SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2017 Môn thi: Toán (chuyên) ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Dành cho thí sinh thi vào trường THPT Chuyên Hạ Long) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 01 trang) Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức:   x 3  A= + + + 1÷ (với x ≠ 0; x ≠ ) ÷ x x + x + x − 27    Rút gọn biểu thức A Tính giá trị biểu thức A x = + − − 29 − 12 Câu (3,0 điểm) Giải phương trình x − x − x x − − = 2  x + xy − y = Giải hệ phương trình   xy + y + x = Câu (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để A = n 2018 + n 2008 + số nguyên tố Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB, M điểm tùy ý thuộc đường tròn (M khác A B) Qua A B kẻ đường thẳng d d’ tiếp tuyến với đường tròn Tiếp tuyến M đường tròn cắt d d’ C D Đường thẳng BM cắt d E Chứng minh CM = CA = CE Chứng minh AD ⊥ OE Tính độ dài đoạn AM theo R, AE = BD Câu (1,0 điểm) Cho a; b thoả mãn a ≥ 2; b ≥ Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1) ≥ (a + b)(ab + 1) + Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: .Số báo danh Chữ ký cán coi thi 1: Chữ ký cán coi thi 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2017 Môn thi: Toán (chuyên) Dành cho thí sinh thi vào trường THPT Chuyên Hạ Long (Hướng dẫn có 03 trang) Câu Sơ lược lời giải Câu 1 Với điều kiện xác định x ≠ 0; x ≠ (2,0 điểm)   x 3   + + + 1 A =  x x + x + x − 27       x + x +  3   + =  2   x + x + ( x − )( x + x + ) x      x + x +  ( x − 3) +   =     3x  ( x − )( x + x + 3)   = x− Điểm 0,5 0,5 Ta có : x= 3+ − − 29 − 12 = 3+ − − (2 − 3) = 3+ − 6−2 = 3+ − ( − 1) 0,75 = +1 nên thay x = + vào A ta có: A= Câu (3,0điểm ) = x− =1 ĐK: x ≥ Biến đổi phương trình x ( x − 1) − x x − − = Đặt t = x x − ( t ≥ ) ⇒ t = x ( x − 1) Phương trình cho trở thành: 0,25 0,25 0,25 t = −1 t2 − t − = ⇔  t = 0,5 ⇔x=2 0,5 Kết hợp với điều kiện, ta t = Với t = ⇒ x x − = ⇔ x3 − x = ⇔ ( x − 2)(x + x + 2) = 2  x + xy − y = (1) Giải hệ phương trình   xy + y + x = (2) 2 Phương trình (1) ⇔ ( x − y ) + y ( x − y ) = ⇔ ( x − y ) ( x + y ) = , 0,75 ta x = y x = -2y * Với x = y, từ (2) ta có: x + x − = , ta x1 = −1, x2 = * Với x = -2y, từ (2) ta có y − y − = , ta y1 = −1, y2 = Nếu y = −1 ⇒ x = Nếu y = ⇒ x = −6 3 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (-1; -1);  ; ÷; (2; -1); 4 4 Khi đó, x1 = y1 = −1, x2 = y2 = Câu (1,0điểm ) (-6; 3) Tìm số tự nhiên n để A = n 2018 + n 2008 + số nguyên tố Xét n = A = không số nguyên tố; A = n2018 – n2 + n2008 – n + n2 + n + 672 = n ((n ) 669 – 1) + n.((n ) 0,25 0,25 0,25 Xét n = A = số nguyên tố Xét n > 1, ta thấy A > n2 + n + 1; 0,25 0,5 – 1) + (n + n + 1) mà (n3)672 – chia hết cho n3 -1, suy (n3)672 – chia hết cho n2 + n + 0,25 Tương tự: (n3)669 – chia hết cho n2 + n + Khi A chia hết cho n2 + n + > A > n2 + n + nên A hợp số Tóm lại số tự nhiên cần tìm n = Câu (3,0 điểm) D E 0,25 M C F A B O I Gọi F giao điểm OC AM, ta có OC ⊥ AM Ta có, CM = CA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Hai tam giác vuông AME AFC đồng dạng, AE AM = = ⇒ AE = AC ⇒ AC = CE nên AC AF Vậy CM = CA = CE Gọi giao điểm EO với d’ I, Chứng minh AEBI hình bình hành ⇒ BE//AI 0,75 0,5 Ta có, OD ⊥ BE ⇒ OD ⊥ AI, mà AB ⊥ DI ⇒ O trực tâm ∆ ADI ⇒ OI ⊥ AD ⇒ OE ⊥ AD (đpcm) Tam giác COD vuông O (vì OC, OD hai phân giác hai góc kề bù), có OM đường cao nên OM2 = CM.MD Theo phần 1, ta có EC = CA = CM ⇒ 2CM = AE, mà BD = MD AE = BD (gt) ⇒ 2CM = MD ⇒ 2CM2 = R2 (do MO = R OM2 = CM.MD) ⇒ CM = R 0,5 0,25 0,5 ⇒ AE = R (do AE = 2CM) Do giác vuông AEB A, ta có ⇒ AM = Câu (1,0điểm ) AE AB AE + AB = 1 = + 2 AM AE AB 2R Xét hiệu M = (a + 1)(b + 1) − (a + b)(ab + 1) − 0,25 = (a 2b − a 2b − ab + ab) + (a + b − a − b − ab) − = ab(a − 1)(b − 1) + (a − b) + a(a − 2) + b(b − 2)  − Chỉ với a ≥ a(a − 1) ≥ a(a − 2) ≥ b ≥ b(b − 1) ≥ b(b − 2) ≥ 0,5 (a − b) + a (a − 2) + b(b − 2)  ≥ 2 ⇒ M ≥ hay (a + 1)(b + 1) ≥ (a + b)(ab + 1) + 0,5 nên ab(a − 1)(b− 1) ≥ ; Những ý chấm thi: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác cho điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết Có thể chia nhỏ điểm thành phần không 0,25 điểm phải thống tổ chấm Điểm thống toàn tổng số điểm toàn chấm, không làm tròn Hết ... TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2017 Môn thi: Toán (chuyên) Dành cho thí sinh thi vào trường THPT Chuyên Hạ Long (Hướng dẫn có 03 trang) Câu Sơ... chấm thi: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác cho điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết Có. .. có, OD ⊥ BE ⇒ OD ⊥ AI, mà AB ⊥ DI ⇒ O trực tâm ∆ ADI ⇒ OI ⊥ AD ⇒ OE ⊥ AD (đpcm) Tam giác COD vuông O (vì OC, OD hai phân giác hai góc kề bù), có OM đường cao nên OM2 = CM.MD Theo phần 1, ta có