Đang tải... (xem toàn văn)
.............................................................................................................................................................................................................................................................
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] Chuyên đề Bất đẳng thức GTLN, GTNN Bài Cho x,y,z không âm 1 Tìm GTLN của: P xyz x 1 y 1 z 1 Giải Ta có: 1 2 x 1 y 1 z 1 1 y z y.z (1 ) (1 ) 2 x 1 y 1 z 1 y 1 z 1 ( y 1).( z 1) (1) Tương tự: x.z 2 y 1 ( x 1).( z 1) (2) x y 2 z 1 ( x 1).( y 1) (3) Nhân vế bất đẳng thức (1)(2)(3), ta có: xyz ( x 1).( y 1).( z 1) ( x 1).( z 1).( z 1) xyz Vậy MaxP 1 x y z Bài Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) x+y+z=2 Tìm GTNN: P x y z 1 x 1 y 1 z Giải Đặt a=1-x ; b=1-y ; c=1-z ( a;b;c > ) Suy ra: a+b+c=1 P a b c (b c).(c a).(a b) bc ca ab 8 a b c abc abc Vậy MinP x y z Bài Cho x,y,z>0 xyz = Tìm GTLN: P 1 2 2x y y z 2z x2 Giải Ta có: 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] x y ( x y ) ( x 1) xy x 1 2 x y xy x ' ' x y TT: 1 2 y z zy y 1 2 z x xz z 1 P xy x 2 zy y 2 xz z x xy xy x 2 zyx xy x xz.xy xyz xy x xy (do xyz 1) xy x 2 xy x x xy KL : max P x y z 2 Bài Cho x,y,z>0 thỏa mãn: x+y+z=1 Tìm GTLN của: P x yz y xz z xy Giải Ta có: P x yz y xz z xy x( x y z ) yz y ( x y z ) xz z ( x y z ) xy ( x y )( x z ) ( y x)( y z ) ( z x)( z y ) ( x y ) ( x z ) ( y x) ( y z ) ( z x) ( z y ) 2 2( x y z ) max P x y z Bài Cho x,y,z>0 x+y+z=xyz Tìm GTLN: P x 1 y 1 z2 1 Giải Ta có: 1 1 xy yz zx 1 u ; v ; w uv vw uw x y z x y z xyz 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] P u u2 v v2 u P w w2 v w u uv vw uw v uv vw uw w2 uv vw uw u v w P (u v)(u w) (v w)(v u ) ( w u )( w v) u u v v w w uv uw vu vw wu wv u u v v w w P ( ) u v u w vu vw wu wv u v w max P uvw x yz 3 uv vw wu P Bài Cho x,y,z>0 x+y+z=1 Tìm GTNN: P x y yz zx xy z yz x zx y Giải Theo giải thiết: x y z 1 x y yz zx P xy z yz x zx y 1 z xy x y 1 x 1 y yz y z zx z x 1 z 1 x 1 y (1 x)(1 y ) (1 y )(1 z ) (1 x)(1 z ) 1 z 1 x 1 y 3 (1 x)(1 y ) (1 y )(1 z ) (1 x)(1 z ) 33 P x y z x y z Bài Cho x,y,z>0 xyz=1 Tìm GTNN: P x2 y 1 y2 z2 x2 z xy yz zx Giải Ta có: P x2 y y2 z2 x2 z xy yz zx 3 x2 y xy 33 z2 y2 zy 3 x2 z xz 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] xy yz zx 3 3 ( xyz 1) xy yz zx 33 P 3 x y z Bài Cho x,y,z>0 x2 y z Tìm GTNN: P x y z 2 y z z x x y2 Giải Theo giải thiết: x2 y z P x y z 2 1 x 1 y 1 z2 Ta có: x x x 3 x (1 x ) x (1 x ) x 3x x.