x + ⇔ x2 -2x - =  x = −1 ⇔ x = (thoả mãn điều kiện (**)) Vậy nghiệm phương trình x = -1 x =  f ( x) ≥  f ( x ) + g ( x ) = h( x ) ⇔  g ( x ) ≥   f ( x) + g ( x) + f ( x).g ( x) = h( x) Dạng 3: Ví dụ 4: Giải phương trình: x + − − x = − x Giải : Ta có: x + − − x = − x ⇔ x + = − x + − x 1 − x ≥   x ≤ ⇔ 1 − x ≥ ⇔   x + = x − 3x +   x + = − x + − x + (1 − x)(1 − x)   −1 x ≤ ≤x≤  −1    ≤x≤ 2 ⇔2 ⇔ x=0 ⇔ 2 x + ≥ ⇔ x=0  x2 + x =  (2 x + 1) = x − x +    x = −7   Vậy phương trình có nghiệm x = Chú ý: - bậc hai bình phương hai vế cần phải có điều kiện : biểu thức dấu không âm hai vế không âm Dạng 4: f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x ) = [ g ( x) ] Ví dụ 5: x + = x + (1) (1) ⇔ x + = ( x + 1)3 ⇔ x3 + x + x = ⇔ x( x + 3x + 1) = Giải ta nghiệm phương trình là: x=0 Ví dụ 6: x + + − x = (1) Lập phương vế phương trình (1) ta được: x + + − x + 3 ( x + 1)(7 − x)( x + + − x ) = ⇔ ( x + 1)(7 − x) = ⇔ ( x + 1)(7 − x) = ⇔ ( x + 1)(7 − x) = ⇔ x= x= Thử lại ta thấy x= ; x= thỏa mãn phương trình Vậy phương trình có hai nghiệm x = ; x = Ví dụ 7: x + = − x (2) 2x +1 = 1− x ⇔ 2x +1 + x = ⇔ x + + x + 3 (2 x + 1) x ( x + + x ) = ⇔ 3 (2 x + 1) x = −3 x ⇔ (2 x + 1) x = x ⇔ x(2 x + 1) = − x ⇔ x ( x + x + 1) = ⇔ x=0 x =-1 Thử lại : Nhận thấy x = ( thỏa mãn PT (2) x= -1 không thỏa mãn PT (2) Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét : - Đối với phương trình chứa bâc ba lập phương hai vế ta thường dùng đẳng thức : (a + b)3 = a + b3 + 3ab(a + b) (a − b)3 = a − b3 − 3ab(a − b) - Phương trình chứa bâc ba sau tìm giá trị ẩn phải thử lại trình biến đổi có phương trình không tương đương ( chẳng hạn phương trình ví dụ ) Phương pháp 2: Đưa phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 8: Giải pt: x − 4x + + x = (1) HD: (1) ⇔ (x − 2) = − x ⇔ |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1) ⇒ – x = – x (vô nghiệm) – Nếu x ≥ : (1) ⇒ x – = – x ⇔ x = (thoả mãn) Vậy: x = Ví dụ 9: Giải phương trình: x − x + + x − x + = (1) (1) ⇔ ( x − 2) + ( x − 3) = ⇔ x − + x − = Xét toán khoảng : +) Xét x < phương trình (1) trở thành: − x + − x = ⇔ x = ( không thuộc khoảng xét) +) ≤ x ≤ phương trình (1) trở thành : x − + − x = ⇔ x = PT có vô số nghiệm ≤ x ≤ +) Xét x > phương trình (1) trở thành x − + x − = ⇔ x = ( không thuộc khoảng xét) Vậy phương trình có vô số nghiệm ≤ x ≤ Ví dụ 10: Giải phương trình: x + + x + + x + 10 − x + = x + − x + (2)  x + ≥ (2) ⇔   x + + x + + + x + − 2.3 x + + = x + − x + +  x ≥ −1 ⇔ (*)  x + + 1+ | x + − |= 2.