Đang tải... (xem toàn văn)
Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009Đề IMO năm 2009
▲❛♥❣✉❛❣❡✿ ❱✐❡t♥❛♠❡s❡ ❉❛②✿ ✶ Thứ 4, 15 tháng 7, 2009 Bài Giả sử n số nguyên dương giả sử a1 , , ak (k ≥ 2) số nguyên khác cặp thuộc tập hợp {1, , n} cho (ai+1 − 1) chia hết cho n với i = 1, , k − Chứng minh ak (a1 − 1) không chia hết cho n Bài Giả sử ABC tam giác với O tâm đường tròn ngoại tiếp Các điểm P Q điểm cạnh CA AB, tương ứng Giả sử K, L M điểm BP , CQ P Q, tương ứng, Γ đường tròn qua K, L M Giả thiết đường thẳng P Q tiếp xúc với đường tròn Γ Chứng minh OP = OQ Bài Giả sử s1 , s2 , s3 , dãy tăng thực số nguyên dương cho dãy ss1 , ss2 , ss3 , ss1 +1 , ss2 +1 , ss3 +1 , cấp số cộng Chứng minh dãy s1 , s2 , s3 , cấp số cộng Language: Vietnamese Thời gian: 30 phút Mỗi điểm ▲❛♥❣✉❛❣❡✿ ❱✐❡t♥❛♠❡s❡ ❉❛②✿ ✷ Thứ 5, 16 tháng 7, 2009 Bài Giả sử ABC tam giác với AB = AC Các đường phân giác góc CAB ABC gặp cạnh BC CA D E, tương ứng Giả sử K tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADC Giả thiết góc BEK = 45◦ Tìm giá trị góc CAB Bài Tìm tất hàm f từ tập hợp số nguyên dương đến tập hợp số nguyên dương cho, với số nguyên dương a b, tồn tam giác không suy biến với độ dài cạnh số a, f (b) f (b + f (a) − 1) (Tam giác gọi không suy biến ba đỉnh không nằm đường thẳng.) Bài Giả sử a1 , a2 , , an số nguyên dương khác cặp M tập hợp gồm n − số nguyên dương không chứa số s = a1 + a2 + · · · + an Một châu chấu nhảy dọc theo trục thực, xuất phát từ điểm tiến hành n bước nhảy bên phải với độ dài bước nhảy a1 , a2 , , an theo thứ tự Chứng minh châu chấu chọn thứ tự bước nhảy cho không nhảy lên điểm thuộc M Language: Vietnamese Thời gian: 30 phút Mỗi điểm ...▲❛♥❣✉❛❣❡✿ ❱✐❡t♥❛♠❡s❡ ❉❛②✿ ✷ Thứ 5, 16 tháng 7, 2009 Bài Giả sử ABC tam giác với AB = AC Các đường phân giác góc CAB ABC gặp cạnh BC CA D E, tương