ÛTrường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 1 ĐƯỜNG TRÒN I.Lập phương trình đường tròn : Bài 1. Xét xem các phương trình sau có là phương trình của đường tròn không ? Nếu có hãy xác đònh tâm và bán kính của đường tròn đó. 1) 2 2 2 2 2 0x y x y+ − − − = 2) 2 2 4 6 3 0x y x y+ − + − = 3) 2 2 4 6 14 0x y x y+ − + + = 4) 2 2 2 6 15 0x y x y+ + − − = 5) 2 2 2 2 4 8 14 0x y x y+ + + + = 6) 2 2 4 4 8 16 19 0x y x y+ − − + = Bài 2. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau : 1) (C) có tâm I(3 ; 5) và qua điểm A(7 ; 2) 2) (C) có tâm I(-1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng D : x – 2y + 7 = 0 3) (C) có đường kính AB với A(1 ; 1) và B(7 ; 5) 4) (C) có đường kính CD với C(1 ; 5) và D(-1 ; 1) 5) (C) có tâm là I(-1 ; 2) và chắn trên D : x + 2y + 2 = 0 một dây cung MN = 2. Bài 3. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm : 1) O(0 ; 0), M(1 ; 2), N(-2 ; 4) 2) A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3) 3) A(4 ; 5), B(3 ; -2), C(1 ; 4) 4) A(1 ; 3), B(5 ; 6), C(7 ; 0) 5) A(2 ; 1), B(2 ; 5), C(-2 ; 1) 6) A(-2 ; 4), B(5 ; 5), C(6 ; -2) Bài 4. Cho bốn điểm : A(-1 ; 3), B(-2 ; 2), C(4 ; -2), D(3 ; -3) 1) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn 2) Lập phương trình đường tròn đó. Bài 5. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau : 1) (C) có tâm I(2 ; -5) và tiếp xúc với Ox 2) (C) có tâm I(1 ; 3) và tiếp xúc với Oy 3) (C) qua A(9 ; 9) và tiếp xúc với trục Ox tại M(6 ; 0) 4) (C) tiếp xúc với trục Ox tại A(2 ; 0) và khoảng cách từ tâm của (C) đến B(6 ; 4) bằng 5 5) (C) tiếp xúc cả hai trục tọa độ và qua M(2 ; 1) 6) (C) tiếp xúc cả hai trục tọa độ và qua M(4 ; 2) 7) (C) tiếp xúc cả hai trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng D : 4x – 2y – 8 = 0 8) (C) qua hai điểm A(2 ; 3), B(-2 ; 1) và có tâm nằm trên trục hoành 9) (C) qua hai điểm A(2 ; 0), B(3 ; 1) và có bán kính R = 5 10) (C) qua hai điểm A(-1 ; 1), B(0 ; 2) và có tâm nằm trên đường thẳng D : 2x + 3y = 0 11) (C) qua hai điểm A(-1 ; 2 ), B(3 ; 0) và có tâm nằm trên đường thẳng D : 7x + y – 6 = 0 12) (C) tiếp xúc với đường thẳng 1 D : x – 2y + 3 = 0 tại M(1 ; 2) và có tâm nằm trên đường thẳng 2 D : x – 5y – 5 = 0. 13) (C) tiếp xúc với đường thẳng 1 D : x – 7y + 10 = 0 tại M(4 ; 2) và có tâm nằm trên đường thẳng 2 D : 2x + y = 0. 14) (C) tiếp xúc cả hai đường thẳng 1 D : x + y + 4 = 0, 2 D : 7x – y + 4 = 0 và có tâm nằm trên đường thẳng ∆ : 4x + 3y – 2 = 0 Bài 6. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau : 1) (C) tiếp xúc với đường thẳng D : 3x – 4y – 31 = 0 tại điểm M(1 ; -7) và có bán kính R = 5 2) (C) tiếp xúc với đường tròn (C’) : 2 2 2 0x y x+ − = tại A(2 ; 0) và có bán kính R = 5 2 ĐƯỜNG TRÒN 3) (C) qua A(5 ; 3) và tiếp xúc với đường thẳng D : x + 3y + 2 = 0 tại M(1 ; -1). 4) (C) tiếp xúc với đường thẳng 1 D : 5x – 4y – 17 = 0 tại M(4 ; 3) và tiếp xúc với đường thẳng 2 D : x – 5y – 5 = 0. 5) (C) qua hai điểm A(-1 ; 0), B(1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng D : x – y – 1 = 0 Bài 7. Cho hai đường tròn ( 1 C ) : 2 2 9 0x y+ − = và 2 2 2 ( ) : 2 2 23 0C x y x y+ − − − = . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua các giao điểm của ( 1 C ) và ( 2 C ) , có tâm nằm trên đường thẳng D : x + 6y – 6 = 0. Bài 8. Lập phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng D 1) 2 2 ( ) : ( 1) ( 2) 4C x y− + − = và D : x – y – 1 = 0. (ĐH_D_03) 2) 2 2 ( ) : ( 2) ( 3) 3C x y− + − = và D : x + y – 1 = 0. 3) (C) : 2 2 2 4 3 0x y x y+ − − + = và D : x – 2 = 0. Bài 9. Cho tam giác ABC có B(0 ; 1), C(1 ; 0) và trực tâm H(2 ; 1). Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 10. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2 ; 3 2 ) 1) Viết phương trình đường tròn ( 1 C ) có đường kính là OM. 2) Viết phương trình đường thẳng D qua M và cắt hai nửa trục dương Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho 6 OAB S ∆ = . 3) Tìm tọa độ tâm I đường tròn nội tiếp ( 2 C ) của OAB ∆ . Viết phương trình đường tròn đó. Bài 11. Cho A(4 ; 0) và B(0 ; 3). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác OAB. II.Viết Phương Trình Tiếp Tuyến : Bài 12. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm ( )M C∈ 1) 2 2 ( ) : 25, (3 ; 4)C x y M+ = 2) 2 2 ( ) : 50, (5 ; 5)C x y M+ = − 3) 2 2 ( ) : ( 3) ( 4) 169, (8 ; 16)C x y M− + + = − 4) 2 2 ( ) : 4 9 0, (1 ; 2)C x y x M+ + − = 5) 2 2 ( ) : 4 4 3 0, ( 3 ; 0)C x y x y M+ + + + = − 6) 2 2 ( ) : 2 8 8 0, (4 ; 0)C x y x y M+ − − − = Bài 13. Cho đường tròn (C) : 2 2 4 2 0x y x y+ − − = . 1) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại A có hoành độ là 0 2) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Oy 3) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và đường thẳng ∆ : x + y = 0 Bài 14. Cho đường tròn (C) : 2 2 8 6 17 0x y x y+ − + + = 1) Chứng tỏ M(6 ; 5) nằm trên đường tròn (C). Viết phương tiếp tuyến D của (C) qua M 2) Chứng tỏ N(0 ; -1) nằm ngoài đường tròn (C). Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) qua N Bài 15. Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ một điểm cho trước : 1) 2 2 ( ) : 4 2 2 0, (3 ; 1)C x y x y A+ − + + = 2) 2 2 ( ) : 4 4 1 0, (0 ; 1)C x y x y A+ + − − = − 3) 2 2 ( ) : 2 4 4 0, (3 ; 5)C x y x y A+ + − + = 4) 2 2 ( ) : 2 8 8 0, ( 4 ; 6)C x y x y A+ − − − = − − 5) 2 2 ( ) : 2 8 13 0, (1 ; 1)C x y x y A+ + − + = 6) 2 2 ( ) : 6 4 8 0, (8 ; 7)C x y x y A+ − − + = ÛTrường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 3 Bài 16. Cho đường tròn (C) : 2 2 2x y+ = . Chứng minh các tiếp tuyến tại điểm thuộc đường tròn có hoành độ bằng 1 vuông gốc với nhau. Bài 17. Cho đường tròn (C) : 2 2 ( 2) ( 1) 25x y− + − = 1) Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C) 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(5 ; -3) 3) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng ∆ : 5x – 12y + 2 = 0 4) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng ∆ ’ : 3x + 4y – 7 = 0 5) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(3 ; 6) Bài 18. Cho đường tròn (C) : 2 2 4 8 5 0x y x y+ − + − = 1) Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C) 2) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1 ; 0) 3) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm A(3 ; -11) 4) Lập phương trình đường tròn vuông góc với đường thẳng ∆ : x + 2y = 0 Bài 19. Cho đường tròn (C) : 2 2 6 2 5 0x y x y+ − + + = 1) Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C) 2) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng ∆ : 4x + 2y – 1 = 0 Bài 20. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng ∆ ’ : 2x – y + 7 = 0 Bài 21. Cho đường tròn (C) : 2 2 4 8 5 0x y x y+ − + − = 1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng D : x + 2y = 0 2) Đònh m để đường thẳng ∆ : x + (m – 1)y + m = 0 tiếp xúc với (C) Bài 22. Trong đường tròn (C) : 2 2 6 4 4 0x y x y+ − − + = và A(8 ; -1) 1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A. 2) Gọi E, F là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ A của (C). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm EF. 3) Tính độ dài đường thẳng EF. Bài 23. Trong đường tròn (C) : 2 2 2 4 4 0x y x y+ + − + = và A(3 ; 5) 1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A. 2) Gọi E, F là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ A của (C). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm EF. 3) Tính độ dài đường thẳng EF. Bài 24. Cho đường tròn (C) : 2 2 ( 1) ( 2) 4x y− + − = . Lập phương trình tiếp tuyến (D) biết: 1) D tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân 2) D tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 Bài 25. Cho đường tròn (C) : 2 2 2 4 0x y x y+ + − = và đường thẳng d: x – y + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d mà từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) tại A, B sao cho · 0 60AMB = . Bài 26. Cho hai đường tròn 2 2 1 ( ) : 9C x y+ = và 2 2 2 ( ) : 2 3 0C x y x+ − − = 1) Tìm tâm và bán kính của đường tròn ( 1 C ) và ( 2 C ) 2) Xét vò trí tương đối của ( 1 C ) và ( 2 C ) 3) Viết phương trình tiếp tuyến chung của ( 1 C ) và ( 2 C ) Bài 27. Cho hai đường tròn 2 2 1 ( ) : 2 2 2 0C x y x y+ − − − = và 2 2 2 ( ) : 8 4 16 0C x y x y+ − − + = 4 ĐƯỜNG TRÒN 1) Tìm tâm và bán kính của đường tròn ( 1 C ) và ( 2 C ) 2) Xét vò trí tương đối của ( 1 C ) và ( 2 C ) 3) Viết phương trình tiếp tuyến chung của ( 1 C ) và ( 2 C ) Bài 28. Cho hai đường tròn 2 2 1 ( ) : 10 0C x y x+ − = và 2 2 2 ( ) : 4 2 20 0C x y x y+ + − − = 1) Tìm tâm và bán kính của đường tròn ( 1 C ) và ( 2 C ) 2) Xét vò trí tương đối của ( 1 C ) và ( 2 C ) 3) Viết phương trình tiếp tuyến chung của ( 1 C ) và ( 2 C ) Bài 29. Cho hai đường tròn 2 2 1 ( ) : 4 5 0C x y x+ − − = và 2 2 2 ( ) : 6 8 16 0C x y x y+ − + + = 1) Tìm tâm và bán kính của đường tròn ( 1 C ) và ( 2 C ) 2) Xét vò trí tương đối của ( 1 C ) và ( 2 C ) 3) Viết phương trình tiếp tuyến chung của ( 1 C ) và ( 2 C ) Bài 30. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau : 1) 2 2 1 ( ) : 1C x y+ = và 2 ( )C : 2 2 ( 8) ( 6) 16x y− + − = 2) 2 2 1 ( ) : ( 1) ( 3) 25C x y− + + = và 2 ( )C : 2 2 ( 1) ( 3) 9x y+ + + = 3) 2 2 1 ( ) : 2 4 4 0C x y x y+ − + − = và 2 ( )C : 2 2 4 4 56 0x y x y+ + − − = 4) 2 2 1 ( ) : 10 0C x y x+ − = và 2 ( )C : 2 2 4 2 2 0x y x y+ + − − = 5) 2 2 1 ( ) : 10 24 56 0C x y x y+ − + − = và 2 ( )C : 2 2 2 4 20 0x y x y+ − − − = 6) 2 2 1 ( ) : 2 6 6 0C x y x y+ + − + = và 2 ( )C : 2 2 4 2 4 0x y x y+ − + − = 7) 2 2 1 ( ) : 8 4 29 0C x y x y+ − − − = và 2 2 2 ( ) : 2 12 33 0C x y x y+ − − + = 8) 2 2 1 ( ) : 2 3 0C x y x+ − − = và 2 2 2 ( ) : 8 8 28 0C x y x y+ − − + = 9) 2 2 1 ( ) : 2 2 2 0C x y x y+ − − − = và 2 2 2 ( ) : 6 4 19 0C x y x y+ − − + = 10) 2 2 1 ( ) : 6 5 0C x y x+ − + = và 2 2 2 ( ) : 12 6 44 0C x y x y+ − − + = III.Họ Đường Tròn Và Quỹ Tích : Bài 31. Cho ( m C ) : 2 2 2 6 2 0x y mx my m+ − + + = 1) Tìm điều kiện của m để ( m C ) là đường tròn 2) Tìm điều kiện của m để ( m C ) là đường tròn có bán kính 3R = Bài 32. Cho ( m C ) : 2 2 2 4 2 4 3 0x y mx my m m+ − + + − = 1) Tìm điều kiện của m để ( m C ) là đường tròn 2) Tìm điều kiện của m để đường tròn ( m C ) có bán kính bằng 1 3) Tìm điều kiện của m để ( m C ) là đường tròn đi qua gốc tọa độ O Bài 33. Cho ( m C ) : 2 2 2 4( 2) 6 0x y mx m y m+ − − − + − = 1) Tìm điều kiện của m để ( m C ) là đường tròn 2) Tìm tập hợp tâm của họ đường tròn ( m C ) khi m thay đổi Bài 34. Cho 2 2 ( ) : ( 2) ( 4) 1 0 m C x y m x m y+ + + − + + = 1) Chứng minh ( m C ) là họ đường tròn ÛTrường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 5 2) Chứng minh rằng : trong các đường tròn của ( m C ) có một đường tròn qua gốc tọa độ. Tìm phương trình đường tròn đó. Bài 35. Cho ( m C ) : 2 2 2( 1) 4 17 0x y m x my+ − + + + = 1) Tìm điều kiện của m để ( m C ) là đường tròn 2) Với giá trò nào của m thì đường tròn ( m C ) tiếp xúc với đường thẳng : 1 0x y∆ + − = 3) Tìm tập hợp tâm của họ ( m C ) khi m thay đổi Bài 36. Cho 2 2 ( ) : 4 2( 1) 1 0 m C x y mx m y+ − − + − = 1) Tìm điều kiện của m để ( m C ) là đường tròn 2) Tìm các điểm cố đònh của họ ( m C ) khi m thay đổi 3) Tìm tập hợp tâm của họ đường tròn ( m C ) khi m thay đổi Bài 37. Cho ( m C ) : 2 2 ( 3) ( 2) 13 0x y m x m y m+ + + − + + − = 1) Chứng minh ( m C ) là họ đường tròn 2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, ( m C ) luôn đi qua hai điểm cố đònh. Bài 38. Cho ( m C ) : 2 2 2 2( 1) 2 1 0x y mx m y m+ − − + + − = 1) Chứng minh rằng khi m thay đổi, ( m C ) luôn đi qua hai điểm cố đònh. 2) Chứng minh rằng ( m C ) luôn cắt trục tung tại hai điểm phân biệt m∀ . Bài 39. Cho ( m C ) : 2 2 ( 2) ( 4) 1 0x y m x m y m+ + + − + + + = 1) Đònh m để ( m C ) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất 2) Tìm tập hợp tâm của họ đường tròn ( m C ) 3) Chứng minh rằng ( m C ) luôn đi qua hai điểm cố đònh Bài 40. Cho ( m C ) : 2 2 2 4(2 1) 5 0x y mx m y+ − − − + = 1) Tìm điều kiện của m để ( m C ) là đường tròn 2) Tìm m để đường tròn ( m C ) cắt trục hoành tai hai điểm A, B sao cho AB = 4 Bài 41. Cho ( m C ) : 2 2 2 2 2 2 3 0x y mx my m m+ − + + − + = 1) Đònh m để ( m C ) là một đường tròn. Khi đó tìm tọa độ tâm và bán kính 2) Đònh m để ( m C ) tiếp xúc với hai trục tọa độ 3) Đònh m để ( m C ) cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho AB = 2. Bài 42. Lập phương trình đường tròn đi qua A(0 ; 1) và tiếp xúc với Ox. Tìm tập hợp tâm của đường tròn đó. Bài 43. Tìm tập hợp các điểm : 1) ( 1 2 cos ; 2 2sin )M t t− + − 2) (2 4 sin ; 3 4 cos )M t t+ − + 6 ĐƯỜNG TRÒN Bài 44. Cho (3cos ; 0)A t và (0 ; 2sin )B t và điểm M(x ; y) thỏa mãn 2 3 0AB MB+ = uuur uuuur r . Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với t. Bài 45. Cho hai điểm A(1 ; 1) và B(9 ; 7). Tìm tập hợp các điểm M thỏa các điều kiện sau : 1) MA = 3 MB 2) 2 2 90MA MB+ = 3) 2 2 2 2 3MA MB OM− = Bài 46. Cho ba điểm A(-1 ; 0), B(2 ; 4), C(4 ; 1). Chứng minh rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn 2 2 2 3 2MA MB MC+ = là một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C) Bài 47. Cho họ ( m C ) : 2 2 2 4 4 8 8 4 3x y mx y m+ − − + + = 0. 1) Chứng minh rằng : ( m C ) luôn là đường tròn với mọi m. 2) Tìm tập hợp tâm của họ ( m C ) khi m thay đổi 3) Chứng minh rằng : ( m C ) luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố đònh. Bài 48. Cho ( C α ) : 2 2 ( ) sin 2( cos sin cos ) ( )x y x y k α α α α α π + = + − ≠ 1) Chứng minh rằng : ( C α ) luôn là đường tròn với mọi α . Đònh tâm và bán kính của ( C α ). 2) Chứng minh rằng : ( C α ) luôn có một tiếp tuyến cố đònh và xác đònh tiếp tuyến đó. Bài 49. Cho đường thẳng D : cos sin 2 cos 1 0,x t y t t t R+ + + = ∈ . Chứng minh D luôn tiếp xúc với một đường tròn cố đònh. Bài 50. Cho đường thẳng D : cos sin 3 cos 2sin 4 0x t y t t t+ − + + = . Chứng minh D luôn tiếp xúc với một đường tròn cố đònh. Bài 51. Cho đường thẳng D : cos 2 sin 2 2 sin (cos sin ) 3 0x t y t t t t+ − + + = . Chứng minh D luôn tiếp xúc với một đường tròn cố đònh. IV.Vò Trí Tương Đối : Bài 52. Xét vò trí tương đối của đường thẳng (D) và đường tròn (C) 1) D : x + y – 2 = 0 và (C) : 2 2 2 6 6 0x y x y+ − + − = 2) D : 5 2 x t y t  =  = −  và (C) : 2 2 4 2 20 0x y x y+ − + − = Bài 53. Cho đường tròn (C) : 2 2 2 6 6 0x y x y+ − − + = và M(4 ; 2). Viết phương trình đường thẳng D qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm AB. Bài 54. Cho đường tròn (C) : 2 2 ( 1) ( 2) 2x y+ + + = và đường thẳng D : 3x – 2y – 1 = 0 1) Xác đònh vò trí tương đối của D và (C) 2) Tìm trên D điểm 0 0 ( ; )x y sao cho 2 2 0 0 x y+ đạt giá trò nhỏ nhất Bài 55. Tìm trên đường tròn (C) : 2 2 2 2 23 0x y x y+ − + − = điểm M có khoảng cách đến đường thẳng D : 3x – 4y + 23 = 0 1) Nhỏ nhất 2) Lớn nhất Bài 56. Cho đường tròn (C) : 2 2 4 2 1 0x y x y+ − + − = và đường thẳng D : y = x 1) Chứng minh D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B 2) Tính độ dài đoạn AB. Bài 57. Viết phương trình đường thẳng qua A(2 ; 3) và cắt đường tròn (C) : 2 2 ( 1) 9x y+ + = tại hai điểm M, N sao cho MN = 6 ÛTrường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 7 Bài 58. Cho đường tròn (C) : 2 2 ( 1) ( 2) 4x y− + + = và đường thẳng ∆ : 3x – 4y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng D // ∆ và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài lớn nhất. Bài 59. Cho đường tròn (C) : 2 2 4 6 5 0x y x y+ − − + = . Viết phương trình đường thẳng D đi qua A(3 ; 2) và cắt (C) theo một dây cung có độ dài lớn nhất. Bài 60. Cho đường tròn (C) : 2 2 4 6 5 0x y x y+ − − + = . Viết phương trình đường thẳng D đi qua A(3 ; 2) và cắt (C) theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất. Bài 61. Xét vò trí tương đối của ( 1 C ) và ( 2 C ) : 1) 2 2 1 ( ) : 7 0C x y x y+ − − = và 2 2 2 ( ) : 7 18 0C x y x y+ − − − = 2) 2 2 1 ( ) : 2 4 5 0C x y x y+ + − − = và 2 2 2 ( ) : 5 4 0C x y x y+ − − + = Bài 62. Cho hai đường tròn 2 2 1 ( ) : 7 0C x y x y+ − − = và 2 2 2 ( ) : 7 18 0C x y x y+ − − − = 1) Chứng tỏ ( 1 C ) và ( 2 C ) cắt nhau tại hai điểm A, B. 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, B. Bài 63. Cho hai đường tròn 2 2 ( ) : 1 0C x y+ − = và 2 2 ( ) : 2( 1) 4 5 0 m C x y m x my+ − + + − = . Tìm m để ( C ) và ( m C ) tiếp xúc với nhau. Bài 64. Cho họ đường tròn ( ) m C : 2 2 2 2 4 5 1 0x y mx my m+ − + + − = . 1) Tìm m để ( ) m C cắt đường tròn (C) : 2 2 1x y+ = tại hai điểm phân biệt A, B. 2) Tìm m để ( ) m C và (C’) : 2 2 2 4 1 0x y x y+ − + + = tiếp xúc trong với nhau. Bài 65. Cho hai đường tròn ( 1 C ) : 2 2 ( 2) ( 2) 2x y+ + − = và 2 2 2 ( ) : ( 3) ( 2) 1C x y− + − = 1) Chứng minh ( 1 C ) và ( 2 C ) nằm ngoài nhau. 2) Cho M(1 ; 2). Hãy tìm hai điểm 1 2 ( ), ( )A C B C∈ ∈ sao cho M là trung điểm của AB. Bài 66. Cho tam giác ABC có A(1 ; 0), B(0 ; 2) và đường tròn (C) : 2 2 1 ( 1) ( ) 1 2 x y− + − = . Viết phương trình đường thẳng đi qua các giao điểm của đường tròn (C) và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO. Bài 67. Cho hai đường tròn ( 1 C ) : 2 2 9 0x y+ − = và 2 2 2 ( ) : 2 2 23 0C x y x y+ − − − = 1) Viết phương trình trục đẳng phương D của ( 1 C ) và ( 2 C ) 2) Chứng minh rằng nếu M D∈ thì khoảng cách từ K đến tâm của ( 1 C ) nhỏ hơn khoảng cách từ K đến tâm của ( 2 C ). Bài 68. Cho hai đường tròn ( 1 C ) : 2 2 2 4 4 0x y x y+ − − − = và 2 2 2 ( ) : 6 2 1 0C x y x y+ + − + = 1) Chứng minh 1 ( )C và 2 ( )C cắt nhau tại hai điểm A, B 2) Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B và điểm C(3 ; -1) 3) Cho điểm M(4 ; 1). Chứng minh qua M có hai tiếp tuyến đến (C). Gọi E, F là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với (C). Hãy lập phương trình đường tròn ( C ’) ngoại tiếp MEF∆ Bài 69. Cho đường thẳng ( ) m D : 2 1 2 0x my+ + − = , đường tròn ( 1 C ) : 2 2 2 4 4 0x y x y+ − + − = và đường tròn 2 2 2 ( ) : 4 4 56 0C x y x y+ + − − = . Gọi I là tâm đường tròn ( 1 C ) 1) Tìm m sao cho ( ) m D cắt ( 1 C ) tại hai điểm phân biệt A, B. 8 ĐƯỜNG TRÒN 2) Chứng minh 1 ( )C và ( 2 C ) tiếp xúc với nhau. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của ( 1 C ) và ( 2 C ). Bài 70. Cho đường tròn (C) : 2 2 4 6 3 0x y x y+ − + + = và đường thẳng ∆ : 3x – y + m = 0. Tìm các giá trò m để : 1) ∆ tiếp xúc với (C) 2) ∆ cắt (C) 3) ∆ và (C) không có điểm chung Bài 71. Biện luận theo m sự tương giao của đường thẳng ∆ và đường tròn (C) 1) (C) : 2 2 6 2 5 0x y x y+ − + + = và ∆ : 2x + y – m = 0 2) (C) : 2 2 2 4 4 0x y x y+ + − + = và ∆ : mx – y + 2 = 0 3) (C) : 2 2 2 4 0x y x y+ + − = và ∆ : mx – y + 7 – 4m = 0 4) (C) : 2 2 4 3 0x y x y+ − − = và ∆ : mx – y + 3m – 1 = 0 5) (C) : 2 2 2 2 2 0x y x y+ + − − = và ∆ : x – my + 2m + 3 = 0 V. Bài Tập Nâng Cao : Bài 72. Cho ( m C ) : 2 2 ( 2) ( 4) 1 0x y m x m y m+ + + − + + + = . Chứng minh rằng ( m C ) luôn đi qua hai điểm cố đònh. Suy ra giá trò của m để ( m C ) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Bài 73. Cho ( m C ) : 2 2 2(3 1) 8 16 0x y m x my m+ − + − + = . Chứng minh họ ( m C ) luôn tiếp xúc nhau tại điểm cố đònh. Bài 74. Cho đường tròn (C) : 2 2 ( 2) ( 3) 2x y− + − = và đường thẳng ∆ : x – y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến ∆ đạt giá trò lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 75. Cho đường tròn ( m C ) : 2 2 2 2 7 0x y mx y m+ − + + + = có tâm là I. Xác đònh m để đường thẳng D : x + y + 1 = 0 cắt ( m C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho IAB là tam giác đều. Bài 76. Lập phương trình đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với đường thẳng D : 3x + 4y + 20 = 0 và đường tròn (C’) : 2 2 ( 1) ( 2) 1x y− + + = . Bài 77. Tìm trên đường thẳng D : 3x + 4y + 20 = 0 những điểm mà từ đó có thể kẻ tới đường tròn 2 2 1x y+ = những tiếp tuyến có độ dài nhỏ nhất. Bài 78. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết phương trình các cạnh AB : 3x + 4y – 6 = 0, AC : 4x + 3y – 1 = 0, BC : y = 0 Bài 79. Cho hai đường tròn 2 2 1 ( ) : 4 2 4 0C x y x y+ − + − = và 2 2 2 ( ) : 10 6 30 0C x y x y+ − − + = có tâm lần lượt là I và J. 1) CMR : ( 1 C ) và ( 2 C ) tiếp xúc ngoài nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm H 2) Gọi D là tiếp tuyến chung của ( 1 C ) và ( 2 C ) không đi qua H. Tìm giao điểm K của D và IJ 3) Viết phương trình đường tròn (C’) đi qua K và tiếp xúc với ( 1 C ) và ( 2 C ) tại H. Bài 80. Cho đường tròn (C) : 2 2 1x y+ = và đường thẳng D : 0Ax By C+ + = . 1) Tìm hệ thức liên hệ giữa A, B để D tiếp xúc với (C). 2) Gọi M, N là hai điểm thuộc (C) có 1 M x = và 1 N y = − .Khi D tiếp xúc với (C), tìm A, B để tổng các khoảng cách từ M, N đến D là nhỏ nhất. Bài 81. Cho đường tròn (C) : 2 2 2 x y R+ = và một điểm M( 0 0 ;x y ) nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến 1 MT và 2 MT với (C). Trong đó 1 2 ,T T là các tiếp điểm. 1) Viết phương trình đường thẳng 1 2 T T ÛTrường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 9 2) Giả sử điểm M chạy trên một đường thẳng D cố đònh, không cắt đường tròn (C). Chứng minh rằng khi đó các đường thẳng 1 2 T T luôn đi qua một điểm cố đònh. Bài 82. Cho n điểm 1 1 1 2 2 2 ( ; ), ( ; ), ., ( ; ) n n n A x y A x y A x y và (n+1) số 1 2 , , ., n k k k sao cho 1 2 . 0 n k k k+ + + ≠ . Tìm tập hợp các điểm M sao cho 2 2 2 1 1 2 2 . n n k MA k MA k MA k+ + + = VI. Một số bài toán liên quan : Bài 83. Đònh m để hệ phương trình sau có nghiệm 2 2 ( 1) 2 4 mx m y x y  + + =   + =   Bài 84. Đònh m để hệ phương trình sau có nghiệm 2 2 0 0 x my m x y x  + − =   + − =   Bài 85. Đònh m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm : 2 2 2 4 4 0 2 0 x y x y mx y   + + − + =  − + =   Bài 86. Đònh m để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm : 2 2 2 2(1 ) ( ) 4 x y m x y  + = +   + =   Bài 87. Cho hệ phương trình 2 2 9 (2 1) 1 0 x y m x my m   + =  + + + − =   Xác đònh m để hệ phương trình trên có hai nghiệm 1 1 2 2 ( ; ), ( ; )x y x y sao cho biểu thức : 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )A x x y y= − + − đạt giá trò lớn nhất. Bài 88. Cho hệ phương trình 2 2 0 0 x y x x my m   + − =  + − =   Xác đònh m để hệ phương trình trên có hai nghiệm 1 1 2 2 ( ; ), ( ; )x y x y sao cho biểu thức : 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )A x x y y= − + − đạt giá trò lớn nhất. Bài 89. Cho hệ phương trình 2 2 | 1| | 1| 1x y x y m  − + + =   + =   . Đònh m để hệ có nghiệm nhiều nhất. Bài 90. Đònh m để phương trình sau có nghiệm : 2 ( 1) 2x y x y m+ + − + = . Bài 91. Cho hệ bất phương trình 2 2 4 6 12 0 0 x y x y x y m   + + + − ≤  − + ≥   1) Giải hệ khi m = 1 2) Đònh m để hệ có nghiệm duy nhất. Bài 92. Đònh m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x y m x y m  − + + ≤   + + − ≤   Bài 93. Trong các cặp nghiệm của bất phương trình 2 2 5 5 5 15 8 0x y x y+ − − + ≤ . Hãy tìm cặp nghiệm có x + 3y nhỏ nhất. . 6) 2 2 4 4 8 16 19 0x y x y+ − − + = Bài 2. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau : 1) (C) có tâm I(3 ; 5) và qua điểm A(7 ; 2) 2) (C). tròn 2) Lập phương trình đường tròn đó. Bài 5. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau : 1) (C) có tâm I(2 ; -5) và tiếp xúc với Ox 2) (C)