Hàm lượng giác Mục lục Hàm lượng giác 1.1 Các hàm lượng giác 1.2 Lịch sử 1.3 Định nghĩa tam giác vuông 1.4 Định nghĩa vòng tròn đơn vị 1.4.1 Dùng đại số 1.4.2 Dùng hình học 1.5 Định nghĩa chuỗi 1.6 Trên trường số phức 1.7 Định nghĩa phương trình vi phân 1.8 Các định nghĩa khác 1.9 Miền xác định miền giá trị 1.10 Phương pháp tính 1.11 Hàm lượng giác ngược 1.12 Một số đẳng thức 1.13 Tính chất ứng dụng 1.13.1 Định lý sin 1.13.2 Định lý cosin 1.13.3 Định lý tang 1.14 am khảo 1.15 Xem thêm 1.16 Liên kết Hàm số 2.1 Khái niệm 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Ký hiệu 2.1.3 Cách cho hàm số Các dạng hàm số 2.2.1 Đơn ánh, song ánh, toàn ánh 2.2.2 Hàm hợp hàm ngược 2.3 Đồ thị hàm số 10 2.4 Xem thêm 10 2.2 i ii MỤC LỤC 2.5 am khảo 10 2.6 Liên kết 10 2.7 Nguồn, người đóng góp, giấy phép cho văn hình ảnh 11 2.7.1 Văn 11 2.7.2 Hình ảnh 11 2.7.3 Giấy phép nội dung 11 Chương Hàm lượng giác −2 −4 −6 −8 Đồ thị hàm sin −2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π Đồ thị hàm tang Đồ thị hàm cos Đồ thị hàm cotang Trong toán học nói chung lượng giác học nói riêng, hàm lượng giác hàm toán học góc, dùng nghiên cứu tam giác tượng có tính chất tuần hoàn Các hàm lượng giác góc thường định nghĩa tỷ lệ chiều dài hai cạnh tam giác vuông chứa góc đó, tỷ lệ chiều dài đoạn thẳng nối điểm đặc biệt vòng tròn đơn vị Những định nghĩa đại thường coi hàm lượng giác chuỗi số vô hạn nghiệm số phương trình vi phân, điều cho phép hàm lượng giác có đối số số thực hay số phức 1.1 Các hàm lượng giác Ngày nay, thường làm việc với sáu hàm lượng giác bản, liệt kê bảng dưới, kèm theo liên hệ toán học hàm Trong lịch sử, số hàm lượng giác khác nhắc đến, dùng là: • versin (versin = − cos) Các hàm lượng giác hàm số đại số xếp vào loại hàm số siêu việt • exsecant (exsec = sec − 1) CHƯƠNG HÀM LƯỢNG GIÁC dùng sáu hàm lượng giác (trong tác phẩm Abu'l-Wefa), với bảng tính hàm sin cho góc cách 0.25 độ, với độ xác đến chữ số thập phân sau dấu phẩy, bảng tính hàm tan Đồ thị hàm sec Từ sin mà ngày ta dùng xuất phát từ chữ La tinh sinus (“vịnh” hay “gập”), dịch nhầm từ chữ Phạn jiva (hay jya) Jiva (vốn đọc đầy đủ ardha-jiva, “nửadây cung”, Aryabhatiya kỷ 6) chuyển tự sang tiếng Ả Rập jiba ( ), bị nhầm thành từ khác, jaib ( ) (“vịnh”), dịch giả châu Âu Robert Chester Gherardo Cremona Toledo (thế kỷ 12) Sự nhầm lẫn jiba ( ) jaib ( ) viết giống tiếng Ả Rập (nhiều nguyên âm bị thiếu bảng chữ Ả Rập) Các công trình hàm lượng giác phát triển nghiên cứu thiên văn Có lẽ sách tập trung nghiên cứu lượng giác De triangulis omnimodus (1464) Tabulae directionum Regiomontanus (1436–1476) yển Tabulae directionum nói hàm tang Đồ thị hàm cosec Xem thêm đẳng thức lượng giác để biết thêm nhiều liên hệ khác hàm lượng giác yển Opus palatinum de triangulis Rheticus, học trò Copernicus, sách định nghĩa hàm lượng giác tam giác vuông thay dùng vòng tròn đơn vị, kèm theo bảng tính hàm lượng giác Công trình hoàn thiện học trò Rheticus Valentin Otho năm 1596 yển Introductio in analysin infinitorum (1748) Euler tập trung miêu tả cách tiếp cận giải tích đến hàm lượng giác, định nghĩa chúng theo chuỗi vô tận giới thiệu "Công thức Euler" eix = cos(x) + i sin(x) Euler dùng ký hiệu viết tắt sin., cos., tang., cot., sec., cosec giống ngày 1.2 Lịch sử Những nghiên cứu cách hệ thống việc lập bảng 1.3 Định nghĩa tam giác tính hàm lượng giác cho thực lần đầu vuông Hipparchus Nicaea (180-125 TCN), người lập