BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI –––––––––––––––––––––––– NGUYỄN VĂN QUYỀN DAO ĐỘNG HỖN ĐỘN CỦA DẦM PHI TUYẾN Chuyên ngành: Cơ học kỹ thuật LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC CƠ HỌC KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH NGUYỄN VĂN KHANG HÀ NỘI – 2011 MỤC LỤC Danh mục hình vẽ sử dụng luận văn I Danh mục bảng biểu sử dụng luận văn II Lời nói đầu III Chương Thiết lập phương trình dao động uốn dầm phi tuyến §1 Động học môi trường liên tục §2 Trạng thái ứng suất §3 Trạng thái biến dạng, quan hệ biến dạng tỷ đối dịch chuyển §4 Thiết lập phương trình dao động uốn phi tuyến dầm kể đến tính phi tuyến hình học16 §5 Thiết lập phương trình dao động uốn phi tuyến dầm tính đến quy luật đàn hồi phi tuyến 22 §6 Thiết lập phương trình dao động uốn phi tuyến dầm chịu tác dụng lực dọc đầu dầm 26 6.1 Các phương trình cân động lực dầm 26 6.2 Một số giả thiết công thức gần 27 6.3 Phương trình dao động uốn phi tuyến dầm đàn hồi 30 6.4 Một số quy luật phi tuyến dầm 33 Chương Một số phương pháp định lượng để nhận biết dao động hỗn độn 37 §1 Phương pháp ánh xạ Poincaré 37 1.1 Ánh xạ rời rạc 37 1.2 Ánh xạ Poincaré 40 §2 Phương pháp phân tích phổ Fourier 43 2.1 Chuỗi Fourier 43 2.2 Phép biến đổi Fourier 45 2.3 Nhận dạng dao động phổ Fourier 54 §3 Sự ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân thường 55 3.1 Khái niệm ổn định 55 3.2 Sự ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 57 3.3 Sự ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân phi tuyến phương pháp xấp xỉ bậc 60 §4 Số mũ đặc trưng Lyapunov 61 4.1 Số mũ đặc trưng Lyapunov hàm số 61 4.2 Số mũ đặc trưng Lyapunov hàm ma trận hàm vectơ 65 4.3 Phổ hệ phương trình vi phân tuyến tính thuận 67 4.4 Điều kiện đủ ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 69 4.5 Phương pháp số tính số mũ đặc trưng Lyapunov 70 Chương Dao động hỗn độn dầm đàn nhớt phi tuyến 77 §1 Thiết lập phương trình dao động 77 §2 Biến đổi phương trình đạo hàm riêng dạng phương trình vi phân thường 80 2.1 Kích động điều hòa phân bố 83 2.2 Lực kích động tập trung điều hòa 84 2.3 Lực di động có trị số không đổi 86 §3 Mô số dao động hỗn độn 87 Kết luận kiến nghị 108 Tài liệu tham khảo 109 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN Trang Hình 1.1 Hình 1.2 Hình 1.3 Hình 1.4 Hình 1.5 Hình 1.6 Hình 1.7 12 Hình 1.8 13 Hình 1.9 17 Hình 1.10 23 Hình 1.11 26 Hình 1.12 27 Hình 1.13 29 Hình 1.14 30 Hình 2.1 37 Hình 2.2 40 Hình 2.3 41 Hình 2.4 49 Hình 2.5 54 Hình 2.6 54 Hình 2.7 56 Hình 2.8 56 Hình 2.9 57 Hình 2.10 58 Hình 3.1 77 Hình 3.2 84 Hình 3.3 86 Hình 3.4 88 Hình 3.5 Trường hợp p0 = 164 90 Hình 3.6 Trường hợp p0 = 819 92 I Hình 3.7 Trường hợp p = 1910 94 Hình 3.8 Trường hợp p = 2000 96 Hình 3.9 Trường hợp p = 2730 98 Hình 3.10 Trường hợp p0 = 4680 100 Hình 3.11 Trường hợp p0 = 6000 102 Hình 3.12 Trường hợp p0 = 6500 104 Hình 3.13 Trường hợp p0 = 7000 106 DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN Trang Bảng 2.1 52 Bảng 3.1 89 II LỜI NÓI ĐẦU Trong vài thập niên gần đây, chứng kiến bùng nổ việc nghiên cứu Động lực học phi tuyến Trong dao động hỗn độn đặc biệt quan tâm Phương trình trạng thái hệ động lực thường hệ phương trình vi phân với nhiều tham số Trong luận văn giới hạn xét hệ động lực chứa tham số Hiện tượng dao động hỗn độn xảy cho tham số thay đổi Dao động hỗn độn nhiều nhà toán học, học vật lý nghiên cứu [1, 4, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18] có nhiều công trình công bố [3, 8, 9, 10, 19] Trong luận văn này, tác giả trình bày số vấn đề nghiên cứu dao động hỗn độn dầm phi tuyến Nội dung luận văn gồm ba chương Chương trình bày thiết lập phương trình dao động uốn dầm phi tuyến Trong có trình bày động học môi trường liên tục, trạng thái ứng suất, trạng thái biến dạng, quan hệ biến dạng tỷ đối dịch chuyển lý thuyết đàn hồi tuyến tính lý thuyết đàn hồi phi tuyến Tiếp thiết lập phương trình dao động uốn phi tuyến dầm tính đến tính phi tuyến hình học, quy luật đàn hồi phi tuyến chịu tác dụng lực dọc đầu dầm Chương hai trình bày số phương pháp định lượng để nhận biết dao động hỗn độn Đó phương pháp ánh xạ Poincaré, phương pháp phân tích phổ Fourier, phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov Chương ba trình bày dao động hỗn độn dầm đàn nhớt phi tuyến Chương trình bày cách thiết lập phương trình đạo hàm riêng phi tuyến dầm, sau biến đổi phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân thường dầm chịu lực kích động phân bố điều hòa dọc trục, lực tập trung điều hòa lực di động có trị số không đổi Sau mô số dao động phương pháp định lượng chương Tác giả xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Khang hướng dẫn tận tình thực luận văn bồi dưỡng cho kiến thức có giá trị Động lực học phi tuyến hệ đàn hồi Tác giả xin chân thành cảm ơn Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ Khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội tạo nhiều điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn III Dao động hỗn độn hệ đàn hồi lĩnh vực khoa học phức tạp Vì thời gian hạn hẹp trình độ giới hạn nên luận văn chắn có nhiều khuyết, nhược điểm Tác giả mong nhận những ý kiến đóng góp người quan tâm IV LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu khoa học riêng chưa công bố công trình khác Các số liệu kết luận văn trung thực Tác giả luận văn Nguyễn Văn Quyền Chương THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM PHI TUYẾN Trong chương này, trình bày số kiến thức lý thuyết đàn hồi phi tuyến cần thiết để sử dụng thiết lập phương trình dao động dầm đàn hồi phi tuyến Nội dung chương tập trung vào việc thiết lập phương trình dao động dầm phi tuyến tính đến tính chất phi tuyến vật lý tính chất phi tuyến hình học §1 ĐỘNG HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC 1.1 Phương trình chuyển động Như biết giáo trình Cơ học kỹ thuật, phương trình chuyển động chất điểm hệ tọa độ Descartes vuông góc có dạng (1.1) x = x (t ), y = y (t ), z = z (t ) Trong hệ tọa độ cong bất kỳ, phương trình chuyển động chất điểm có dạng x = x 1(t ), x = x (t ), x = x (t ) (1.2) Môi trường liên tục (MTLT) tập hợp liên tục chất điểm Để mô tả chuyển động môi trường liên tục, ta nêu nguyên tắc cá thể hóa điểm riêng biệt hoàn toàn mặt hình học môi trường Từng điểm riêng biệt P môi trường liên tục xác định tọa độ thời điểm ban đầu: - Khi t = t : (a, b, c ) tọa độ ban đầu điểm P - Khi t tùy ý: ( x , y , z ) tọa độ điểm P thời điểm t Như