LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòng Sau đại học GS, TS giảng dạy Viện công nghệ thông tin truyền thông - Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo TS Trần Đức Khánh, người bảo, giúp đỡ, tạo điều kiện cho em trình nghiên cứu luận văn hoàn chỉnh luận văn Tôi chân thành cảm ơn hai bạn làm nhóm Logic là: Vũ Việt Trung Đoàn Thế Vinh lớp Kỹ sư tài K54 đồng hành, giúp đỡ động viên trình làm luận văn Trong trình thực công tác nghiên cứu không tránh khỏi hạn chế thiếu sót, em xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp Thầy giáo, Cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 09 năm 2012 Tác giả Vũ Thị Khánh Vân LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Trần Đức Khánh, luận văn với đề tài: “Logic mệnh đề với miền giá trị chân lý dựa Đại số gia tử mịn hóa” hoàn thành với nhận thức riêng tác giả, chép toàn văn công trình khác Trong trình làm luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 09 năm 2012 Tác giả Vũ Thị Khánh Vân Mục lục Mở đầu Chương Đặt vấn đề định hướng giải pháp 1.1 Suy luận ngôn ngữ theo tiếp cận tập mờ Đại số gia tử 1.2 Mục tiêu nghiên cứu đề tài 10 Chương Cơ sở lý thuyết chung 11 2.1 Đại số gia tử 11 2.1.1 Sơ lược đại số gia tử 11 2.1.2 Định nghĩa 13 2.2 Đại số gia tử mịn hóa 21 2.2.1 Cấu trúc dàn 21 2.2.2 Đại số gia tử mịn hóa 29 2.2.3 Cấu trúc dàn đại số gia tử mịn hóa 32 2.3 Đại số gia tử mịn hóa đối xứng hữu hạn 33 Chương Logic mệnh đề với miền giá trị chân lý sinh đại số gia tử mịn hóa 37 3.1 Cú pháp 39 3.2 Ngữ nghĩa 41 3.2.1 Miền giá trị chân lý logic 41 3.2.2 Thông dịch 44 3.2.3 Thỏa được, chân lý, sai, mâu thuẫn, tương đương logic 47 3.3 Dạng hội quy 49 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 MỞ ĐẦU Ngày nay, với nhiều công nghệ nghiên cứu để phục vụ tốt nghiên cứu khoa học đời sống Cùng với phát triển khoa học công nghệ, logic học ngày ứng dụng rộng rãi Người ta sử dụng logic học để giúp giải vấn đề nan giải toán học, điều khiển học, khoa học máy tính, Chẳng hạn người ta sử dụng logic vị từ để làm ngôn ngữ lập trình cho trí tuệ nhân tạo (ví dụ ngôn ngữ lập trình PROLOG - Programing in Logic); ứng dụng logic mờ (Fuzzy logic) để phát triển công nghệ mờ, Logic đề tài mới, xuất từ lâu, hệ tất yếu, phù hợp với thực tế trì phát triển Sự phát triển mạnh Logic với đa dạng ứng dụng Logic ngày nhiều quan trọng lĩnh vực Cùng với phát triển không ngừng tất ngành, công nghệ thông tin ngành phát triển mạnh Ngày nay, việc tạo vi mạch quan trọng phần cứng, mà kiểm tra hoạt động vi mạch Phần mềm quan trọng xây dựng chương trình, mà kiểm thử chương trình Nhưng vi mô, tinh xảo phần cứng dùng mắt người để kiểm tra xem có lỗi hay không Một hệ thống phần mềm phức tạp với số lượng dòng code lên tới triệu dòng, người không dễ dàng kiểm tra lỗi Logic ngôn ngữ cách phù hợp giúp kiểm tra phần mềm, phần cứng cách tự động cho kết xác Hiện nay, khoa học máy tính có nhiều hướng tiếp cận để mô hình hóa trình sử dụng ngôn ngữ tư suy luận người hướng tiếp cận lý thuyết tập mờ, mạng neuron nhân tạo, học máy Tuy nhiên, hướng tiếp cận vận dụng trực tiếp với giá trị ngôn ngữ trình suy luận Đại số gia tử đề xuất năm 1990 Nguyễn Cát Hồ Wolfgang Wechler từ ý tưởng biến ngôn ngữ lý thuyết mờ đưa hướng tiếp cận dựa cấu trúc tự nhiên ngôn ngữ Đại số gia tử cho mô hình đại số ngôn ngữ tự nhiên Dựa lý thuyết miền giá trị ngôn ngữ mô hình hóa phương pháp suy diễn xây dựng cách vận dụng trực tiếp giá trị ngôn ngữ Tuy nhiên, tất phương pháp trình bày chưa nói tính đắn đầy đủ suy diễn Để xây dựng rõ ràng tính đắn đầy đủ ta cần xây dựng logic hình thức mà miền giá trị chân lý miền giá trị ngôn ngữ Chính tầm quan trọng Logic khoa học máy tính định hướng TS Trần Đức Khánh nên em chọn đề tài cho luận văn: ‘Logic mệnh đề với miền giá trị chân lý dựa đại số gia tử mịn hóa.’ Nội dung luận văn bố cục sau: Chương Đặt vấn đề định hướng giải pháp Có đề cập đến vấn đề suy luận ngôn ngữ theo hướng tiếp cận khác từ đưa mục tiêu nghiên cứu đề tài Chương Cơ sở lý thuyết chung Chương trình bày kiến thức sở đại số gia tử, đại số gia tử đối xứng tuyến tính, mở rộng sang trường hợp tổng quát đại số gia tử mịn hóa đại số gia tử mịn hóa đối xứng hữu hạn Từ mở tiềm lớn xây dựng logic mệnh đề đa trị với miền giá trị chân lý miền giá trị đại số gia tử mịn hóa Chương Logic mệnh đề với miền giá trị chân lý sinh đại số gia tử mịn hóa Trong phần này, ta trình bày thành phần logic kể cú pháp, ngữ nghĩa dạng hội qui Mục đích nghiên cứu luận văn: Luận văn nghiên cứu logic mệnh đề với miền giá trị chân lý dựa đại số gia tử mịn hóa Thông qua việc trình bày lý thuyết đại số gia tử, đại số gia tử mịn hóa dựa dàn phân phối tự sinh gia tử, sau tương ứng logic có miền chân lý đại số gia tử đối xứng tuyến tính logic có miền chân lý đại số gia tử mịn hóa đối xứng Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu, trình bày kiểu miền chân lý đa trị: Miền chân lý sinh đại số gia tử mịn hóa đối xứng, hữu hạn Phương pháp nghiên cứu: - Đọc sách, nghiên cứu tài liệu - Tổng hợp: Kiến thức, kết nghiên cứu có để lựa chọn hướng tiếp cận phù hợp với nội dung nghiên cứu vận dụng cho mục đích nghiên cứu Chương Đặt vấn đề định hướng giải pháp 1.1 Suy luận ngôn ngữ theo tiếp cận tập mờ Đại số gia tử Trong sống ngày, người luôn sử dụng từ (Trong ngôn ngữ tự nhiên) mà vốn không xác, mơ hồ đặc trưng tự nhiên để mô tả thông tin giới thực, đề phân tích, lấy lý đưa định Hơn nữa, ngôn ngữ tự nhiên, trạng từ nhấn thường sử dụng để nhấn mạnh cấp độ khác Ví dụ như: Very High, More High, Possible High, Very Low, More Low, Possible Low Vì cần thiết để nghiên cứu hệ thống logic mà làm việc trực tiếp với từ sử dụng trạng từ nhấn (Gia tử ngôn ngữ) để dễ dàng miêu tả kiến thức thể tự nhiên Logic mờ mà bắt nguồn từ lý thuyết tập mờ giới thiệu L.A Zadeh đưa từ năm 1965 với ý tưởng ‘gần đúng’ ‘chính xác’ logic truyền thống Trong logic mờ, miền giá trị chân lý tập cổ điển True, False hay 0,1 mà toàn đơn vị khoảng [0,1] Lý thuyết tập mờ phát triển mạnh mẽ xây dựng nên sở tính toán để mô hình hóa trình tư người Một mục tiêu lý thuyết tập mờ mô phương pháp lập luận người dựa sở mô hình phương pháp toán học nhằm đưa cách tiếp cận tính toán đến lĩnh vực suy luận người Hiệu lý thuyết tập mờ phương diện lý thuyết ứng dụng phủ nhận, đặc điểm phần tử tập mờ gán hàm thuộc tương ứng phép toán tập mờ thường