Đang tải... (xem toàn văn)
phương pháp tọa độ nhằm rút gọn các bước tính trong bài tính khoảng cách cũng như dùng nó để giải các bài toán khác ,là mọt trong những dạng có trong kỳ thi thpt quấc gia ,đây là cuốn tài liệu hữu ích dành cho các bạn 12 cũng như các bạn thi vào đại học cao đẳng
TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Trước hết, để làm quen với việc tọa độ hóa toán hình học không gian tổng hợp, ta bắt đầu hai ví dụ hình đa diện tọa độ hóa dễ dàng nhất, hình lập phương Có thể khẳng định chắn toán yêu cầu chứng minh quan hệ hình học tính toán hình lập phương giải cách ngắn gọn phương pháp tọa độ Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) (C’BD) song song với Tính khoảng cách hai mặt phẳng này; b) Chứng minh A’C vuông góc với mặt phẳng (AB’D’) A’C vuông góc với IJ (I, J trung điểm cạnh BB’ AD); c) Gọi K trung điểm cạnh CC’ Chứng minh hai mặt phẳng (A’BD) (KBD) vuông góc z Giải Do cạnh AB, AD, AA’ đôi vuông góc A’ D’ nên ta chọn hệ trục Oxyz cho: O ≡ A, tia AB ≡ tia Ox, tia AD ≡ tia Oy, tia AA’ ≡ tia Oz B’ C’ Khi đó, ta có: A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1), K I C(1;1;0), B’(1;0;1), D’(0;1;1), C’(1;1;1) y A B D J C x a) Chứng minh (AB’D’) (C’BD) song song với Khoảng cách chúng Dễ dàng thiết lập phương trình hai mặt phẳng: (AB’D’): x + y – z = (C’BD): x + y – z – = Do (AB’D’) // (C’BD) d((AB’D’),(C’BD)) = d(A,(C’BD)) = b) Chứng minh A’C vuông góc với mặt phẳng (AB’D’) A’C vuông góc với IJ uuuur Ta có A ' C = (1;1;–1) vectơ pháp tuyến (AB’D’): x + y – z = 0, A’C ⊥ (AB’D’) 1 Mặt khác, I, J trung điểm cạnh BB’ AD nên I(1;0; ), J(0; ;0) 2 uur u u r u u u u r 1 1 ⇒ IJ = ( −1; ; − ) ⇒ IJ A ' C = ( −1).1 + + ( − ).( −1) = ⇒ A ' C ⊥ IJ 2 2 c) Chứng minh hai mặt phẳng (A’BD) (KBD) vuông góc ur Ta có phương trình mặt phẳng (A’BD) x + y + z – = (VTPT n1 = (1;1;1) ) TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn uu r K trung điểm CC’ ⇒ K (1;1; ) ⇒ ( KBD ) : x + y − z − = (VTPT n2 = (1;1; −2) ) ur uu r Dễ thấy n1.n2 = 1.1 + 1.1 + 1.( −2) = ⇒ ( A ' BD) ⊥ ( KBD) Trên ta nhận thấy với phương pháp tọa độ, chứng minh quan hệ song song vuông góc thực dễ dàng phép tính đại số mà không phụ thuộc vào hình vẽ suy luận hình học thường khó trình bày học sinh Qua ví dụ ta rút nhận xét quan trọng sau đây: + Chứng minh hai mặt phẳng song song: viết phương trình chúng so sánh hệ số + Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: chứng tỏ tích vô hướng hai VTPT + Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: chứng tỏ tích vô hướng hai VTCP + Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng tỏ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng Tiếp theo, ta xét ví dụ việc tọa độ hóa toán tính góc khoảng cách không gian Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh I tâm ABCD Gọi M, N, P trung điểm B’B, CD A’D’ a) Tính góc hai đường thẳng MP, C’N góc hai mặt phẳng (PAI), (DCC’D’); b) Tính khoảng cách cặp