Nguyễn Đức Thụy Lien Son High School Mặt cầu " Học cũng có ích nh trồng cây, mùa xuân đợc hoa , mùa thu đợc quả". Nhạn Thị Gia Huấn Kiến thức cần nhớ: Định nghĩa: Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm I cố định một khoảng không đổi R > 0, gọi là mặt cầu tâm I bán kính R. Kí hiệu: S(I, R) hoặc (S) Phơng trình mặt cầu: - Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R phơng trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x a y b z c R + + = - Phơng trình: 2 2 2 2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + = , 2 2 2 0A B C D+ + > hay viết lại là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x A y B z C A B C D+ + + + + = + + cũng là phơng trình của một mặt cầu có tâm ( ) ; ;I A B C và có bán kính là: 2 2 2 R A B C D= + + . - Phơng trình dạng: ( ) 2 2 2 2 2 2 0A x y z Bx Cy Dz E+ + + + + + = , với 0A , 2 2 2 0B C D AE+ + > cũng là phơng trình của một mặt cầu. Giao của mặt cầu và mặt phẳng: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho: Mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz D + + + = và mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 S : x a y b z c R + + = Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I(a; b; c) của ( ) S trên ( ) thì IH là khoảng cách từ I đến ( ) : Vậy ( ) ( ) , 2 2 2 Aa Bb Cc D IH d I A B C + + + = = + + - Nếu IH < R thì ( ) ( ) ( ) = = 2 2 S C ;H r R IH , phơng trình của ( ) C là: ( ) ( ) ( ) + + + = + + = 0 2 2 2 2 Ax By Cz D x a y b z c R - Nếu IH = R thì ( ) ( ) { } S = H và ( ) là tiếp diện của mặt cầu ( ) S tại H. - Nếu IH > R thì ( ) ( ) S = . Một số bài toán liên quan: 1. Lập phơng trình mặt cầu tâm I(2; 2; -3) bán kính bằng 3. 2. Lập phơng trình mặt cầu đi qua điểm A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và tâm I Ox . ĐS: ( ) 2 2 2 10 50x y z + + = 3. Lập phơng trình mặt cầu đi qua điểm A(3; 1; -1) và tâm I(1; 2; -1). 4. Cho hai điểm A(-5; -1; 2), B(3; -1; -4). Viết phơng trình mặt cầu đờng kính AB. 5. Lập phơng trình mặt cầu (S) biết: a. Tâm I(2; 1; -1), bán kính bằng 4. b. Đi qua điểm A(2; 1; -3) và tâm I(3; -2; -1). c. Đi qua điểm ( ) 1;3;0A , ( ) 1;1;0B và tâm I Ox . d. Hai đầu đờng kính là ( ) 1;2;3A , ( ) 3;2; 7B . 6. Lập phơng trình mặt cầu đi qua điểm ( ) ( ) ( ) 0;1;0 , 1;0;0 , 0;0;1A B C và tâm I nằm trên mặt phẳng (P): 3 0x y z+ + = . ĐS: 2 2 2 2 2 2 1 0x y z x y z+ + + + + = . " Ngọc bất trác bất thành khí. Nhân bất học bất tri lí". Tam Tự Kinh _______________________________________________________________________________________ Written by Thuy Nguyen Duc "Có vất vả mới thanh nhàn. Không dng ai dễ cầm tàn che cho". Nguyễn Đức Thụy Lien Son High School Mặt cầu " Cuộc sống rất ngắn ngủi. Vì vậy chúng ta không nên tranh cãi quá nhiều. Hãy làm việc". Lỗ Tấn 7. Cho mặt cầu (S) có phơng trình: 2 2 2 2 4 4 0x y z x y z+ + = . a. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu. b. Gọi A, B, C lần lợt là giao điểm (khác gốc toạ độ) của mặt cầu với các trục Ox, Oy, Oz. Viết phơng trình mặt phẳng (ABC). c. Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (ABC). Xác định toạ độ điểm H. ĐS: a. Tâm I(1;2;2), R=3; b. 2x+y+z-4=0; c. H 1 5 5 ; ; 3 3 3 ữ 8. Cho họ mặt cong ( ) m S có phơng trình ( ) m S : 2 2 2 2 2 2 4 8 4 0x y z m x my m+ + + = a. Tìm điều kiện của m để ( ) m S là một họ mặt cầu. b. CMR tâm của họ ( ) m S luôn nằm trên một parabol (P) cố định trong mặt phẳng Oxy khi m thay đổi. ĐS: a. ( ) m S luôn là phơng trình mặt cầu với mọi m; b. Tâm 2 ( ) : 4 m I P y x = 9. Cho hai đờng thẳng ( ) ( ) 1 2 ;d d có phơng trình ( ) 1 d : 2 4 x t y t z = = = ( ) 2 d : 3 0 4 4 3 12 0 x y x y z + = + + = a. Chứng minh rằng ( ) 1 d và ( ) 2 d chéo nhau. b. Tính khoảng cách giữa ( ) 1 d và ( ) 2 d . c. Lập phơng trình mặt cầu (S) có đờng kính là đoạn vuông góc chung của ( ) 1 d và ( ) 2 d . ĐS: b. 4; c. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 4x y z + + = 10. Cho hai đờng thẳng ( ) ( ) 1 2 ;d d có phơng trình ( ) 1 d : 2 1 2 x t y t z t = + = = ( ) 2 d : 2 2 0 3 0 x z y + = = a. Chứng minh rằng ( ) 1 d và ( ) 2 d chéo nhau. b. Tính khoảng cách giữa ( ) 1 d và ( ) 2 d . c. Lập phơng trình mặt cầu (S) có đờng kính là đoạn vuông góc chung của ( ) 1 d và ( ) 2 d . d. Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng cách đều ( ) 1 d và ( ) 2 d . 11. Viết phơng trình mặt cầu (S) biết: a. Tâm I (1; 2; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 3x-4y-10=0. b. Bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x+2y+z+3=0 tại điểm M(-3; 1; 1). a. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 9x y z + + = ;b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 : 1 3 2 9; : 5 1 9 1 2 S x y z S x y z+ + + = + + + + = . 12. Viết phơng trình mặt cầu (S) biết: a. Tâm I (1; 2; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 6x-3y+2z-11=0. b. Bán kính bằng 9 và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1; 1; -3). c. Tâm I (1; 4; -7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 6x+6y-7z+42=0. 13. Cho (d): 0 1 x t y t R z = = = và hai mặt phẳng ( ) : 3 4 3 0 1 P x y+ + = , ( ) : 2 2 39 0 2 P x y z+ + = Viết phơng trình mặt cầu có tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng ( ) ( ) 1 2 ;P P . ĐS: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 : 191 1 12996; : 11 1 36 1 2 S x y z S x y z+ + + + = + + + + = . _______________________________________________________________________________________ Written by Thuy Nguyen Duc "Có vất vả mới thanh nhàn. Không dng ai dễ cầm tàn che cho". Nguyễn Đức Thụy Lien Son High School Mặt cầu " Nghe rồi sẽ quên, nhìn rồi sẽ nhớ nhng chỉ có làm là sẽ hiểu". Ngạn ngữ Trung Quốc " Nhờ có làm việc những giọt lệ chua cay nhất cũng sẽ cạn đi". Logauve 14. Lập phơng trình mặt cầu có tâm thuộc đờng thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng ( ) ( ) 1 2 ;P P , biết: (d): 2 4 7 0 4 5 14 0 x y z x y z + = + + = , ( ) : 2 2 2 0 1 P x y z+ = , ( ) : 2 2 4 0 2 P x y z+ + = ĐS: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 3 3 1x y z+ + + = 15. Cho đờng thẳng (d) và hai mặt phẳng ( ) ( ) 1 2 ;P P biết: (d): 1 1 2 1 2 x y z + = = , ( ) : 2 5 0 1 P x y z+ + = , ( ) : 2 2 0 2 P x y z + + = a. Gọi A, B là giao điểm của (d) với ( ) ( ) 1 2 ` P va P . Tính độ dài đoạn AB. b. Viết phơng trình mặt cầu có tâm I trên đờng thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng ( ) 1 P và ( ) 2 P . 16. Viết phơng trình mặt cầu có tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng ( ) ( ) 1 2 ` P va P , biết: (d): 1 0 1 0 x y z x y z + + + = + = , ( ) : 2 2 3 0 1 P x y z+ + + = , ( ) : 2 2 7 0 2 P x y z+ + + = ĐS: ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 3 1 3 9 x y z + + + + = . 17. Cho đờng thẳng (d) (d): 1 2 3 1 1 x y z + = = và mặt phẳng (P): 2 2 2 0x y z+ + = . Viết phơng trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đờng thẳng (d), tiếp xúc với mạt phẳng (P) và có bán kính bằng 1. ĐS: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 9 1 2 2 2 : 2 3 1 1; : 1 1 2 5 5 5 S x y z S x y z+ + + + + = + + + = ữ ữ ữ 18. Cho mặt phẳng (P): 16 15 12 75 0x y z + = . a. Viết phơng trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ, tiếp xúc với mặt phẳng (P). b. Tìm toạ độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S). c. Tìm điểm đối xứng của gốc toạ độ O qua mặt phẳng (P). ĐS: a. 2 2 2 9x y z+ + = , b. 48 45 36 ; ; 25 25 25 H ữ , c. 96 90 72 ; ; 25 25 25 O ữ . 19. Lập phơng trình mặt cầu (S) có tâm tại giao điểm I của mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) sao cho mặt phẳng (Q) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có diện tích 20 , biết: ( ) ( ) ( ) 1 : 3 , ; : 2 3 0; : 2 2 1 0 2 x t d y t t R P x y z Q x y z z t = + = + = + = = + 20. Lập phơng trình mặt cầu có tâm thuộc đờng thẳng (d) và cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là đờng tròn lớn có bán kính bằng 4, biết: ( ) ( ) 1 0 : , : 0 2 0 x z d P y z y + = = = " Không những phải học ở sách mà còn phải học ở cuộc sống nữa". N. Crupxcaia (Nga) Có một nghề bụi phấn dính đầy tay Ngời ta bảo đó là nghề trong sạch nhất Có một nghề không trồng cây trên đất _______________________________________________________________________________________ Written by Thuy Nguyen Duc "Có vất vả mới thanh nhàn. Không dng ai dễ cầm tàn che cho". Nguyễn Đức Thụy Lien Son High School Mặt cầu Mà nở cho đời những đoá hoa thơm . _______________________________________________________________________________________ Written by Thuy Nguyen Duc "Có vất vả mới thanh nhàn. Không dng ai dễ cầm tàn che cho". . trình mặt cầu đi qua điểm A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và tâm I Ox . ĐS: ( ) 2 2 2 10 50x y z + + = 3. Lập phơng trình mặt cầu đi qua điểm A(3; 1; -1) và tâm I (1; . I (1; 2; -1) . 4. Cho hai điểm A(-5; -1; 2), B(3; -1; -4). Viết phơng trình mặt cầu đờng kính AB. 5. Lập phơng trình mặt cầu (S) biết: a. Tâm I(2; 1; -1) , bán