thực qua hàm thuộc phần tử, việc xây dựng hàm thuộc cho ứng dụng cụ thể lại gặp nhiều khó khăn, tính phức tạp đa dạng thực tiễn, lý thuyết tập mờ chưa có cấu trúc tính toán quán Vì việc xây dựng hàm mờ thuộc vào ứng dụng cụ thể phụ thuộc vào toán Như vậy, lý thuyết tập mờ truyền thống vận dụng trực tiếp giá trị ngôn ngữ vào suy luận Logic ngôn ngữ hay logic phi cổ điển mà bắt nguồn từ lý thuyết tập mờ đưa L A Zadeh để sử dụng cho trình suy diễn người Xuất phát từ lý mà năm 1990, Nguyễn Cát Hồ Wolfgang Wechler đề xuất cách tiếp cận dựa cấu trúc tự nhiên ngôn ngữ Các tác giả rằng, giá trị ngôn ngữ thực tế có thứ tự định mặt ngữ nghĩa Chúng ta hoàn toàn cảm nhận “trẻ” nhỏ “già” “nhanh” lớn “chậm” Xuất phát từ quan hệ ngữ nghĩa đó, tác giả xây dựng cấu trúc đại số gia tử để mô hình hóa miền giá trị ngôn ngữ, từ vận dụng trực tiếp giá trị ngôn ngữ vào suy luận Đại số gia tử sau đời thay đổi cách tiếp cận tính toán cũ, xây dựng cấu trúc tính toán miền giá trị ngôn ngữ, cho ta cấu trúc toán học rõ ràng, đơn giản hơn, quan trọng mô hình hoá quan hệ thứ tự ngữ nghĩa đắn, tự nhiên hay nói cách khác cho phép biểu diễn toán học mô hình mờ mang nhiều thông tin hơn, dễ hiểu hay trực quan Mặt khác, việc xây dựng quan hệ thứ tự ngữ nghĩa cách tự nhiên cảm sinh phép toán tạo nên cấu trúc dàn phân phối đầy đủ thuận tiện phát triển phương pháp tính toán suy diễn ngôn ngữ Trong công trình nghiên cứu luật xấp xỉ, chế suy diễn mờ hầu hết quan tâm nghiên cứu phát triển mở rộng qui tắc modus kinh điển Tuy nhiên, để nói tính đắn đầy đủ suy diễn, ta cần phải xây dựng logic hình thức mà miền giá trị chân lý miền giá trị ngôn ngữ 1.2 Mục tiêu nghiên cứu đề tài Mục tiêu nghiên cứu đề tài gồm nội dung sau: • Hệ thống số kiến thức liên quan đến hướng nghiên cứu luận văn: Đại số gia tử, đại số gia tử mịn hóa, đại số gia tử mịn hóa đối xứng hữu hạn • Tiếp cận với logic ngôn ngữ dựa tảng logic mệnh đề • Xây dựng logic mệnh đề có miền giá trị chân lý tổng quát, miền giá trị dựa đại số gia tử mịn hóa đối xứng 10 3.1 Cú pháp Như ngôn ngữ khác, trước tiên ta định nghĩa bảng chữ logic mệnh đề Chính tập tất kí hiệu phép để ghép thành phát biểu logic Các kí hiệu hay bảng chữ logic bao gồm: • Các kí hiệu mệnh đề: A, B, C, • Các giá trị chân lý: α, β, γ, • Các kết nối logic: ∨, ∧, →, ¬ • Kí hiệu phụ: (, ) • Phát biểu rỗng: ✷ Định nghĩa 3.1 Ta gọi mệnh đề giá trị chân lý phát biểu, kí hiệu (A, α) với A kí hiệu mệnh đề α giá trị miền giá trị ngữ nghĩa kí hiệu mệnh đề A Ví dụ 3.1 Với phát biểu "Nam học tiếng anh giỏi" kí hiệu mệnh đề Nam học tiếng anh giỏi giá trị ngữ nghĩa Rất Khi biểu diễn theo cấu trúc (Nam học tiếng anh giỏi, đúng) Một biểu diễn khác hình thành mà ta thay giá trị a giá trị b khác Ở ví dụ ta thay từ Rất thành từ Hơi, ta lại viết (Nam học tiếng anh giỏi, đúng) Ta thấy rằng: Các công thức logic xâu kí tự từ bảng chữ logic trình bày Với cách định nghĩa công thức mang tính cấu trúc Công thức khái niệm cú pháp logic Nó quy tắc để kiểm tra xem xâu kí tự có phải công thức hay không Định nghĩa 3.2 Một công thức biểu thức bao gồm phát biểu kết nối logic liên kết chúng Mỗi công thức sinh theo quy tắc sau: Cho P, Q phát biểu, đó: 