bảng tính độ dài cung tròn (có giá trị góc, A, nhân với bán kính, r) chiều dài dây cung Có thể định nghĩa hàm lượng giác góc A, tương ứng (2r sin(A/2)) Sau đó, Ptolemy (thế kỷ 2) tiếp việc dựng nên tam giác vuông chứa góc A Trong tục phát triển công trình Almagest, tam giác vuông này, cạnh đặt tên sau: tìm công thức cộng trừ cho sin(A + B) cos(A + B) Ptolemy suy diễn công thức nửa• Cạnh huyền cạnh đối diện với góc vuông, góc sin(A/2)2 = (1 − cos(A))/2, cho phép ông lập bảng cạnh dài tam giác vuông, h hình vẽ tính với độ xác cần thiết Những bảng tính Hipparchus Ptolemy bị thất truyền • Cạnh đối cạnh đối diện với góc A, a hình Các phát triển lượng giác diễn Ấn Độ, vẽ công trình Siddhantas (khoảng kỷ 4–5), định nghĩa hàm sin theo nửa góc nửa dây cung yển • Cạnh kề cạnh nối góc A góc vuông, b Siddhantas chứa bảng tính hàm sin cổ hình vẽ tồn đến (cùng với giá trị − cos), cho góc có giá trị từ đến 90 độ cách 3.75 độ Công trình Ấn giáo sau dịch phát triển thêm người Ả Rập Đến kỷ 10, người Ả Rập Dùng hình học Ơclit, tổng góc tam giác pi radian (hay 180⁰) Khi đó: 1.4 ĐỊNH NGHĨA BẰNG VÒNG TRÒN ĐƠN VỊ Vòng tròn đơn vị số điểm đặc biệt ứng với số góc đặc biệt Một tam giác vuông chứa góc 90° (π/2 radian), ký hiệu C hình Góc A B thay đổi Các hàm lượng giác thể mối liên hệ chiều dài cạnh độ lớn góc tam giác vuông 1.4 Định nghĩa vòng tròn đơn vị Ở θ góc, số thực bất kỳ; k số nguyên Tang Cotang tuần hoàn với chu kỳ π radian hay 180 độ 1.4.2 Dùng hình học Fc excsc H ot cvs csc G θ A d cr Các hàm lượng giác định nghĩa vòng tròn đơn vị, vòng tròn có bán kính tâm trùng với tâm hệ tọa độ Định nghĩa dùng vòng tròn đơn vị thực dựa vào tam giác vuông, chúng định nghĩa cho góc số thực, không giới hạn Pi/2 radian Các góc lớn 2π hay nhỏ −2π quay vòng đường tròn cos θ = cos (θ + 2πk) sin tan arc C O cos versin D 1.4.1 exsec E Dùng đại số sec Vòng tròn đơn vị điểm (x, y) mặt phẳng hình học phẳng thỏa mãn: x + y2 = B Mọi hàm lượng giác dựng lên phương pháp hình học vòng tròn đơn vị có tâm O Gọi góc θ góc đường thẳng nối tâm hệ tọa độ điểm (x,y) vòng tròn chiều dương trục x hệ tọa độ x-y, hàm lượng giác định Hình vẽ bên cho thấy định nghĩa hình học hàm lượng giác cho góc vòng tròn đơn vị nghĩa là: tâm O Với θ nửa cung AB: Khi góc quay vòng tròn, hàm sin, cos, sec cosec trở nên hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π radian hay eo hình vẽ, dễ thấy sec tang phân kỳ θ tiến tới π/2 (90 độ), cosec cotang phân kỳ θ tiến tới 360 độ: Nhiều cách xây dựng tương tự thực vòng tròn đơn vị, tính chất hàm sin θ = sin (θ + 2πk) lượng giác chứng minh hình học 4 CHƯƠNG HÀM LƯỢNG GIÁC 1.5 Định nghĩa chuỗi Công thức cho phép mở rộng hàm lượng giác cho biến phức z: sin(x) f(x) sin z = ∞ ∑ (−1)n 2n+1 eız − e−ız z = = −ı sinh (ız) (2n + 1)! 2ı n=0 ∞ ∑ (−1)n 2n eız + e−ız cos z = z = = cosh (ız) (2n)! n=0 -2π -π π 2π Trong trường hợp đặc biệt, z = x, số thực cos x = Re (eıx ) sin x = Im (eıx ) Hàm sin (xanh lam) xấp xỉ chuỗi Taylor bậc (màu hồng) 1.7 Định nghĩa phương trình vi phân Dùng hình học tính chất giới hạn hàm số, chứng minh đạo hàm hàm sin hàm Cả hai hàm sin cos thỏa mãn phương trình vi phân cos đạo hàm hàm cos trái dấu hàm sin Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin cos chuỗi, cho góc x đo giá trị radian thực Từ hai y ′′ = −y hàm suy chuỗi hàm lượng dạng lại Các hàm hàm trái dấu vi phân bậc hai Các đẳng thức bên cho biết chuỗi Taylor của chúng hàm lượng