| x + − | Đặt y = x +1 y + 1+ | y − |= | y − 1| (y ≥ 0) ⇒ phương trình(*) cho trở thành: – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y ⇔ y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y – ⇔ y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y = ⇔ x + = ⇔ x = (thoả mãn) Vậy: x = Ví dụ 11: :Giải phương trình: x − + x − + x + + x − = (3) ( Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm học 2006-2007 – dành cho thí sinh) ĐK: x ≥ PT (3) ⇔ x − + 2 x − + + x − + x − + = 14 ( Nhân vế PT(3) với ) ⇔ 2x − + + x − + = 14 ⇔ x − = ⇔ x = 15 (Thoả mãn) Vậy:x = 15 Nhận xét: - Một số phương trình vô tỉ sau thêm bớt số hạng cách hợp lí tạo thành đẳng thức ( PT ví dụ 10) phải nhân hai vế với số xuất đẳng thức( PT ví dụ 11) Phương pháp 3: Đưa phương trình tích Ví dụ 12: Giải phương trình: ( x + 3) 10 − x = x − x − 12 ĐK : 10 − x ≥ ⇔ − 10 ≤ x ≤ 10 (1) ( x + 3) 10 − x = x − x − 12 ⇔ ( x + 3) 10 − x − ( x + 3)( x − 4) = ⇔ ( x + 3)  10 − x − ( x − 4)  =   +) x+3 = ⇔ x = - +) 10 − x − ( x − 4) =0 ⇔ 10 − x = x – PT vô nghiệm với − 10 ≤ x ≤ 10 vế trái không âm, vế phải âm Vậy phương trình có nghiệm x= -3 Ví dụ 13 : Giải phương trình : x + − x = x − + − x + x − + (2) ĐK : ≤ x ≤ (2) ⇔ − x − x − − ( x − 1)(7 − x) + ( x − 1) = ⇔ 2( − x − x − 1) − x − 1( − x − x − 1) = ⇔ ( − x − x − 1)(2 − x − 1) = +) − x − x − = ⇔ − x = x − ⇔ − x = x + ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn) +) − x − = ⇔ x − = ⇔ x − = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có hai nghiệm x= 3; x= Ví dụ 14: Giải phương trình: x − x − − ( x − 1) x + x − x = (3) ĐK: x ≥ (3) ⇔ ( x − − x − + 1) − ( x − 1) x + x( x − 1) = ⇔ ( x − − 1) − x( x − 1).( x − − 1) = ⇔ ( x − − 1).( x − − − x( x − 1)) = +) x − − = ⇔ x − = ⇔ x − = ⇔ x = ( Thỏa mãn) +) x − − − x( x − 1) = ⇔ x − − = x( x − 1) (ĐK : x ≥ ) ta thu PT vô nghiệm Vậy Phương trình có nghiệm nhât x = Bình phương hai vế Phương pháp 4: Biến đổi vế phương trình tổng bình phương, vế Ví dụ 15: Giải phương trình : x + 3x + = x x + + 2 x − (1) ĐK x ≥ (1) ⇔ x − x x + + ( x + 3) + x − − 2 x − + = ⇔ (2 x − x + 3) + ( x − − 1) = 2 x − x + = ⇔ ⇔ x = 1(TM )  x − = = Vậy PT có nghiệm x = Ví dụ 16: Giải phương trình : 13 x − + x + = 16 x (2) ĐK : x ≥ 1 (2) ⇔ 13( x − − x − + ) + 3( x + − x − + ) = 4   x − − = ⇔ 13( x − − ) + 3( x + − ) = ⇔  ⇔ x = (TM ) 2  x +1 − =  Vậy PT có nghiệm x = Ví dụ 17: Giải phương trình : x + x + 2002 = 2002 (3) ( Trích đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2002-2003) (3) ⇔ x = 2002 − x + 2002 1 ⇔ x + x + = x + 2002 − x + 2002 + 4 1 ⇔ ( x + ) = ( x + 2002 − ) 2 1 ⇔ x + = x + 2002 − (*) 2 (do biểu thức ngoặc hai vế dương với x) (*) ⇔ x + = x + 2002 ⇔ x + x − 2001 = Giải phương trình trùng phương ta tìm nghiệm PT x = ± −1 + 8005 Ví dụ 18: Giải phương trình x(5 x3 + 2) − 2( x + − 1) = (4) ( Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán trường Amsterdam- Hà Nội năm 2014-2015) (4) ⇔ x + (2 x + − 2 x + + 1) = ĐK: x ≥ ⇔ x + ( x + − 1) =  x = ⇔ ⇔ x=0  x + − = Vậy hệ PT có nghiệm x= Ví dụ 19: Giải phương trình x − + y − + z − = ( x + y + z ) (5) ĐK: x ≥ 1; y ≥ 4; z ≥ (5) ⇔ x − + y − + z − = x + y + z ⇔ ( x − − x − + 1) + ( y − − y − + 4) + ( z − − z − + 9) = ⇔ ( x − − 1) + ( y − − 2) + ( z − − 3) =  x −1 −1 =  x = 2(TM )   ⇔  y − − = ⇔  y = 8(TM )   z = 18(TM )   z − − = Nhân xét : ví dụ 15- 19 ta khéo léo biến đổi vế thành tổng bình phương biểu thức hai vế hai biểu thức bình phương làm cho việc giải toán đơn giản nhiều Phương pháp 5: Đặt ẩn phụ a)Đặt ẩn phụ đưa phương trình quen thuộc Ví dụ 20 : Giải phương trình: 3x + 21x + 18 + x + x + = ĐK : x + x + ≥ Đặt y = x + x + ; y ≥ Phương trình có dạng: 3y2 + 2y - = −5  y= ⇔ ⇔ y = (™ )  y =1  x = −1 Với y = ⇔ x + x + = ⇔  (™)  x = −6 Vây PT có hai nghiệm x= -1; x= -6 Ví dụ 21: Giải phương trình: x − x − = x + HD:Điều kiện: x ≥ − Đặt t = x + 5(t ≥ 0) x = t2 − Thay vào ta có phương trình sau: t − 10t + 25 − (t − 5) − = t ⇔ t − 22t − 8t + 27 = 16 2 ⇔ (t + 2t − 7)(t − 2t − 11) = Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2 = −1 ± 2; t3,4 = ± Do t ≥ nên nhận gái trị t1 = −1 + 2, t3 = + Từ tìm nghiệm phương trình là: x = − vaøx = + Ví dụ 22: Giải phương trình sau x − − x + = x − − x + (1) ( Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm học 20062007 – dành cho thí sinh vào chuyên Nga, Pháp) ĐK : x ≥ (1) ⇔ x − − x + + x − − x − + x + − = ⇔ ( x − − x + 2) + ( x − − x + 2) − = Đặt t = x − − x + PT trở thành: t + t − = ⇒ t= 1; t= -2 +) t= ta có: x − − x + = ⇔ x − = 1+ x + ⇔ x − = + x + + x + ⇔ x + = −5 PT vô nghiệm +) t= - ta có x − − x + = −2 ⇔ x − + = x + ⇔ x − + + x − = x + ⇔ x − = ⇔ x = (TM ) Vậy PT có nghiệm x= )( ( Ví dụ 23: Giải phương trình sau : x = 2004 + x − − x HD: ĐK: ≤ x ≤ Đặt y = − x phương trình trở thành: ( − y ) (y + y − 1002 ) = ⇔ y = ⇔ x = Ví dụ 24: Giải phương trình sau : x + x x − HD:Điều kiện: −1 ≤ x < Chia hai vế cho x ta nhận được: x + x − Đặt t = x − ) = 3x + x 1 = 3+ x x (t ≥ 0), x ta PT ẩn t : t + 2t − = ⇒ t = t = -3 (loại) 1+ 1− +) t = ⇒ x − = giải ta x = (loại) x= (T/M) x 1− Vậy PT có nghiệm x= 2 Ví dụ 25 Giải phương trình : x + x − x = x + HD: x = nghiệm Chia hai vế cho x ta được: 1   x − ÷+ x − = x x  1± Đặt t= x − , ( t ≥ ) Ta có : t + t − = ⇔ t = 1(T / m) ⇔ x = x Ví dụ 26: Giải phương trình: + − x = x(1 + − x ) (2) ĐK ≤ x ≤ Bình phương hai vế PT (2) ta được: + − x = x (1 + − x ) (3) Đặt − x = t (t ≥ 0) ⇒ x = − t 2 2 PT (3) trở thành + t = (1 − t )(1 + 2t ) ⇔ (1 + t ) 1 − (1 − t )(1 + 2t )  *) t+1 = ⇔ t = −1 ( loại) *) − (1 − t )(1 + 2t ) = ⇔ 4t − 3t = ⇔ t = 0; t = +) t= x= 1(TM) ; x= -1 ( loại) 4 1 (loại) ; x = (TM ) 2 Vậy PT có nghiệm x=1 ; x= +) t = ⇒ x = − Nhận xét: sau đặt ẩn phụ thích hợp phương trình ẩn phụ phương trình ta biết cách giải ,từ tìm ẩn phụ tìm nghiệm phương trình Tuy nhiên trình giải PT phải chia vế cho biểu thức khác (ví dụ 24; 25), bình phương vế lên xuất ẩn phụ ( ví dụ 26) b) Đặt ẩn phụ không hoàn toàn đưa phương trình tích Ví dụ 27: Giải phương trình x + x − = ( x + 4) x − (1) ( Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm học 20162017 – dành cho thí sinh) ĐK x ≥ x ≤ − Đặt x − = t (t ≥ 0) Phương trình (1) trở thành: t = 4(TM ) t + x = ( x + 4)t ⇔ t + x − xt − 4t = ⇔ (t − 4)(t − x ) = ⇔  t = x +) t = ⇒ x − = ⇔ x = 23 ⇔ x = ± 23 +) t= x ⇔ x − = x ⇔ x − = x PT vô nghiệm Vậy PT có nghiệm x = ± 23 Ví dụ 28: Giải phương trình x3 − 3x − x + ( x + 2)3 = (2) (2) ⇔ x − 3x ( x + 2) + ( x + 2)3 = Đặt t = x + 2(t ≥ 0) PT (2) trở thành: x = t x − xt + 2t = ⇔ ( x − t ) ( x + 2t ) = ⇔   x = −2t x ≥ +) x = t ⇔ x = x + ⇔  x − x − = ⇔ x = (TM ) x ≤ +) x= -2t ⇔ x = −2 x + ⇔  x − 4x − = ⇔ x = − (TM ) Vậy phương trình có nghiệm x = 2; x = − ĐK x ≥ −2 Chú ý: Một số toán sau đặt ẩn phụ không hoàn toàn sử dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai để tìm mối quan hệ ẩn ẩn phụ ( thông thường toán ∆ ( đenta) phương trình số phương) : Ví dụ : Giải phương trình sau: ( x + 1) x − x = x − x − (3) ( Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Toán Lam Sơn – Thanh Hóa năm học 2014-2015) ĐK : x − x ≥ Đặt x − x = t (t ≥ 0) ⇒ t = x − x PT (3) trở thành : t − ( x + 1)t − x − = (*) Coi PT (*) PT ẩn t tham số x ta có : ∆ = [ −( x + 1)] − 4.(− x − 2) = ( x + 3)  x + − ( x + 3) = −1 t = Phương trình có hai nghiệm  t = x + + ( x + 3) = x +  x ≥ ⇔ x = + 13 Do t ≥ nên cần giải : x − x = x + ⇔  x − 6x − = Vậy PT có nghiệm x = + 13 c) Đặt hai ẩn phụ đưa hệ phương trình: Ví dụ 29: Giải phương trình sau: x + + x − = HD:Điều kiện: x ≥ Đặt a = x − 1, b = + x − 1(a ≥ 0, b ≥ 5) ta đưa hệ phương trình sau: a + b = ⇒ (a + b)(a − b + 1) = ⇒ a − b + = ⇒ a = b −  b − a = 11 − 17 Vậy x − + = + x − ⇔ x − = − x ⇒ x = Ví dụ 30: Giải phương trình: x3 + x − + x + x + = HD:Với điều kiện: x3 + x − ≥ ⇒ x + x + >  u = x + x − Đặt  Với v > u ≥ v = x + x +   Phương trình (1) trở thành u + v = Ta có hệ phương trình (1)  u+v =3 u + v =  u =  u+v =3 ⇔ ⇔ ⇔   v − u = (v + u )(v − u ) =  v − u = v =  x3 + x − =  x3 + x − = ⇔ ⇔ x + x + =  x + x + = ⇔ x3 + x − = ⇔ ( x − 1)( x + x + 2) = ⇔ x = (do x + x + > ∀x) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {1} Ví dụ 31: Giải phương trình x − − 3 − x + = (2) ĐK: x ≥ Nhân thấy : x- +3- x = Do đặt x − = a (a ≥ 0); 3 − x = b  2a − b = Ta có :  (3)  a + b = (4) b −1 vào (4) ta được: 4b3 + b − 2b − = ⇔ 4b3 − 4b + 5b − 5b + 3b − = ⇔ (b − 1)(4b + 5b + 3) = ⇔ b = Rút a từ PT (3) ta có : a = Với b =1 a= giải x = (TM) Vậy PT có nghiệm x = Ví dụ 32: Giải phương trình : (3x + 1)2 + (3x − 1) + x − = (5) Ta nhận thấy (3x + 1)(3x − 1) = x − (3x + 1) – (3x- 1) = Vì ta đặt: (3x + 1) = u; (3x − 1) = v hệ phương trình trở thành: 2 2 u + v + uv = u + v + uv = u + v + uv = ⇔ ⇔  3  2 (u − v)(u + v + uv) = u − v = u − v = u + v + uv = (v + 2) + v + (v + 2)v = 3(v + 1) =  v = −1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ u = u = v + u = v + u = v + Từ suy x = Nhận xét: Đối với toán