39 • P, Q công thức • ¬P công thức • P ∨ Q, P ∧ Q, P → Q công thức • Các công thức sinh theo ba quy tắc Ví dụ 3.2 Xét câu phát biểu sau "Nếu Michelle thắng kỳ thi Olympic, người khâm phục cô ấy, cô ta trở nên giàu có Nhưng, cô ta không thắng cô ta tất cả." Khi ta định nghĩa biến mệnh đề sau: P : Michelle thắng kỳ thi Olympic Q: người khâm phục cô R: cô ta trở nên giàu có S: cô ta tất Biểu diễn câu phát biểu mệnh đề phép toán, ta có công thức mệnh đề sau: (P → (Q ∧ R)) ∧ (¬P → S) Với cách định nghĩa công thức đệ quy trên, công thức gồm nhiều kết nối logic, kí tự mở đóng ngoặc Thứ tự thực kết nối logic qui định: phép toán ¬ thực trước, sau đến phép toán ∧, đến phép toán ∨ đến phép → Bằng việc qui định thứ tự thực phép toán ta không dùng dấu đóng mở ngoặc trình biểu diễn công thức Tuy nhiên số trường hợp để tránh nhầm lẫn, ta sử dụng cặp dấu ( ) Ví dụ 3.3 Xét thứ tự ưu tiên (từ cao xuống thấp) kết nối logic công thức sau: • A ∨ B ∧ C tương đương với A ∨ (B ∧ C) • ¬A ∧ B tương đương với (¬A) ∧ B • A ∧ ¬B → C tương đương với (A ∧ (¬B)) → C 40 3.2 Ngữ nghĩa Ngữ nghĩa logic đối tượng, kiện logic biểu diễn thông qua cú pháp Ở phần ta tìm hiểu kỹ ngữ nghĩa logic, bao gồm vấn đề thông dịch, thỏa được, mâu thuẫn, sai, tương đương logic hội qui Nhưng trước tiên ta xem xét miền giá trị chân lý logic 3.2.1 Miền giá trị chân lý logic Trong chương trước, trình bày đại số gia tử mịn hóa đối xứng Trong phần này, định nghĩa miền giá trị chân lý ngôn ngữ sinh cấu trúc đại số Những tính chất trình bày phần 2.2 miền giá trị ngữ nghĩa xây dựng Miền giá trị chân lý sinh đại số gia tử mịn hóa đối xứng Định nghĩa 3.3 Cho cấu trúc đại số gia tử mịn hóa đối xứng hữu hạn AX = (X, G, LH, ≤) với G = {true, f alse} thỏa mãn tính đóng, phân phối Tập giá trị sinh đại số này, kết hợp với phép ∧, ∨, →, ¬ xác định định nghĩa 3.4, miền giá trị chân lý ngôn ngữ Định nghĩa 3.4 (Ý nghĩa kết nối logic) Với α, β giá trị chân lý, đó: • α ∨ β = sup(α, β) • α ∧ β = inf(α, β) • α → β = (¬α) ∨ β • ¬α giá trị đối α Thứ tự thực kết nối logic: ¬, →, ∨, ∧ 41 Với miền chân lý sinh đại số gia tử mịn hóa đối xứng, giá trị đối xác định sau: Định nghĩa 3.5 (Phần tử đối) Giả sử α = h1 h2 hn c, phần tử đối α: ¬α = h1 h2 hn d với hi ∈ LH; c, d ∈ {true, f alse} c = d Trong định nghĩa trên, thay việc ta lấy min(x, y), max(x, y) việc ta lấy inf (x, y), sup(x, y) để phù hợp với phép join, meet dàn Lý cấu trúc đại số gia tử mịn hóa đối xứng, cặp giá trị không so sánh với (incompatible) xác định min, max, nên ta cần định nghĩa phần tử inf , sup min, max trường hợp đặc biệt inf , sup giá trị chân lý so sánh với (compatible) Nói cách khác, với miền giá trị ngôn ngữ sinh đại số gia tử đối xứng tuyến tính, định nghĩa 3.4 ta thay toán tử sup, inf toán tử max,min (xem [3]) Trong [3] rằng: với x,y giá trị thuộc miền giá trị ngôn ngữ đại số gia tử đối xứng tuyến tính phép kết nối định nghĩa: x ∧ y=min(x, y) x ∨ y=max(x, y) Tóm lại: Trên đại số gia tử đối xứng tuyến tính, phép toán ∧ ∨ định nghĩa theo min, max, đại số gia tử mịn hóa phép toán lấy meet, join dàn Từ tính chất đại số gia tử mịn hóa đối xứng, ta suy số nhận xét sau miền giá trị ngữ nghĩa: Nhận xét 3.1 