giác Chúng dùng làm định nghĩa cho hàm lượng giác Chúng dùng nhiều ứng dụng, chuỗi Fourier), lý thuyết chuỗi vô hạn xây dựng từ tảng hệ thống số thực, độc lập với hình học Các tính chất khả vi hay liên tục chứng minh từ định nghĩa chuỗi Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất nghiệm phương trình vi phân trên, sin hàm thỏa mãn điều kiện biên y(0) = y′(0) = 1, cos hàm thỏa mãn điều kiện biên y(0) = y′(0) = Hai hàm lại độc lập tuyến tính V, chúng tạo thành hệ sở cho V Trong bảng dưới, quy ước: ực tế cách định nghĩa tương đương với việc dùng công thức Euler Phương trình vi phân không dùng để định nghĩa sin cos mà dùng để chứng minh đẳng thức lượng giác cho hàm E số Euler thứ n U  số lên/xuống thứ n 1.6 Trên trường số phức Hàm tan nghiệm phương trình vi phân phi tuyến sau: Từ định nghĩa chuỗi, chứng minh ′ hàm sin cos phần ảo phần thực hàm mũ y = + y số ảo: với điều kiện biên y(0) = Xem cho chứng minh công thức eiθ = cos θ + i sin θ Với i đơn vị ảo, bậc hai −1 Các phương trình biến số hàm lượng giác radian Nếu dùng đơn vị đo góc khác, biến số thay đổi qua nhân tử k Ví dụ, x tính độ, k là: Liên hệ phát lần đầu Euler công thức gọi công thức Euler Trong giải tích phức, vẽ vòng tròn đơn vị mặt phẳng phức, π gồm điểm z = eix , mối liên hệ số phức k = 180 lượng giác trở nên rõ ràng Ví dụ trình miêu tả hàm mũ phức có tính chất tuần hoàn Lúc đó: 1.10 PHƯƠNG PHÁP TÍNH f (x) = sin(kx); k ̸= 0, k ̸= vi phân hàm sin bị thay đổi nhân tử này: f ′ (x) = k cos(kx) Trước có máy tính, người ta thường tìm giá trị hàm lượng giác cách nội suy từ bảng tính sẵn, có độ xác tới nhiều chữ số thập phân Các bảng tính thường xây dựng cách sử dụng công thức lượng giác, công thức chia đôi góc, hay công thức cộng góc, vài giá trị xác (như sin(π/2)=1) Các máy tính đại dùng nhiều kỹ thuật khác (Kantabutra, 1996) Một phương pháp phổ biến, đặc biệt Nghĩa hàm phải thỏa mãn: cho máy tính có tính số thập phân, kết hợp xấp xỉ đa thức (ví dụ chuỗi Taylor hữu hạn hàm hữu tỉ) với bảng tính sẵn — đầu tiên, máy tính y ′′ = −k y tìm đến giá trị tính sẵn bảng nhỏ cho góc nằm gần góc cần tính nhất, dùng đa thức để sửa giá trị Ví dụ cho hàm sin, điều tương tự xảy cho bảng giá trị xác Trên phần cứng hàm lượng giác khác số học lô gíc, dùng thuật toán CORDIC (hoặc kỹ thuật tương tự) để tính hiệu hơn, thuật toán dùng toán tử chuyển vị 1.8 Các định nghĩa khác phép cộng Các phương pháp thường lắp sẵn phần cứng máy tính để tăng tốc độ xử lý Hàm sin cos, hàm lượng giác khác suy từ Đối với góc đặc biệt, giá trị hàm lượng giác có hai hàm này, định nghĩa hàm s c thể tính giấy bút dựa vào định lý Pytago định lý sau: Ví dụ sin, cos tang góc bội π/60 Tồn cặp hàm s c trường số thực radian (3 độ) tính xác giấy bút thỏa mãn: Một ví dụ đơn giản tam giác vuông cân với góc nhọn π/4 radian (45 độ) Cạnh kề b cạnh đối s(x)2 + c(x)2 = a đặt a = b = Sin, cos tang π/4 radian (45 độ) tính định lý Pytago sau: s(x+y) = s(x)c(y) + c(x)s(y) c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y) < xc(x) < s(x) < x cho < x < Ở x, y ∈ R 1.9 Miền xác định miền giá trị Các hàm số lượng giác trường số thực có miền xác định miền giá trị tổng kết bảng sau: c= √ a2 + b2 = √ Nên: sin (π/4) = sin (45◦ ) = cos (π/4) = cos (45◦ ) = √ √ tan (π/4) = tan (45◦ ) = √ = Một ví dụ khác tìm giá trị hàm lượng giác π/3 radian (60 độ) π/6 radian (30 độ), bắt đầu với tam giác có cạnh Cả ba góc tam giác 1.10 Phương pháp tính