thế, chuyển động điểm môi trường liên tục xác định phương trình ìï x = x (a, b, c, t ) ïï ïí y = y (a, b, c, t ) ïï ïï z = z (a, b, c, t ) î (1.3) - Nếu phương trình (1.3), a, b, c giá trị xác định, t đại lượng biến đổi phương trình (1.3) mô tả quy luật chuyển động điểm xác định môi trường liên tục - Nếu (1.3), t = t xác định, a, b, c biến thiên phương trình (1.3) cho ta biết quy luật phân bố điểm môi trường liên tục thời điểm t = t1 - Nếu (1.3), a, b, c t biến thiên phương trình (1.3) mô tả quy luật chuyển động môi trường liên tục Các biến a, b, c gọi biến Lagrange 1.2 Véctơ dịch chuyển r r Ký hiệu r = r (x , y , z ) véctơ xác định vị z trí chất điểm P thời điểm t , r r r0 = r0 (a, b, c ) véctơ xác định vị trí điểm r r0 (t ) r ez (1.4) r ey O gọi véctơ dịch chuyển điểm P khoảng thời gian D t = t - t P P0 P thời điểm t = t Khi đó, véctơ r r r s = r - r0 r s r r (t ) y r ex x Hình 1.1 r r r Ký hiệu ex , ey , ez véctơ đơn vị r trục x , y , z , hình chiếu véctơ s lên trục tọa độ x , y z u , v w Ta có r r r r s = uex + vey + wez Trong (1.5) u = x - a, v = y - b, z = w - c r Các đại lượng u , v, w thành phần véctơ dịch chuyển s Từ (1.5), ta suy phương trình xác định vị trí điểm môi trường liên tục x = a + u (x , y , z , t ) (1.6) y = b + v (x , y , z , t ) z = c + w (x , y , z , t ) 1.3 Véctơ vận tốc gia tốc Vận tốc chất điểm môi trường liên tục xác định công thức sau d) Trường hợp p0 = 2000 96 97 e) Trường hợp p0 = 2730 98 99 f) Trường hợp p0 = 4680 100 101 g) Trường hợp p0 = 6000 102 103 h) Trường hợp p0 = 6500 104 105 i) Trường hợp p0 = 7000 106 107 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Dao động hỗn độn hệ đàn hồi lĩnh vực khoa học thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học có uy tín giới Việt Nam Luận văn tập trung nghiên cứu dao động hỗn độn dầm phi tuyến Đồ án sử dụng phần mềm MATLAB dao động hỗn độn dầm đàn nhớt phi tuyến Trong chương một, trình bày động học môi trường liên tục, trạng thái ứng suất, trạng thái biến dạng, quan hệ biến dạng tỷ đối dịch chuyển lý thuyết đàn hồi tuyến tính lý thuyết đàn hồi phi tuyến Tiếp thiết lập phương trình dao động uốn phi tuyến dầm tính đến tính phi tuyến hình học, quy luật đàn hồi phi tuyến chịu tác dụng lực dọc đầu dầm Chương thiết lập cách tổng quát phương trình dao động uốn phi tuyến dầm chịu tác dụng lực dọc đầu dầm Đây đóng góp lớn luận văn việc thiết lập phương trình dao động phi tuyến hệ đàn hồi Chương hai trình bày số phương pháp định lượng để nhận biết dao động hỗn độn Đó phương pháp ánh xạ Poincaré, phương pháp phân tích phổ Fourier, phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov Đây phương pháp số hay sử dụng nghiên cứu dao động hỗn độn gần Chương ba trình bày dao động hỗn độn dầm đàn nhớt phi tuyến Chương trình bày cách thiết lập phương trình đạo hàm riêng phi tuyến dầm, sau biến đổi phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân thường dầm chịu lực kích động phân bố điều hòa dọc trục, lực tập trung điều hòa lực di động có trị số không đổi Sau mô số dao động phương pháp định lượng chương trường hợp biên độ lực kích động tham số điều khiển Lý thuyết dao động hỗn độn có nhiều vấn đề nghiên cứu mở phương pháp xây dựng biểu đồ rẽ nhánh (bifurcations method), phương pháp thứ nguyên phân hình ( Fractal dimension ) phương pháp Bắn (shooting method) 108 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khang (2010) Bài giảng Động lực học phi tuyến ứng dụng Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội [2] Nguyễn Văn Khang (2005) Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4) NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [3] Nguyen Van Khang, Nguyen Hoang Duong (2007) On the transition from regular to chaotic behaviours in the two degrees of freedom dynamical systems Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol 39, No 3, pp 353-374, Ha Noi [4] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng (2005) Nhập môn Động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn NXB Đại học quốc gia, Hà Nội [5] Lê Quang Minh, Nguyễn Văn Vượng (2007) Sức bền vật liệu, tập (in lần thứ 2) NXB Giáo dục Việt Nam [6] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phụ (2010) Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định NXB Giáo dục, Hà Nội [7] Nguyễn Thị Vân Hương (2007) Dao động uốn dầm có ứng suất trước tác dụng vật thể di động Luận văn thạc sỹ khoa học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội [8] Nguyễn Thị Thu Hương (2004) Dao động hỗn loạn số hệ học đơn giản Luận văn thạc sỹ khoa học, Trường Đại học khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Nguyễn Hoàng Dương (2007) Sự chuyển đổi trạng thái dao động quy dao động hỗn loạn số hệ học Đồ án tốt nghiệp đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội [10] Nguyễn Văn Quyền (2009) Rẽ nhánh homoclinic dao động hỗn độn số mô hình học Đồ án tốt nghiệp đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội [11] H Kauderer (1958) Nichtlineare Mechanik Springer-Verlag, Berlin [12] Yi-Yuan Yu (1996) Vibrations of Elastic Plates Springer-Verlag, New York [13] F.C Moon (2004) Chaotic Vibration ( 2nd Edition ) John Wiley and Sons, New Jersey [14] T Kapitaniak (1998) Chaos for Engineers Springer, Berlin 109 [15] S.H Strogatz (1994) Nonlinear Dynamics and Chaos Addison – Wesley, Reading [16] D.W Jordan, P Smith (2007) Nonlinear Ordinary Differential Equations : An Introduction for Scientists and Engineers (4th Edition) Oxford University Press [17] D.W Jordan, P Smith (2007): Nonlinear Ordinary Differential Equations : Problems and Solutions Oxford University Press [18] A.H Nayfeh, B Balachandran (1995) Applied Nonlinear Dynamics John Wiley and Sons, New Jersey [19] J Argyris, V Belubekian, N Ovakimyan, M Minasyan (1996) Chaotic Vibrations of a Nonlinear Viscoelastic Beam Chaos, Solitons & Fractals, Vol 7, No 2, pp 151-163 110 ... dao ng un phi tuyn ca dm k n tớnh phi tuyn hỡnh hc16 Đ5 Thit lp phng trỡnh dao ng un phi tuyn ca dm tớnh n quy lut n hi phi tuyn 22 Đ6 Thit lp phng trỡnh dao ng un phi tuyn ca... Poincarộ 41 tk Chng DAO NG HN N CA DM N NHT PHI TUYN Trong chng ny, ta s thit lp phng trỡnh dao ng un ca dm phi tuyn tớnh n tớnh cht phi tuyn vt lý ca vt liu n nht, tớnh phi tuyn hỡnh hc v lc... Chng THIT LP PHNG TRèNH DAO NG UN CA DM PHI TUYN Trong chng ny, trỡnh by mt s kin thc c bn ca lý thuyt n hi phi tuyn cn thit s dng thit lp phng trỡnh dao ng ca dm n hi phi tuyn Ni dung chớnh