CỰC TRỊ HÀM BẬC 3, BẬC Bài toán 1: Cực trị hàm bậc Cho hàm số: y = ax + bx + cx + d có đạo hàm y ' = 3ax + 2bx + c a ≠ ∆ > Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt ⇔  Để hàm số có không cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = vô nghiệm có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ Đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu +) Cách 1: Tìm tọa độ điểm cực đại cực tiểu A, B Viết phương trình đường thẳng qua A, B +) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: y = ( mx + n ) y '+ ( Ax + B ) Phần dư phép chia y = Ax + B phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu Bài toán 2: Cực trị hàm số bậc trùng phương ( Cho hàm số: y = ax + bx + c có đạo hàm y ' = 4ax + 2bx = 2x 2ax + b Hàm số có cực trị ab ≥ ) a > hàm số có cực tiểu cực đại b ≥ a < +)  hàm số có cực đại cực tiểu b ≤ Hàm số có cực trị ab < (a b trái dấu) a > +)  hàm số có cực đại cực tiểu b < a < +) Nếu  hàm số có cực đại cực tiểu b > Gọi A, B, C điểm cực trị đồ thị hàm số A ∈ Oy , +) Nếu   − b −∆   − b −∆  b4 b −b A ( 0;c) , B  − ; ÷, C  ; − , BC =  vôù i ∆ = b2 − 4ac ÷ ⇒ AB = AC =  ÷  ÷ 2a 4a   2a 4a  2a 16a 2a  +) Tam giác ABC cân A +) B, C đối xứng qua Oy x B = − x C , y B = y C = y H +) Để tam giác ABC vuông A⇔ 8a+b3=0 +) Tam giác ABC đều: ⇔ 24a+b3=0 µ = α ⇔ 8a + b3 tan α =0 +) Tam giác ABC có A µ = 1200 8a + 3b3 = ⇔ +) Tam giác ABC có A +) Tam giác ABC có diện tích: S = a + b3 = −b5 32a +) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = +) Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp : r= b3 − 8a 8a b b2  b3 a 1 + −  a   ÷ ÷  ( Trường hợp thường gặp: Cho hàm số y = x − 2bx + c ⇒ y ' = 4x − 4bx = 4x x − b +) Hàm số có cực trị b > ) ( ) ( ) 2 +) A, B, C điểm cực trị A ( 0;c ) ,B b,c − b ,C − b;c − b , AB = AC = b + b, BC = b +) Tam giác ABC vuông A b = +) Tam giác ABC b = 3 µ = 1200 b = +) Tam giác ABC có A 3 +) Tam giác ABC có diện tích: S = b b +) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = +) Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp : r = b3 + 2b b2 b3 + + MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LÃI SUẤT NGÂN HÀNG Bài toán 1: Gửi vào ngân hàng số tiền a đồng, với lãi suất hàng tháng r% n tháng Tính vốn lẫn lãi A sau n tháng? Giải -Gọi A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có: Tháng (n = 1): A = a + ar = a(1 + r) Tháng (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2 ………………… Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n Vậy A = a(1 + r)n (Công thức lãi kép) Từ công thức (*) ta tính đại lượng khác sau: A ln A 1) n = 2) r = n − a ; a ln(1+ r) Bài toán 2: Gửi vào ngân hàng định kỳ vào cuối tháng số tiền a đồng, với lãi suất hàng tháng r % n tháng Tính vốn lẫn lãi A sau n tháng? Cuối tháng thứ lúc người gửi tiền là: A= a Cuối tháng thứ hai, người có số tiền là: a ( + r ) -1 a  =  + r -1 A = a ( + r ) + a = a ( + r ) + 1 =  ( )  r r a ( + r ) -1  (1 + r ) + a = a [ + r -1] Cuối tháng thứ ba, người có số tiền là: A =  ( ) r r a n Cuối tháng thứ n, người có số tiền là: A = [( + r ) -1] r Bài toán 3: Gửi vào ngân hàng định kỳ vào đầu tháng số tiền a đồng, với lãi suất hàng tháng r % n tháng Tính vốn lẫn lãi A sau n tháng? Cuối tháng thứ nhất, người có số tiền là: A= a(1+r) Cuối tháng thứ hai, người có số tiền là: a (1 + r )  2 A = a ( + r ) + a(1+r) = a(1+r) ( + r ) + 1 = ( + r ) -1   r a(1+r) ( + r ) -1   (1 + r ) + a (1 + r ) = a (1 + r ) [ + r -1] Cuối tháng thứ ba, người có số tiền là: A = ( ) r r a(1+ r) Cuối tháng thứ n, người có số tiền là: A = (1+ r)n − 1 ; r Ar Từ ta có: a = (1+ r) (1+ r)n − 1   Bài toán 4:: Gửi vào a đồng, lãi suất r%/năm (hoặc tháng quí), lãi hàng năm nhập vào vốn Hỏi sau khoảng năm số tiền b b HD: Áp dụng công thức lãi kép, sau n năm, ta có phương trình b = a(1+r)n ⇔ n = log1+ r  ÷ a VD: Một người gửi vào triệu, lãi suất 8,4%/năm, lãi hàng năm nhập vào vốn Hỏi sau khoảng năm thu gấp đôi (10 triệu) Trả lời: Áp dụng công thức lãi kép, sau n năm, ta có phương trình 10 = 5(1+0,084)n ⇔ = (1+0,084)n ⇔ n = log1,084 ≈ 8,59 Do n nguyên dương nên chọn n = Bài toán 5:: Vay a đồng, lãi suất r%/tháng Cứ sau tháng trả x đồng Định x để sau n tháng hết nợ HD: Sau tháng thứ 1, nợ a(1+r) - x Sau tháng thứ 2, nợ [a(1+r) - x](1+r) - x = a(1+r) - [(1+r) + 1] x Sau tháng thứ 3, nợ {a(1+r)2 - [(1+r) + 1] x}(1+r) - x = a(1+r)3 - [(1+r)2 + (1+r) + 1] x Sau tháng thứ n hết nợ, nên a(1+r)n - [(1+r)n-1 + (1+r)n-2 + + 1] x = ar (1 + r ) (1 + r ) n − ⇔ a(1+r) x = ⇔ x = r (1 + r ) n − n n VD: Vay 100 triệu với lãi suất 1%/tháng Cứ sau tháng trả x đồng Định x để sau tháng, hết nợ 100.0,01(1 + 0,01) 1,013 ≈ 34,002 triệu = (1 + 0,01) − 1,013 − Bài toán 6: (ngược toán 5) Vay a đồng, lãi suất r%/tháng Cứ sau tháng trả m đồng Hỏi sau tháng, hết nợ Trả lời : Áp dụng CT trên, x = HD: Theo lập luận trên, ta có phương trình a(1+r) n - (1 + r ) n − m = (n chưa biết) r  m  ÷ ĐK m > ar >  m − ar  ⇔ ar(1+r)n = [(1+r)n -1]m ⇔ (1+r)n (m - ar) = m ⇔ n = log1+ r  VD: Ông A vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả góp với lãi suất 0,5% tháng Nếu cuối tháng, tháng thứ ông hoàn nợ cho ngân hàng 5.600.000 đồng chịu lãi số tiền chưa trả Hỏi sau khoảng tháng ông A trả hết số tiền vay? Trả lời: Áp dụng CT trên, n = log1, 005 5,6 ≈ 62,5 Vì n nguyên dương nên chọn n = 63 5,6 − 300.0,005 ... a(1+r) Cuối tháng thứ hai, người có số tiền là: a (1 + r )  2 A = a ( + r ) + a(1+r) = a(1+r) ( + r ) + 1 = ( + r ) -1   r a(1+r) ( + r ) -1   (1 + r ) + a (1 + r ) = a (1 + r ) [ +. .. tháng thứ 1, nợ a(1+r) - x Sau tháng thứ 2, nợ [a(1+r) - x](1+r) - x = a(1+r) - [(1+r) + 1] x Sau tháng thứ 3, nợ {a(1+r)2 - [(1+r) + 1] x}(1+r) - x = a(1+r)3 - [(1+r)2 + (1+r) + 1] x Sau tháng... Sau tháng thứ n hết nợ, nên a(1+r)n - [(1+r)n-1 + (1+r)n-2 + + 1] x = ar (1 + r ) (1 + r ) n − ⇔ a(1+r) x = ⇔ x = r (1 + r ) n − n n VD: Vay 100 tri u với lãi suất 1%/tháng Cứ sau tháng trả