§3- CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ ĐỒ THỊ A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm số bậc nhất. a/ Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b ( với a ¹ 0). - Hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0 ; nghòch biến khi a<0. - Đồ thò hàm số y = ax + b ( với a ¹ 0) là một đường thẳng cắt trục tung tại tung độ b, cắt trục hoành tại hoành độ b a - . - Đặc biệt nếu b = 0 thì y = ax + b ( với a ≠ 0) có dạng y = ax, luôn đi qua gốc toạ độ (0;0). b/ Hệ số a được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0). c/ Nếu hai hàm số bậc nhất y = ax + b (d 1 ) và y = a’x + b’ (d 2 ) có: +/ a ≠ a’ khi và chỉ khi d 1 cắt d 2 . +/ a = a’ và b ≠ b’ khi và chỉ khi d 1 // d 2 . +/ a = a’ và b = b’ khi và chỉ khi d 1 trùng d 2 . +/ a.a’ = -1 khi và chỉ khi d 1 ⊥ d 2 . 2/ Phương trình bậc nhất hai ẩn có ax + by = c (với a 2 + b 2 ≠ 0) (*). a/ Phương trình (*) thành hàm số bậc nhất khi a.b ≠ 0. b/ Nếu hai phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c (d 1 ) và a’x + b’y = c’ (d 2 ). +/ Nếu ab’ – ba’ ≠ 0 thì đường thẳng d 1 và đường thẳng d 2 cắt nhau. +/ Nếu ' ' ' ' ì = ï ï í ï = ï ỵ ab ba bc cb thì đường thẳng d 1 và đường thẳng d 2 trùng nhau. +/ Nếu ' ' ' ' ì = ï ï í ï ¹ ï ỵ ab ba bc cb thì đường thẳng d 1 và đường thẳng d 2 song song với nhau. 3. Hàm số y = ax 2 (với a ≠ 0 ). a/ Nếu a > 0 : Hàm số đồng biến khi x > 0 và nghòch biến khi x < 0, còn x = 0 khi đó hàm số đạt giá trò nhỏ nhất là y = 0. Đồ thò nằm phía trên trục hoành, gốc tọa độ 0 là điểm thấp nhất. Nếu a < 0 : Hàm số đồng biến khi x < 0 và nghòch biến khi x > 0, còn x = 0 khi đó hàm số đạt giá trò lớn nhất là y = 0. Đồ thò nằm phía dưới trục hoành, gốc tọa độ 0 là điểm cao nhất. c/ Đồ thò của hàm số y = ax 2 (a ≠ 0 ) là đường cong đi qua gốc tọa độ 0, gọi là parabol, nhận trục 0y làm trục đối xứng. Điểm 0 gọi là đỉnh của parabol. * Chú ý: 1/ Đồ thò hàm số y = f(x) đi qua điểm M(x 0 ; y 0 ) ⇔ y 0 = f(x 0 ) 2/ Parabol (P) có phương trình y= f(x) và đường thẳng (d) có phương trình y = g(x). Có số điểm tương giao là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) B – MỘT SỐ VÍ DỤ. Bài 1 Trong mỈt ph¼ng to¹ ®é cho ®iĨm A ( -2 , 2 ) vµ ®êng th¼ng (D) : y = - 2(x +1) . 1) §iĨm A cã thc (D) hay kh«ng ? 2) T×m a trong hµm sè y = ax 2 cã ®å thÞ (P) ®i qua A . ViÕt phu¬ng tr×nh ®ng th¼ng ®i qua A vµ vu«ng gãc víi (D) Bài 2: Cho hµm sè : y = 2 2 1 x 1) Nªu tËp x¸c ®Þnh , chiỊu biÕn thiªn vµ vÏ ®å thi cđa hµm sè. 2) LËp phương tr×nh đường th¼ng ®i qua ®iĨm ( 2 , -6 ) cã hƯ sè gãc a vµ tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè trªn Bài 3: Cho hµm sè : y = ( 2m + 1 )x - m + 3 (1) 1) T×m m biÕt ®å thÞ hµm sè (1) ®i qua ®iĨm A ( -2 ; 3 ) . 2) T×m ®iĨm cè ®Þnh mµ ®å thÞ hµm sè lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cđa m . Bài 4: 1)VÏ ®å thÞ cđa hµm sè : y = 2 2 x 2)ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iĨm (2; -2) vµ (1 ; -4 ) 3) T×m giao ®iĨm cđa ®êng th¼ng võa t×m ®ỵc víi ®å thÞ trªn . Bài 5: Cho hµm sè : 4 2 x y = vµ y = - x - 1 1) ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng y = - x - 1 vµ c¾t ®å thÞ hµm sè 4 2 x y = t¹i ®iĨm cã tung ®é lµ 4 . Câu 6. 1.Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = 2 x 2 . 2.Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua điểm (0; -1) và tiếp xúc với (P) Bài 7: Cho hµm sè y = ( m - 2 ) x + m + 3 . 1) T×m ®iỊu kiƯm cđa m ®Ĩ hµm sè lu«n nghÞch biÕn 2) T×m m ®Ĩ ®å thÞ hµm sè c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm cã hµnh ®é lµ 3 . 3) T×m m ®Ĩ ®å thÞ c¸c hµm sè y = - x + 2 ; y = 2x - 1vµ y = (m - 2 )x + m + 3 ®ång quy . Bài 8: Cho Parabol (P) cã ph¬ng tr×nh y = ax 2 . a. X¸c ®Þnh a ®Ĩ (P) ®i qua ®iĨm A( -1; -2) . b. T×m to¹ ®é c¸c giao ®iĨm cđa (P) vµ ®êng trung trùc cđa ®o¹n OA . C©u 9 a) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa a , b biÕt r»ng ®å thÞ cđa hµm sè y = ax + b ®i qua hai ®iĨm A( 2 ; - 1 ) vµ B ( )2; 2 1 b) Víi gi¸ trÞ nµo cđa m th× ®å thÞ cđa c¸c hµm sè y = mx + 3 ; y = 3x - 7 vµ ®å thÞ cđa hµm sè x¸c ®Þnh ë c©u ( a ) ®ång quy . C©u 10 Cho hµm sè y = ( m - 2 ) x + m + 3 . a) T×m ®iỊu kiƯm cđa m ®Ĩ hµm sè lu«n nghÞch biÕn . b) T×m m ®Ĩ ®å thÞ hµm sè c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm cã hµnh ®é lµ 3 . c) T×m m ®Ĩ ®å thÞ c¸c hµm sè y = - x + 2 ; y = 2x - 1vµ y = (m - 2 )x + m + 3 ®ång quy . C©u 11 Cho hµm sè : y = - 2 2 1 x a) T×m x biÕt f(x) = - 8 ; - 8 1 ; 0 ; 2 . b) ViÕt phương tr×nh ®ường th¼ng ®i qua hai ®iĨm A vµ B n»m trªn ®å thÞ cã hoµnh ®é lÇn lượt lµ -2 vµ 1 . C©u 12 Trong mỈt ph¼ng to¹ ®é cho ®iĨm A ( 3 ; 0) vµ đường th¼ng x - 2y = - 2 . a) VÏ ®å thÞ cđa ®êng th¼ng . Gäi giao ®iĨm cđa ®êng th¼ng víi trơc tung vµ trơc hoµnh lµ B vµ E . b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng x - 2y = -2 . c) T×m to¹ ®é giao ®iĨm C cđa hai ®êng th¼ng ®ã . Chøng minh r»ng EO. EA = EB . EC vµ tÝnh diƯn tÝch cđa tø gi¸c OACB . Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) có phương trình 2 x y 2 − = . Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm I(0; - 2) và có hệ số góc k. a) Viết phương trình dường thẳng (d). Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi k thay đổi. b) Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục hồnh. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I. c©u 14 Cho Parabol y=x 2 vµ ®êng th¼ng (d) cã phương tr×nh y=2mx-m 2 +4. a. T×m hoµnh ®é cđa c¸c ®iĨm thc Parabol biÕt tung ®é cđa chóng b. Chøng minh r»ng Parabol vµ ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t nhau t¹i 2 ®iĨm ph©n biƯt. T×m to¹ ®é giao ®iĨm cđa chóng. c. Víi gi¸ trÞ nµo cđa m th× tỉng c¸c tung ®é cđa chóng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt? c©u 15 . Cho hµm sè y = x 2 cã ®å thÞ lµ ®êng cong Parabol (P) . a) Chøng minh r»ng ®iĨm A( - )2;2 n»m trªn ®êng cong (P) . b) T×m m ®Ĩ ®Ĩ ®å thÞ (d ) cđa hµm sè y = ( m - 1 )x + m ( m ∈ R , m ≠ 1 ) c¾t ®êng cong (P) t¹i mét ®iĨm . c) Chøng minh r»ng víi mäi m kh¸c 1 ®å thÞ (d ) cđa hµm sè y = (m-1)x + m lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh . Câu 16 Cho hai đờng thẳng y = 2x + m -1 và y = x + 2m . a) Tìm giao điểm của hai đờng thẳng nói trên . b) Tìm tập hợp các giao điểm đó . Câu 17 Cho hàm số : y = ( 2m - 3)x 2 . 1) Khi x < 0 tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến . 2) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm ( 1 , -1 ) . Vẽ đồ thị với m vừa tìm đợc . Câu 18 . Cho Parabol (P) : y = 2 2 1 x và đờng thẳng (D) : y = px + q . Xác định p và q để đờng thẳng (D) đi qua điểm A ( - 1 ; 0 ) và tiếp xúc với (P) . Tìm toạ độ tiếp điểm . Câu 19: Trong cùng một hệ trục toạ độ Oxy cho parabol (P) : 2 4 1 xy = và đửụứng thẳng (D) : 12 = mmxy a) Vẽ (P) . b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) . c) Chứng tỏ (D) luôn đi qua một điểm cố định . Câu 20 . Cho hàm số y = x 2 có đồ thị là đờng cong Parabol (P) . a) Chứng minh rằng điểm A( - )2;2 nằm trên đờng cong (P) . b) Tìm m để để đồ thị (d ) của hàm số y = ( m 1 )x + m ( m R , m 1 ) cắt đờng cong (P) tại một điểm . c) Chứng minh rằng với mọi m khác 1 đồ thị (d ) của hàm số y = (m-1)x + m luôn đi qua một điểm cố định . Câu 21 Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , 2 ) và đờng thẳng (D) : y = - 2(x +1) . a) Điểm A có thuộc (D) hay không ? b) Tìm a trong hàm số y = ax 2 có đồ thị (P) đi qua A . c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và vuông góc với (D) . . § 3- CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ ĐỒ THỊ A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm số bậc nhất. a/ Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b ( với a ¹ 0). - Hàm số y = ax. thÞ c¸c hµm sè y = - x + 2 ; y = 2x - 1vµ y = (m - 2 )x + m + 3 ®ång quy . C©u 11 Cho hµm sè : y = - 2 2 1 x a) T×m x biÕt f(x) = - 8 ; - 8 1 ; 0 ; 2 . b)