đường thẳng A’B, B’D cặp đường thẳng PI, AC’ z Giải Tương tự ví dụ 1, ta chọn hệ trục Oxyz cho: P A’ D’ O ≡ A, tia AB ≡ tia Ox, tia AD ≡ tia Oy, tia AA’ ≡ tia Oz C’ B’ Khi đó, ta có: A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1), C(1;1;0), B’(1;0;1), D’(0;1;1), C’(1;1;1) M y a) Tính góc hai đường thẳng MP, C’N A D góc hai mặt phẳng (PAI, (DCC’D’) I N B C x 1 Vì M, N, P trung điểm B’B, CD A’D’ nên M(1;0; ), N( ;1;0), P(0; ;1) 2 uuur uuuur uuur 1 uuuur MP.C ' N Khi đó, ta có MP = ( −1; ; ), C ' N = ( − ;0; −1) ⇒ cos( MP, C ' N ) = =0 2 MP.C ' N ⇒ góc MP C’N 900 1 Mặt khác, I tâm ABCD ⇒ I ( ; ;0) 2 r uur uuu r 1 ⇒ (PAI) có VTPT n = AI , AP = 4.( ; − ; ) = (2; −2;1) 2 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn uu r uuur (DCC’D’) có VTPT n ' = AD = (0;1;0) Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (PAI) (DCC’D’) r uu r n.n ' 2 cos ϕ = r uu r = ⇒ ϕ = arccos ≈ 48o11' 23'' Ta có: n n' b) Tính khoảng cách cặp đường thẳng A’B, B’D cặp đường thẳng PI, AC’ uuuur uuuur uuuuu r Ta có: A ' B = (1;0; −1), B ' D = ( −1;1; −1), A ' B ' = (1;0;0) uuuur uuuur uuuuu r A ' B, B ' D A ' B ' ⇒ d ( A ' B, B ' D ) = = uuuur uuuur A ' B, B ' D uur uuuu r uuu r Mặt khác, PI = ( ;0; −1), AC ' = (1;1;1), AP = (0; ;1) 2 uur uuuu r uuu r PI , AC ' AP 14 ⇒ d ( PI , AC ') = uur uuuu = r 28 PI , AC ' Nhận xét: Đối với toán tính góc hai đường thẳng, góc hai mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo giải phương pháp cổ điển rõ ràng khâu khó khăn dựng hình (trực tiếp gián tiếp) vốn đòi hỏi học sinh phải nắm vững phương pháp phải có suy nghĩ sâu sắc; đó, ta tọa độ hóa để giải phương pháp tiếp cận rõ ràng tất yêu cầu có công thức, lại yêu cầu học sinh thực cẩn thận số bước tính toán để áp dụng công thức có Ví dụ ta chuyển sang đối tượng hình không gian khác, hình tứ diện có ba cạnh xuất phát từ đỉnh đôi vuông góc (gọi tắt tam diện vuông) Phương án tọa độ hóa hình đa diện hình hộp chữ nhật Ví dụ Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc nhau, OA = a, OB = b, OC = c a) Tính độ dài đường cao tứ diện kẻ từ đỉnh O; b) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn; c) Gọi α , β , γ góc (ABC) mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Chứng minh rằng: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia OA ≡ tia Ox, tia OB ≡ tia Oy, tia OC ≡ tia Oz Khi đó: A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) a) Tính độ dài đường cao tứ diện kẻ từ đỉnh O x y z + + = ⇔ bcx + cay + abz − abc = Dễ thấy phương trình mặt phẳng (ABC) a b c Độ dài h đường cao tứ diện kẻ từ đỉnh O khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC): TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn h = d (O,( ABC )) = − abc ( ab)2 + (bc) + (ca )2 = abc ( ab) + (bc) + (ca ) b) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn Ta có: uuu r uuur uuu r uuur · AB = ( −a; b;0), AC = ( −a;0; c ) ⇒ cos BAC = cos( AB, AC ) = a2 a + b2 a + c >0 · nhọn ⇒ BAC uuu r uuur · = cos( BA, BC ) = Tương tự, cos ABC uur uuu r · cos ACB = cos(CA, CB ) = b2 a +b b +c 2 c2 a + c b2 + c Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn c) Chứng minh cos2 α + cos β + cos γ = Với α , β , γ góc (ABC) mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Dễ thấy mặt phẳng (ABC), (OBC), (OCA), (OAB) có VTPT r r r r n = (bc; ca; ab) , i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1) Do cos α = cos β = cos γ = > ⇒ ·ABC nhọn · > ⇒ ACB nhọn z C O bc (bc ) + (ca ) + ( ab) 2 ca (bc ) + ( ca ) + (ab) 2 ab (bc ) + ( ca ) + ( ab) 2 B y , , A x Suy ra: cos2 α + cos β + cos2 γ = Qua ba ví dụ trình bày, ta nhận thấy yếu tố thuận lợi cho việc tọa độ hóa điều kiện đôi vuông góc ba cạnh xuất phát từ đỉnh đa diện, thông thường điều kiện ẩn chứa giả thiết cho trước Tuy vậy, lúc điều kiện thỏa mãn nên số trường hợp ta cần phải có cách xây dựng hệ trục tọa độ cách khéo léo Ta xét ví dụ sau Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SC = CA = AB = a , SC ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông A Các điểm M, N di động tia AS CB cho AM = CN = t (0 < t < 2a) TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn a) Tính độ dài đoạn MN theo a t Tìm t cho MN ngắn nhất; b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vuông góc chung BC SA Giải Nhận xét: vị trí điểm A điểm C ta nhận thấy có cặp cạnh vuông góc (AB ⊥ AC, CS ⊥ CA, CS ⊥ CB) chưa đạt đủ điều kiện cần thiết phải có ba cạnh đôi vuông góc xuất phát từ đỉnh, ta dựng đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) (đường thẳng song song với SC) z Khi đó, chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, với A ≡ O(0;0;0), B( a ;0;0), C(0; a ;0), S(0; a ; a ) a) Tính độ dài đoạn MN theo a t Tìm t cho MN ngắn Theo giả thiết M thuộc tia AS AM = t uuuu r t uuu r t t ⇒ AM = AS ⇒ M (0; ; ) 2a 2 Tương tự, N thuộc tia CB CN = t uuur t uuu r t t ⇒ CN = CB ⇒ N ( ;a − ;0) 2a 2 Vậy ta có MN = Hơn nữa, S M C OA N t2 t2 + (a − t 2) + = 2a − 4at + 3t 2 MN = 2a − 4at + 3t = ( 3t − y B x 2a a 2a a ) + ≥ , dấu đẳng thức xảy t = 3 3 a 2a ⇔t= 3 b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vuông góc chung BC SA 2a a a a 2a Khi MN ngắn nhất, ta có t = nên M (0; ; ), N ( ; ;0) 3 3 uuuu r a a a ⇒ MN = ( ; ;− ) 3 uuu r uuu r Mặt khác AS = (0; a 2; a 2), CB = ( a 2; −a 2;0) uuuu r uuu r uuuu r uuu r ⇒ MN AS = MN CB = ⇒ MN ⊥ AS , MN ⊥ CB hay MN đường vuông góc chung SA BC Trên sở ví dụ minh họa trình bày, ta rút ba bước sau việc giải toán hình học không gian tổng hợp phương pháp tọa độ: + Xây dựng hệ trục tọa độ thích hợp (thỏa < t < 2a) Vậy MN = TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn + Xác định tọa độ điểm liên quan + Chuyển toán hình không gian tổng hợp toán tương ứng không gian tọa độ vận dụng công thức thích hợp (chứng minh vuông góc, song song, tính thể tích, góc, khoảng cách…) Để rõ ứng dụng mạnh mẽ hiệu phương pháp này, ta giải số câu hình học