Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề toán cung cấp các dạng thức cơ bản về tỉ lệ thức dành cho học sinh lớp 7. Chuyên đề phân loại rõ ràng cá dạng toán giúp học sinh dễ tiếp thu và tạo tư duy logiz trong giải bài. Đây là tài liệu bổ ích không chỉ cho học sinh mà còn cho các thầy cô giáo.
TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 - V PHM HM MT S BI TON V T L THC, TNH CHT CA DY T S BNG NHAU I./ T VN Qua thực tế giảng dạy nhận thấy toán dùng kiến thức tỉ lệ thức, dãy tỉ số để giải số toán nội dung kiến thức trọng tâm ch-ơng trình toán lớp 7, việc phân loại tập ph-ơng pháp suy luận tìm tòi lời giải dạng việc làm cần thiết để bồi d-ỡng nâng cao cho học sinh đặc biệt đối t-ợng học sinh trở lên Vì từ thực tế giảng dạy xin đ-a số toán để trao đổi với đồng nghiệp hy vọng góp phần nhỏ vào kinh nghiệm chung việc nâng cao chất l-ợng dạy học Các toán tỉ lệ thức mảng toán rộng nên ý định đề cập tới tất dạng khối lớp mà hạn chế mức độ toán để sử dụng giảng dạy bồi d-ỡng học sinh khá, giỏi lớp Rất mong đ-ợc góp ý đồng nghiệp II./ NI DUNG Lý thuyt T l thc l ng thc gia hai t s * Tớnh cht ca t l thc: Tớnh cht 1: T t l thc a c b d a c suy a.d = b.c b d Tớnh cht 2: T ng thc a.d = b.c vi a, b, c, d cho ta cỏc t l thc: a c a b d c d b , , , b d c d b a c a Tớnh cht 3: T t l thc a c a b d c d b suy cỏc t l thc: , , b d c d b a c a * Tớnh cht ca dóy t l thc bng nhau: Tớnh cht 1: T t l thc Tớnh cht 2: a c a ac a c , (b d) suy cỏc t l thc sau: b d b bd bd a c i suy cỏc t l thc sau: b d j a cci aci , (b, d, j 0) b bd j bd j Tớnh cht 3: a, b,c t l vi 3, 5, tc l ta cú: III./ CC DNG BI TP Tụi xin chia dng c th sau: Toỏn chng minh ng thc Toỏn tỡm x, y, z, a b c TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 - V PHM HM Toỏn Toỏn v lp t l thc p dng v chng minh bt ng thc A Loi toỏn chng minh ng thc Bi Chng minh rng : Nu a c ab cd vi a, b, c, d thỡ b d a b c d Giỏo viờn hi: Mun chng minh trc ht xỏc nh bi toỏn cho ta iu gỡ? Bt chng minh iu gỡ? Gii: Vi a, b, c, d ta cú: a c a c ab cd b d b d b d ab b (1) cd d a c a b c d a b b (2) b d b d cd d T (1) v (2) => Bi 2: Nu a, a b a b a b cd (PCM) cd cd a b c d a c thỡ: b d 5a 3b 5c 3d 5a 3b 5c 3d 7a 3ab 7c 3cd b, 11a 8b2 11c 8d Gii: - Nhn xột iu phi chng minh? - Lm nh th no xut hin 5a, 5c, 3b, 3d? - Bi gi ý gỡ cho gii bi 2? a T a c a b 5a 3b 5a 5c 5a 3b 5c 3d (pcm) b d c d 5c 3d 3b 3d 5a 3b 5c 3d a c a b a b2 ab 7a 8b 3ab 11a b b d c d c d cd 7c 8d 3cd 11c 7a 3ab 11a 8b (pcm) 7c 3cd 11c 8d Bi 3: CMR: Nu a bc thỡ ab ca iu o li cú ỳng hay khụng? a b c a TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI a c b a Gii: + Ta cú: a bc S 29 - V PHM HM a b a b a b c a ca ca a b c a + iu o li cng ỳng, tht vy: ab ca a b c a a b c a a b c a Ta cú: ac a bc ab ac a bc ab 2bc a a bc Bi 4: Cho Gii: ac a c a c CMR bd b d b d a c ac a2 c2 a2 c2 ac a2 c2 (pcm) 2 b d bd b d b d2 bd b2 d a c a b4 a b Bi 5: CMR: Nu thỡ 4 b d cd c d Gii: a c a b a b a4 a b b d c d cd c cd Ta cú: T a b a b4 a b4 4 c d c d c d4 a b a b4 T (1) v (2) (pcm) 4 cd c d Bi 6: CMR Nu a + c = 2b (1) v 2bd = c(b+d) (2) k: b; d0 thỡ a c b d Gii: Ta cú: a c 2b a c d 2bd T (3) v (2) c b d a c d cb cd ad cd a c (pcm) b d Bi 7: Cho a, b, c, d l s khỏc nhau, khỏc khụng tha iu kin: b2 ac; c bd v b3 c3 d TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI CM: S 29 - V PHM HM a b3 c a b3 c d d a b b c Gii: + Ta cú b2 ac b c c d + Ta cú c bd a b c a b3 c a b3 c + T (1) v (2) ta cú 3 b c d b c d b c d Mt khỏc: a b c a3 a b c a b c d b bcd d a b3 c a T (3) v (4) 3 b c d d Bi 8: CMR: Nu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1) Trong ú a ; b ; c l cỏc s khỏc v khỏc thỡ: yz zx x y a b c b c a c a b Gii: Vỡ a; b; c nờn chia cỏc cỏc s ca (1) cho abc ta cú: a y+z b z x c x y y+z z x x y abc abc abc bc ac ab ? Nhỡn vo (*) ta thy mu thc cn cú ab ac ? Ta s bin i nh th no? T (2) y+z x y z x y z x y z x y z bc ab ac bc ab ac bc y-z z-x x-y (pcm) a b c b c a c a b Bi 9: Cho bz-cy cx-az ay-bx a b c CMR: x y z a b c Gii: Nhõn thờm c t v mu ca (1) vi a hoc b; c T (1) ta cú: bz-cy abz-acy bcx-baz cay-cbx abz-acy+bcx-baz+cay-cbx a a2 b2 c2 a b2 c TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI bz-cy = bz = cy x y = c b ay-bx = ay = bx x a T (2) v (3) Bi 10 Bit S 29 - V PHM HM x y a b y z (pcm) b c a b' b c' v a' b b' c CMR: abc + abc = Gii: T a b' ab a ' b ' 11 a' b Nhõn c hai v ca (1) vi c ta cú: abc + abc = abc (3) Ta cú: b c' bc b ' c ' b ' c(2) b' c Nhõn c hai v ca (2) vi a ta cú: abc + abc = abc (4) Cng c hai v ca (3) v (4) ta cú: abc + abc + abc + abc = abc +abc => abc + abc = (pcm) B Toỏn tỡm x, y, z Bi 11 Tỡm x, y, z bit: x y z v x y 186 15 20 28 Gii: Gi thit cho x y 186 Lm nh th no s dng hiu qu gi thit trờn? T x y z 2x y z 2x y z 186 15 20 28 30 60 28 30 60 28 62 x = 3.15 = 45 y= 3.20 = 60 z = 3.28 = 84 Bi 12 Tỡm x, y, z cho: x y y z v v x y z 372 Gii: Nhn xột bi ny v bi trờn cú gỡ ging nhau? a bi ny v dng bi trờn bng cỏch no? a t s cú cựng s chia TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI Ta cú: S 29 - V PHM HM x y x y (chia c hai v cho 5) 15 20 y z y z (chia c hai v cho 4) 20 28 x y z 15 20 28 Tng t hc sinh t gii tip: x = 90; y = 120; z = 168 x y y z v v x + y + z = 98 Bi 13 Tỡm x, y, z bit Gii: Hóy nờu phng phỏp gii (tỡm GCNN (3;5)=?) Hc sinh nờn t gii (tng t bi no em gp) S: x = 20; y = 30; z = 42 Bi 14 Tỡm x, y, z bit 2x = 3y = 5z (1) v x + y z = 95 (*) x Cỏch 1: T 2x = 3y 3y = 5z y y z a v cỏch gii ging ba bi trờn: cỏch ny di dũng Cỏch 2: + Nu cú t l ca x, y, z tng ng ta s gii c (*) + Lm th no (1) cho ta (*) + chia c hai v ca (1) cho BCNN (2;3;5) = 30 2x = 3y = 5z x y 5z x y z x yz 95 30 30 30 15 10 15 10 19 => x = 75, y = 50, z = 30 Bi 15 Tỡm x, y, z bit: x y z v x y = 15 Gii: Hóy nờu cỏch gii (tng t bi 11) BCNN(1 ;2 ;3) = Chia cỏc v ca (1) cho ta cú x y z x y 15 12 12 => x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40 Bi 16 Tỡm x, y, z bit: a x y z v 2x + 3y z = 50 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI b S 29 - V PHM HM 2x y 4z v x + y +z = 49 Gii: a Vi gi thit phn a ta co cỏch gii tng t bi no? (bi 11) x y z x y z 494 T (1) ta cú: x y z 50 9 x x 11 y2 x 17 z x 23 b ? Nờu cỏch gii phn b? (tng t bi 15) Chia cỏc v cho BCNN (2;3;4) = 12 2x y 4z 2x 3y 4z 3.12 4.12 5.12 x y z x yz 49 18 10 15 18 16 15 49 => x = 18; y = 16; z = 15 Bi 17 Tỡm x; y; z bit rng: a x y v xy = 54 (2) b x y v x y (x, y > 0) Gii: ? Lm nh th no xut hin xy m s dng gi thit x y x x y x x xy 54 2 6 a 2 x 4.9 2.3 x Thay vo (2) ta cú: x y 54 x y 54 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 - V PHM HM x y x2 y x2 y 25 25 16 b 25 x2 x y2 x Bi 18 Tỡm cỏc s a1, a2, a9 bit: a a1 a v a1 a a 90 9 Gii : a1 a1 a a 90 45 9 45 T ú d dng suy a1; a2; Bi 19 Tỡm x; y; z bit: a y z x z x y x y z x yz Gii: Theo tớnh cht ca dóy t s bng ta cú t (1) y z y z x z x y x y z x x yz x y z x y z 0,5 x yz y z y z 2x x y z 2x x x 1,5 x x xz2 Nu a + y + z : x y z 3y y 2,5 y y x y x y z 3z z 5 3z z b Tng t cỏc em t gii phn b Tỡm x, y, z bit: x y z x y z y z x z x y Nu x + y + z => x + y + z = 0,5 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI 2 S : x ; y ; z Nu x + y + z = => x = y = z = Bi 20 Tỡm x bit rng: y y y 18 24 6x Gii: y y y y y 8y 24 18 x 18 x 24 18 x y 24 y 24 24 18 x y 18 x 18 x 24.2 x 6.4.2 x x Bi 21 Tỡm x, y,z bit rng: x y z v xyz = 810 Gii: x y z x x x x y z xyz 2 2 30 x3 x 810 27 27 10 x3 8.27 23.33 2.3 x6 x y 3.6 y m z 15 Bi 22 Tỡm cỏc s x1, x2, xn-1, xn bit rng: x x x1 x2 n n v x1 x2 xn c a1 a2 an1 an ( a1 0, , an 0; a1 a2 an ) Gii: S 29 - V PHM HM TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 - V PHM HM x x x x xn x1 x2 c n n a1 a2 an an a1 a2 an a1 a2 an xi c.ai a1 a2 an ú: i = 1, 2,, n Bi 23 Tỡm cỏc s x; y; z Q bit rng: x y : z : y z : y 3:1: : Gii: Ta cú: x y z y z y k (1) x y z y z y x y x y k k x y x y 3k k 3k 2k k z k z k y 5k y 5k 10 T (1) x y 3k x 3k y x y z Bi 24 Tng cỏc lu tha bc ba ca s l -1009 Bit t s gia s th v s th l ; gia s th v s th l Tỡm s ú? Gii: Ta cú: x3 y z 1009 x x y x y y 3 x x z x y z z 9 x 4k , y 6k , z 9k x3 y z 4k 6k 9k 64k 216k 729k 1009k 1009 3 k k x 1.4 y 1.6 z 1.9 10 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 - V PHM HM Bi 25 Tỡm x, y bit : x y 2 x y 6x C./ LP T L THC Bi 26 Cho a5 b6 a (a 5, b 6) tỡm ? a b6 b Bi 27 Cho a a b c v e - 3d + 2f a e d f Tỡm a 3b 2c d 3e f D./ TON (ngoi nhng dng n gin sgk giỏo viờn son b sung thờm) Bi 28 Cú i A; B; C cú tt c 130 ngi i trng cõy Bit rng s cõy mi ngi i A; B; C trng c theo th t l 2; 3; cõy Bit s cõy mi i trng c nh Hi mi i cú bao nhiờu ngi i trng cõy? Gii: + Gi s ngi i trng cõy ca i A; B; C ln lt l: x; y; z (ngi), k: x; y; z N* + Theo bi ta cú: x.2 = y.3 = 4.z (1) v x + y+ z =130 BCNN (2;3;4) = 12 x.2 y.3 4.z x y z x y z 130 10 12 12 12 6 13 x 60; y 10; z 30 Tr li: i A; B; C cú s ngi i trng cõy theo th t l 60; 40; 30 S: 60; 40; 30 Bi 29 Trng cú lp 7, bit bng cú s hc sinh lp 7A bng s hc sinh 7B v 4 s hc sinh 7C Lp 7C cú s hc sinh ớt hn tng s hc sinh ca lp l 57 bn Tớnh s hc sinh mi lp? Gii: Gi s hc sinh 7A; 7B; 7C ln lt l x; y; z (em), x; y; z Theo bi ta cú: 11 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 - V PHM HM x y z v x + y + z = 57 Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12 x y z x yz 57 18 16 15 18 16 15 19 => x = 54; y = 18; z =45 Tr li: s hc sinh cỏc lp 7A; 7B; 7C ln lt l: 54; 18; 45 S: 54; 18; 45 Bi 30 Tỡm ba s nguyờn dng bit BCNN ca chỳng l 3150 v t s s th nht vi s th l 10 , ca s th nht vi s th ba l Gii: Gi ba s nguyờn dng ln lt l: x; y; z Theo bi ta cú: BCNN (x;y;z) = 3150 x x 10 x y x z ; ; y z 10 x y z k 10 18 x 10k 2.5.k y 18.k 32.2.k z 7.k BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7 k=5 x=50; y = 90; z = 35 Vy s nguyờn dng ln lt l x = 50; y = 90; z = 35 E./ TNH CHT CA T L THC P DNG TRONG BT NG THC Tớnh cht 1: (Bi 3/33 GK 7) Cho s hu t CM: a c ad bc b d Gii: a c db cd + Cú b d ad bc bd db b 0; d 12 a c v vi b> 0; d >0 b d TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 - V PHM HM ad bc ad bc a c b 0; d bd db b d + Cú: Tớnh cht 2: Nu b > 0; d > thỡ t a c a ac c b d b bd d (Bi 5/33 GK 7) Gii: a c + b d ad bc(1) thờm vo v ca (1) vi ab ta cú: b 0; d ad ab bc ab a b d c b d a ac b bd + Thờm vo hai v ca (1) dc ta cú: ad dc bc dc d a c c b d ac c bd d + T (2) v (3) ta cú: T a c a a c c (pcm) b d b bd d Tớnh cht 3: a; b; c l cỏc s dng nờn a, Nu a a ac thỡ b bc b b, Nu a a ac thỡ b bc b Bi 31 Cho a; b; c; d > CMR: a b c d abc bcd cd a d ab Gii: + T a theo tớnh cht (3) ta cú: abc ad a (do d>0) abcd abc Mt khỏc: a a abc abcd 13 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI + T (1) v (2) ta cú: S 29 - V PHM HM a a ad a bc d a bc a bc d Tng t ta cú: b b ba abcd bcd abcd c c cb abcd cd a cd a b d d d c d+a+b+c d a b a b c d Cng bt ng thc kộp (3); (4); (5); (6) theo tng v thỡ c: a b c d (pcm) abc bcd cd a d ab Bi 32 Cho a c a ab cd c v b; d CMR: b d b b d2 d Gii: Ta cú a c a.b c.d ab cd v b; d nờn b d b.b d.d b d Theo tớnh cht (2) ta cú: ab ab cd cd a ab cd c (pcm) 2 b b d d b b d2 d F Bi tng hp c bn Bi :Tìm x,y,z biết x y z 3x+y-2z = 14 b) 2x a) c) x:y:z = 2:4:6 v x-y+z = 24 a b c d) v a-b+c = -28 e) a b c x y = = x g) = y x h) = y 20 f) v a b + c = 45 z v x - 3y + 4z = 62; y ; = v x - y + z = -15 z y ; = v 2x + 5y - 2z = 100 z 14 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 - V PHM HM x y z = = v xyz = 20 12 x y z k) = = v x2 + y2 - z2 = 585 i) Bi 2: Tỡm x, y, z bit: x y v x-24 =y x y 3) v x- y = 4009 2005 2006 x y z v y x 48 x y z 4) v 2x + 3y - z = -14 x y y z 5) 3x = y ; 5y = 4z v 6x + 7y + 8z = 456 6) ; x - y - z = 28 x y x y z 7) v x2 y2 = 8) v x2- y2 + 2z2 = 108 4 1) 2) Bi 3: S hc sinh gii, khỏ, trung bỡnh ca t l vi 2; 5; Tng s hc sinh gii v khỏ nhiu hn s hc sinh trung bỡnh l 45 em Tớnh s hc sinh gii, khỏ, trung bỡnh ca Bi 4:.Mt tam giỏc cú chu vi l 84 cm v cnh ca nú t l vi 3; 4; Tớnh di ba cnh ca tam giỏc ú Bi 5: Tỡm din tớch mt hỡnh ch nht bit t s gia hai cnh l 5:6 v chu vi l 44 m Bi Tớnh s hc sinh ca lp 7A v lp 7B Bit lp 7A ớt hn lp 7B l hc sinh v t s hc sinh ca hai lp l : Bi Boỏn lp 7A, 7B, 7C, 7D i lao ng trng cõy bit s cõy trng ca ba lp 7A, 7B, 7C, 7D ln lt t l vi 3; 4; 5; v lp 7A trng ớt hn lp 7B l cõy Tớnh s cõy trng ca mi lp? Bi Hng ng phong tro k hoch nh ca i, ba chi i 7A, 7B, 7C ó thu c tng cng 120kg giy Bit rng s giy thu c ca ba chi i ln lt t l vi 9;7;8 Hóy tớnh s giy mi chi i thu c Bi Hc sinh lp ó quyờn gúp c s sỏch np cho th vin Lp 7A cú 37 hc sinh, Lp 7B cú 37 hc sinh, Lp 7C cú 40 hc sinh, Lp 7D cú 36 hc sinh Hi mi lp quyờn gúp c bao nhiờu quyn sỏch c Bit rng s sỏch quyờn gúp c t l vi s hc sinh ca mi lp v lp 7C gúp nhiu hn lp 7D l quyn sỏch Bi 10 Ba bn An, Bỡnh, Chõu ng h phong tro K hoch nh ca Liờn i trng vi tng s tin l 660000 ng Tỡm s tin m mi bn úng gúp, bit chỳng t l thun vi 5; 7; Bi 11: Khi lp ca mt trng THCS qun cú 336 hc sinh Sauk hi kim tra hc kỡ 1, s hc sinh xp thnh loi gii, khỏ, trung bỡnh Bit s hc sinh gii, khỏ, trung bỡnh ln lt t l vi 4; 5; Tớnh s hc sinh mi loi ca Bi 12:Tớnh s o mi gúc ca tam giỏc ABC, bit rng s o cỏc gúc A, B, C ln lt t l vi 1; 3; Bi 13: (1 im) S bi ca ba bn Bỡnh, Hng, Hũa t l vi cỏc s 2; 4; Tớnh s bi ca mi bn, bit rng ba bn cú tt c 33 viờn bi Bi 14:Ba lp 7A, 7B, 7C quyờn gúp sỏch c c 80 quyn Hi s sỏch quyờn gúp ca mi lp l bao nhiờu quyn? Bit rng s sỏch lp 7A, 7B, 7C t l vi 3; 4; 13 Bi 15: Ba bn An, Bỡnh, H cú 44 bụng hoa, s bụng hoa ca ba bn t l vi 5; 4; Vy An nhiu hn H my bụng hoa? 15 ... với 4; 5; Tính số học sinh loại khối Bài 12:Tính số đo góc tam giác ABC, biết số đo góc A, B, C tỉ lệ với 1; 3; Bài 13: (1 điểm) Số bi ba bạn Bình, Hưng, Hòa tỉ lệ với số 2; 4; Tính số bi bạn, biết... Trả lời: số học sinh lớp 7A; 7B; 7C là: 54; 18; 45 ĐS: 54; 18; 45 Bài 30 Tìm ba số nguyên dương biết BCNN chúng 3150 tỷ số số thứ với số thứ 10 , số thứ với số thứ ba Giải: Gọi ba số nguyên... cạnh tỉ lệ với 3; 4; Tính độ dài ba cạnh tam giác Bài 5: Tìm diện tích hình chữ nhật biết tỉ số hai cạnh 5:6 chu vi 44 m Bài Tính số học sinh lớp 7A lớp 7B Biết lớp 7A lớp 7B học sinh tỉ số học