Lôgarit tự nhiên (đổi hướng từ Logarit tự nhiên Mục lục Lôgarit tự nhiên 1.1 Lịch sử 1.2 Nguồn gốc thuật ngữ logarit tự nhiên 1.3 Những định nghĩa 1.4 Tính chất 1.5 Logarit tự nhiên giải tích 1.6 Giá trị số 1.6.1 Độ xác cao 1.7 Xem thêm 1.8 am khảo 1.9 Liên kết Sốe 2.1 Lịch sử 2.2 Ứng dụng 2.2.1 Bài toán lãi suất kép 2.2.2 Phép thử Bernoulli 2.2.3 Derangement Số e giải tích 2.3.1 2.3 2.4 Các đặc điểm khác Tính chất 2.4.1 Hàm tựa-mũ 2.4.2 Lý thuyết số 2.4.3 Số phức Biểu diễn số e 2.5.1 Biểu diễn số e dạng liên phân số 2.5.2 Số chữ số thập phân biết 2.6 Số e văn hóa máy tính 2.7 Xem thêm 2.8 Ghi 2.9 am khảo 2.10 Liên kết 2.11 Nguồn, người đóng góp, giấy phép cho văn hình ảnh 2.5 i ii MỤC LỤC 2.11.1 Văn 2.11.2 Hình ảnh 2.11.3 Giấy phép nội dung Chương Lôgarit tự nhiên ln(xy) = ln(x) + ln(y) Do đó, hàm số logarit hàm số đơn điệu từ tập số thực dương phép nhân vào tập số thực phép cộng Được miêu tả: -2 ln : R+ → R Logarit định nghĩa cho số dương khác 1, không số e; nhiên, logarit số khác khác hàm số nhân liên tục từ logarit tự nhiên thường định nghĩa thuật ngữ sau Logarit sử dụng để tính phương trình có số mũ biến số Ví dụ, Logarit sử dụng để tính chu kì bán rã, số phân rã, thời gian chưa biết vấn đề phân rã chứa mũ Logarit quan trọng nhiều lĩnh vực toán học khoa học sử dụng tài để giải vấn đề liên quan đến lãi suất kép -4 -6 Đồ thị hàm số logarit tự nhiên Logarit tự nhiên (còn gọi logarit Nêpe) logarit số e nhà toán học John Napier sáng tạo Ký hiệu là: ln(x), logₑ(x) viết log(x) Logarit tự nhiên số x bậc số e để số e lũy thừa lên 1.1 Lịch sử x Tức ln(x)=a ea =x Ví dụ, ln(7,389) e2 =7.389… Trong logarit tự nhiên e Người đề cập đến logarit tự nhiên Nicholas logarit tự nhiên Mercator tác phẩm Logarithmotechnia công Logarit tự nhiên xác định với số thực a (trừ số bố vào năm 1668, giáo viên toán John Speidell 0) vùng đồ thị y=1/x từ đến a Sự đơn giản biên soạn logarit tự nhiên Ban đầu định nghĩa sánh với công thức khác kéo theo gọi logarit hyperbol, tương ứng với diện logarit tự nhiên, dẫn đến thuật ngữ “tự nhiên” Định tích hyperbol Nó gọi nghĩa mở rộng đến số phức, giải thích logarit Nêpe, ý nghĩa ban đầu thuật ngữ khác Hàm số logarit tự nhiên, coi hàm số có nghĩa biến thực, hàm số hàm mũ Điều dẫn đến đồng nhất: 1.2 Nguồn gốc thuật ngữ logarit tự nhiên eln(x) = x x > Ban đầu, logarit tự nhiên coi logarit số 10, số “tự nhiên” số e Nhưng theo toán học, số ln(e ) = x 10 ý nghĩa đặc biệt Ứng dụng văn Như tất logarit, logarit tự nhiên biến nhân thành hóa - làm sở cho nhiều hệ thống đánh số xã hội, có cộng: khả phát sinh từ đặc trưng ngón tay x CHƯƠNG LÔGARIT TỰ NHIÊN người Các văn hóa khác dựa hệ thống số Số e sau định nghĩa số thực để ln đếm họ cho lựa chọn chẳng hạn 5, 8, 12, 20, (a) = 60 Ngoài ra, hàm số mũ định nghĩa cách Logₑ logarit tự nhiên bắt nguồn sử dụng chuỗi vô hạn, logarit tự nhiên nghĩa xuất thường xuyên toán học Ví dụ xem hàm ngược nó, tức là, ln hàm số cho xét vấn đề phân biệt hàm lôgarit: eln(x) = x Vì phạm vi hàm mũ đối số thực tất số thực dương hàm số mũ hàm tăng, nên hàm log xác định cho tất cảsố ( ) d d 1 d dương x logb (x) = ln x = ln x = dx dx ln(b) ln(b) dx x ln(b) Nếu số b e, đạo hàm đơn giản 1/x, x=1 đạo hàm Một hướng khác cho logarit số e logarit tự nhiên định nghĩa dễ dàng thuật ngữ tích phân đơn giản hay dãy Taylor điều lại không logarit khác 1.4 Tính chất • ln(1) = • ln(−1) = iπ • ln(x) < ln(y) Những chiều hướng sau tự nhiên ứng dụng tính toán Như ví dụ sau, có số dãy số đơn giản liên quan đến logarit tự nhiên Pietro Mengoli Nicholas Mercator gọi logarithmus naturalis vài thập kỷ trước Isaac Newton Gofried Leibniz phát triển phép tính • h 1+h for 00 Cho ln(x) vào x>1, giá trị x gần 1, tốc độ hội tụ nhanh Những đồng kết hợp với logarit tự nhiên đẩy lên để khai thác điều này: Kỹ thuật sử dụng trước máy tính, cách tham khảo bảng số thực thao tác 1.6.1 Độ xác cao Để tính logarit tự nhiên với nhiều chữ số xác, hướng tiếp cận dãy số Taylor hiệu hội tụ chậm Vì vậy, nhà toán học thay hướng sử dụng phương pháp Newton để đảo ngược hàm mũ để có hội tụ dãy nhanh Cách tính khác cho kết có độ xác cao công thức: ln x ≈ π − m ln 2M (1, 4/s) với M dãy truy hồi trung bình cộng trung bình nhân 4/s và: s = x 2m > 2p/2 , 1.9 Liên kết • Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BeerExplained Chương Sốe Hằng số toán học e số logarit tự nhiên ỉnh thoảng gọi số Euler, đặt theo tên nhà toán học ụy Sĩ Leonhard Euler, số Napier để ghi công nhà toán học Scotland John Napier người phát minh logarit (e không nhầm lẫn với γ số Euler-Mascheroni, gọi đơn giản số Euler) Số e số quan trọng toán học [1] Nó có số định nghĩa tương đương, số chúng đưa Lý xác cho việc sử dụng chữ e chưa biết, chữ từ exponential (tiếng Anh: nghĩa thông thường tăng nhanh chóng, nghĩa toán học hàm mũ) Một khả khác Euler sử dụng nguyên âm sau a, chữ mà ông sử dụng cho số khác, ông lại sử dụng nguyên âm chưa rõ Dường Euler sử dụng chữ chữ đầu tên ông, ông người khiêm tốn, cố gắng tuyên dương đắn công trình người khác.[2] Số có tham gia vào đẳng thức Euler Do e số siêu việt, số vô tỉ, giá trị đưa cách xác dạng số thập phân hữu hạn vô hạn tuần hoàn phân 2.2 Ứng dụng số liên tục hữu hạn hay tuần hoàn Nó số thực biểu diễn phân số liên tục vô hạn không tuần hoàn Giá trị số e tới 20 chữ số 2.2.1 Bài toán lãi suất kép thập phân là: Jacob Bernoulli khám phá số nghiên cứu vấn đề lãi suất kép 2,71828 18284 59045 23536… Một ví dụ đơn giản tài khoản bắt đầu với $1.00 trả 100% lợi nhuận năm Nếu lãi suất trả lần, đến cuối năm giá trị $2.00; nều lãi 2.1 Lịch sử suất tính cộng hai lần năm, $1 = $2.25 Lãi kép Chỉ dẫn tham khảo tới số xuất nhân với 1.5 hai lần, ta $1.00×1.5 hàng quý ta $1.00×1.25 = $2.4414…, lãi kép vào 1618 bảng phụ lục công trình 12 hàng tháng ta $1.00×(1.0833…) = $2.613035… logarit John Napier ế nhưng, công trình không chứa số e, mà đơn giản danh Bernoulli để ý thấy dãy tiến tới giới hạn với sách logarit tự nhiên tính toán từ số e kì lãi kép ngày nhỏ dần Lãi kép hàng tuần ta Có thể bảng soạn William Oughtred $2.692597… lãi kép hàng ngày ta Chỉ dẫn cho biết số e phát $2.714567…, thêm hai cent Gọi n số kì lãi Jacob Bernoulli, tìm giá trị biểu thức: kép, với lãi suất 1/n kì, giới hạn n lớn số mà ta gọi số e; với lãi kép liên tục, giá trị tài khoản tiến tới $2.7182818… Tổng quát )n ( hơn, tài khoản mà bắt đầu $1, nhận lim + (1+R) đô-la lãi đơn, nhận eR đô-la với lãi kép n→∞ n liên tục Việc sử dụng ta biết số, biểu diễn chữ b, liên lạc thư từ Gofried Leibniz Christiaan Huygens 1690 1691 2.2.2 Phép thử Bernoulli Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ e cho số vào 1727, việc sử dụng e lần ấn Số e có ứng dụng lý thuyết xác suất, Mechanica Euler (1736) Trong phát triển theo cách mà không hiển nhiên liên năm sau số nhà nghiên cứu sử dụng chữ c, quan đến độ tăng hàm mũ Giả sử bạc e trở nên phổ biến cuối trở thành tiêu chuẩn chơi slot machine, triệu lần, kỳ vọng thắng 2.3 SỐ E TRONG GIẢI TÍCH lần Khi xác suất mà bạc không thắng (xấp xỉ) 1/e d Đây ví dụ phép thử Bernoulli Mỗi lần dx loge x = x bạc chơi lượt, có thêm triệu hội thắng Việc chơi triệu lần mô hình hóa qua Logarit trường hợp đặc biệt gọi phân phối nhị thức, có liên hệ mật thiết với định lý nhị logarit tự nhiên (thường ký hiệu “ln”), dễ dàng lấy vi phân giới hạn chưa thức Xác suất thằng k lần thua lần lại xác định phải thực tính toán ( 6) 10 ( −6 )k 10 (1 − 10−6 )10 −k k Do có hai cách để chọn số đặc biệt a=e Một cách đặt cho đạo hàm hàm số ax ax Một cách khác đặt cho đạo hàm logarit số a 1/x Mỗi trường hợp đến lựa chọn thuận tiện để làm giải tích ực tế là, hai số khác lại một, số e Đặc biệt, xác suất không thắng lần (k=0) ( )106 1− 10 2.3.1 Các đặc điểm khác Số gần với giới hạn sau ho 1/e Một số đặc điểm khác số e: giới hạn dãy, khác chuỗi vô hạn, số khác tích phân Trên ta giới thiệu hai tính chất: ( )n 1 = lim − e n→∞ n 2.2.3 Số e số thực dương mà Derangement = et : Đạo hàm hàm số mũ số e hàm số d t dt e 2.3 Số e giải tích Lý để đưa số e, đặc biệt giải tích, để lấy vi phân tích phân hàm mũ logarit.[3] Một hàm mũ tổng quát y=ax có đạo hàm dạng giới hạn: d x ax+h − ax ax ah − ax a = lim = lim = ax h→0 h→0 dx h h ( Số e số thực dương mà d loge t = dt t Các tính ) chất khác sau chứng minh h atương − 1đương: lim h→0 h e giới hạn Số Giới hạn bên phải độc lập với biến x: phụ thuộc vào số a Khi số e, giới hạn tiến tới một, e định nghĩa phương trình: ( e = lim n→∞ d x e = ex dx 1+ n )n Số e tổng chuỗi vô hạn Do đó, hàm mũ với số e số trường hợp ∞ ∑ phù hợp để làm giải tích Chọn e, không số số 1 1 1 = + + + + + ··· khác, số hàm mũ làm cho tính toán chủ yếu e = n! 0! 1! 2! 3! 4! n=0 đạo hàm đơn giản nhiều Một lý khác đến từ việc xét số logarit a.[4] Xét n! giai thừa n định nghĩa đạo hàm logₐx giới hạn: Số e số thực dương mà ) ∫ e lim loga (11+ u) u→0 u dt = 1 t Một lần nữa, có giới hạn chưa xác định mà phụ thuộc vào số a, số e, giới hạn (nghĩa là, số e số mà diện tích hyperbol f (t) = 1/t từ tới e một) Vậy loga (x + h) − loga (x) d loga x = lim = h→0 dx h x ( CHƯƠNG SỐE 2.4 Tính chất 2.7 Xem thêm 2.4.1 Hàm tựa-mũ Số Pi 2.4.2 Lý thuyết số 2.8 Ghi Chứng minh e số vô tỉ Giả sử e số hữu tỉ, suy [1] Howard Whitley Eves (1969) An Introduction to the History of Mathematics Holt, Rinehart & Winston p e= q [2] O'Connor, J.J., and Roberson, E.F.; e MacTutor History of Mathematics archive: “e number e"; University of St Andrews Scotland (2001) Dựa vào công thức: e= [3] See, for instance, Kline, M (1998) Calculus: An intuitive and physical approach, Dover, section 12.3 “e Derived Functions of Logarithmic Functions.” ∞ ∑ 1 1 1 = + + + + + ··· n! 0! 1! 2! 3! 4! n=0 [4] is is the approach taken by Klein (1998) [5] New Scientist, 21-7-2007, tr 40 1 1 1 1 1 e.q! = ( + + +· · · ).q! = ( + + +· · ·+ ).q!+[6] Byte + Magazine, yển+6, số (tháng năm 1981) tr +·392) ·· 0! 1! 2! 0! 1! 2! q! q +“e (q + 1)(q + 2) (q + 1)(q +e 2)(q + 3) places Impossible Dream: Computing to 116,000 1 + (q+1)(q+2) + e.q! số nguyên dương, suy ra: q+1 (q+1)(q+2)(q+3) + · · · số nguyên dương 1 Mặt khác: q+1 + (q+1)(q+2) + (q+1)(q+2)(q+3) +··· < 1 1 + − + − + ≤ ≤ q+1 q+1 q+2 q+2 q+3 q+1 Suy điều mâu thuẫn Vậy e số vô tỉ 2.4.3 2.9 Tham khảo Số phức Biểu diễn số e dạng liên phân số e = [[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, , 1, 2n, 1, ]], e=2+ 2+ 1+ 1+ 2.10 Liên kết • Số e tới triệu chữ số thập phân và triệu chữ số thập phân • Những cách sử dụng ban đầu cho ký hiệu số • e the EXPONENTIAL - the Magic Number of GROWTH - Keith Tognei, University of Wollongong, NSW, Australia 1+ • An Intuitive Guide To Exponential Functions & e 4+ Như vây e số vô tỉ biểu diễn liên phân số lại phân phối theo quy luật tuyến tính: 2;1-21;1-4-1;1-6-1;1-8-1;… 2.5.2 [7] Notable Large Computations: E Alexander J Yee Cập nhật 7/3/2011 • Maor, Eli; e: e Story of a Number, ISBN 0-69105854-7 2.5 Biểu diễn số e 2.5.1 with a Personal Computer” Số chữ số thập phân biết 2.6 Số e văn hóa máy tính • Euler’s constant PlanetMath • E MathWorld • e Approximations: giá trị gần số e 2.11 NGUỒN, NGƯỜI ĐÓNG GÓP, VÀ GIẤY PHÉP CHO VĂN BẢN VÀ HÌNH ẢNH 2.11 Nguồn, người đóng góp, giấy phép cho văn hình ảnh 2.11.1 Văn • Lôgarit tự nhiên Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/L%C3%B4garit_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn?oldid=26578603 Người đóng góp: VolkovBot, Ptbotgourou, Tnt1984, TuHan-Bot, Cheers!-bot, MerlIwBot, Le Cam Van, GrouchoBot, Alphama, Makecat-bot, AlphamaBot, Hugopako, AlphamaBot2, Addbot, Jimmy Jefferson, Tuanminh01, TuanminhBot, Trantrongnhan100YHbot, Huỳnh Nhân-thập 11 người vô danh • Số e Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/S%E1%BB%91_e?oldid=26351041 Người đóng góp: aisk, Newone, JAnDbot, Nguyễn Kim Vỹ, VolkovBot, TXiKiBoT, Hoang448, Synthebot, SieBot, TVT-bot, Loveless, OKBot, PixelBot, Alexbot, Meotrangden, ieungu1nam, Luckas-bot, Future ahead, Ptbotgourou, Hihahihuc, Darkicebot, Xqbot, TobeBot, Tnt1984, TuHan-Bot, Wild Lion, DSisyphBot, FoxBot, Mjbmrbot, Cheers!-bot, MerlIwBot, Greenknight dv, GrouchoBot, AlphamaBot, Rotlink, Hugopako, Addbot, OctraBot, Tuanminh01, TuanminhBot, Én bạc AWB người vô danh 2.11.2 Hình ảnh • Tập_tin:Log-pole-x.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/55/Log-pole-x.svg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: own work (based on raster image uploaded on polish wiki.) Nghệ sĩ đầu tiên: Wojciech Muła • Tập_tin:Log.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Log.svg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: en wikipedia, uploaded by Elmextube who claims to be the author Nghệ sĩ đầu tiên: Elmextube • Tập_tin:Question_book-new.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Question_book-new.svg Giấy phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Chuyển từ en.wikipedia sang Commons Created from scratch in Adobe Illustrator Based on Image: Question book.png created by User:Equazcion Nghệ sĩ đầu tiên: Tkgd2007 2.11.3 Giấy phép nội dung • Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0 ... log(x) Logarit tự nhiên số x bậc số e để số e lũy thừa lên 1.1 Lịch sử x Tức ln(x)=a ea =x Ví dụ, ln(7,389) e2 =7.389… Trong logarit tự nhiên e Người đề cập đến logarit tự nhiên Nicholas logarit. .. eln(x) = x x > Ban đầu, logarit tự nhiên coi logarit số 10, số tự nhiên số e Nhưng theo toán học, số ln(e ) = x 10 ý nghĩa đặc biệt Ứng dụng văn Như tất logarit, logarit tự nhiên biến nhân thành... Sự đơn giản biên soạn logarit tự nhiên Ban đầu định nghĩa sánh với công thức khác kéo theo gọi logarit hyperbol, tương ứng với diện logarit tự nhiên, dẫn đến thuật ngữ tự nhiên Định tích hyperbol