Sức bền Vật liệu Bài tập chơng Bài tập chơng 7: Thanh chịu lực phức tạp Bài 1: Dầm có tiết diện tròn rỗng chịu tải trọng nh hình vẽ Vẽ biểu đồ mômen uốn Mx My Xác định đờng kính D theo điều kiện bền dầm Biết [ ] = 16kN/cm2; D/d = 1,2; a = 1m; ; F =10kN 2F x 2F F y F F a a d D a Giải Vẽ biểu đồ mô men uốn Mx, My -Biểu đồ mô men mặt phẳng yOz v xOz: Mx, My 2f x a C f y z B D f 1(m) 1(m) 1(m) o z Mx z My y 4Fa/3 o fa x VF = F Va = F Fa fa Fa x o z Mx + My y 4Fa/3 Xác định đờng kính D theo điều kiện bền dầm Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 Sức bền Vật liệu Bài tập chơng Mặt cắt nguy hiểm dầm tiết diện B có mô men Mx v My lớn Tại B: M x = Fa( KNm) ; M y = Fa( KNm) Do mặt cắt ngang dầm l mặt cắt ngang tròn nên điều kiện bền cuả dầm là: M x2 + M y Wx [ ] Trong mô men chống uốn Wx = 0,1D3[1-(d/D)4] Nh vậy: 4.10.10 + 10.10 2 Fa + ( Fa ) 2 Mx + My D =3 = d d 0,1.[ ] 0,1.[ ] D D ( 0,1.16 1, ) = 12, 6(cm) => Chọn D = 12,6cm a a Bài 2: Một cột có tiết diện nh cho hình vẽ Xác định hệ trục quán tính trung tâm tiết diện Xác định lõi tiết diện Biết a = 15 cm ; b =2a b a b Giải: Chọn hệ trục ban đầu x0y0 nh hình vẽ Chia tiết diện thành hai hình chữ nhật yo y M E x2 2a/3 b a b 5a/6 C C1 K a N a a/6 C2 D B H x x1 xo P Ta có: xC = (y0 trục đối xứng) yC = yC1 A1 + yC A2 0,5a.5a + 1,5a.a 2 4a = = a = = a A1 + A2 5a + a 6a Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 Sức bền Vật liệu Bài tập chơng Vậy hệ trục quán tính trung tâm tiết diện xCy cách trục xo đoạn a Xác định lõi tiết diện -Mô men quán tính trung tâm tiết diện: I x = I x1 + I x2 = a 5a 5a.a3 a + 5a + + a = a 12 12 a ( 5a ) a 21 = a ; A = 6a2 12 12 Iy I rx2 = x = a = 50(cm ) ; ry2 = = a = 393, 75(cm ) A A y y Iy = I + I = + - Xác định lõi tiết diện +Khi đờng trung hoà qua DK: a1 = a = 375cm ; b1 = Do x K = ry2 a1 = r2 a = 10,5(cm) ; y K = x = b1 10 +Khi đờng trung hoà qua DH: a a2 = a + cotg = a + = 3, 08a = 46,16(cm ) a a b2 = a + + tg = a + + = 1, 62 a = 24,3(cm ) 3 ry2 r2 Do vậy: x K = = 0,58a = 8,52(cm) ; yK = x = 0,14a = 2, 06(cm) a2 b2 +Khi đờng trung hoà qua HE: a3 = ; b3 = r2 r2 4a = 20(cm ) => x K = y = ; y K = x = a = 2,5(cm ) a3 b3 +Khi đờng trung hoà qua KP: a4 = ; b4 = r2 r2 2a = 10(cm ) => x K = y = ; y K = x = a = 5(cm) a4 b3 Do tính chất đối xứng tiết diện nên ta nhận đợc lõi mặt cắt ngang nh hình vẽ a yo y C K4 x K b a Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 a 2a/3 K1 K3 K2 xo b Sức bền Vật liệu Bài tập chơng 2F F Bài 3: Cho cột chịu lực nh hình vẽ Vẽ biểu đồ thành phần ứng lực Nz, Mx, My Tính ứng suất pháp lớn nhỏ tiết diện nguy hiểm cột x b y H h Biết h =15cm; b = 25cm; F = 15 kN; H=3m; Bỏ qua trọng lợng thân cột Bài giải: Vẽ biểu đồ thành phần ứng lực Nz, Mx, My 2Fcos F z Nz F y F 2FHcos 2Fsin Mx Fh/2 F z 2Fsin x My Fh/2 2Fcos x 2F 2FHsin+Fh/2 y 2.Tính ứng suất pháp lớn nhỏ tiết diện nguy hiểm cột Từ biểu đồ nội lực ta thấy tiết diện nguy hiểm tiết diện chân cột Tại tiết diện chân cột ta có: M x = FH cos = 2.15.3 25 77,18(kNm) 25 + 152 15 M y = FH sin + 0, Fh = 2.15.3 + 0,5.15.0,15 47, 44(kNm) 252 + 152 N z = F = 15(kN ) Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 Sức bền Vật liệu Bài tập chơng b.h 25.152 h.b 15.252 = = 937, 5(cm3 ) ; Wx= = = 1562,5(cm3 ) 6 6 My M N 15 77,18.100 47.47.100 max max = z x = A Wx Wy 15.25 1562,5 937,5 2 max = 9,96(kN / cm ) ; = 10, 04(kN / cm ) Ta có:Wy= H Bài 4: Cột có tiết diện tròn đờng kính d chịu nén lực F song song trục z cột lệch tâm đoạn e nh hình vẽ z Xác định ứng suất pháp lớn F e nhỏ tiết diện o chân cột e=2,5cm Tìm emax để tiết diện chân cột không phát sinh ứng suất kéo Biết H = 2,5 m; d =20 cm; F = 25 kN; trọng lợng riêng vật liệu cột =18kN/m3 Giải: Chọn hệ trục Ouv nh hình vẽ, tiết diện chân cột có: 0, 2 N z = ( F + AH ) = 25 + 18. 2, = 26, 41( kN ) = z e F v o Mu Nz A Wu u H M u = Fe = 25.2, = 62, 5( kNcm ) Ta có: Mu N max = z + A Wu Trong đó: d 3,14.20 = = 314(cm ) 4 Wu = 0,1d = 0,1.203 = 800(cm ) A= 26, 41 62, + = 5, 875.10 ( kN / cm ) 314 800 26, 41 62, = = 162,13.10 ( kN / cm ) 314 800 m ax = m in Để tiết diện cột không phát sinh ứng suất kéo thì: max Nh vậy: Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 Sức bền Vật liệu Bài tập chơng Mu Nz 26 , 41 Fe + = + A Wu 314 800 max = e 69 ( cm ) Vậy emax=2,69(cm) 3F F Bài 5: Cho cột chịu lực nh hình vẽ Tính ứng suất pháp lớn nhỏ tiết diện nguy hiểm cột trờng hợp: x Có kể đến trọng lợng thân cột Không kể đên trọng lợng thân cột y b H Biết b=20 cm; h = 30 cm; F2 = 15kN; H = 2,5m; Vật liệu cột có trọng lợng riêng = 18 kN/m3 h Bài giải Trờng hợp không kể đến trọng lợng thân cột Biểu đồ nội lực cột: z F z 3Fcos z 3F 3Fsin H 3FHcos x y x F N y Mx 3FHsin y < k Nm > My x Mặt cắt nguy hiểm chân cột có: Nz = F = 15(kN ) M x = FH cos = 3.15.250 15 = 9360,57(kNcm ) 10 + 152 10 M y = FH sin = 3.15.250 = 6240,38(kNcm) 10 + 152 My M N Ta có: max = z + x + A Wx Wy Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 Sức bền Vật liệu = Bài tập chơng My Nz M x A Wx Wy Trong đó: A = b.h = 20.30 = 600(cm ) h.b 30.20 = = 2000(cm ) 6 b.h 20.30 Wy = = = 3000(cm ) 6 15 9360,57 6240,38 max = + + = 6, 74(kN / cm ) 600 2000 3000 15 9360,57 6240,38 = = 6, 78(kN / cm ) 600 2000 3000 Wx = Vậy: Trờng hợp có kể đến trọng lợng thân cột Biểu đồ nội lực cột: z F z 3Fcos z 3F F 3Fsin A H 3FHcos x y x F+ah N y Mx 3FHsin y My x Mặt cắt nguy hiểm chân cột có: Nz = ( F + AH ) = (15 + 18.0, 2.0, 3.2,5) = 17, 7(kN ) M x = FH cos = 3.15.250 Vậy: 15 = 9360,57(kNcm ) 10 + 152 10 M y = FH sin = 3.15.250 = 6240,38(kNcm) 10 + 152 17,7 9360,57 6240,38 max = + + = 6,73(kN / cm ) 600 2000 3000 17,7 9360,57 