(1 x ) 27 3 1 x 3 x 3 y 3 z 3( x y z ) 3 2 2 3 P x yz P Bài Cho x,y>0 x+y=1 Tìm GTNN: P 1 x y xy Giải Theo giả thiết: x y ( x y )3 x y xy ( x y ) x y xy P 1 x3 y xy x y xy x3 y xy x3 y xy P 4 xy x3 y 3xy x y 42 x3 y xy x3 y xy P 3 1 x xy x3 y xy 3 ' ' x y3 xy x y x y x y 3 y Facebook.com/THCS.Tieuhoc 0902-11-00-33 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] Bài 10 Cho x,y>0 x+y=1 Tìm GTNN: P x y 1 x 1 y Giải Theo giả thiết: x y x y y x ( x y) y x y x x y 1 P P2 x y 2 y '' x y y x ( x y ) x y (1) x Mặt khác: x y 1 P 1 y 1 x 1 ( x y ) (2) y x x y Cộng vế (1) (2) ta có: 2P 1 2 x y 1 x y xy 2 x y P P 2 "" x y Bài 11 Cho x,,y>1 Tìm GTNN: P ( x3 y ) ( x y ) ( x 1)( y 1) Giải ( x3 y ) ( x y ) x2 y2 ( x 1)( y 1) y 1 x 1 xy x y x y P 8 x 11 y 1 ( x 1)( y 1) x 1.1 y 1.1 2 P P '' x y 2 Bài 12 Cho x,y,z>0 x+y+z=1 Tìm GTLN của: P x y z x 1 y 1 z 1 Giải Ta có: 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] P x y z 1 3 ( ) x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 Áp dụng BĐT coossi bản: 1 ) 9, x y z ( x 1) ( y 1) ( z 1) ( x 1 y 1 z 1 1 9 x 1 y 1 z 1 x y z P P x yz 3 max P x y z 1 Bài 13 Cho x,y,z>0 x y z Tìm GTLN: P 1 2x y z x y z x y 2z Giải Áp dụng BĐT Cô si lần ta có: 1 1 1 1 ( ) ( ( )) 2x y z 2x y z 2x y z Tương tự ta có BĐT khác, cộng vế với vế BĐT ta có: 4 P ( ) 1 2x y 2z max P x y z Bài 14 Cho x,y>0 x + y 0 x+y+z=1 Tìm GTLN: P 3x y 3z x2 y z Giải Ta có: 3x y 3z x2 y z 2 1 ( )( ) x 1 y 1 z 1 1 x 1 y 1 z 2 1 ( )( ), (do x y z 1) 2x y z x y z x y 2z yz zx x y P Áp dụng BĐT: 1 4 y z x y y z x y x 2y z 1 2 y z z x x y 2x y z x y z x y 2z P0 max P x y z 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] Bài 17 Cho x,y,z>0 x+y+z=3 Tìm GTLN của: P x y z 2x y z y x z 2z x y Giải Ta có: x y z x yz x yz x yz 1 1 1 2x y z y x z 2z x y 2x y z x 2y z x y 2z 1 P ( x y z )( ) 2x y z x y z x y 2z P 1 1 ) (2 x y z ) ( x y z ) ( x y z ) ( 2x y z x y z x y 2z P 4 max P x y z P 3 3 x Bài 18 Cho x,y>0 x y Tìm GTNN: P 3y Giải P 1 x 3y x x 3y 1 x 3y x 3y 4 16 Ta có: P 4 2x x 3y x x y 3x y x 3y max P 2 x x y x 1, y x y Bài 19 Cho x,y,z,t>0 Tìm GTNN: P x t t y y z z x t y y z z x x t Giải Ta có: xt t y y z z x t y y z z x xt xt ty yz zx ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ty yz zx xt x y t z y x zt 4 t y y z z x xt P 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] 1 1 ) (t z )( )4 ty zx y z xt 4 ( x y ) (t z ) 40 t yzx y z xt ( x y )( t y z x x y P y z x t z t Bài 20 Cho x,y,z>0 thỏa mãn: x2 y z 3xyz Tìm GTNN của: P x y z 1 x 1 y 1 z Giải x y z 3xyz u x ,v yz x y z 3 yz zx xy y ,w zx z xy u , v, w u v w2 1 1 vw; uw; uv y z x P x y z 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 (theo ví dụ uv vw uw TLBG chứng minh) Vậy: P x y z 1 Bài 21 Cho x,y,z>0 xyz=1 Tìm GTNN: P 1 xy yz xz Giải Đặt u v w x ; y ;z v w u vw wu uv P uv uw vw vu wu vw vw wu uv (1 ) (1 ) (1 )3 uv uw vw vu wu vw 1 (vw uv uw)( )3 uv uw vw vu wu vw 2 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] uv vw wu x y z Bài 22 Cho x,y,z dương thỏa mãn xyz=1 P Tìm GTLN của: P 1 3 3 x y 1 y z 1 z x 1 Giải Dễ thấy: x xy y xy ( x y )( x xy y xy ( x y ) x y xy ( x y ) xyz x3 y xy ( x y ) xyz xy ( x y z ) 1 z x y xy ( x y z ) xyz ( x y z ) TT : x 3 y z xyz ( x y z ) y 3 z x xyz ( x y z ) x yz P 1 xyz ( x y z ) P x y z Bài 23 Cho x,y,z dương thỏa mãn xyz=1 x2 y z2 y2 x2 z Tìm GTLN Tìm GTLN của: P 2 7 2 7 2 7 x y x y z y z y x z x z Giải Ta có: ( x3 y )( x y ) x y x y ( x y ) x y x7 y x3 y ( x y ) x y x2 y x2 y z 2 3 7 2 x y x y x y (x y) x y xy ( x y z ) xyz ( x y z ) TT : z2 y2 x 2 7 z y z y xyz ( x y z ) x2 z y 2 7 x z x z xyz ( x y z ) P P x y z Bài 24 Cho x,y,z thuộc [-1;2] thỏa mãn x+y+z=0 Tìm GTLN của: P x y z Giải 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] x 1; 2 ( x 1)( x 2) x x TT : y y; z z P ( x y z) max P số có số -1, số Bài 25 Cho x,y,z thuộc [0;2] thỏa mãn x+y+z=4 Tìm GTLN của: P x y z Giải x, y, z [0; 2] ( x 2)( y 2)( z 2) xyz 2( xy yz zx) 4( x y z ) xyz [( x y z ) ( x y z )] 4( x y z ) P x y z xyz (do x, y, z 0) ( x 2)( y 2)( z 2) max P xyz số x, y, z có số 2, số lại x y z Bài 26 Cho x,y,z thỏa mãn x2 y z Tìm GTNN của: P xyz 2(1 x y z xy yz zx) Giải x y z | x |,| y |,| z | (1 x)(1 y)(1 z ) x y z xy yz zx xyz Mặt khác: (1 x y z )2 0 x y z xy yz zx (**) 2 x y z Từ (*), (**) ta có: (1 x)(1 y)(1 z ) P0 1 x y z số có số -1, số Bài 27 Cho x, y không âm Tìm GTLN, GTNN P ( x y )(1 xy ) (1 x)2 (1 y) Giải Ta có: P ( x y )(1 xy ) x y 2 (1 x) (1 y) (1 x) (1 y) Do x, y không âm nên ta đặt 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] x tan , y tan , , P tan tan tan cos tan cos 2 2 (1 tan ) (1 tan ) 2 (sin 2 sin 2 ) 1 P 4 Lại có: sin 2 x 1 P sin y sin 2 x P sin y 1 max P x 1; y P x 0; y 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học ...CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] x y ( x y ) ( x 1) xy x 1 2 x y xy x '... Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] P u u2 v v2 u P w w2 v w u uv vw uw v uv vw... Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] xy yz zx 3 3 ( xyz 1) xy yz zx 33 P 3 x y z Bài