π/3 radian (60 độ) Chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông có góc nhọn π/6 radian (30 độ) Việc tính giá trị số cho hàm lượng giác toán π/3 radian (60 độ) Mỗi tam giác vuông có cạnh ngắn phức tạp Ngày nay, đa số người dùng máy 1/2, cạnh huyền cạnh lại tính hay máy tính bỏ túi khoa học để tính giá trị (√3)/2 Như vậy: hàm Dưới trình bày việc dùng bảng tính lịch sử để tra giá trị hàm lượng giác, kỹ thuật tính ngày máy tính, số giá trị xác dễ nhớ sin (π/6) = sin (30◦ ) = cos (π/3) = cos (60◦ ) = Trước hết, việc tính giá trị hàm lượng giác cần √ tập trung vào góc nằm, ví dụ, từ đến π/2, giá cos (π/6) = cos (30◦ ) = sin (π/3) = sin (60◦ ) = trị hàm lượng giác góc khác suy tính chất tuần hoàn đối xứng tan (π/6) = tan (30◦ ) = cot (π/3) = cot (60◦ ) = √ hàm CHƯƠNG HÀM LƯỢNG GIÁC 1.11 Hàm lượng giác ngược ( ( )) √ arcsin(z) = −i log i z + − z Các hàm lượng giác tuần hoàn, để tìm hàm ngược, cần giới hạn miền hàm Dươi định ( ) √ arccos(z) = −i log z + z − nghĩa hàm lượng giác ngược: ( ) Các hàm ngược ký hiệu arcsin arccos i − iz arctan(z) = log Các hàm lượng giác ngược định nghĩa + iz chuỗi vô hạn: arcsin z = z+ ( ) z3 = arccos z n=0 = = − (z π = arctan z ( 1·3 ) z5 ( 1·3·5 ) z7 + ( +) 2·4·6 + ··· ∑∞ 2·4 (2n)! z 2n+1 22n (n!)2 π − arcsin z ( ) z3 ( 1·3 ) z5 ( 1·3·5 ) z7 + + (2·4 +) 2·4·6 ∑∞ (2n)! z 2n+1 π n=0 22n (n!)2 − (2n+1) − z3 + z5 − z7 + n 2n+1 ∑∞ (−1) z n=0 2n+1 = z = (2n+1) ··· |z| < 1.12 Một số đẳng thức |z| Xem < thêm Đẳng thức lượng giác Xem thêm Danh sách tích phân với hàm lượng giác, Danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược + · · · ) |z| < sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin (x − y) = sin x cos y − cos x sin y cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y ( −1 ) arccsc z = arcsin z ( ) −3 ( ) z−5 ( 1·3·5 ) z−7 cos (x − y) = cos x cos y + sin x sin y ( ) ( ) = z −1 + 12 z +( 1·3 |z| > 2·4 )+ 2·4·6 + ··· x+y x−y ∑∞ (2n)! z −(2n+1) sin x + sin y = sin cos = n=0 22n (n!)2 2n+1 2 ( ) ( ) ( −1 ) x+y x−y arcsec z = arccos z x − sin y = cos sin ( ) −3 ( 1·3 ) z−5 ( 1·3·5 )sinz−7 = π2 − (z −1 + 21 z + ( 2·4 |z| > )+ 2·4·6 + ···) ∑∞ ) ( ) ( (2n)! π z −(2n+1) = x−y n=0 22n (n!)2 − (2n+1) cos x + cos y = cos x + y cos 2 π − arctan z arccot z = ( ) ( ) 23 x+y x−y = π2 − (z − z3 + z5 − z7 + · · · ) |z| < cos x − cos y = −2 sin sin ∑∞ (−1)n z2n+1 2 π = n=0 − 2n+1 sin (x + y) Chúng định nghĩa thông qua biểu tan x + tan y = cos x cos y thức sau, dựa vào tính chất chúng đạo hàm sin (x − y) hàm khác tan x − tan y = cos x cos y ∫ x arcsin (x) = ∫ √ dz, − z2 1 √ dz, − z2 arccos (x) = x ∫ x arctan (x) = ∫ dz, + z2 ∞ arccot (x) = z2 x ∫ arcsec (x) = ∫ x x dz, +1 |x| < ∀x ∈ R z>0 √ dz, |z| z − ∞ arccsc (x) = |x| < −1 √ dz, |z| z − x>1 x>1 cot x + cot y = sin (x + y) sin x sin y cot x − cot y = − sin (x − y) sin x sin y 1.13 Tính chất ứng dụng Các hàm lượng giác có vị trí quan trọng lượng giác học Bên lượng giác học, tính tuần hoàn chúng có ích cho việc mô chuyển động sóng sóng điện từ hay âm Mọi tín hiệu phân tích thành tổng (vô hạn) hàm sin cos ứng với nhiều tần số; ý tưởng chủ đạo phân tích Fourier, dùng để giải toán điều kiện biên phương trình đạo hàm riêng Công thức cho phép mở rộng hàm lượng giác Các tính chất quan trọng hàm lượng giác lượng giác học thể ba định lý: ngược cho biến phức: 1.14 THAM KHẢO 1.14 Tham khảo C b γ h α A (bằng tiếng Anh) a • Carl B Boyer, A History of Mathematics, 