giải PT vô tỉ mà ta tìm mối quan hệ biểu thức phương trình , sau biến đổi biểu thức có liên hệ với ta nên nghỉ đến việc đặt ẩn phụ nhằm đơn giản hóa việc giải PT Phương pháp 6: Sử dụng biểu thức liên hợp Ví dụ 33: Giải phương trình : 1 + + =1 x+3 + x+2 x + + x +1 x +1 + x ĐK : x ≥ Nhân với liên hợp mẫu phân thức ta (1) x + − x + + x + − x +1 + x +1 − x = ⇔ x + − x = ⇔ x + = x ⇔ x = (TM ) Vây PT có nghiệm x= Ví dụ 34: 10 x + + 3x − = x + + x − (2) ( ĐK : x ≥ ) Nhận thấy: ( 10x+1) – (9x+4) = ( 3x-5) –( 2x-2) = x-3 ta nghĩ đến nhân liên hợp nhằm tạo nhân tử chung x-3 (2) ⇔ 10 x + + x − = x + + x − ⇔ 10 x + − x + + 3x − − x − = x −3 x−3 + =0 10 x + + x + 3x − + x − 1 ⇔ ( x − 3)( + )=0 10 x + + x + 3x − + x − ⇔ Vì 1 + ≠ nên x- 3= x = (TM) 10 x + + x + 3x − + x − Vây PT có nghiệm x= Ví dụ 35: Giải phương trình : 3x + − − x + 3x − 14 x − = (3) ĐK: −1 ≤x≤6 Nhận thấy x =5 nghiệm phương trình Từ ta nghĩ đến việc sử dụng liên hợp để tạo nhân tử (x-5) Ta tách PT (3) sau: x + − 16 1− + x + + ( x − 5)(3 x + 1) = 3x + + + − x 3( x − 5) x −5 ⇔ + + ( x − 5)(3 x + 1) = ⇔ ( x − 5)( + + x + 1) = 3x + + + − x 3x + + + − x −1 + + 3x + > ≤ x ≤ nên x + ≥ suy Vì 3x + + + − x ( x + − 4) + (1 − − x ) + x − 14 x − = ⇔ Do x – = x = Ví dụ 36 Giải phương trình : x − + x = x − ĐK x ≥ Nhận thấy x = nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình ( x − 1)3 − 23 x − − + x − = x3 − − ⇔   ⇔ ( x − 3) 1 +  ( x − 1) 2 + x2 − + + x−3=   ( x − 3) ( x + x + ) = 2 x3 − + x −1 + x −1 + ( )  Ta chứng minh : x+3 ( x3 − 2)2 − 25 x3 − + x+3 1+ (x − 1) + x − + = 1+ ( x+3 ) x2 − + + 2: VP = 2x2 + + < + Mà: VP > + x +1 2x − > 2.22 + = + VT < + x > ⇒ x +1 > +1 6 1+ < 1+ =3 x +1 +1 Vậy: phương trình cho có nghiệm x = x 4x − + =2 x 4x − Ví dụ 40: Giải phương trình : HD: Điều kiện x > Áp dụng bất đẳng thức cô si cho số dương ta có: x 4x − + 4x − ≥2 x x 4x − 4x − = x × x Theo giả thiết dấu xảy khi: 4x − = 4x − x ⇔ x − 4x + = ⇔ (x − 2) = ⇔ x = ± 2 Dấu “=” xảy ⇔ x = 4x − ⇔ x − 4x + = ⇔ x − 4x + − = ⇔ (x − 2) = ⇔ x − = ± ⇔ x = ± (Thoả mãn) Vậy : x = ± Ví dụ 41 : Giải phương trình : x + + − x = x − 12 x + 13 ĐK: −1 ≤x≤ 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cốpki cho vế trái ta có : (1 x + + − x ) ≤ (12 + 12 )(2 x + + − x) = 16 ⇒ 2x + + − 2x ≤ 4 x − 12 x + 13 = (2 x − 3) + ≥ Dấu xảy x = (TM) Vậy PT có nghiệm x = BÀI TẬP VẬN DỤNG: 1/ x + x + = 3/ x − x + = x − 2/ x − x + = 4/ x + x + = x + 6/ x − x + − x − x + = 10 8/ x2 − x + + x2 − x + = 5/ x − x + + x + x + = 7/ x2 − x + + x + 8x + = x − x + 9/ x + x − + x − x − = 11/ x + − x + + x + 11 − x + = 13/ x + x − x + x + − = 15/ x − x + + x = 10 17/ x + x −1 + x − x −1 = x+3 10/ x −3− x − + x − x − =1 12/ x − + 2x − + x + + 2x − = 14/ x + + x − + x − − 2 x − = 16/ x − x + + x = 18/ x − x + = − x 19/ 20/ x + − x − = ( x − 1) + − x − + x − − x − + = 22/ x + = x3 − x − 21/ x − 14 x + − x − x − 20 = x + 23/ x + x −1 1 = 1− + x − x x x 24/ 25/ ( x − 1) x3 + = x + x + 27) ( ) ( x2 + − = x + 3x + x2 + 15 30 x − x ) = 2004 ( ( 26/ x − x − 10 = x − x − 10 ) 28) x + x + 12 x + = 36 29) ( + x ) + 3 − x + ( − x ) = 30) 2008 x − x + = 2007 x − 31) x = (2004 + x )(1 − − x ) 33) x − + x + x + x + = + x − 32) ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x 35) 37) 39) 36) x + 3x + = x x + + 2 x − 38) 12 x + x − = x + 40) x − 11x + 21 − 3 x − = 34) ( x + ) + 16 x + + x = + x3 + x 2 x + 16 x + 18 + x − = x + ) 30060 x + + x − + x3 − = x − 2 ( − x ) + 16 ( − x ) = x + 16 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC VỚI BẢN THÂN ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG Trong nhiều năm dạy đội tuyển học sinh lớp nhà trường , thấy với cách làm học sinh có nhiều chuyển biến đáng ghi nhận , em có kỹ tương đối tốt giải toán “Phương trình vô tỉ” , biết cách tìm lời giải đứng trước phương trình vô tỉ đặc biệt trình bày lời giải chặt chẽ ngắn gọn Hơn em thật hứng thú để học phần , không lo sợ môn Toán Áp dụng kinh nghiệm vào dạy đội tuyển toán nhà trường năm học 2011-2012 ,2016-2017 thấy hiệu rõ rệt Bài khảo sát cho 10 em học sinh đội tuyển cho thấy: Năm học 2011-2012 2016-2017 Điểm SL % 0 0 Điểm đến SL % 30 20 Điểm 8-10 SL % 70 80 Năm học 2016-2017 trực tiếp dạy đội tuyển nhà trường tham gia kỳ thi học sinh giỏi cấp thành phố kết quả: học sinh dự thi em có giải giải nhất, giải nhì đặc biệt có em thủ khoa Toán toàn thành phố, đồng đội Toán nhà trường xếp thứ toàn Thành phố, nhà trường có 4em lọt vào đội tuyển dự thi môn Toán cấp Tỉnh Cũng năm học giao nhiệm vụ dạy đội tuyển toán TP Thanh Hóa dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh kết có 7/10 em đạt giải cấp tỉnh Với thành tích đội tuyển toán năm học 2016-2017 góp phần nhỏ vào thành tích chung trường THCS Lý Tự Trọng Trong kỳ thi HSG môn văn hóa trường xếp thứ đội tuyển giải toán máy tính cầm tay nhà trường xếp thứ toàn Thành phố Thanh Hóa Nhà trường xứng đáng với vị trí tốp đầu chất lượng giáo dục Thành phố lãnh đạo ngành nhân dân tin tưởng KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN: Từ kết cụ thể rút số kinh nghiệm cho thân cho đồng nghiệp dạy học sinh giải phương trình vô tỉ sau +) Nắm vững lí thuyết để áp dụng tốt vào tập +) Cần phân dạng phương trình vô tỉ, phương pháp giải dạng với ví dụ cụ thể từ dễ đến khó + Hướng dẫn em trước giải phương trình cần phân loại dạng toán, phương pháp giải hướng dẫn học sinh phân tích toán tìm hiểu cách giải, phán đoán cách giải, bước giải để em đến lời giải thông minh ngắn gọn + Rèn kĩ giải phương trình vô tỉ cho học sinh, thường xuyên để ý giúp em sửa chữa sai lầm thường mắc phải giải phương trình vô tỉ ĐKXĐ +) Trên sở làm tập mẫu thật cẩn thận, giáo viên cần giao thêm nhà có nội dụng tương tự mở rộng để