ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN QUẢNG NAM NĂM HỌC: 2015 – 2016 Thời gian: 150 phút Ngày thi: 4/6/2015 Câu (2 điểm) x x  x 1 (với x ≠ 1; x ≥ 0) Rút gọn A, sau tính giá trị A –  x 1 x 1 x  2016  2015 b) Cho A  12015  22015   n2015  với n số nguyên dương Chứng minh A chia hết a) Cho biểu thức A  cho n(n + 1) Câu (2 điểm)    0 x  x  11 x  x  12  x  x   x  y    b) Giải hệ phương trình:    x  x  y  5 a) Giải phương trình sau: Câu (1 điểm) Cho parabol (P): y = ax2 đường thẳng (d): y = bx + c với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác vuông a độ dài cạnh huyền Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x1 x2 thỏa mãn x12  x22  Câu (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE cắt H Các tia phân giác góc EHB, DHC cắt AB, AC I K Qua I K vẽ đường vuông góc với AB, AC chúng cắt M a) Chứng minh AI = AK b) Giả sử tam giác nhọn ABC có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A di động Chứng minh đường thẳng HM qua điểm cố định Câu (2 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB Qua A B vẽ tiếp tuyến d1 d2 với (O) Từ điểm M (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt d1 C cắt d2 D Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn (O) E F (E thuộc cung AM), gọi I giao điểm AD BC a) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD b) Chứng minh MI vuông góc với AB ba điểm E, I, F thẳng hàng Câu (1 điểm) Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức P = x + y + z – (xy + yz + zx) HẾT >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu a) Với x ≥ 0, x ≠ ta có  x     x  1 x  1  x  x   A  x 1 x 1  x  1 x  1 x  x    x  1 x    x 1 x 1 A 1  x  x 1  x 1 x 1 x 1 Ta có x  2016  2015 thỏa mãn điều kiện x ≥ x ≠ Có x  2015  2015   A 1    2015   x  2015  Thay vào biểu thức A – ta được: 2015 b) Với số nguyên dương a, b ta có: a 2015  b2015   a  b   a 2014  a 2013b   ab2013  b2014   a 2015  b2015  a  b  + Xét trường hợp n số lẻ Áp dụng khẳng định ta có: 2015 12015   n  1  n   2015  22015   n    n    n  2015  n  2015       n      Suy A  n 2015  n  2015  n  2015  2015 2015 2015 2015        n  1  2   n  2        n          Tương tự >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2015 2015 2015 2015         n     n      n     n     n  1            Mặt khác n n + nguyên tố nên A ⋮ n(n + 1) A  12015  n 2015    22015   n  1  2015 Tương tự với trường hợp n chẵn ta có A ⋮ n(n + 1) Câu a) Điều kiện: x2  8; x2  9; x2  11; x2  12 Phương trình cho tương đương với         0  x  x    x  11 x  12    x  8   x   x   x     x  12    x  11 x  11 x  12  0  x  15 x  15   0  x   x  8  x2  11 x  12   x  15      1     3   x   x    x  11 x  12   Phương trình    x   15 (thỏa mãn) Phương trình  3   x   x  8   x  11 x  12   x2  60   x2  10  x   10 (thỏa mãn)  Vậy tập nghiệm phương trình cho  15;  10  b) Hệ cho tương đương với  x  x   x  y       x  x    x  y   5 Suy x2 + 4x 4x + y nghiệm phương trình t  2 t  x     t   t  3    t  3  x  x  2 Vậy hệ cho tương đương với  (I) 4 x  y  3  x  x  3 (II)  4 x  y  2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!  x  2   y  3  x   2 Giải (I): x  x  2   x       x  2   y  3  x    x  1  y  2  x  Giải (II): x  x     x  1 x  3    x  3  y  2  x  10    Vậy hệ cho có nghiệm 2  2;5  , 2  2;5  ,  1; 2 ,  3;10 Câu Xét phương trình hoành độ giao điểm (P) (d): ax2  bx  c  ax2  bx  c  1 Vì a, b, c cạnh tam giác vuông với cạnh huyền a nên a, b, c > 0, a2 = b2 + c2 (d) cắt (P) điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔   b2  4ac  (luôn ∀ a, b, c > 0) Gọi giao điểm có hoành độ x1, x2 , nghiệm (1) Theo Viét ta có: b   x1  x2  a  x x   c  a Xét P  x  x    x1  x2  2 c b2  2ac  2a b  x1 x2        a a2 a 2   Có b2  2ac  2a  b2  2ac  b2  c  a  2ac  c  a    c  a   0, a, c,0  c  a Suy P < ⇒ đpcm Câu >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! a) Vì HI, HK phân giác góc EHB góc DHC nên EHI  1 EHB; DHK  CHK  DHC Mà EHB  DHC (đối đỉnh)  EHI  DHK  CHK (1) 2 Có AIH  90  EHI ; AKH  90  DHK  AIH  AKH (2) Từ (1) suy EHI  EHK  CHK  EHK  180 ⇒ I, H, K thẳng hàng (3) Từ (2) (3) ⇒ ∆ AIK cân A ⇒ AI = AK b) Gọi giao IM BH P, giao KM CH Q, giao HM PQ J, giao HM BC N Ta có: HE EI  HD DK HE EB HEB ∽ HDC  g.g    HD DC HEI ∽ HDK  g.g    EI EB EI DK    DK DC EB DC Vì IP ⊥ AB, HE ⊥ AB ⇒ IP // HE ⇒ Từ (4), (5), (6) ⇒ Suy (4) EI HP DK HQ (5) Tương tự (6)   EB HB DC HC HP HQ ⇒ PQ // BC  HB HC PJ HJ JQ PJ BN     BN HN NC JQ NC Vì HP // MQ, HQ // PM nên HQMP hình bình hành ⇒ J trung điểm PQ ⇒ PJ = JQ ⇒ BN = NC ⇒ N trung điểm BC Vậy HM qua trung điểm BC điểm cố định Câu >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! a) Vì AC ⊥ AB, BD ⊥ AB ⇒ AC // BD ⇒ ACDB hình thang Vì CM, CA tiếp tuyến (O) nên CM = CA Tương tự DM = DB Gọi J trung điểm CD JO đường trung bình hình thang ACDB suy JO // BD OJ  AC  BD CM  MD CD    IC  ID 2 (1) Vì BD ⊥ AB nên JO ⊥ AB O (2) Từ (1) (2) suy AB tiếp tuyến đường tròn (J) đường kính CD b) Vì CA // BD nên theo định lý Talét ta có: CI CA CM ⇒ IM // BD   IB BD MD Mà BD ⊥ AB nên MI ⊥ AB Gọi P, Q giao AD (O), BC (J) Có APB  CQD  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  DPB  BQD  90 Suy BQPD tứ giác nội tiếp  PDB  PQI Vì AC // BD nên PDB  IAC  PQI  IAC  PQI ∽ CAI  g.g   PI QI   IP.IA  IC.IQ CI AI Suy phương tích điểm I đường tròn (O) (J) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Suy I nằm trục đẳng phương EF đường tròn Vậy I, E, F thẳng hàng Câu Ta có:  x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx     xy  yz  zx   x  y  z  xy  yz  zx  9   x  y  z  P x yz 2  t2 t  2t  1 Đặt x  y  z  t  P  t       t  1   2 x  y  z  Dấu xảy  , chẳng hạn x = 1, y = 2, z = –2 2 x  y  z  Vậy giá trị lớn P >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!