2nd ed (Wiley, New York, 1991) β Dc B Định luật sin định luật cos chứng minh việc chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông 1.13.1 Định lý sin Định lý sin phát biểu cho tam giác nào: b c a = = = 2R sin A sin B sin C Có thể chứng minh định lý cách chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông, dùng định nghĩa hàm sin (sinA)/a nghịch đảo đường kính đường tròn qua ba điểm A, B C Định lý sin dùng để tính độ dài cạnh biết độ dài hai cạnh lại tam giác Đây toán hay gặp kỹ thuật tam giác, kỹ thuật dùng để đo khoảng cách dựa vào việc đo góc khoảng cách dễ đo khác 1.13.2 Định lý cosin • Eli Maor, Trigonometric Delights (Princeton Univ Press, 1998) • "Trigonometric functions", MacTutor History of Mathematics Archive • Tristan Needham, Visual Complex Analysis, (Oxford University Press, 2000), ISBN 0198534469 Book website • Vitit Kantabutra, “On hardware for computing exponential and trigonometric functions,” IEEE Trans Computers 45 (3), 328-339 (1996) 1.15 Xem thêm • Hàm hypebolic • Định lý Pytago • Đẳng thức lượng giác 1.16 Liên kết (bằng tiếng Anh) Định lý cos kết mở rộng định lý Pytago: • Khóa học lượng giác Dave dùng ứng dụng Java để mô tả tính chất hàm lượng giác c2 = a2 + b2 − 2ab cos C • Vẽ đồ thị hàm số hoàn toàn Javascript Chạy hầu hết trình duyệt đại Định lý chứng minh việc chia tam giác thành hai tam giác vuông Định lý dùng để tìm liệu chưa biết tam giác biết độ lớn hai cạnh góc Nếu góc biểu thức không quy ước rõ ràng, ví dụ nhỏ 90°, có hai tam giác thỏa mãn định lý cos, ứng với hai góc C nằm khoảng từ đến 180℃ùng cho giá trị cos C 1.13.3 Định lý tang Định lý tang phát biểu là: [1 ] tan (A + B) a+b = [1 ] a−b tan (A − B) • Công thức tính liên quan đến cos Chương Hàm số phụ thuộc vào x√một lượng bậc x, ta kí hiệu f (x) = x 2.1 Khái niệm 2.1.1 Định nghĩa Cho X, Y hai tập hợp số, ví dụ tập số thực R, hàm số f xác định X, nhận giá trị Y quy tắc cho tương ứng số x thuộc X với số y thuộc Y 2.1.2 Ký hiệu Mỗi số thuộc tập X tương ứng với số thuộc tập Y qua hàm f f : X → Y f : x → f (x) y = f (x) Trong toán học, khái niệm hàm số (hay hàm) hiểu tương tự khái niệm ánh xạ ực chất hàm số Với: trường hợp đặc biệt ánh xạ Nếu ánh xạ • Tập X gọi miền xác định định nghĩa quy tắc tương ứng áp dụng lên hai tập hợp (còn gọi tập nguồn tập đích), mà • Tập Y gọi miền giá trị phần tử tập hợp (tập hợp nguồn) tương ứng với phần tử thuộc tập hợp • x gọi biến độc lập hay gọi đối số (tập hợp đích), ta hoàn toàn coi hàm số trường hợp đặc biệt ánh xạ, tập nguồn • y gọi biến phụ thuộc hay gọi hàm tập đích tập hợp số số Ví dụ hàm số f xác định tập hợp số thực R • f(x) gọi giá trị hàm f x biểu thức: y = x - cho tương ứng số thực x với số thực y nhận giá trị x - 5, tương ứng với Khi hàm f xác định, ta 2.1.3 Cách cho hàm số viết f (3) = Đôi chữ hàm dùng cách gọi tắt thay cho Hàm số cho bảng biểu đồ hàm số Tuy nhiên trường hợp sử dụng khác, biểu thức hàm mang ý nghĩa tổng quát ánh xạ, lý Ví dụ: X = {1,2,3,4,5}, Y = {5,6,7,8,9,10} thuyết hàm Các hàm hay ánh xạ tổng quát liên hệ tập hợp tập số Ví dụ có Hàm f : X → Y cho bảng sau: thể định nghĩa hàm quy tắc cho tương ứng Các hàm cho biểu thức y = 2x + , y = x2 hãng xe với tên quốc gia xuất xứ nó, chẳng hạn có , y = sin x … thể viết Xuất_xứ(Honda) = Nhật Lưu ý: Trong chương trình môn Toán bậc Trung học Kí hiệu hàm số bắt nguồn từ tiếng Anh từ function, phổ thông Việt Nam (chỉ đề cập đến Hàm số biến có nghĩa phụ thuộc, chẳng hạn nghĩa đại lượng y số thực) quy ước rằng: 2.2 CÁC DẠNG CỦA HÀM SỐ • Khi không nói rõ thêm, miền xác định (tập xác định) hàm số cho biểu thức y = f(x) tập hợp tất giá trị x làm cho f(x) có nghĩa Ví dụ: Hàm số y = log2 x có miền xác định {x ∈ R|x > 0} Hàm số y √ (x − 1)(3 − x) [1; 3] = Hàm số f gọi toàn ánh với số y thuộc Y ta tìm số x thuộc X cho f (x) = y eo cách gọi ánh xạ điều kiện có nghĩa phần tử y thuộc Y tạo ảnh mẫu x thuộc X qua ánh xạ f Nghĩa là, hàm số f toàn ánh khi: • Miền giá trị hàm số y = f(x) tập hợp tất giá trị có f (x) , nghĩa f (X) Ví √ dụ: Miền giá trị hàm số y x(5 − x) [0; 5] Toàn ánh = • Nếu X,Y ⊂ R hàm số gọi hàm số thực ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : f (x) = y tức f(X) = Y Đồ thị hàm y = f (x) cắt đường thẳng y = y0 ∀y0 Song ánh Trong toán học, song ánh, hàm song ánh, hàm số f từ tập X vào tập Y thỏa mãn tính chất, y thuộc Y, có x thuộc X cho • Nếu X,Y ⊂ C hàm số gọi hàm số biến f (x) = y số phức Nói cách khác, f song ánh tương ứng một-một hai tập hợp; tức vừa y = cos φ + i sin φ đơn ánh vừa toàn ánh Ví dụ: Hàm lượng giác y = sin x ,hàm mũ y = 2x ,… • Nếu X ⊂ N hàm số gọi hàm số số học Ví dụ: Hàm Euler ϕ(n) biểu diễn số số tự nhiên không vượt n nguyên tố với n, hàm Sigma σ(n) biểu diễn tổng tất ước số tự nhiên n… 2.2 Các dạng hàm số Ví dụ, xét hàm f xác định tập hợp số nguyên vào, định nghĩa f (x) = x + Ví dụ khác, cặp số thực (x,y) hàm f xác định f (x,y) = (x + y, x − y) song ánh Hàm song ánh gọi hoán vị Tập hợp tất song ánh từ tập X vào tập Y ký hiệu X ↔ Y ông thường tập hoán vị tập X ký hiệu làX ! Song ánh đóng nhiều vai trò quan trọng toán học, dùng để định nghĩa đẳng cấu (và khái niệm liên quan phép đồng phôi vi phôi), nhóm Như đề cập, hàm số trường hợp ánh xạ, hoán vị, ánh xạ xạ ảnh, nhiều định nghĩa khác nên người ta miêu tả hàm số dạng đơn ánh, toàn ánh song ánh Minh hoạ 2.2.1 Đơn ánh, song ánh, toàn ánh Đơn ánh 2.2.2 Hàm hợp hàm ngược Một hàm số đơn ánh áp dụng lên đối số khác Hàm hợp cho giá trị khác Một cách chặt chẽ, hàm f, xác định X nhận giá Cho hàm số: trị Y, đơn ánh thỏa mãn điều kiện với x x thuộc X x ≠ x f (x ) ≠ f (x ) Nghĩa là, hàm số f đơn ánh khi: ∀x1 , x2 ∈ X; x1 ̸= x2 ⇒ f (x1 ) ̸= f (x2 ) f1 : X → Y f2 : Y → Z X, Y, Z tập hợp số nói chung Hàm hợp f f hàm số: Với đồ thị hàm số y = f(x) hệ tọa độ Đề các, đường thẳng vuông góc với trục đối số Ox cắt f: X →Z đường cong đồ thị nhiều điểm 10 định nghĩa bởi: f(x) = f2 (f1 (x)); x ∈ X Có thể ký hiệu hàm hợp là: CHƯƠNG HÀM SỐ Đồ thị hàm số y = f (x) tập hợp điểm mặt phẳng R2 có tọa độ [x, f (x)] Ký hiệu đồ thị hàm số theo định nghĩa là: { } graphf ≡ (x, y) ∈ R2 | y = f (x) f = f2 ◦ f1 Ví dụ, hàm số f (x) = sin (x +1) hàm số hợp f (f (x)), f (y) = sin(y), f (x) = (x +1) Việc nhận biết hàm số hàm hợp hàm khác, nhiều trường hợp khiến tính toán giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở nên đơn giản 2.4 Xem thêm • Vi phân • Giới hạn • Tích phân • Đạo hàm Hàm ngược • Ánh xạ Cho hàm số song ánh: • Hàm số đơn điệu f: X →Y X, Y tập hợp số nói chung Khi phần tử y = f (x) với y nằm Y ảnh phần tử x X Như vậy, đặt tương ứng phần tử y Y với phần tử x X Phép tương ứng xác định hàm số, ánh xạ từ Y sang X, hàm số gọi hàm số ngược hàm số f ký hiệu là: f −1 : y → x = f −1 (y) Nếu f −1 (x) tồn ta nói hàm số f (x) khả nghị Có thể nói tính chất song ánh điều kiện cần đủ để hàm f (x) khả nghịch, tức