6240,38 = = 6,79(kN / cm ) 600 2000 3000 Bài 6: Cột có tiết diện chữ nhật kích thớc bxh chịu lực nh hình vẽ Vẽ biểu đồ thành phần ứng lực Nz, Mx, My Vẽ biểu đồ ứng suất pháp tiết diện chân cột Biết F = kN; q = 1,5 kN/m; b = 15cm;h = 20 cm; H = 2,5 m; Bỏ qua trọng lợng thân cột Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 Sức bền Vật liệu Bài tập chơng 2F F h q H b Bài giải Vẽ biểu đồ thành phần ứng lực Nz, Mx, My z Fh z z 2F F q f=qH /8 H - o x y o F N x y Mx x y Fh o FH-qH /2 My Vẽ biểu đồ ứng suất pháp tiết diện chân cột Tại tiết diện chân cột có: N z = F = 10( kN ) h = 2.5.0,1 = 1( kNm ) qH 1, 5.2, M y = FH + = 5.2, + = 7, 8125( kNm ) 2 Mx = 2F A = b.h = 15.20 = 300(cm ) bh3 15.203 = = 10 (cm ) 12 12 hb3 20.153 Iy = = = 5625(cm ) 12 12 Ix = Phơng trình đờng trung hoà: M Nz M x + y+ y x=0 A Ix Iy Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 Sức bền Vật liệu Bài tập chơng 10 100 781, 25 + y+ x=0 300 10000 5625 ĐTH + - y = 13,89 x + 3,33 My Mx Nz + + A Wx Wy h max = - x + + My Mx N = z A Wx Wy + b b.h 15.202 = = 1000(cm ) 6 h.b 20.152 Wy = = = 750(cm ) 6 Wx = - y + max Suy ra: 10 100 781, 25 + + = 1,11( kN / cm ) 300 1000 750 10 100 781, 25 = = 1,17( kN / cm ) 300 1000 750 m ax = m in Bài 7: Cho cột chịu lực nh hình vẽ F Tính ứng suất pháp lớn nhỏ mặt cắt ngang nguy hiểm cột Vẽ biểu đồ ứng suất pháp mặt cắt ngang nguy hiểm cột h b H Biết b= 15 cm; h = 20 cm; F = 10kN; H = m; Vật liệu cột có trọng lợng riêng = 20 kN/m3 1,5F Bài giải Vẽ biểu đồ thành phần ứng lực: Từ biểu đồ ứng lực suy mặt cắt nguy hiểm chân cột có: N z = ( F + AH ) = (10 + 20.0,15.0, 20.3) = 11, 8( kN ) Fh 10.20 = = 100( kNcm ) 2 M y = 1, FH = 1, 5.10.300 = 4500( kNcm ) Mx = Các ứng suất pháp cực trị: max = My My M Nz M x N + + ; = z x A Wx Wy A Wx Wy Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 Sức bền Vật liệu Bài tập chơng z Fh/2 z z F F 1,5F A H - o x o x o F + AH y N Fh/2 y Mx 1,5FH x y My Trong đó: A = b.h = 15.20 = 300(cm ) b.h 15.20 Wx = = = 1000(cm ) 6 20.152 h.b Wy = = = 750(cm ) 6 Suy ra: 11 100 4500 + + = 97 ( kN / cm ) 300 1000 750 11 100 4500 = = 05 ( kN / cm ) 300 1000 750 max = Vẽ biểu đồ ứng suất pháp mặt cắt ngang nguy hiểm: A = b.h = 15.20 = 300(cm ) bh3 15.203 = = 10 (cm ) 12 12 hb3 20.153 Iy = = = 5625(cm ) 12 12 Ix = x Phơng trình đờng trung hoà: M Nz M x + y+ y x=0 A Ix Iy 11.8 100 4500 + y+ x=0 300 10000 5625 y y = 80 x + 3.93 max Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 10 Sức bền Vật liệu Bài tập chơng Bài 8: Cho cột chịu nén lệch tâm nh hình vẽ Xác định vị trí đờng trung hoà mặt cắt ngang nguy hiểm Kiểm tra điều kiện bền cho cột F Biết b= 22 cm; h = 10 cm; Độ lệch tâm e = 15 cm; F = 5kN; Vật liệu cột có []k = kN/cm2; []n = kN/cm2 Bỏ qua trọng lợng riêng cột e h K K b Bài giải 1.Mặt cắt nguy hiểm chân cột có: N z = F = 5( kN ) Mx = M y = Fe = 5.15 = 75( kNcm ) Phơng trình đờng trung hoà: Nz M y + x=0 A Iy Trong đó: A = b h = 22.10 = 220( cm ) hb 10.22 Iy = = = 8873, 3( cm ) 12 12 75 + x=0 220 8873, x = 2, 69( cm ) ĐTH 10cm + - x -2.69 + - 22cm y Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 11 Sức bền Vật liệu Bài tập chơng 2.Kiểm tra điều kiện bền cho cột Ta có: max = My Nz + A Wy = My Nz A Wy hb 10.22 = = 806, 67( cm ) ` 6 75 m ax = + = 0, 67( kN / cm ) 220 806, 67 75 m in = = 0,12( kN / cm ) 220 806, 67 Wy = Ta có: m ax = 0, 67 < [ ]k = 2( kN / cm ) m in = 0,12 < [ ]n = 8( kN / cm ) Vậy cột đảm bảo điều kiện bền Bài 9: Cột tiết diện chữ nhật rỗng có bề dày số, chịu lực nh hình vẽ Vẽ biểu đồ lực dọc mômen uốn nội lực cột Xác định ứng suất pháp cực trị tiết diện chân cột Biết F1 = 15kN; F2 = 10kN; q =5 kN/m; h = 20 cm; b =10 cm; H = 2,5m; = 1,5 cm (Bỏ qua trọng lợng thân cột) F2 F1 x q b y H h Bài giải: Vẽ biểu đồ lực dọc mômen uốn nội lực cột: Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 12 Sức bền Vật liệu Bài tập chơng z F1h/2 z z F1 F2 F1h/ q f=qH /8 H F2H o x y o F1 N x o F1h/2+qH / x y y Mx My Tại tiết diện chân cột: N z = F1 = 15( kN ) M x = F2 H = 10.250 = 2500( kNcm ) My = F1 h qH 15.0.2 5.2, + = + = 17,125( kNm ) = 1712, 5( kNcm ) 2 2 Ta có: m ax = My Mx Nz + + A Wx Wy m in = My Mx Nz A Wx Wy Trong đó: A = bh ( b )( h ) = (b + h).2 + = (10 + 20).2.1,5 + 4.1,52 = 99(cm ) Ix Ix Iy Iy h.b3 (h )(b )3 = I I = 12 12 20.10 (20 2.1,5)(10 2.1,5)3 = = 1180, 75(cm ) 12 12 b.h (b )(h )3 = I y1 I y2 = 12 12 10.20 (10 2.1,5)(20 2.1,5)3 = 3800, 75(cm ) = 12 12 x x Phơng trình đờng trung hoà: M Nz M x + y+ y x =0 A Ix Iy 15 2500 1712,5 y+ x=0 99 1180, 75 3800, 75 y = 0, 213 x 0, 072 Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 13 Sức bền Vật liệu Bài tập chơng ++ -+ max + b +- x ĐTH - h y Suy ra: 2500 1712.5 15 + + 10 = 14, 93( kN / cm ) 90 1180, 75 3800, 75 2500 1712.5 15 = 10 = 15.26( kN / cm ) 90 1180, 75 3800, 75 m ax = m in Bài 10: Cho cột có kích thớc chiu tải trọng nh hình vẽ Tại mặt cắt ngang chân cột h y xác định: F x H y a Các thành phần ứng lực Các ứng suất pháp cực trị Biết trọng lợng riêng cột là: = 20 kN/m3; F = 50 kN; a= 0,15m; H = 1m a 3H a Bài giải: Tại mặt cắt chân cột: N z = ( F + a H + a H ) = ( F + a H ) = (50 + 7.20.0,15 1) = 53,15( kN ) M y = ( F + a H ) a 15 = (50 + 20.0,15 2.1) ( kNm ) = 378, 375( kNcm ) 2 F+a2H 6a H x y Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 14 Sức bền Vật liệu Bài tập chơng ứng suất pháp cực trị max = My Nz + A Wy = My Nz A Wy Trong đó: A = 2a = 2.152 = 450(cm ) a.(2 a)2 a3 4.153 Wy = = = = 2250(cm ) 6 Suy ra: 53 ,15 378 ,375 + = , 050 ( kN / cm ) 450 2250 53 ,15 378 ,375 = = , 286 ( kN / cm ) 450 2250 max = Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 15