Cho S tập giá trị ngữ nghĩa Có thể chia S thành tập Si cho: (a) Các giá trị tập Si không so sánh với (b) Hai giá trị x, y thuộc hai tập Si , Sj khác so sánh với (c) Mỗi phần tử x ∈ S có phần tử đối ¬x Ta định nghĩa phần tử: 42 (a) phần tử sup(S): Chính phần tử lớn S (b) ⊥ phần tử inf(S): Chính phần tử nhỏ S (c) − phần tử sup(S − ): Chính phần tử lớn S − (d) ⊥+ phần tử inf(S + ): Chính phần tử nhỏ S + (e) Với ∀x ∈ S + , ∀y ∈ S − , ta có y ≤ x Với S + tập giá trị ngôn ngữ sinh xâu gia tử phần tử sinh true, S − tập giá trị ngôn ngữ sinh xâu gia tử phần tử sinh f alse Như vậy: S + LH(T rue), S − LH(F alse) Xem phần tính chất dàn 2.2.(Đại số gia tử mịn hóa), ta thấy gia tử chia thành mức LHi , mức LHi (T rue) có tính chất tương tự LHi LHi (F alse) Mỗi Si tương ứng với LHi (c) với c=T rue F alse Ví dụ 3.4 Cho H=(V, M, P, M L, L) tập gia tử, chúng tương ứng ký hiệu gia tử (V ery, M ore, P ossibly, M oreorLess, Less) Ở LHi gồm LH + 1=V , LH + 2=M , LH − 1=L, LH − 2=P, M L Và ta có Si tương ứng với LH + 1(T rue), ,LH − 2(T rue), LH + 1(F alse), ,LH − 2(F alse) Các phần tử , ⊥, − , ⊥+ tương ứng giá trị V eryT rue, LessV eryF alse, LessF alse LessT rue Xem phần 2.2., [1] để biết miền chân lý ngôn ngữ tính chất Miền giá trị chân lý sinh đại số gia tử tuyến tính đối xứng Đại số gia tử tuyến tính đối xứng trường hợp đặc biệt đại số gia tử mịn hóa đối xứng Do đó, miền giá trị chân lý ngôn ngữ sinh đại số thực chất trường hợp đặc biệt tất tập LHi có phần tử (xem phần 2.2.) Các tính chất nêu nhận xét 3.1 thỏa mãn với miền chân lý (xem [3]) 43 3.2.2 Thông dịch a) Thông dịch cho phát biểu Thông dịch khái niệm tảng logic ngôn ngữ Giá trị chân lý phát biểu phải xét hoàn cảnh cụ thể Hay hiểu cách đơn giản thông dịch việc gán giá trị ngữ nghĩa cho kí hiệu mệnh đề Từ xác định giá trị ngữ nghĩa công thức dựa ý nghĩa kết nối logic Ví dụ 3.5 Hãy xét phát biểu sau đây: "Nam học tiếng anh giỏi đúng" ta có kí hiệu mệnh đề A=Nam học tiếng anh giỏi giá trị ngữ nghĩa gán cho kí hiệu mệnh đề công thức α=hơi Khi ta có phát biểu biểu diễn dạng (A,α)=(Nam học tiếng anh giỏi, đúng) Và giá trị chân lý phát biểu phụ thuộc vào giá trị ngữ nghĩa kí hiệu mệnh đề A=Nam học tiếng anh giỏi Tức với thông dịch gán giá trị ngữ nghĩa cho kí hiệu mệnh đề khác giá trị chân lý phát biểu khác Nếu gán giá trị ngữ nghĩa cho Nam học tiếng anh giỏi phát biểu đúng, gán giá trị ngữ nghĩa cho Nam học tiếng anh giỏi sai phát biểu sai Định nghĩa 3.6 (Thông dịch) Thông dịch cho phát biểu ánh xạ T : S × P −→ S, với P tập phát biểu Ta kí hiệu TA=α1 ((A, α2 )), giá trị chân lý phát biểu (A, α2 ) thông dịch từ việc gán giá trị ngữ nghĩa α1 cho kí hiệu mệnh đề A (A = α1 ) Giá trị chân lý TA=α1 ((A, α2 )) thông dịch xác định sau: • TA=α1 ((A, α2 )) = α1 ∧ α2 α1 , α2 ≥ ⊥+ • TA=α1 ((A, α2 )) = ¬(α1 ∨ α2 ) α1 , α2 ≤ • TA=α1 ((A, α2 )) = (¬α1 ) ∧ α2 α1 ≤ 44 − − , α2 ≥ ⊥+ • TA=α1 ((A, α2 )) = α1 ∧ (¬α2 ) α1 ≥ ⊥+ , α2 ≤ − Ví dụ 3.6 Giả sử ta có phát biểu: A=(Minh học giỏi, M oreT rue), đó: TLessF alse (A)=min(LessF alse, M oreT rue)=LessF alse TV eryT rue (A)=min(M oreT rue, V eryT rue)=M oreT rue Giả sử ta có phát biểu: B=(Hust is good University, LessF alse) đó: TM oreT rue (B)=min(M oreT rue, LessT rue)=LessT rue (LessT rue phần tử đối xứng LessF alse) TM oreF alse (B)=min(M oreT rue, LessT rue)=LessT rue (M oreT rue, LessT rue phần tử đối xứng tương ứng M oreF alse, LessF alse) Như vậy, từ việc xác định giá trị chân lý phát biểu qua thông dịch, ta định nghĩa giá trị chân lý công thức qua thông dịch b) Thông dịch cho công thức Như trình bày 3.1., công thức biểu thức gồm nhiều phát biểu kết nối logic liên kết chúng mà ta định nghĩa đệ qui công thức Do đó, ta xác định giá trị chân lý công thức thông dịch bất kì, ta định nghĩa phương pháp đệ quy sau Kí hiệu T (P ) để giá trị chân lý công thức P với thông dịch Định nghĩa 3.7 (Giá trị chân lý công thức thông dịch) Cho tập công thức F có n mệnh đề Thông dịch cho công thức ánh xạ: T : S n × F −→ S với giá trị xác định sau: Với P, Q hai công thức bất kì, có phép thông dịch sau: • T (P ∨ Q) = T (P ) ∨ T (Q) 45 • T (P ∧ Q) = T (P ) ∧ T (Q) • T (¬P ) = ¬T (P ) • T (P → Q) = T (P ) → T (Q) • Các công thức phức tạp định nghĩa đệ quy theo công thức Với phép ¬, →, ∧, ∨ phép kết nối S Ví dụ 3.7 Xét công thức P =(A=Nam is a good student,α=moretrue)∨ (B=Nam’s university is a good,β=verytrue) Thông dịch với I =(A=lessf alse,B=moretrue) Ta TI (P ) = TA=less f alse (A, α)∨TB=more true (B, β)= lessf alse ∨ moretrue = moretrue Như với thông dich khác nhau, giá trị chân lý công thức thu khác Chúng ta cần biết với giá trị chân lý công thức đúng, sai, hay công thức luôn đúng, tức với thông dịch Trong phần trình bày định nghĩa 3.8 giải vấn đề Từ định nghĩa 3.4, ta suy số tính chất sau: Tính chất 3.1 Cho A,B,C công thức, ta có: • Tính giao hoán: – T (A ∨ B) = T (B ∨ A) – T (A ∧ B) = T (B ∧ A) • Tính kết hợp: – T ((A ∨ B) ∨ C) = T (A ∨ (B ∨ C)) – T ((A ∧ B) ∧ C) = T (A ∧ (B ∧ C)) • Tính phân phối: 46 – T (A ∨ (B ∧ C)) = T ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C)) – T (A ∧ (B ∨ C)) = T ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)) Với định nghĩa 3.7 tính chất 3.1, việc xác định giá trị chân lý công thức thông dịch rõ ràng Ta sử dụng biến đổi định nghĩa 3.7, sau sử dụng tính chất 3.1 để xác định giá trị chân lý cách hợp lý 3.2.3 Thỏa được, chân lý, sai, mâu thuẫn, tương đương logic Trong phần trên, ta trình bày cách để xác định giá trị chân lý công thức thông dịch Bây ta nói đến tính sai công thức Định nghĩa 3.8 (thỏa được, chân lý, sai, mâu thuẫn) Cho công thức A thông dịch I bất kì: • A thỏa với thông dịch I TI (A) ≥ ⊥+ • A chân lý (Tautology) A thỏa với thông dịch • A sai với thông dịch I TI (A) ≤ − • A mâu thuẫn A sai với thông dịch Ví dụ 3.8 Các phát biểu sau thỏa được: A ∨ B, A ∧ B Các phát biểu sau chân lý: A → A, A ∨ ¬A, ¬¬A → A Phát biểu sau mâu thuẫn: (A ∧ ¬A) Ta có định lý sau cho biết mối liên hệ chân lý mâu thuẫn: Định lý 3.1 A chân lý ¬A mâu thuẫn Nhận xét: Ta không chứng minh định lý đây, sử dụng định lý thay phải chứng minh công thức chân lý, ta chứng minh phủ định mâu thuẫn ngược lại Liên quan đến vấn đề mà ta nghiên cứu suy diễn logic có sử dụng phương pháp hợp giải 47 Định nghĩa 3.9 (Tương đương logic) Hai công thức A B gọi tương đương logic chúng có giá trị chân lý thông dịch: TI (A) = TI (B) ∀I, kí hiệu A ≡ B Như vậy, A B tương đương logic ngữ nghĩa chúng (giá trị chân lý tương đương thông dịch) Để chứng minh công thức A chân lý (mâu thuẫn), ta chứng minh công thức B ≡ A chân lý (mâu thuẫn) kết luận cho A Ta có số tương đương logic đây: Định lý 3.2 (Một số tương đương logic) Cho (P, α) phát biểu; A, B, C công thức: Phủ định phát biểu: ¬(P, α) ≡ (P, ¬α) Lặp công thức (a) A ∨ A ≡ A (b) A ∧ A ≡ A Loại kéo theo (a) A → B ≡ (¬A) ∨ B (b) A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A) Khử phủ định (a) ¬¬A ≡ A (b) ¬(A ∨ B) ≡ (¬A) ∧ (¬B) (c) ¬(A ∧ B) ≡ (¬A) ∨ (¬B) Tính giao hoán (a) A ∨ B ≡ B ∨ A (b) A ∧ B ≡ B ∧ A 48 Tính kết hợp (a) A ∨ (B ∨ C) ≡ (A ∨ B) ∨ C (b) A ∧ (B ∧ C) ≡ (A ∧ B) ∧ C Tính phân phối (a) A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (b) A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) Tính chất phân phối kết hợp tương đương logic hai tính chất quan trọng, thể tính phân phối kết hợp kết nối logic ∨, ∧ nêu định nghĩa 3.4 Các tương đương logic giúp chuyển công thức dạng hội quy Quá trình biến đổi tương đương áp dụng cho logic đa trị logic hai trị 3.3 Dạng hội quy Định nghĩa 3.10 (Dạng hội quy) Một công thức gọi dạng hội quy (CNF - Conjunctive Normal Form) biểu diễn dạng hội tuyển, tức là: S = P1 ∧ P2 ∧ Pn , công thức Pi lại biểu diễn dạng Pi = Ai1 ∨ Ai2 ∨ Aim , Aij phát biểu Ta có định lý sau để khẳng định tồn dạng biểu diễn hội quy cho công thức cách biến đổi tương đương: Định lý 3.3 Với công thức mệnh đề A bất kì, tồn công thức B dạng hội quy cho A B tương đương logic Chứng minh Ta chứng minh công thức mệnh đề đưa dạng hội quy Việc giống với logic hai trị, dựa quy tắc tương đương logic bản: luật phủ định kép, luật De Morgan luật phân phối Ta tiến hành bước sau: 49 Bước Loại tương đương kéo theo cách lặp lại biến đổi tương đương sau: A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A) ≡ (¬A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B) A → B ≡ ¬A ∨ B Bước Đẩy phủ định vào đến tác động lên mệnh đề nguyên tố, lặp lại biến đổi tương đương sau: ¬¬A ≡ A ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B Bước Đẩy phép tuyển vào đến tác động lên kí hiệu mệnh đề Lặp lại phép thay tương đương sau: A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (B ∧ C) ∨ A ≡ (B ∨ A) ∧ (C ∨ A) Vì phép tuyển có tính giao hoán nên hai tương đương logic hoàn toàn giống Thực tế, ta hay dùng tương đương logic sau, để ngắn gọn: (A ∧ B) ∨ (C ∧ D) ≡ (A ∨ C) ∧ (A ∨ D) ∧ (B ∨ C) ∧ (B ∨ D) Đến đây, ta kết thúc chứng minh Tuy nhiên ta cần biết thao tác, người ta thường thêm bước nhằm rút gọn công thức trùng lặp dạng hội quy Chẳng hạn như: A ∨ A ≡ A A ∧ A ≡ A Ví dụ 3.9 Bằng cách biến đổi tương đương ta chuyển công thức sau dạng hội quy: ¬(P → Q) ∨ (R → P ) • Loại bỏ kết nối → ta được: ¬(¬P ∨ Q) ∨ (¬R ∨ P ) 50 • Khử phủ định: (P ∧ ¬Q) ∨ (¬R ∨ P ) • Sử dụng luật kết hợp, phân phối: (P ∨ ¬R ∨ P ) ∧ (¬Q ∨ ¬R ∨P ) ta thu công thức dạng CN F : (P ∨ ¬R) ∧ (¬Q ∨ ¬R ∨ P ) Định nghĩa 3.11 (Dạng tuyển công thức) Công thức A gọi dạng tuyển A = ∨Ai , với Ai phát biểu Nhận xét 3.2 Một công thức dạng hội quy tách thành nhiều công thức dạng tuyển Nhận xét rõ ràng Với công thức P dạng hội quy, P = ∧i (∨j Aij ) ta tách thành công thức dạng tuyển: Qi = ∨j Aij Mỗi Qi công thức dạng tuyển Để chuyển công thức dạng tuyển, ta đưa công thức dạng hội quy, kết hợp với việc sử dụng tương đương nêu định lý 3.2, sau tách thành công thức dạng tuyển Ví dụ 3.10 Xét công thức P dạng hội quy, P =Q1 ∧ Q2 ∧ ∧ Qn , công thức Qi lại có dạng Qi = ∨j Aij =Ai1 ∨ Ai2 ∨ ∨ Aim , Aij phát biểu Như ta biểu diễn công thức P dạng tập công thức P ={Q1 , Q2 , , Qn }, Qi ={Ai1 , Ai2 , , Aim } 51 KẾT LUẬN Nội dung luận văn nghiên cứu, xây dựng logic mệnh đề đa trị với miền giá trị chân lý miền giá trị đại số gia tử mịn hóa, kiểu miền chân lý đa trị phát triển lên từ việc xây dựng logic mệnh đề có miền giá trị chân lý sinh đại số gia tử đối xứng tuyến tính Có nhiều kết đại số gia tử đối xứng tuyến tính trường hợp tổng quát hơn, đại số gia tử mịn hóa đối xứng Sau thực đề tài luận văn thu kiến thức định logic ngôn ngữ, tiếp cận với logic ngôn ngữ tiếp cận với hướng nghiên cứu với mảng đề tài nhiều tiềm ứng dụng kiểm thử phần cứng phần mềm Cụ thể luận văn đạt mục tiêu đề sau: • Hệ thống số kiến thức liên quan đến hướng nghiên cứu luận văn: Đại số gia tử, đại số gia tử mịn hóa, đại số gia tử mịn hóa đối xứng hữu hạn • Tiếp cận với logic ngôn ngữ dựa tảng logic mệnh đề • Xây dựng logic mệnh đề có miền giá trị chân lý tổng quát, miền giá trị dựa đại số gia tử mịn hóa đối xứng HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Do trình độ thời gian có hạn luận văn chưa thể nghiên cứu, giải hết vấn đề Hiện đề tài nhiều hướng để phát triển thêm: - Xem xét đến hợp giải logic có kiểu miền chân lý đa trị tổng quát - Nghiên cứu tiếp logic ngôn ngữ, với logic vị từ bậc sở Tài liệu tham khảo [1] Nguyen Cat Ho and Huynh Van Nam, An algebraic approach to linguistic hedges in Zadeh’s fuzzy logic, Japan advanced institute of science and technology [2] Tran Dinh Khang and Nguyen Cat Ho and Huynh Van Nam and Nguyen Hai Chau (1999), Hedge algebras,linguistic-valued logic and their application to fuzzy reasoning, World scientific publishing company [3] Đỗ Khắc Phúc (2011), Đồ án tốt nghiệp, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội [4] Dana Smutna-Hlinena and Peter Vojtas (2004), Graded many-valued resolution with aggregation [5] Le Van Hung Le, Fei Liu, Tran Dinh Khang, “Fuzzy Linguistic Logic Programming and its Applications ”, Proceedings of the 4th international conference on Intelligent Computing: Advanced Intelligent Computing Theories and Applications - with Aspects of Artificial Intelligence - Shanghai, China ... tự dựa cấu trúc dàn đại số gia tử mịn hóa So sánh định nghĩa đại số gia tử đại số gia tử mịn hóa ta thấy đại số gia tử mịn hóa lớp nghiên cứu đại số gia tử, với miền giá trị chân lý thiết lập dựa. .. mở tiềm lớn xây dựng logic mệnh đề đa trị với miền giá trị chân lý miền giá trị đại số gia tử mịn hóa Chương Logic mệnh đề với miền giá trị chân lý sinh đại số gia tử mịn hóa Trong phần này, ta... thuyết đại số gia tử, đại số gia tử mịn hóa dựa dàn phân phối tự sinh gia tử, sau tương ứng logic có miền chân lý đại số gia tử đối xứng tuyến tính logic có miền chân lý đại số gia tử mịn hóa đối