f (x) song ánh ta tìm hàm ngược f −1 (x) ngược lại 2.3 Đồ thị hàm số ông thường hàm số xác định biểu thức tổng quát y = f (x) đó, ví dụ y = x - Tuy nhiên có hàm đặc biệt mà quy tắc cho tương ứng x với y không theo quy luật để diễn đạt biểu thức toán học Trong trường hợp ta lập bảng cho giá trị đối số x giá trị hàm số y tương ứng với chúng Ngoài hàm số xác định cách triệt để đồ thị Đối với hàm số biến số thực (có miền xác định thực), đồ thị hàm số định nghĩa sau: 2.5 Tham khảo 2.6 Liên kết • e Wolfram Functions Site • eory of Functions and related areas • Notes on functions 2.7 NGUỒN, NGƯỜI ĐÓNG GÓP, VÀ GIẤY PHÉP CHO VĂN BẢN VÀ HÌNH ẢNH 11 2.7 Nguồn, người đóng góp, giấy phép cho văn hình ảnh 2.7.1 Văn • Hàm lượng giác Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_l%C6%B0%E1%BB%A3ng_gi%C3%A1c?oldid=26649213 Người đóng góp: Mxn, DHN, MuDavid, Mekong Bluesman, Trung, Nhanvo, Newone, DHN-bot, Mkill, JAnDbot, ijs!bot, ALE!, Doãn Hiệu, VolkovBot, TXiKiBoT, SieBot, TVT-bot, Qbot, MelancholieBot, Meotrangden, Muro Bot, Nallimbot, Luckas-bot, Amirobot, SilvonenBot, Hieu nguyentrung12, Ptbotgourou, ArthurBot, Xqbot, D'ohBot, MastiBot, Tnt1984, TuHan-Bot, EmausBot, Yanajin33, WikitanvirBot, Cheers!-bot, CocuBot, AlphamaBot, AlphamaBot2, Earthshaker, Addbot, OctraBot, itxongkhoiAWB, Tuanminh01, TuanminhBot 29 người vô danh • Hàm số Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91?oldid=26742833 Người đóng góp: Robbot, Mekong Bluesman, Trung, Chobot, Newone, DHN-bot, Ctmt, Executor03, Nad 9x, Nguyenthephuc, ijs!bot, Soulbot, Nguyễn Hữu Dung, Hoàng Cầm, VolkovBot, TXiKiBoT, YonaBot, BotMultichill, AlleborgoBot, SieBot, TVT-bot, Idioma-bot, Qbot, OKBot, Ditimchanly, BodhisavaBot, MelancholieBot, SpBot, WikiDreamer Bot, AlleinStein, Luckas-bot, SilvonenBot, ArthurBot, Xqbot, Almabot, Volga, Banhtrung1, Tnt1984, Namnguyenvn, TuHan-Bot, EmausBot, ZéroBot, Chienthang victory hut, FoxBot, Cheers!, ChuispastonBot, WikitanvirBot, Cheers!-bot, MerlIwBot, Huynl, AlphamaBot, Addbot, OctraBot, Gaconnhanhnhen, Nvhieu07031999, Tuanminh01, AlphamaBot4, TuanminhBot, P.T.Đ, Hungv8a5 33 người vô danh 2.7.2 Hình ảnh • Tập_tin:1000_bài_cơ_bản.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/95/1000_b%C3%A0i_c%C6%A1_b%E1% BA%A3n.svg Giấy phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: File:Wikipedia-logo-v2.svg Nghệ sĩ đầu tiên: is file: Prenn • Tập_tin:Circle-trig6.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9d/Circle-trig6.svg Giấy phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Circle-trig6.png Nghệ sĩ đầu tiên: Original: Steven G Johnson Wikipedia Tiếng Anh Derivative work: Limaner • Tập_tin:Commons-logo.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: is version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features (Former versions used to be slightly warped.) Nghệ sĩ đầu tiên: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab • Tập_tin:Cos.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b6/Cos.svg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: self-made; graphed in GNUPlot edited in Illustrator Nghệ sĩ đầu tiên: Self: Commons user Keytotime • Tập_tin:Cot.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7f/Cot.svg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: No machine-readable source provided Own work assumed (based on copyright claims) Nghệ sĩ đầu tiên: No machine-readable author provided Keytotime assumed (based on copyright claims) • Tập_tin:Csc.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5b/Csc.svg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: ? • Tập_tin:Don_anh.png Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/1/13/Don_anh.png Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: ? • Tập_tin:Exec_funkce2.png Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/0/05/Exec_funkce2.png Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: ? • Tập_tin:Question_book-new.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Question_book-new.svg Giấy phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Chuyển từ en.wikipedia sang Commons Created from scratch in Adobe Illustrator Based on Image: Question book.png created by User:Equazcion Nghệ sĩ đầu tiên: Tkgd2007 • Tập_tin:Sec.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8b/Sec.svg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: ? • Tập_tin:Sin.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b2/Sin.svg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: self-made; graphed in GNUPlot edited in Illustrator Nghệ sĩ đầu tiên: Self: Commons user Keytotime • Tập_tin:Song_anh.png Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/8/88/Song_anh.png Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: ? • Tập_tin:Tam_giác_vuông.PNG Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/8/82/Tam_gi%C3%A1c_vu%C3%B4ng.PNG Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: ? • Tập_tin:Tan.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/05/Tan.svg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: Tác phẩm người tải lên tạo Nghệ sĩ đầu tiên: Original: Trung (ảo luận · đóng góp) • Tập_tin:Taylorsine.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b6/Taylorsine.svg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: No machine-readable source provided Own work assumed (based on copyright claims) Nghệ sĩ đầu tiên: No machinereadable author provided Riojajar~commonswiki assumed (based on copyright claims) • Tập_tin:Theorem_of_cosin.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0f/Theorem_of_cosin.svg Giấy phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Ygrek Nghệ sĩ đầu tiên: Original author: Ygrek Vectorized by Nethac DIU • Tập_tin:Toan_anh.png Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/2/27/Toan_anh.png Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: ? • Tập_tin:Unit_circle_angles.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Unit_circle_angles.svg Giấy phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Tác phẩm người tải lên tạo ra, made with Eukleides Nghệ sĩ đầu tiên: Gustavb 2.7.3 Giấy phép nội dung • Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0 ... Chương Hàm lượng giác −2 −4 −6 −8 Đồ thị hàm sin −2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π Đồ thị hàm tang Đồ thị hàm cos Đồ thị hàm cotang Trong toán học nói chung lượng giác học nói riêng, hàm lượng giác hàm. .. coi hàm lượng giác chuỗi số vô hạn nghiệm số phương trình vi phân, điều cho phép hàm lượng giác có đối số số thực hay số phức 1.1 Các hàm lượng giác Ngày nay, thường làm việc với sáu hàm lượng giác. .. = cot (60◦ ) = √ hàm CHƯƠNG HÀM LƯỢNG GIÁC 1.11 Hàm lượng giác ngược ( ( )) √ arcsin(z) = −i log i z + − z Các hàm lượng giác tuần hoàn, để tìm hàm ngược, cần giới hạn miền hàm Dươi định ( )