không gian tổng hợp đề thi Đại học, Cao đẳng năm gần Các đáp án thức Bộ Giáo dục Đào tạo công bố rộng rãi tìm thấy từ sách tham khảo mạng Internet Lời giải trình bày hoàn toàn mẻ người viết sáng kiến Bài (Đề thi Cao đẳng năm 2009) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N, P trung điểm cạnh SA, SB CD Chứng minh đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP Giải z Gọi O tâm ABCD Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ với S a a a O(0;0;0), C( ;0;0), A( − ;0;0), D(0; ;0), 2 a a a ;0), S(0;0; ) ( SO = SA2 − OA2 = ) 2 M, N, P trung điểm cạnh B(0; − SA, SB CD ⇒ M( − N(0; − a a ;0; ), 4 N y A D a a a a ; ), P( ; ;0) 4 4 Khi uuuu r a a MN = ( ;− ;0) , 4 M O B P C x uur a a a uuuu r uur 2a 2a a SP = ( ; ;− ) ⇒ MN SP = − + 0.( − ) = ⇒ MN ⊥ SP 4 16 16 Mặt khác, ta lại có uuuu r a r 3a a uuur a a a a uuu AM = ( ;0; ) , AP = ( ; ;0) , AN = ( ;− ; ) 4 4 4 uuuu r uuu r uuur r uuu r uuur a a3 uuuu ⇒ AM , AP AN = − ≠ ⇒ VAMNP = AM , AP AN = 48 Lưu ý: Đáp án thức cho phương án tính thể tích tứ diện AMNP gián tiếp thông qua thể tích tứ diện ABSP thể tích khối chóp S.ABCD Cách tính phương pháp tọa độ hoàn toàn TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn trực tiếp, dễ định hướng Việc tọa độ hóa lấy đỉnh đáy làm gốc tọa độ (cần kẻ thêm đường thẳng qua đỉnh song song với SO) · Bài (ĐH khối D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ·ABC = BAD = 90o , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = a Gọi H hình chiếu vuông góc A lên SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, với A ≡ O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), C(a;a;0), S(0;0; a ) uuu r uuur uuu r uuur Khi SC = ( a; a; − a 2), CD = ( − a; a;0) ⇒ SC.CD = ⇒ SC ⊥ CD , hay tam giác SCD vuông C uuu r uuur 2 Mặt khác (SCD) có VTPT SC , CD = ( a 2; a 2;2a ) z ⇒ ( SCD ) :1.( x − a ) + 1.( y − a ) + 2.( z − 0) = hay (SCD): x + y + z − 2a = S Đường thẳng SB có phương trình tham số x = a + t y = z = − 2t H ∈ SB ⇒ H ( a + t;0; − 2t ) uuur uur a AH ⊥ SB ⇔ AH SB = ⇔ t = − H D OA y B 2a a ;0; ) C x 3 Từ suy khoảng cách từ H đến (SCD) 2a 2a + − 2a a 3 d ( H ,( SCD )) = = 1+1+ Nhận xét: Nếu so với đáp án thức việc tính d(H,(SCD)) lời giải rõ ràng trực z thông qua việc tính tỉ số d(H,(SCD))/d(B, tiếp hơn, dễ hiểu ( đáp án thức tính d(H, (SCD)) A’ (SCD)) lại tính d(B,(SCD)) thông qua thể tích tứ diệnB’ SBCD ) Vậy H ( Bài (ĐH khối D – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông, AB = BC = a, cạnh C’ lăng trụ cho khoảng bên AA’ = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối cách hai đường thẳng AM, B’C Giải A OB y M C x TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Từ giả thiết ta có tam giác đáy ABC vuông cân B, kết hợp với tính chất lăng trụ đứng, ta chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, với B ≡ O(0;0;0), C(a;0;0), A(0;a;0), B’(0;0; a ) a3 = BB / ( BA BC ) = ABC A B C 2 Bây ta tính khoảng cách AM B’C M trung