Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Dạng 9 Một số bài toán về lập phương trình tổ hợp Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Nội dung  Dạng 9. Một số bài toán về lập phương trình tổ hợp • Dạng 9A. Bài toán về tìm cấp số cộng • Dạng 9B. Một số bài toán về hình học • Dạng 9C. Bài toán về tam giác Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Dạng 9A Bài toán về tìm cấp số cộng Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Bài tập mẫu Hãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành một cấp số cộng trong dãy số sau Giải Ta có ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi 0 1 2 14 14 14 14 14 C ,C ,C , .,C + + n n 1 n 2 14 14 14 C , C , C + + = + n 1 n n 2 14 14 14 2C C C + + + + + + + + + ⇔ = + + + ⇔ = + ⇔ = ⇔ = + − + − ⇔ ⇔ ÷ ÷ n 1 n n 1 n 1 n 2 n 1 n 1 n 2 14 14 14 14 14 14 15 15 n 1 n 2 14 16 2 4 5 6 8 9 14 14 14 14 14 1 4C C C C C 4C C C 4.14! 16! 4C C (n 1)!(13 n)! (n 2)!(14 n)! Suy ra (n + 2)(14 - n) = 60 n -12n+32=0 n = 4 ; n = 8 Ta c C ,C ,C v C ,C ,C®­î µ 10 4 Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Bài tập tương tự Hãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành một cấp số cộng trong dãy số sau Giải Ta có ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi 0 1 2 23 23 23 23 23 C ,C ,C , .,C + + n n 1 n 2 23 23 23 C , C , C + + = + n 1 n n 2 23 23 23 2C C C + + + + + + + + + ⇔ = + + + ⇔ = + ⇔ = ⇔ = + − + − ⇔ ⇔ ÷ ÷ n 1 n n 1 n 1 n 2 n 1 n 1 n 2 23 23 23 23 23 23 24 24 n 1 n 2 23 25 2 8 9 10 13 23 23 23 23 4C C C C C 4C C C 4.23! 25! 4C C (n 1)!(22 n)! (n 2)!(23 n)! Suy ra (n + 2) (23 - n) = 150 n -21n+104=0 n = 8 ; n = 13 Ta c C ,C ,C v C ,C®­î µ 14 15 23 23 ,C Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Lưu ý:  Một số tình huống thường gặp khi lập phương trình tổ hợp là: • Ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng (hoặc cấp số nhân) khi và chỉ khi 2b = a + c (hoặc b 2 = ac ). • Cho tập hợp A có n phần tử, số tập con của A gồm x phần tử bằng k lần số tập con của A gồm y phần tử, tương ứng với phương trình , . x y n n C kC = Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Dạng 9B Một số bài toán về hình học Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Bài tập mẫu Cho một đa giác đều có 2n đỉnh, biết rằng số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác bằng 20 lần số hình chữ nhật có 4 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác đó. Hãy tìm n. Giải Cứ 3 trong số 2n đỉnh của đa giác tạo thành một tam giác. Số tam giác là Mặt khác đa giác đều 2n đỉnh có n đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác và cứ hai đường kính bất kỳ tạo thành một hình chữ nhật. Do đó số hình chữ nhật bằng số cách chọn 2 trong n đường kính, suy ra số hình chữ nhật là Ta được phương trình: Biến đổi phương trình: Thực hiện rút gọn, ta được 2n – 1 = 15 hay n = 8. Đáp số n =8. 3 2n C . 2 n C . = 3 2 2n n C 20.C . − − − = ⇔ = ⇔ = − − 3 2 2n n (2n)! 20.n! 2n(2n 1)(2n 2) 20.n(n 1) C 20.C 3!(2n 3)! 2!(n 2)! 6 2 Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Lưu ý:  Số tam giác có ba đỉnh thuộc tập gồm n điểm là  Số hình chữ nhật có bốn đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của một đa giác đều 2n đỉnh là  Cho một tập hợp gồm n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng (mỗi đường thẳng đi qua hai trong số các điểm thuộc tập hợp đó) là  Cho một tập hợp gồm n đường thẳng, trong đó không có ba đường thẳng nào đồng quy thì số giao điểm của chúng là 3 n C . 2 n C . 2 n C . 2 n C . Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Bài tập tương tự Cho một đa giác đều có 2n+1 đỉnh, tìm n, biết rằng số hình thang cân có 4 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác đó bằng 476. Giải Đường thẳng qua mỗi đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện là một trục đối xứng của đa giác. Mỗi bên của trục đối xứng đó có n đỉnh. Cứ hai trong số n đỉnh đó cùng với hai đỉnh đối xứng qua trục trên tạo thành một hình thang cân Số hình thang cân tương ứng với một trục đối xứng là . Vì có tất cả 2n+1 trục đối xứng nên số hình thang cân là Ta được phương trình Biến đổi phương trình: Phương trình có nghiệm duy nhất n = 8. Đáp số n =8. 2 n C ( ) + 2 n 2n 1 C . ( ) + = 2 n 2n 1 C 476. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + = ⇔ = − + − = ⇔ − − − = ⇔ − + + = 2 n 3 2 2 2n 1 .n! 2n 1 C 476 476 2! n 2 ! 2n 1 .n n 1 952 2n n n 952 0 (n 8) 2n 15n 119 0 [...].. .Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Dạng 9C Bài toán về tam giác Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Bài tập mẫu: Cho hai đường thẳng song song với nhau (d1), (d2) Trên (d1) có 15 điểm, trên (d2) có n điểm Hãy tìm n biết rằng số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh đã cho là 3825 Giải Cứ mỗi điểm trên (d1) và hai điểm trên (d2) tạo thành một tam giác Số tam 2 15.Cn... kỳ là Cn Ta tính số tam giác có ít nhất một cạnh của đa giác Tính số tam giác có một cạnh của đa giác: Ứng với một cạnh của đa giác có n - 4 tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác Suy ra số tam giác có một cạnh của đa giác là n(n - 4) Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Bài tập tương tự (tt) Tính số tam giác có hai cạnh của đa giác: Ứng với một đỉnh của đa giác có một tam giác có hai... có m điểm Số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các 2 2 m.Cn + n.Cm đỉnh đã cho là Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Bài tập tương tự Một đa giác lồi có n đỉnh Hãy tìm n biết rằng số tam giác có ba đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác nhưng không có cạch nào là cạnh của đa giác đó bằng 156 Giải Cứ ba trong số n đỉnh của đa giác tạo thành một tam giác Số tam giác tạo 3 thành một cách... Suy ra số tam giác có hai cạnh của đa giác là n Ta được số tam giác thoả mãn bài toán là n ( n − 1) ( n − 2 ) n! 3 Cn − n(n − 4) − n = − n2 + 3n = − n2 + 3n 3! ( n − 3 ) ! 6 Ta được phương trình: n ( n − 1) ( n − 2 ) − n2 + 3n = 156 ⇔ n3 − 9n2 + 20n − 936 = 0 6 ( ) ⇔ ( n − 13 ) n2 + 4n + 72 = 0 ⇔ n = 13 Đáp số n =13 Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Bài tập tương tự (tt) Lưu ý Một đa... hai điểm trên (d1) 2 n.C15 tạo thành một tam giác Số tam giác như thế là 2 2 15.Cn + n.C15 Theo quy tắc cộng, ta được 2số tam2 giác tạo thành là Ta được phương trình 15.Cn + n.C15 = 3825 Biến đổi phương trình 2 2 15Cn + 105n = 3825 ⇔ Cn + 7n = 255 ⇔ n(n − 1) + 14n = 510 ⇔ n2 + 13n − 510 = 0 n! + 7n = 255 2! ( n − 2 ) ! Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp  Lưu ý • Cho hai đường thẳng song... n3 − 9n2 + 20n − 936 = 0 6 ( ) ⇔ ( n − 13 ) n2 + 4n + 72 = 0 ⇔ n = 13 Đáp số n =13 Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Bài tập tương tự (tt) Lưu ý Một đa giác lồi có n đỉnh Số tam giác có ba đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh C − của đa giác nhưng không có cạch nào là cạnh của đa giác đó nlà n(n − 4) − n 3 . Dạng 9. Một số bài toán về lập phương trình tổ hợp • Dạng 9A. Bài toán về tìm cấp số cộng • Dạng 9B. Một số bài toán về hình học • Dạng 9C. Bài toán về tam. Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp Dạng 9 Một số bài toán về lập phương trình tổ hợp Một số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợp