Trường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 1 DÃY SỐ §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có : 1) ( 1) 1 2 3 2 n n n + + + + + = 2) (3 1) 1 4 7 (3 2) 2 n n n − + + + + − = 3) 1 3 1 1 3 9 3 2 n n− − + + + + = 4) 1 2 3 2 2 2 4 8 2 2 n n n n + + + + + = − 5) 2 2 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 3 . 6 n n n n + + + + + + = 6) 2 2 2 2 2 (4 1) 1 2 3 . (2 1) 3 n n n − + + + + − = 7) 2 2 2 2 2 ( 1)(2 1) 2 4 6 (2 ) 3 n n n n + + + + + + = 8) 2 2 3 3 3 3 ( 1) 1 2 3 4 n n n + + + + + = Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có : 1) 2 1 3 5 (2 1)n n+ + + + − = 2) 2 4 6 2 ( 1)n n n+ + + + = + 3) 2 1.2 2.5 3.8 (3 1) ( 1)n n n n+ + + + − = + 4) 2 1.4 2.7 3.10 (3 1) ( 1)n n n n+ + + + + = + 5) ( 1)( 2)( 3) 1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2) 4 n n n n n n n + + + + + + + + = 6) 1.3.5 (2 1).2 ( 1)( 2) 2 n n n n n− = + + Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có : 1) 1 1 1 1 1.3 3.5 5.7 (2 1).(2 1) 2 1 n n n n + + + + = − + + 2) 1 1 1 1 1.4 4.7 7.10 (3 2).(3 1) 3 1 n n n n + + + + = − + + 3) 1 1 1 ( 3) 1.2.3 2.3.4 .( 1).( 2) 4( 1)( 2) n n n n n n n + + + + = + + + + Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên 2n ≥ , ta luôn có : 1) 2 1 1 1 1 (1 )(1 ) (1 ) 4 9 2 n n n + − − − = 2) 1 2 2 2 1 2 ( 1) . ( 1) 1 2 3 ( 1) . 2 n n n n n + − − + − + − + − = Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có : 1 2 1 ( 1) ( 1) n n n x x x x x − − − = − + + + + Bài 6. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta luôn có : 2 Chứng Minh Quy Nạp 1) 7 1 6 n − M 2) 11 1 10 n − M 3) 3 ( 2 ) 3n n+ M 4) 5 ( 6 ) 5n n− M 5) (4 15 1) 9 n n+ − M 6) 2 6 10.3 11 n n + M Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có : 1) 9 1 8 n − M 2) 3 11 6n n+ M 3) 7 7n n− M 4) (7 3 1) 9 n n+ − M 5) 1 2 1 4 5 21 n n+ − + M 6) 1 2 1 11 12 133 n n+ − + M 7) ( 1)( 2)( 3) 24n n n n+ + + M 8) 3 3 3 ( 1) ( 2) 9n n n+ + + + M Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có : 1) 2 5 6 1 0n n− + ≥ 2) 2 11 14 3 0n n− + ≥ Bài 9. Chứng minh rằng : |sin | sinnx n x ≤ với [0; ]x π ∈ , *n N ∈ . Bài 10. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta luôn có : 1) 2 2 1, 3 n n n> + ∀ ≥ 2) 1 3 3 4 n n + > + , 2n∀ ≥ 3) 2 2 , 5 n n n> ∀ ≥ 4) 1 3 ( 2) n n n − > + , 4n∀ ≥ 5) 3 2 3 1 n n − > − , 8n∀ ≥ 6) ! 3 n n > , 7n∀ ≥ 7) 1 ( 1) n n n n − ≥ + 8) 2 ( !) n n n≥ Bài 11. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có : 1) (1 ) 1 n x nx+ ≥ + với 1x > − . 2) ( ) 2 2 n n n a b a b+ + ≤ với 0, 0a b≥ ≥ . Bài 12. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có : 1) 1 1 1 1 1 2 3 n n n + + + + + > 2) 1 1 1 13 . 1 2 2 24n n n + + + > + + 3) 1 3 4 2 1 1 . . 2 4 5 2 2 1 n n n − < + 4) 1 1 1 1 1 2 2 3 n n + + + + < − 5) 1 1 1 1 2 2 3 n n n < + + + + < Bài 13. Tìm công thức tính các tổng sau ( với n N∈ ) 1) 1 3 5 (2 1) n S n= + + + + − 2) 1 1 1 1.2 2.3 ( 1) n S n n = + + + + Trường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 3 3) 1.1! 2.2! 3.3! . ! n S n n= + + + + BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 14. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có : 2 ( 1) sin sin sin 2sin .sin 3 3 3 6 6 n n n π π π π π + + + + = Bài 15. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có : ( 1) sin sin 2 2 sin sin 2 sin sin 2 nx n x x x nx x + + + + = với ( )x k k Z π ≠ ∈ Bài 16. Chứng minh rằng với n vectơ bất kì 1 2 , , ., n a a a uur uur uur ( , 2n N n∈ ≥ ), ta có : 1 2 1 2 | . | | | | | . | | n n a a a a a a+ + + ≤ + + + uur uur uur uur uur uur Bài 17. Cho n số dương 1 2 3 , , , , n x x x x thỏa mãn 1 2 3 . . 1 n x x x x = . Chứng minh : 1 2 3 n x x x x n+ + + + ≥ Bài 18. Giả sử 1 2 , , , n x x x là các số dương thỏa mãn : 1 2 3 1 2 n x x x x+ + + + ≤ Chứng minh rằng : 1 2 1 (1 )(1 ) (1 ) 2 n x x x− − − ≥ Bài 19. Cho x là số thực và | | 1x < . Chứng minh rằng: (1 ) (1 ) 2 n n n x x− + + < với 2n ≥ ( n N∈ ) Bài 20. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có : 1 2 2 2 . 2 2 cos 2 n π + + + + + = Trong đó vế trái của đẳng thức có n dấu căn . . 2 Chứng Minh Quy Nạp 1) 7 1 6 n − M 2) 11 1 10 n − M 3) 3 ( 2 ) 3n n+ M 4) 5 ( 6 ) 5n n− M 5) (4 15 1) 9 n n+ − M 6) 2 6 10.3 11 n n + M Bài 7. Chứng minh. + − = Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có : 1 2 1 ( 1) ( 1) n n n x x x x x − − − = − + + + + Bài 6. Chứng minh rằng với