điểm BC uuuu r a a ⇒ M ( ;0;0) ⇒ AM = ( ; − a;0) 2 uuuur uuuu r uuuur a2 2 Mặt khác, B ' C = ( a;0; − a 2) ⇒ AM , B ' C = ( a 2; ;a ) Dễ thấy V / / / uuuu r uuuur uuur a AM , B ' C AC uuur a ⇒ d ( AM , B ' C ) = = 22 = uuuu r uuuur Lại có AC = ( a; −a;0) a AM , B ' C Nhận xét: Theo đáp án thức, việc tính khoảng cách hai đường thẳng AM B’C toán hoàn toàn không dễ, đòi hỏi dựng mặt phẳng chứa AM song song với B’C, qui việc tính khoảng cách hai đường thẳng khoảng cách từ C, lại từ B đến mặt phẳng dựng Lời giải tọa độ rõ ràng ngắn gọn trực tiếp Bài (ĐH khối B – 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Giải z Gọi O tâm đáy ABCD E S Vì hình chóp cho hình chóp nên SO ⊥ (ABCD) Ta chọn hệ trục Oxyz với O gốc tọa độ, tia OC ≡ tia Ox, tia OD ≡ tia Oy, tia OS ≡ tia Oz M Khi ta có O(0;0;0), A( − a a ;0;0), C( ;0;0), 2 y A D a a ;0), D(0; ;0), 2 S ∈ tia Oz ⇒ S (0;0; x ) (x > 0) B(0; − O B N C x TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn E đối xứng với D qua trung điểm SA ⇒ ADSE hình bình hành ⇒ E ( − a ; − a ; x ) 2 M trung điểm AE ⇒ M ( − a a x ;− ; ) uuuu r 3a a a x ;− ;0) ⇒ MN = ( ;0; − ) 4 uuur uuuu r uuur Mặt khác BD = (0; a 2;0) ⇒ MN BD = ⇒ MN ⊥ BD uuur uuuu r uuur ax Lại có AC = ( a 2;0;0) ⇒ MN , AC = (0; ;0) N trung điểm BC ⇒ N ( uuuu r uuur uuur a2 x uuur 3a a a MN , AC AN = = uuuu r uuur Mà AN = ( ;− ;0) ⇒ d ( MN , AC ) = ax MN , AC 4 Nhận xét: Bài toán tọa độ hóa với gốc tọa độ đỉnh đáy việc kẻ thêm đường thẳng qua đỉnh, song song với SO, tạo thành ba đường thẳng đôi vuông góc đỉnh Cái hay việc tọa độ hóa lời giải việc chọn biến x chưa biết tọa độ điểm S, kết lại không phụ thuộc vào x Bài (ĐH khối D – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA AC Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Giải z Chọn hệ trục Oxyz với A gốc tọa độ, tia AB tia Ox, tia AD tia Oy, S tia Oz tia Az song song hướng với tia HS Ta có A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0) M uuur uuur a a ⇒ AH = AC ⇒ H ( ; ;0) 4 Theo giả thiết SH ⊥ (ABCD), D A y AC a AH = = , SA = a 4 H = a ; hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC, AH = B x C TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn ⇒ SH = SA2 − AH = a 14 a a a 14 ⇒ S( ; ; ) 4 Vậy ta có SC = a a a 14 (a − )2 + (a − )2 + ( − ) = a = CA ⇒ ∆ SAC cân C nên đường cao CM 4 a a a 14 đường trung tuyến ⇒ M trung điểm SA ⇒ M ( ; ; ) 8 Vì M trung điểm SA nên VSMBC = VAMBC Ta có: uuu r uuur uuuu r a a a 14 AB = (a;0;0), AC = ( a; a;0), AM = ( ; ; ) 8 r uuur uuuu r a 14 uuu ⇒ VSMBC = VAMBC = AB, AC AM = 48 Nhận xét: Bài toán tọa độ hóa với gốc tọa độ điểm H tâm đáy Việc tính thể tích SMBC thông qua thể tích AMBC vấn đề kĩ thuật để phép toán dễ tính hơn, hoàn toàn tính trực tiếp thể tích SMBC tọa độ đỉnh biết Bài (ĐH khối B – 2010) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Giải a Gọi O trung điểm cạnh BC Tam giác ABC cạnh a nên AO ⊥ BC AO = Chọn hệ trục Oxyz với O gốc tọa độ, tia OA ≡ tia Ox, tia OC ≡ tia Oy, tia Oz song song hướng với tia AA’ Khi A( a a 3a a a ;0;0), B(0; − ;0), C(0; ;0), A’( ;0; ) 2 2 3a o o Dễ thấy góc mặt phẳng (A’BC) (ABC) góc ·A ' OA = 60 ⇒ AA ' = OA tan 60 = A’ C’ z 3a a 3a 3 = a a G trọng tâm tam giác A’BC nên G( ;0; ) x Bây giờ, ta xác định tâm bán kính ⇒ VABC A ' B ' C ' = AA '.S ABC = B’ y G A C O B 10 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC, với a a a G( ;0; ), A( ;0;0), a a B(0; − ;0), C(0; ;0) 2 Giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có phương trình x + y + z − px − qy − rz + k = Thay tọa độ G, A, B, C vào phương trình ta có a a p − ar + k = a − p = 3 3a a − a 3p + k = r = − ⇔ 12 a + aq + k = q = 4 a2 k = − a − aq + k = 4 Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có tâm I( a a ; − ;0 ) bán kính 12 a2 a2 a2 7a R= + + − (− ) = 12 144 12 Bài (ĐH khối A – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH ⊥ (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Giải Dễ thấy VS CDNM = VS ABCD − VS BCM − VS AMN 2 = SH ( S ABCD − S BCM − S AMN ) = a 3( a − a − a ) = 5a S 24 z Bây ta tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC phương pháp tọa độ Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, ta có C ≡ O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A(a;a;0) a M trung điểm AB ⇒ M (a; ;0) y N A D H M CO B x 11 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn a N trung điểm AD ⇒ N ( ; a;0) ∈ ( Oxy ) ⇒ H ( x ; y ;0) H H = DM ∩ CN uuur uuur uuuu r uuuur ⇒ CH , CN phương DH , DM phương ⇒ x y x y−a 2a 4a 2a 4a 2a a = = ,y= a a a a ⇒x= Vậy H( ; ;0 ) ⇒ S ( ; ; a 3) − 5 5 5 2 uur 2a 4a uuuur uur uuuur a a2 Khi đó, CS = ( ; ; a 3), DM = ( a; − ;0) ⇒ CS , DM = ( ; a 3; − a ) 5 2 uur uuuur uuuu r CS , DM CM a3 2a 57 uuuu r a ⇒ d ( SC , DM ) = = = u u r u u u u r CM = ( a ; ;0) Mặt khác 19 a 19 CS , DM Bài (ĐH khối D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = 3a, BC · = 4a, mặt phẳng (SBC) vuông góc (ABC) Biết SB = 2a SBC = 30o Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Giải Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ S lên BC Vì (SBC) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC) o o · Mặt khác SB = 2a SBC = 30o ⇒ SH = SB.sin 30 = a 3, BH = SB.cos 30 = 3a 1 Dễ thấy VS ABC = SH S ABC = a 3.( 3a.4a ) = 2a 3 Bây ta tính khoảng cách từ điểm B z đến mặt phẳng (SAC) phương pháp tọa độ S Chọn hệ trục Oxyz với B gốc tọa độ, tia BA tia Ox, tia BC tia Oy, tia Oz tia Bz song song hướng với tia HS o Khi đó: B(0;0;0), A(3a;0;0), C(0;4a;0), y H C OB S(0;3a; a ) uuu r uuur ⇒ AS = ( −3a;3a; a 3), AC = ( −3a;4a;0) 30 A x 12 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn uuu r uuur ⇒ AS , AC = −4a 3; −3a 3; −3a = − 3a (4;3; 3) ( ) ⇒ mặt phẳng (SAC) có phương trình 4( x − 3a ) + 3( y − 0) + 3( z − 0) = ⇔ x + y + 3z − 12a = Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) d ( B,( SAC )) = −12a 42 + 32 + ( 3) = 6a Nhận xét: Nếu so