BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Nguyễn Thị Thu BÀI TOÁN THÁC TRIỂN HÀM CHÍNH QUY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÔNG NGHỆ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG Người hướng dẫn: GS TSKH Lê Hùng Sơn Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Lê Hùng Sơn, người tận tình hướng dẫn em suốt trình học tập để em hoàn thành khóa luận Nhân dịp này, Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo Viện Toán - Tin ứng dụng Thầy Cô giáo viện Sau Đại học, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội dạy bảo em tận tình tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập vừa qua Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày 20 tháng 03 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Thu Mục lục Lời mở đầu Chương Định lý thác triển hàm chỉnh hình nhiều biến phức 1.1 Không gian Cn 1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức 1.3 Công thức tích phân Cauchy 11 1.3.1 Công thức tích phân Borel - Pompeiu 11 1.3.2 Công thức tích phân Cauchy 13 1.4 Định lý thác triển hàm Hartogs cho hàm nhiều biến phức 14 Chương Tính chất ma trận định lý thác triển nghiệm hệ phương trình đạo hàm riêng cấp 17 2.1 Bài toán 17 2.1.1 Các tính chất ma trận tính giải hệ phương trình riêng tuyến tính cấp 19 2.1.2 Ví dụ áp dụng 29 2.2 Hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp có hệ số hàm 32 2.2.1 Bài toán 32 2.2.2 Một số tiêu chuẩn ma trận tính giải toán (2.1’) 33 2.2.3 Một số ví dụ áp dụng 45 Chương Áp dụng tiêu chuẩn ma trận hệ Cauchy - Riemann R2 58 3.1 Hệ Cauchy - Riemann C 58 3.1.1 Định nghĩa 58 3.1.2 Nhận xét 59 3.2 Bổ sung điều kiện vào hệ Cauchy - Riemann để có định lý thác triển 61 3.3 Sự tồn T T 63 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 LỜI MỞ ĐẦU Trong nhiều năm qua, toán thác triển có nhiều ứng dụng lý thuyết kỹ thuật, đặc điểm quan trọng toán là: biết tính chất hàm địa phương đó, biết tính chất hàm toàn cục Vì giải toán thác triển giúp ta dự đoán tính chất quan trọng tượng biết thể địa phương định Bài toán thực thu hút ý lý thuyết hàm phức nhiều biến đời Một kết bật toán thác triển hàm quy nhận giá trị đại số ma trận ứng dụng Dựa ý tưởng này, người ta tìm kiếm tiêu chuẩn để nghiệm hệ phương trình đạo hàm riêng địa phương thác triển toàn miền xác định Dưới hướng dẫn tận tình thầy giáo -GS.TSKH Lê Hùng Sơn, nghiên cứu toán thác triển sau đây: Cho miền K € Rn , ➦ lân cận ❇ K Xét hệ: ♣l q ➳ ➳ A♣l q ❇ui L♣uq ✏ ij ❇x j i✏1 j✏1 m n ✏ f ♣l q , l ✏ 1, L ♣l q ✏ const ; i ✏ 1, m ; j ✏ 1, n ; l ✏ 1, L ; u ✏ u ♣x , x , , x q hàm i i n giải tích thực theo x1 , x2 , , xn u ✏ ♣u1 , u2 , , un q hàm ẩn, f ♣l q hàm giải đó: Ai j tích thực K Vấn đề nghiên cứu theo hướng tiếp cận sử dụng số tiêu chuẩn ma ♣l q ♣l q trận hai trường hợp: Ai j ♣xq số Ai j ♣xq hàm số giải tích Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương 1: Trình bày tóm tắt số kiến thức,tính chất,định lý kết liên quan đến hàm chỉnh hình nhiều biến phức, định lý thác triển Hartogs • Chương 2: Trình bày ý tưởng, hướng tiếp cận sử dụng số tiêu chuẩn ma trận số ví dụ minh họa cho tiêu chuẩn đó.Đặc biệt quan trọng Định lý 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7 • Chương 3: Trình bày số tiêu chuẩn ma trận hệ Cauchy- Riemann R2 Do luận văn hoàn thành điều kiện hạn chế kiến thức nên không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận nhận xét đóng góp từ thầy cô bạn.Tôi hy vọng, có thêm hội để nghiên cứu sâu toán đặc biệt có thêm kết ứng dụng hệ phương trình đạo hàm riêng cấp hệ số hàm Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Thu Chương Định lý thác triển hàm chỉnh hình nhiều biến phức 1.1 Không gian Cn Xét không gian Ơclit số chiều chẵn R2n , điểm có thứ tự 2n số thực (x1 , x2 , , x2n ) Ta đưa vào cấu trúc phức, cách đặt zv ✏ xv   ixn v ♣v ✏ 1, , nq Ký hiệu lại xn v ✏ yv nên zv ✏ xv   iyv ♣v ✏ 1, , nq Không gian mà điểm n số phức (hữu hạn) z ✏ ♣z1 , , zn q ✏ tzv ✉ gọi không gian phức n chiều, ký hiệu Cn Có thể xem, với n tùy ý, không gian Cn tích n mặt phẳng phức: Cn ✏ C ✂☎☎☎✂ C ❧♦♦♦♦♦♠♦♦♦♦♦♥ n lần 1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến phức Giả sử D ⑨ Cn lập nên từ điểm hữu hạn f nhận D giá trị hữu hạn ( f : D Ñ C) Giả sử f khả vi điểm z € D theo nghĩa giải tích thực (R2n - khả vi), tức tồn vi phân df ✏ ❇❇xf dx1  ☎☎☎  ❇❇xf dx2n 2n Khi đưa vào xv ✏ Khi df zv   zv , xn v ✏ zv ✁ zv 2i ✏ ❇❇zf dz1  ☎☎☎  ❇❇zf dzn   ❇❇zf dz1  ☎☎☎  ❇❇zf dzn v ✏ 1, , n, đặt n n ❇ f ✏ ✂ ❇ f ✁i ❇ f ✡, ❇zv ❇xv ❇xn v ❇ f ✏ ✂ ❇ f  i ❇ f ✡ ❇zv ❇xv ❇xn v Định nghĩa 1.1 Hàm w ✏ f ♣zq gọi chỉnh hình (hay giải tích) miền mở D ⑨ C hàm có f ✶ ♣xq điểm D Hàm w ✏ f ♣zq gọi chỉnh hình z chỉnh hình lân cận z Những điểm mà w ✏ f ♣zq không chỉnh hình gọi điểm bất thường Định nghĩa 1.2 Hàm f , xác định lân cận điểm z € C, gọi khả vi điểm theo nghĩa giải tích phức (C✁khả vi), R2n ✁ khả vi điểm ❇ f ✏ ♣v ✏ 1, , nq ❇zv ♣✝q tức vi phân có dạng ✏ ❇❇zf dz1  ☎☎☎  ❇❇zf dzn df n Khi viết điều kiện (*) thành phần fv , ta nhận hệ 2n2 phương trình thực 2n hàm thực, tức hệ xác định thừa n → Hệ xác định thừa hệ thừa khác đóng vai trò quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa 1.3 Hàm f gọi chỉnh hình điểm z0 € Cn f khả vi điểm lân cận z0 Hàm f chỉnh hình điểm tập mở Ω ⑨ Cn (đặc biệt miền) gọi hàm chỉnh hình tập Ω Nhận thấy: Hàm chỉnh hình miền D ⑨ Cn hàm chỉnh hình (Cn - khả vi) theo biến zv riêng biệt Khẳng định ngược lại đúng: hàm f chỉnh hình theo biến zv riêng biệt miền D ⑨ Cn đó, khả vi D (theo nghĩa R2n ) theo tập hợp biến Tính chất 1.1 Xét hàm f liên tục miền D ⑨ Cn theo tập hợp biến điểm z0 € D, chỉnh hình theo tọa độ Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện ❇ f ✏ ♣v ✏ 1, , nq ❇ zv đa tròn đóng U ✏ tz € Cn : ⑤zv ✁ av ⑤ ↕ rv ✉ điểm z € Unó biểu diễn tích phân bội Cauchy: f ♣zq ✏ 2πi ➺ ➺ dζn ☎☎☎ ♣ζ f✁♣ζzqdζ 1 q ♣ζn ✁ zn q Γ Γ khung đa tròn, tức tích vòng tròn biên γv ✏ t⑤ζv ✁ av ⑤ ✏ rv ✉ Tính chất 1.2 Xét hàm f liên tục miền D ⑨ Cn theo tập hợp biến điểm z0 € D, chỉnh hình theo tọa độ Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện ❇ f ✏ ♣v ✏ 1, , nq ❇ zv đa tròn đóng U ✏ tz € Cn : ⑤zv ✁ av ⑤ ↕ rv điểm z € Unó biểu diễn chuỗi lũy thừa kép: f ♣zq ✏ ✽ ➳ ⑤k⑤✏0 với hệ số ck ✏ ♣2πiqn ➺ Γ ck ♣z ✁ aqk f ♣ζ qdζ ♣ζ ✁ aqk 1 k ✏ ♣k1 , , kn q véc tơ số nguyên (kv ➙ 0) ♣z ✁ aqk ✏ ♣z1 ✁ a1 qk1 ☎☎☎♣zn ✁ an qkn Tính chất 1.3 (Định lý Aben) Nếu chuỗi lũy thừa (trong tính chất 1.2) hội tụ điểm z € Cn tập tùy ý K ❸ tz : ⑤zv ✁ av ⑤ ➔ ⑤ζv ✁ av ⑤✉ chuỗi hội tụ tuyệt đối Tính chất 1.4 Xét hàm f liên tục miền D ⑨ Cn theo tập hợp biến điểm z0 € D, chỉnh hình theo tọa độ hàm f thỏa mãn điều kiện ❇ f ✏ ♣v ✏ 1, , nq ❇ zv đa tròn đóng U ✏ tz € Cn : ⑤zv ✁ av ⑤ ↕ rv ✉ điểm z € Unó có đạo hàm riêng cấp liên tục theo tập hợp biến Tính chất 1.5 Nếu hàm f chỉnh hình điểm a, khai triển thành chuỗi lũy thừa (dạng tính chất 1.2), hệ số chuỗi xác định theo công thức Taylo: ck ✏ ✞ ✞  ☎☎☎  k n ❇ ✞ ☎ ✞ k k k1 ! ☎☎☎ kn ! ❇ z ☎☎☎❇ znn ✞ k1 ✏ z a k! ✏ k1 ! ☎☎☎ kn ! ✏ ✞ ❇ ⑤k⑤ f ✞✞ ☎ k! ❇ zk ✞z✏a Tính chất 1.6 (Bất đẳng thức Cauchy) Nếu hàm f chỉnh hình đa tròn đóng U ✏ t: ⑤zv ✁ av ⑤ ↕ rv ✉ ⑤ f ⑤ ↕ M khung Γ nó, hệ số khai triển Xét định thức cấp C (Định thức cấp cao cấp 2) Det −(x1 + x2 )2 − (x1 + x2 )2 + −ex1−x2 =0 −ex1 −x2 ⇒ RankC = = m, ⇒ Điều kiện (4) Định lý 2.6 thoả mãn • Xét điều kiện (5) Định lý 2.6 (l) ∂ Ak j (i) Xét biểu thức M = ∑ λl ∑ j=1 l=1 ; i, k = 1, ∂xj - Với k = ta có M (i) = λ1 (1) (1) ∂ A11 ∂ A12 + ∂ x1 ∂ x2 (i) (i) (2) (2) (2) (2) ∂ A11 ∂ A12 + ∂ x1 ∂ x2 (i) + λ2 (3) (3) (3) (3) (i) + λ3 ∂ A11 ∂ A12 + ∂ x1 ∂ x2 (i) + λ3 ∂ A21 ∂ A22 + ∂ x1 ∂ x2 (i) = λ1 4x1 + λ2 4x1 + λ3 (−4x1) i = ⇒ M = 0.4x1 + 1.4x1 − 1.4x1 = i = ⇒ M = 1.4x1 + 0.4x1 − 1.4x1 = - Với k = ta có M (i) = λ1 (1) (1) ∂ A21 ∂ A22 + ∂ x1 ∂ x2 (i) ∂ A21 ∂ A22 + ∂ x1 ∂ x2 (i) + λ2 (i) (i) = λ1 ex1−x2 + λ2 ex1−x2 + λ3 (−ex1 −x2 ) i = ⇒ M = 0.ex1−x2 + 1.ex1 −x2 − 1.ex1−x2 = i = ⇒ M = 1.ex1−x2 + 0.ex1 −x2 − 1.ex1−x2 = (i) ⇒ λ1 ∑ j=1 (1) ∂ Ak j ∂xj (i) + λ2 ∑ j=1 (2) ∂ Ak j ∂xj (i) + λ3 ∑ j=1 ⇒ Điều kiện (5) Định lý 2.6 thoả mãn 56 (3) ∂ Ak j ∂xj = 0, i, k = 1, Hệ phương trình (2.68) thoả mãn tất điều kiện Định lý 2.6 Vậy nghiệm hệ ∑ thác triển liên tục thành nghiệm toàn G 57 Chương Áp dụng tiêu chuẩn ma trận hệ Cauchy Riemann R2 3.1 Hệ Cauchy - Riemann C 3.1.1 Định nghĩa Goi Ω miền Rn , ➦ lân cận mở ❇ Ω (trong ❇ Ω biên miền) Ta nói: hệ phương trình đạo hàm riêng có định lý thác triển kiểu Hartogs nghiệm cho trước hệ ⑤ thành nghiệm hệ toàn miền Ω 58 ➦ ⑤ thác triển 3.1.2 Nhận xét Định lý thác triển không hệ Cauchy - Riemann C (hay R2 ) Chứng minh Thật vậy, xét hệ Cauchy - Riemann sau đây: ✩ ❇u1 ✁ ❇u2 ✬ ✬ ✬ ✫ ❇x ❇x ✏0 ✬ ✬ ✬ ✪ ❇u1   ❇u2 ❇x2 ❇x1 ✏ (3.1) Nếu đặt: w ✏ u1   iu2 z ✏ x1   ix2 Khi đó: z ✏ x1 ✁ ix2 hệ ❇w ✏ ❇z ô (3.1) Đây hệ Cauchy - Riemann C Ta nhận thấy nghiệm hệ định lý thác triển Thật vậy, xét ví dụ: Xét hàm: w✏ z ñ w ✏ x  1 ix ✏ xx12 ✁ ixx22 2 - Đặt u1 ✏ x1   x22 ✁x2 u2 ✏ x1   x22 x12 59 (3.1a) Dễ dàng chứng minh u♣u1 , u2 q nghiệm (3.1) Vì ta xét đạo hàm riêng sau: ❇ u1 ❇ x1 ❇ u1 ❇ x2 ❇ u2 ❇ x1 ❇ u2 ❇ x2 ✁ x12   x22 ✏ ♣x2   x2 q2 x2 ✏ ♣x✁2 2x 2   x2 q ✏ ♣x22x 1 xx22 q2 2 ✏ ♣✁x2x 1  x2xq22 Thay đạo hàm riêng vào hệ Cauchy - Riemann ta có: ✩ ✁x12   x22 ✁ ✁x12   x22 ✬ ✬ ✬ ✫ ♣x12   x22 q2 ♣x12   x22 q2 ✬ ✁2x1 x2 ✬ ✬ ✪ 2   22x1 x22 ♣x1   x2 q ✏ ♣x1   x2 q ✏ Ta thấy thỏa mãn Vậy chứng tỏ hệ Cauchy - Riemann C định lý thác triển Chú ý: Như xét hệ Cauchy - Riemann (3.1) định lý thác triển Do muốn có định lý thác triển phải thêm vào hệ số điều kiện Trong phần ta thêm vào hệ Cauchy - Riemann phương trình độc lập tuyến tính xét xem định lý thác triển có hay không 60 3.2 Bổ sung điều kiện vào hệ Cauchy - Riemann để có định lý thác triển * Nhận xét mở đầu: Theo phần 3.1 xét hệ Cauchy - Riemann không định lý thác triển Vậy để hy vọng có định lý thác triển ta thử thêm vào hệ (3.1) điều kiện kiểu sau ➳ ✏ j i, j ❇ui ✏ ❇x j (3.1a) Tức xét hệ (3.1) + (3.1a) Ta hy vọng nghiệm hệ (3.1) + (3.1a) thác triển từ ➦ vào Ω Bổ đề 3.1 Xét hệ (3.1),(3.1a) sau: ✩ ❇u ❇u ✬ ✬ ✁ ✬ ✬ ❇ x1 ❇ x2 ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ ❇ u1 ❇ u2 ✏0 ❇ x2   ❇ x1 ✏ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ➳ ✬ ❇ui ✬ ✬ a ✬ i j ✪ ❇x j i, j✏1 ✏0 Nếu tồn phép biến đổi tuyến tính không suy biến: T ✏ ♣ti j q2✂2 , T ✏ ♣τlk q2✂2 Với Tu ✏ v Tξ ✏x 61 (trong ti j τlk số) cho hệ (3.1) + (3.1a) chuyển thành hệ: (Với k ✏ 1, 2, 3) ➳ ✶ ♣kq ❇ vi j ❇ξ j i, j✏1 ♣3.1✶ q ✏0 mà hệ chứa phương trình dạng ❇v1 ✏ ❇ξ1 ♣3.1a✶ q Thì hệ (3.1)+(3.1a) có định lý thác triển Chứng minh Trong mặt phẳng x1 Ox2 cho hình chữ nhật abcd Qua phép biến đổi tuyến tính ngược T ✁1 x ✏ ξ hình chữ nhật mặt phẳng x1 Ox2 (hình 3.1) trở thành hình bình hành a✶ b✶ c✶ d ✶ mặt phẳng ξ1 Oξ2 (hình 3.2) ξ2 x2 Ω d Ω′ d’ ′ c’ c O a b O x1 Hình 3.1: a’ b’ ξ1 Hình 3.2: Cặp nghiệm u ✏ ♣u1 , u2 q x € x1 Ox2 biến thành cặp nghiệm v ✏ ♣v1 , v2 q 62 mặt phẳng ξ € ξ1 Oξ2 Vì u♣u1 u2 q cho trước nghiệm hệ (3.1) +(3.1a) xác định Do giả thiết ➦ ➦✶ nghiệm hệ (3.1’) nên v♣v1 , v2 q ❇v1 ✏ 0, ta dễ dàng nhận thấy v (cho trước ➦✶ ) thác triển ❇ ξ1 ✶ thành vr1 toàn miền Ω cách tự nhiên Do v2 liên kết với v1 qua hệ phương trình dạng: ✩ ➳ ✶ ♣kq ❇vi ✬ ✬ ✬ j ✬ ✫ ❇ξ j i, j✏1 ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ ❇ v1 ✏ ♣3.1✶ q ✏0 ♣3.1a✶ q ❇ ξ1 nên ta thay v1 vr1 từ (3.1’) + (3.1’a) ta tìm vr2 xác định toàn miền Ω✶ Từ phép biến đổi tuyến tính Tu ✏ v trên, ta lấy ur♣ur1 ur2 q ✏ T ✁1 ♣vrq Dễ dàng ur nghiệm (3.1) + (3.1a) toàn miền Ω 3.3 Sự tồn T T Nhận xét: Ta tồn cặp T T thỏa mãn giả thiết nói Ta ký hiệu phép biến đổi tuyến tính: ✏ ♣ti j q T ✏ ♣τlk q Tức ta phải tìm tám số ♣ti j q2✂2 , ♣τi j q2✂2 phép biến đổi T Tu ✏ v Tξ ✏x 63 để tồn T, T Ta có phép tính toán sau: ☎ ✏ T ☞ ✆t11 t12 ✌ t21 t22 ☎ ☞ ✏ u ✆u1 ✌ u2 ☎ ☞ ✏ v ✆v1 ✌ v2 ☎ T ξ + Vì Tu ✏ v ✏ ✆τ11 τ12 ✌ ✏ ✆ξ1 ✌ τ22 ☎ ☞ τ21 ξ2 ☞ ☎ ☞ ☎ ô ✆ 11 t t12 t21 t22 u2 ô✬ ✪t21 u1   t22 u2 ✏ x nên ta có: ☎ ☞ ✌ ✆u1 ✌✏ ✆v1 ✌ ✩ ✬ ✫t11 u1   t12 u2 + Vì T ξ ☞ ☎ ☞☎ ☞ v2 ✏ v1 ✏ v2 ☎ ☞ ✆T11 T12 ✌✆ξ1 ✌✏ ✆x1 ✌ T21 T22 ξ2 ✩ ✬ ✫T11 ξ1   T12 ξ2 ô✬ ✪T21 ξ1   T22 ξ2 Từ hệ ta có: ❇ x1 ✏ T ❇ξ1 11 64 x2 ✏ x1 ✏ x2 ❇ x2 ✏ T ❇ξ1 21 + Theo yêu cầu định lý buộc: ❇v1 ✏ ❇ξ1 ñ ❇❇ξv1 ✏ ❇❇vx1 ❇❇ξx1   ❇❇xv1 ❇❇ξx2 1 ✏ ❇❇vx1 T11   ❇❇vx1 T21 ✏ ❇❇x ♣t11 u1   t12 u2 q.T11   ❇❇x ♣t11 u1   t12 u2 q.T21 ✏ t11 T11 ❇❇ux1   t12 T11 ❇❇ux2   t11 T21 ❇❇ux1   t12 T21 ❇❇ux2 1 2 ✏ ♣t11 T11 ❇❇ux1   t12 T21 ❇❇ux2 q ♣t12 T11 ❇❇ux2   t11 T21 ❇❇ux1 q ✏ 2 ♣1q ✩ ❇ u1 ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ ❇ x1 Từ hệ (3.1) ta có: ✏ ❇❇ux2 ✬ ✬ ❇u ❇u ✬ ✬ ✪ 1✏ ✁ ❇ x2 ❇ x1 thay vào (1) ta được: ❇v1 ✏ ✂t T ❇u1   t T ❇u1 ✡   ✂t T ❇u2 ✁ t T ❇u2 ✡ ✏ 11 11 12 11 ❇ξ1 ❇x1 12 21 ❇x1 ❇x1 11 21 ❇x1 ô ❇❇ξv1 ✏ ♣t11 T11   t12 T21 q ❇❇ux1  ♣t12 T11 ✁ t11 T21 q ❇❇ux2 ✏ 1 ✩ ✬ ✫t11 T11   t12 T21 ô✬ ✪t12 T11 ✁ t11 T21 65 ✏0 ✏0 (2) Như ta phải tìm bốn số t11 ,t12 , T11 , T21 thỏa mãn ♣2q để tồn phép biến đổi tuyến tính cho hệ Cauchy - Riemann thác triển toàn miền Chứng minh Ta cho T11 ✏ 1, T21 ✏ 1, thay vào hệ (2) ta được: D✏ Khi D ✘ t11 t12 t12 ✁t11 ô ñ Có thể chọn t11 ✏ ✏ ✁♣t112   t122 q t11 ✘ ✁t122 ñ t122 ✘ ✁1 ✏ i2 ñ t12 ✘ ✟i Với T11 ✏ 1, T21 ✏ chọn trên, thay vào hệ (2) ta có: ✩ ✬ ✫t11   t12 ✬ ✪✁t11   t12 ✏0 ✏0 Với t11 ✏ 1,t12 ✘ ✟i ta có: + Chọn t12 ✏ 2i, thay vào hệ (2) ta 2i 2i ✁1 ✏ ✁1 ✁ 4i2 ✏ ✘ Vậy ta chọn: ☎ T T12 T22 T12 T22 ✘0 ✏✆ Sao cho: 66 ☞ ✌ ô T22 ✁ T12 ✘ ô T22 ✘ T12 ta chọn: ☎ T ✏✆ ☞ 2i t21 t22 ✌ Sao cho: t22 ✁ 2it21 ✘ ô t22 ✘ 2it21 Khi giá trị bổ đề 3.1 thỏa mãn Định lý 3.1 Cho hệ Cauchy - Riemann: ✩ ❇u1 ✁ ❇u2 ✬ ✬ ✬ ✫ ❇x ❇x ✏0 ✬ ✬ ✬ ✪ ❇u1   ❇u2 ❇x2 ❇x1 ✏ (Hệ định lý thác triển) Ta thêm vào hệ phương trình độc lập tuyến tính với hai phương trình cho hệ nhận được: ✩ ❇u ❇u ✬ ✬ ✁ ✬ ✬ ❇ x1 ❇ x2 ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ ❇ u1 ❇ u2 ✏0 ❇ x2   ❇ x1 ✏ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ➳ ✬ ❇ui ✬ ✬ a ✬ i j ✪ ❇x j i, j✏1 có định lý thác triển Hartogs 67 ✏0 Kết luận: Nếu thêm vào hệ Cauchy - Riemann phương trình dạng (3.1a) độc lập tuyến tính nghiệm hệ cho trước 68 ➦ thác triển Ω KẾT LUẬN Trong khóa luận em đưa nội dung sau: i) Một số tiêu chuẩn để thác triển nghiệm hệ phương trình đạo hàm riêng cấp tuyến tính cấp hệ số ( Định lý 2.2, 2.3 trang 19 trang 25) hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hệ số hàm ( Định lý 2.4, 2.5 trang 33, Định lý 2.6 trang 34, Định lý 2.7 trang 40) ii) Bổ sung số tiêu chuẩn hệ Cauchy R2 để hệ có định lý thác triển Tuy nhiên thời gian thực khóa luận không nhiều có sai sót em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn 69 Tài liệu tham khảo [1] B.V.Sabat (1979), Nhập môn giải tích phức 1, 2, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp [2] Nguyễn Minh Chương, Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung (2000), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục [3] Bernd Goldschmidt (1984), ” Existence Theorems for Overde-termine Systems of Partial Differential Equations of First Order" ,Math.Nachr, pp 233 - 250 [4] Le Hung Son (1986) , "Extension Problem for the Solution of Partial Differential Equations in Rn " Preprint Nr.956, Technische Hochschule Darmstadt [5] Le Hung Son (1986) , "The connection between overdetermination and the extendibility of a system of partial differential equation", Preprint Nr.958 [6] Le Hung Son (1999), "Matrix criteria for the extension of solutions of the general linear system of patial diffierential equations with function coefficients" Finite or infinite dimennsional complex anal - ysis, (Fukuoka, 1999), 267 281, Lecture Notes in Pure and Appl Math., 214, Dekker, New York, 2000 70 ... trọng tượng biết thể địa phương định Bài toán thực thu hút ý lý thuyết hàm phức nhiều biến đời Một kết bật toán thác triển hàm quy nhận giá trị đại số ma trận ứng dụng Dựa ý tưởng này, người ta tìm... ĐẦU Trong nhiều năm qua, toán thác triển có nhiều ứng dụng lý thuyết kỹ thuật, đặc điểm quan trọng toán là: biết tính chất hàm địa phương đó, biết tính chất hàm toàn cục Vì giải toán thác triển. .. thuộc liên tục vào ξ , hàm u trở thành hàm quy với ⑤ξ ✁ x0 ⑤ ➔ R Nói cách khác, với điểm x0 € Ω tồn lân cận mà u hàm 13 quy Như u hàm quy toàn Ω 1.4 Định lý thác triển hàm Hartogs cho hàm nhiều biến