em tự giải phương trình vô tỉ Đề tài áp dụng dạy đội tuyển học sinh giỏi toán 9, ôn luyện cho học sinh thi vào lớp 10 THPT, THPT hệ chyên 3.2 ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ +) Đối với nhà trường : - Cần tạo điều kiện mua sắm tài liệu tham khảo để GV nghiên cứu sâu kiến thức nhằm phục vụ tốt cho việc dạy học , đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi -Thường xuyên tổ chức kỳ thi HSG khối lớp để GV trăn trở ,suy nghĩ cách dạy học hiệu +) Đối với nghành: Cần thường xuyên tổ chức chuyên đề môn học để GV học hỏi trao đổi với đồng nghiệp để trau dồi chuyên môn tốt Do kinh nghiệm hạn chế nên trình viết khó tránh sai sót cách trình bày hệ thống tâp đưa chưa đầy đủ, chưa khoa học mong thầy cô bạn bè đồng nghiệp đóng góp ý kiến để SKKN hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa ngày 10 tháng 04 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN thân , không chép người khác Người viết (Ký, ghi rõ họ tên) Phạm Thị Hương MỤC LỤC Mở đầu 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 Lí chọn đề tài Mục đích đề tài Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề cần nghiên cứu Giải pháp thực 1 2 2 Kiến thức cần nhớ bậc hai Phương pháp chung để giải PT vô tỉ Các phương pháp giải PT vô tỉ Phương pháp 1: Nâng hai vế lên lũy thừa Phương pháp 2: Đưa PT chứa dấu GTTĐ Phương pháp 3: Đưa PT tích Phương pháp 4: Biến đổi vế PT tổng bình phương, vế 2.4 3.1 3.2 Phương pháp 5: Đặt ẩn phụ 11 Phương pháp 6: Sử dụng liên hợp 16 Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá 17 Bài tập vận dụng Hiệu SKKN Kết luận, kiến nghị Kết luận Đề xuất, kiến nghị 19 19 20 20 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO STT TÊN TÀI LIỆU Nâng cao phát triển toán TÁC GIẢ Vũ Hữu Bình NXB Giáo dục Tài liệu chuyên toán lớp Tuyển chọn đề thi HSG toán Vũ Hữu Bình Giáo dục Hoàng Văn Minh – Đại học THCS Trần Đình Thái quốc Nội Đại học quốc Tuyển chọn đề thi vào lơp 10 Nguyễn Ngọc Đạm chuyên – Môn Toán Các chuyên đề bồi dưỡng học Tạ Hữu Thơ Nguyễn Trung Kiên sinh giỏi Phương pháp giải dạng toán khó kỳ thi lớp 10 Báo toán học tuổi trẻ Báo toán tuổi thơ Trần Bá Hào gia Hà gia Hà Nội Tổng hợp TP Hồ Chí Minh Đại học quốc gia Hà Nội ... làm cho HS vững vàng tự tin làm toán Đối với việc dạy học sinh giải phương trình vô tỉ: - Giúp HS nắm số dạng phương trình vô tỉ cách giải - Cần giúp cho học sinh xác định phương pháp giải phương. .. giải phương trình vô tỉ từ giúp học sinh định hướng cách giải - Học sinh cần hiểu chất việc giải phương trình vô tỉ thông qua hệ thống tập - Cần giúp học sinh biết giải phương trình vô tỉ dạng... học sinh phù hợp với đặc trưng môn , bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học , khả hợp tác rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tế gây hứng thú học tập cho học sinh Do để giúp cho học sinh