với cách tính khoảng cách từ điểm B đến (SAC) thông qua khoảng cách từ điểm H đáp án thức cách trực tiếp, dễ định hướng dễ thực Bài (ĐH khối B – 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc A’ (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 60 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a Giải Gọi I = AC ∩ BD Ta có A ' I ⊥ ( ABCD ) Chọn hệ trục Oxyz với B gốc tọa độ, tia BA tia Ox, tia BC tia Oy, tia Oz tia Bz song song hướng với tia IA’ Khi B(0;0;0), A(a;0;0), C(0; a ;0), z a a D(a; a ;0), I( ; ;0 ) 2 A’ có hình chiếu lên (Oxy) I nên B’ C’ D’ A’ a a A’( ; ; z ) ( z > 0) 2 Ta tìm z: + Mặt phẳng (ABCD) mặt phẳng (Oxy) nên có VTPT r k = (0;0;1) uuur uuur a a + AD = (0; a 3;0), AA ' = ( − ; ; z) 2 A BO C y I D x 13 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn uuur uuur a2 a ⇒ AD, AA ' = ( az 3;0; )= (2 z;0; a ) 2 r ⇒ mặt phẳng (ADD’A’) có VTPT n = (2 z;0; a ) + Góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 600 nên ta có rr k n a a = ⇔z= r r = cos 60o = ⇔ (z > 0) 2 2 k.n 4z + a a a a Vậy A’( ; ) ; 2 a 3a VABCD A ' B ' C ' D ' = A ' I S ABCD = a.a = 2 uuur uuur 3a a a2 Mặt phẳng (A’BD) có VTPT BA ', BD = ( − ; ;0) = − (3; − 3;0) 2 Do ⇒ ( A ' BD ) : 3x − y = ⇔ x − y = uuur uuur a a a Mặt khác BB ' = AA ' ⇒ B '( − ; ; ) 2 Vậy khoảng cách từ B’ đến (A’BD) a a − 3− 2 a 2 Bài 10 (ĐH khối A – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết z góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a S Giải Theo giả thiết (SAB), (SAC) vuông góc với (ABC) nên SA ⊥ (ABC) ⇒ Góc (SBC) (ABC) · SBA = 60o d ( B ',( A ' BD )) = ⇒ SA = AB tan 60o = 2a Mặt phẳng qua SM, song song BC, cắt AC N ⇒ MN // BC ⇒ N trung điểm AC Do tam giác AMN vuông cân M Khi đó, ta có 1 VS BCNM = SA.S BCNM = SA.( S ABC − S AMN ) 3 BO 60o = M A N C 14 x y TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 4a a = 2a 3.( − ) = a3 2 Bây ta tính khoảng cách hai đường thẳng AB, SN phương pháp tọa độ Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, với B gốc tọa độ, C (2a;0;0), A(0;2a;0), S (0;2a;2a 3) uuu r N trung điểm AC ⇒ N ( a; a;0) ⇒ SN = ( a; − a; −2a 3) uuu r uuu r uuu r 2 Mặt khác BA = (0;2a;0) ⇒ SN , BA = (4a 3;0;2a ) uuu r uuu r uuur SN , BA BN uuur 4a 3 2a 39 ⇒ d ( SN , AB ) = = = u u u r u u u r Lại có BN = ( a; a;0) 13 2a 13 SN , BA 15 ... giải phương pháp cổ điển rõ ràng khâu khó khăn dựng hình (trực tiếp gián tiếp) vốn đòi hỏi học sinh phải nắm vững phương pháp phải có suy nghĩ sâu sắc; đó, ta tọa độ hóa để giải phương pháp tiếp... dụ ta chuyển sang đối tượng hình không gian khác, hình tứ diện có ba cạnh xuất phát từ đỉnh đôi vuông góc (gọi tắt tam diện vuông) Phương án tọa độ hóa hình đa diện hình hộp chữ nhật Ví dụ Cho... ví dụ minh họa trình bày, ta rút ba bước sau việc giải toán hình học không gian tổng hợp phương pháp tọa độ: + Xây dựng hệ trục tọa độ thích hợp (thỏa < t < 2a) Vậy MN = TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC