Trường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 1 NHỊ THỨC NEWTON BÀI TẬP CƠ BẢN I. Tìm hệ số của một lũy thừa trong khai triển nhò thức Bài 1. Khai triển các nhò thức sau : 1) 5 ( 1)x + 2) 4 ( 2)x + 3) 5 ( )x y+ 4) 6 ( 2)x − 5) 6 1 ( )x x + 6) + 5 2 ( )x y 7) 5 1 (2 )x x − 8) 6 1 ( )x x + Bài 2. Tìm số hạng trong khai triển 1) 7 ( 1)x + chứa 5 x 2) 10 (2 )x− chứa 5 x 3) 7 1 ( )x x + chứa 3 x 4) 10 1 ( ) 2 x x + chứa 4 x 5) 8 1 (2 )x x − chứa 4 x 6) 12 3 ( ) 3 x x − chứa 4 x 7) 6 2 2 ( )x x + chứa 3 x 8) 40 2 1 ( )x x + chứa 31 x 9) 3 5 2 2 (3 )x x − chứa 10 x 10) 6 10 3 1 ( )x x + chứa 24 x 11) 7 10 4 1 ( )x x + chứa 26 x 12) 2 20 2 ( )x x + chứa 10 x Bài 3. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển 1) 7 ( )x y+ chứa 4 3 x y 2) 13 (2 )x y+ chứa 6 7 x y 3) 3 15 ( )x xy+ chứa 25 10 x y 4) 200 (2 3 )x y− chứa 101 99 x y Bài 4. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển 1) 2 ( )x x 7 + chứa 9 x 2) 3 10 ( )x x− chứa 20 x 3) 2 10 2 ( )x x + chứa 5 x 4) 3 14 3 ( )x x − chứa 6 x Bài 5. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 1) 12 1 ( )x x + 2) 3 8 1 ( )x x + 3) 12 2 1 ( )x x − 4) 2 6 1 ( )x y x − 5) 2 8 1 ( )xy xy − 6) 3 10 2 1 (2 )x x + 7) 2 20 1 ( )x x + 8) 10 3 1 ( )x x + 9) + 3 7 4 1 ( )x x (ĐH_D_04) 10) 16 1 ( ) 2 x x x − 11) 20 3 3 (2 )x x + 12) 4 3 17 3 2 1 ( )x x + Bài 6. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển 2 Nhò Thức Newton 1) 2 7 [1 (1 ) ]x x+ + chứa 6 x 2) 8 (1 )(1 ) 2 x x+ + chứa 3 x Bài 7. Tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau trong khai triển 21 3 3 ( ) a b b a + . Bài 8. Tìm n biết rằng hệ số của 2n x − trong khai triển 1 ( ) 4 n x − bằng 31. Bài 9. Tính 2 n A , biết rằng số hạng số thứ 5 trong khai triển 3 1 ( ) n x x + không phụ thuộc vào x . Bài 10. Tìm n và x trong khai triển 1 3 2 (2 2 ) x x n − − + biết số hạng thứ tư bằng 20n và 3 1 5 n n C C= . Bài 11. Tìm n biết rằng ba hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển 1 1 2 4 1 ( ) 2 n x x − + theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Bài 12. Trong khai triển 1 ( ) n x x + , biết hiệu hệ số của số hạng thứ 3 và thứ 2 là 35. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển trên. Bài 13. Trong khai triển 2 3 1 ( ) n x x + , biết hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng thứ hai là 35 đơn vò. Tìm n và số hạng không chứa x trong khai triển trên. Bài 14. Tổng các hệ số trong khai triển của 3 1 ( ) n x x + ( * n N∈ ) bằng 1024. Tìm hệ số của 6 x . Bài 15. Tổng các hệ số trong khai triển của 3 (1 ) n x+ bằng 64. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 3 2 1 (2 ) 2 n nx nx + . Bài 16. Số hạng thứ 3 trong khai triển 2 1 (2 ) n x x + không chứa x . Với giá trò nào của x thì số hạng đó bằng số hạng thứ 2 trong khai triển 3 30 (1 )x+ . Bài 17. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển 1) 3 2 1 ( ) n x x + chứa 2 x , biết 0 1 2 11 n n n C C C+ + = . 2) 3 1 ( 5) n x + chứa 19 x , biết 3 3 5 4 8( 3) n n C C n + + − = + . 3) 5 3 1 ( ) n x x + chứa 8 x , biết 1 4 3 7( 3) n n n n C C n + + + − = + .(ĐH_A_03) 4) 7 4 1 ( ) n x x + chứa 26 x , biết 1 2 20 2 1 2 1 2 1 . 2 1 n n n n C C C + + + + + + = − . (ĐH_A_06) Bài 18. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 1) 28 3 15 ( ) n x x x − + biết 1 2 79 n n n n n n C C C − − + + = . 2) 3 2 ( ) n x x + biết 6 7 8 9 8 2 3 3 2 n n n n n C C C C C + + + + = . Bài 19. Tìm hệ số của các số hạng chứa 2 x và 3 x trong khai triển 5 7 ( 1) ( 2)x x+ + − . Bài 20. Khai triển 10 ( ) ( 2)( 1)P x x x= + + thành dạng 11 10 9 1 2 10 11 ( ) .P x x a x a x a x a= + + + + + . Hãy tìm hệ số 5 a trong khai triển. Bài 21. Tìm hệ số của số hạng chứa 5 x trong khai triển sau thành đa thức : 4 5 6 7 ( ) (2 1) (2 1) (2 1) (2 1)f x x x x x= + + + + + + + Trường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 3 Bài 22. Cho 8 9 10 11 12 ( ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )P x x x x x x= + + + + + + + + + . Khai triển và rút gọn, ta được đa thức 2 12 0 1 2 12 ( ) .P x a a x a x a x= + + + + . Tính hệ số 8 a . Bài 23. Cho 9 10 11 12 13 14 ( ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )P x x x x x x x= + + + + + + + + + + + . Khai triển và rút gọn, ta được đa thức 2 14 0 1 2 14 ( ) .P x a a x a x a x= + + + + . Tính hệ số 9 a . Bài 24. Giả sử n là số nguyên dương và 2 0 1 2 (1 ) . . n k n k n x a a x a x a x a x+ = + + + + + + . Biết rằng tồn tại k nguyên (1 1)k n≤ ≤ − sao cho 1 1 2 9 24 k k k a a a − + = = . Hãy tính n. Bài 25. Cho 20 3 10 2 1 1 ( ) ( )A x x x x = − + − . Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng. II. Tính tổng và chứng minh đẳng thức bằng khai triển Newton Bài 26. Cho n là số nguyên dương. Hãy tính : 1) 0 1 2 2 5 5 1 5 5 5 5 2 2 . 2S C C C C= + + + + 2) 0 1 2 2 5 5 2 5 5 5 5 2 2 . 2S C C C C= − + − − 3) 6 0 5 1 4 2 6 3 6 6 6 6 3 3 3 .S C C C C= + + + + 4) 1 2 3 19 4 20 20 20 20 S C C C C= − + − + 5) 0 1 2 3 5 . n n n n n n S C C C C C= + + + + + 6) 0 1 2 2 6 2 2 . 2 n n n n n n S C C C C= + + + + 7) 0 1 1 1 7 3 3 . 3 n n n n n n n n S C C C C − − = + + + + 8) 1 3 3 5 5 1 1 8 3 3 3 . 3 n n n n n n S C C C C − − = + + + + 9) 0 1 2 3 9 . ( 1) n n n n n n n S C C C C C= − + − + + − 10) 0 1 2 3 2 10 2 2 2 2 2 . n n n n n n S C C C C C= − + − + + Bài 27. Khai triển 7 (1 )x+ , từ đó tính : 1) 0 1 2 6 7 7 7 7 7 7 .T C C C C C= + + + + + 2) 0 2 4 6 7 7 7 7 S C C C C= + + + Bài 28. Tính các tổng sau : 1) 6 7 8 9 10 1 10 10 10 10 10 S C C C C C= + + + + 2) 6 7 8 9 10 11 2 11 11 11 11 11 11 S C C C C C C= + + + + + Bài 29. Cho 100 2 100 0 1 2 100 ( 2) .x a a x a x a x− = + + + + . 1) Tính hệ số 97 a 2) Tính 0 1 2 100 .T a a a a= + + + + Bài 30. Khai triển 16 (3 1)x − , từ đó chứng minh : 16 0 15 1 14 2 15 16 16 16 16 16 16 16 3 3 3 . 3 2C C C C C− + − − + = Bài 31. Khai triển 2 (1 ) n x+ , từ đó : 1) Chứng minh : 0 2 2 1 3 2 1 2 2 2 2 2 2 . . n n n n n n n n C C C C C C − + + + = + + + 2) Tính : 2 4 6 2 2 2 2 2 . n n n n n S C C C C= + + + + Bài 32. Rút gọn : 0 1 2 2 1 1 1 3 [ . ( 1) ] 3 3 3 n n n n n n n n A C C C C= − + − + − Bài 33. Chứng minh : 0 2 2 4 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 3 . 3 2 (2 1) n n n n n n n n C C C C − + + + + = + Bài 34. Chứng minh : 0 1 2 2 0 1 1 2 2 2 2 . 2 4 4 4 . ( 1) n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C − − − + + + + = − + − + − Bài 35. Chứng minh : 0 1 1 . k k m k m k m n m n m n m n C C C C C C C − − + + + + = với m k n≤ ≤ . Bài 36. Tính tổng 0 1 2 . 0! 1! 2! ! n n n n n A A A A S n = + + + + Bài 37. Tính tổng 0 1 2 1 1 1 1 1 2 3 1 1 2 3 ( 1) . n n n n n n C C C n C S A A A A + + = + + + + . Biết rằng 0 1 2 221 n n n C C C+ + = . III. Tính tổng và chứng minh đẳng thức bằng công thức tổ hợp và chỉnh hợp Bài 38. Chứng minh : 1) 1 1 1 k k k n n n C C C + + + + = 4 Nhò Thức Newton 2) 1 2 2 2 k k k k n n n n C C C C − − + + + = 3) 1 2 3 2 3 3 k k k k k n n n n n C C C C C − − − + + + + = 4) 1 2 3 4 4 4 6 4 k k k k k k n n n n n n C C C C C C − − − − + + + + + = 5) 0 1 1 2 2 5 5 5 5 5 . k k k k k n n n n n C C C C C C C C − − − + + + + + = Bài 39. Chứng minh : 1) 2 1 2n n n n k n k n k A A k A + + + + + + = 2) 1 1 1 k k k n n n A A kA − − − = + Bài 40. Chứng minh : 1) − − = − + 1 2 ( 1) ( ) n n n P n P P 2) 2 2 2 2 2 3 4 1 1 1 1 1 . n n n A A A A − + + + + = Bài 41. Cho hai số nguyên dương n và m thỏa mãn 0 n m< < . Chứng minh : 1) 1 1 m m n n mC nC − − = 2) 1 1 1 1 2 1 . m m m m m n n m n m m C C C C C − − − − − − − = + + + + Bài 42. Tính giá trò của 4 3 1 3 ( 1)! n n A A M n + + = + , biết rằng : 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 149 n n n n C C C C + + + + + + + = . IV. Phương trình và bất phương trình chứa hệ số tổ hợp và chỉnh hợp Bài 43. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện : 1) = 3 20 n A n 2) = 5 4 18 n n A A 3) 2 1 3 n n A A− = 4) = 3 2 2 20 n n C C 5) 2 2 2 3 42 n n A A+ = 6) 2 1 2 3 4 . . 120 n n n A C P A − + = Bài 44. Tìm nguyên dương n sao cho 1) 0 1 2 2 4 . 2 243 n n n n n n C C C C+ + + + = 2) 0 2 2 4 2 4 2 4 2 . 256 n n n n C C C + + + + + + = 3) 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 . 1024 n n n n C C C + + + + + + + = 4) 2 2 2 3 3 3 2 100 n n n n n n n n C C C C C C − − + + = Bài 45. Giải phương trình : 1) 2 1 . 48 x x x A C − = 2) 3 2 14 x x x A C x − + = 3) 3 2 2 16 x x A C x+ = 4) 3 2 5 2( 15) x x A A x+ = + 5) 2 3 1 1 2 7( 1) x x x C C x − + − + = − 6) 2 3 2 6 6 7 7 x x C C x x+ = − 7) 1 2 3 7 2 x x x C C C x+ + = 8) 1 2 3 2 6 6 9 14 x x x C C C x x+ + = − 9) 3 4 2 2 3 x x x A C A− = 10) 10 9 8 9 x x x A A A+ = 11) 2 1 14 14 14 2 x x x C C C + + + = 12) 3 2 1 1 3 2 x x x A A P + + = 13) 2 2 . 72 6( 2 ) x x x x P A A P+ = + 14) 3 1 3 2 1 1 6 2 3 3 159 x x x x x A C C x P − − + − + − = + + Bài 46. Giải phương trình : 1) 4 5 6 1 1 1 x x x C C C − = 2) 4 5 6 2 x x x x C C C P + = + Bài 47. Tìm ,n k N∈ sao cho 5 4 4 15. . k n n n k P A P + + + − = Bài 48. Tìm n sao cho 1) 4 4 1 15 ( 2)! n n A n P + − < + 2) 1 2 2 2 5 2 n n n n n C C A − + + + > Bài 49. Giải bất phương trình : Trường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 5 1) 3 2 5 21 x x A A x+ ≤ 2) 4 3 2 1 1 1x x x C C A − − − − < 3) 4 1 3 3 1 14 x x x A P C + − − > 4) 2 2 3 2 1 6 10 2 x x x A A C x − ≤ + Bài 50. Giải bất phương trình : 2 3 ( !). . . 720 n n n n n n n C C C ≤ ( n Z + ∈ ) Bài 51. Giải bất phương trình : 2 4 2 2003 2 2 2 . 2 1. x x x x C C C+ + + ≥ − Trong đó = 2 ( 2, 4,6, .,2 ) k x C k x là tổ chập k của 2x phần tử. Bài 52. Giải bất phương trình : 2 5 3 60 ( )! k n n P A n k + + + ≤ − Bài 53. Giải hệ phương trình : 1) 3 90 2 40 y y x x y y x x A C A C  + =   + =   2) 2 5 90 5 2 80 y y x x y y x x A C A C  + =   − =   Bài 54. Giải hệ phương trình : 1) 1 1 1 2 2 : : ( ) 21: 60 :10 y y y y x x x x A A C C − − − − − + = 2) 1 1 2 1 2 2 : : ( 2 ) 3: 5 : 5 y y y y y x x x x x C C C C C − + − + − − + + = V. Nâng Cao Bài 55. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển 1) 2 7 [1 (1 )]x x+ + chứa 6 x 2) 2 8 [1 (1 )]x x+ − chứa 8 x 3) 3 4 (1 2 3 )x x+ − chứa x 4) 2 10 (1 2 3 )x x+ + chứa 3 x 5) 3 10 1 (1 )x x + + chứa 2 x 6) 2 8 3 1 (1 )x x + + không chứa x Bài 56. Tìm {0;1;2; .; 2005}k ∈ sao cho 2005 k C đạt giá trò lớn nhất. Bài 57. Tùy theo n chẳn hay lẻ, hãy xác đònh số lớn nhất trong các số : 0 1 2 , , , ., n n n n n C C C C . Bài 58. Khai triển 12 ( ) (1 2 )P x x= + thành dạng 2 12 0 1 2 12 ( ) .P x a a x a x a x= + + + + . Tìm 0 1 12 max { , , ., }a a a Bài 59. Khai triển 14 2 ( ) ( ) 2 3 x P x = + thành dạng 2 10 0 1 2 10 ( ) .P x a a x a x a x= + + + + . Tìm 0 1 10 max { , , ., }a a a Bài 60. Khai triển 10 1 2 ( ) ( ) 3 3 x P x = + thành dạng 2 10 0 1 2 10 ( ) .P x a a x a x a x= + + + + . Tìm 0 1 10 max { , , ., }a a a Bài 61. Tìm số hạng nguyên trong khai triển 3 9 ( 3 2)+ . Bài 62. Cho khai triển 2 12 3 ( )xy xy+ . Tìm số hạng chứa x và y với số mũ nguyên dương. Bài 63. Hãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành một cấp số cộng trong dãy số 0 1 23 23 23 23 , , .,C C C . Bài 64. Với n là số nguyên dương, gọi 3 3n a − là hệ số của 3 3n x − trong khai triển 2 ( 1) ( 2) n n x x+ + . Tìm n để 3 3 26 n a n − = . Bài 65. Biết rằng trong khai triển 1 ( ) n x x + có tổng của hệ số của hai số hạng đầu tiên là 24. Chứng minh rằng tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x là số chính phương. Bài 66. Cho khai triển 2 2 2 0 1 2 (2 2 5) . n n n x x a a x a x a x+ − = + + + + . Tính tổng các số hệ trong khai triển. Bài 67. Chứng minh : 0 2001 1 2000 2001 2001 0 2002 2002 2002 2002 2001 2002 2002 2002 1 . . 1001.2 k k k C C C C C C C C − − + + + + + = Bài 68. Chứng minh : 0 2005 1 2004 2005 2005 0 2006 2006 2006 2006 2005 2006 2006 2006 1 . . 1003.2 k k k C C C C C C C C − − + + + + + = 6 Nhò Thöùc Newton Baøi 69. Chöùng minh : 0 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) . ( ) n n n n n n n C C C C C+ + + + = Baøi 70. Chöùng minh : 1) 2 2 2 2 . ( ) n n n n k n k n C C C + − ≤ vôùi 0 k n≤ ≤ 2) 1 1000 1001 2001 2001 2001 2001 k k C C C C + + ≤ + vôùi 0 2000k≤ ≤ Baøi 71. Cho 2,n n N≥ ∈ . Chöùng minh raèng : 1 2 1 1 1 1 1 1 . 2 k n n n k n C C C + + + + + + < − . . Tiến – Thăng Long 1 NHỊ THỨC NEWTON BÀI TẬP CƠ BẢN I. Tìm hệ số của một lũy thừa trong khai triển nhò thức Bài 1. Khai triển các nhò thức sau : 1) 5 ( 1)x. tổng và chứng minh đẳng thức bằng công thức tổ hợp và chỉnh hợp Bài 38. Chứng minh : 1) 1 1 1 k k k n n n C C C + + + + = 4 Nhò Thức Newton 2) 1 2 2 2 k k