PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề KHẢO SÁT HÀM SỐ & ỨNG DỤNG y = x − mx + m Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số , tham số Hỏi hàm số cho có nhiều điểm cực trị A B C D Hướng dẫn giải Chọn B y = x − mx + Ta có: y′ = 3x5 x −m= x5 − m x x 3 Suy ra: TH1: x=0 m=0 hàm số đạo hàm y′ = x5 x x=0 =0 Ta có: vơ nghiệm hàm số khơng có đạo hàm x −∞ +∞ − y′ + y Do hàm số có cực trị TH2: m>0 Ta có: x > m y′ = ⇔ 3x = m x ⇔  ⇔ x = 3 3 x = mx Bảng biến thiên x −∞ m +∞ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word y′ − − + y Do hàm số có cực trị TH3: m0 m m Chú ý:Thay trường hợp ta xét , ta chọn số dương m=3 m = −3 (như ) để làm Tương tự trường hợp , ta chọn để làm cho lời giải nhanh y= x + 2017 (1) x +1 Câu 2: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số Mệnh đề đúng? A Đồ thị hàm số (1) khơng có tiệm cận ngang có tiệm cận x = −1 đứng đường thẳng y = −2, y = B Đồ thị hàm số (1) có hai tiệm cận ngang đường thẳng khơng có tiệm cận đứng y=2 C Đồ thị hàm số (1) có tiệm cận ngang đường thẳng khơng có tiệm cận đứng D Đồ thị hàm số (1) khơng có tiệm cận ngang có hai tiệm cận x = −1, x = đứng đường thẳng Hướng dẫn giải Chọn B y= x + 2017 (1) x +1 Hàm số đứng có tập xác định ¡ , nên đồ thị khơng có tiệm cận x + 2017 x + 2017 = 2; lim = −2 x →+∞ x →−∞ x +1 x +1 lim , nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y = −2, y = đường thẳng Câu 3: (SGD VĨNH PHÚC)Tìm tất m cho điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x + x + mx − nằm bên phải trục tung 1 0 Để cực tiểu đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung phải có: (2) kết hợp (3) ⇔ xCĐ xCT = (1) suy có hai nghiệm trái dấu m 1 ≠ −1 , hay ( *) x1 , x2 Khi đó, gọi hai nghiệm phương trình f ( x) = , ta có  x1 + x2 = − m   x1 x2 = m − (Viète) Giả sử A ( x1 ; x1 + m − 1) , B ( x2 ; x2 + m − 1) ⇒ AB = x2 − x1 Theo giả thiết AB = ⇔ x2 − x1 = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ m − 8m + = ⇔ m = ± 10 Kết hợp với điều kiện ( *) Câu 9: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho ta x y , m = ± 10 xy ≤ y − số dương thỏa mãn ( 2x + y ) x + 2y P= + ln x y a + ln b ab nhỏ Giá trị tích Giá trị A 45 B 81 C 108 D 115 Hướng dẫn giải Chọn B xy ≤ y − ⇔ xy + ≤ y ≤ y + x, y ⇔0< dương ta có: P = 12 + Có t= Đặt x  y + ln  + ÷ x y  x y , điều kiện: x ≤4 y 0 ⇒ b = 12 ⇒ a = ⇒ c = 12 Câu 11: (NGÔ GIA TỰ - VP) Tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x + ( m − 1) x + ( m − ) x + 2017 ( a; b ) nghịch biến khoảng cho b−a >3 m < m > m>6 m=9 m − x − x − Câu 46: Bất phương trình Hỏi hiệu b−a ( a; b ] có tập nghiệm có giá trị bao nhiêu? A B C D −1 Hướng dẫn Chọn A Điều kiện: 1≤ x ≤ ⇔ + + x −1 > ( − x) + + 3− x ; bpt f (t ) = t + + t Xét ( x − 1) với t≥0 f '(t ) = Có t t +2 [0; +∞) Do hàm số đồng biến + t > 0, ∀t > ⇔ f ( x − 1) > f (3 − x) ⇔ x − > ⇔ x > (1) S = (2;3] So với điều kiện, bpt có tập nghiệm Câu 47: Tìm tất giá trị thực tham số có cực tiểu mà khơng có cực đại A m < −1 B −1 ≤ m ≤ C m y = ( m + 1) x − mx + để hàm số m > D −1 ≤ m < Hướng dẫn Chọn B Ta xét hai trường hợp sau đây: TH1: m + = ⇔ m = −1 y = x2 + ⇒ Khi hàm số có cực tiểu ( ⇒ m = −1 khơng có cực đại thỏa mãn u cầu toán TH2: m + ≠ ⇔ m ≠ −1 x=0 ) mà Khi hàm số cho hàm số trùng phương ta có :  m  y ' = ( m + 1) x3 − 2mx = ( m + 1) x  x −  ( m + 1)   Hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại đổi dấu từ âm sang dương −1 < m ≤ Kết hợp giá trị m x ⇔ y' qua nghiệm tìm được, ta có −1 ≤ m ≤ Câu 48: Tìm tất giá trị thực tham số y= x − mx − ( 3m2 − 1) x + 3 x1 x2 + ( x1 + x2 ) = có nghiệm  ( m + 1) >   m  ( m + 1) ≤ ⇔ ⇔ m để đồ thị hàm số x1 có hai điểm cực trị có hồnh độ x2 , cho A m = B m=− C m= D m=− Hướng dẫn Chọn C Ta có : y ' = x − 2mx − ( 3m − 1) = ( x − mx − 3m + 1) g ( x ) = x − mx − 3m + tam thức bậc hai có , ∆ = 13m − y' điểm cực trị phân biệt  13 m > 13   13 m < − 13 ⇔ ∆>0 ⇔  có hai nghiệm phân biệt Do hàm số có hai ⇔ g ( x) có hai nghiệm (1) g ( x) x1 x2 , nghiệm nên theo định lý Vi-ét, ta có  x1 + x2 = m   x1 x2 = −3m + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Do m =  m = x1 x2 + ( x1 + x2 ) = ⇔ −3m + 2m + = ⇔ −3m + 2m = ⇔  m= Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy Câu 49: Cho hàm số y = x − ( − m2 ) x + m + m thỏa mãn u cầu tốn Tìm tất giá trị tham số thực để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn 1 m=− m= m = m = 2 A B C D Hướng dẫn Chọn C [Phương pháp tự luận] y ' = x3 − ( − m2 ) x x = ⇔ 2 y'= x = 1− m m −3 y′ = x1 , x2 , gọi hai nghiệm phương trình , x1 + x2 = ta có: Bấm máy tính:  x  x =i ,m = A=1000 x3 − x − mx + − ( x − x − m )  − ÷  →  3 994 2006 1000 − 2000 + 2m + m−6 − − i=− − i=− x− 3 3 3 Hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: 2m + m−6 2m + m−6   A  x1 ; − x1 − x2 − ÷; B  x2 ; − ÷ 3  3    Gọi I AB ⇒ I ( 1; −m ) trung điểm y=− Đường thẳng qua hai điểm cực trị là: Yêu cầu toán 2m + m−6 x− ( ∆) 3  2m +  − = m = −  ∆ / / d or ∆ ≡ d  ⇔ ⇔ ⇔   I ∈ d m =  −m = − Kết hợp với điều kiện m=0 Câu 52: Tìm giá trị tham số y = x − m2 x + m + m để đồ thị hàm số: có ba điểm cực trị Đồng thời ba điểm cực trị với gốc O tạo thành tứ giác nội tiếp m = ±1 m = m = −1 A B C Không tồn m D Hướng dẫn Chọn A y ′ = y = x − m2 x Hàm số có điểm cực trị m≠0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A ( 0; m + 1) , B ( −m;1) , C ( m;1) Khi điểm cực trị là: Gọi I tâm đường trịn ngoại tiếp( có) tứ giác đối xứng , ta có: A, O, I ⇒ AO thẳng hàng ABOC tứ giác Vậy ABOC Do tính chất đường kính đường trịn ngoại tiếp( có) m = ⇔ uuur uuur AB ⊥ OB ⇔ AB.OB = ⇔ m − m =  m = ±1 Kết hợp điều kiện m = ±1 ( thỏa mãn) m Câu 53: Tìm giá trị tham số để đồ thị hàm số: y = x − 2mx + m có ba điểm cực trị Đồng thời ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp lớn m < −1 m > A B m ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) C D Không tồn m Hướng dẫn Chọn B [Phương pháp tự luận] Hàm số có điểm cực trị ( m>0 ) ( A ( 0; m ) , B − m ; m − m , C Ba điểm cực trị Gọi I trung điểm S ∆ABC = m ; m − m2 ) BC ⇒ I ( 0; m − m ) AI BC = m m Chu vi ∆ABC p = AB + BC + AC = là: ( m + m4 + m ) Bán kính đường trịn nội tiếp m2 m r >1⇔ m + m4 + m Theo ra: ⇔ m ∆ABC m2 m S r = ∆ABC = p m + m4 + m là: >1⇔ m2 m ( m + m4 − m m4 ) >1 (vì m>0 ) ) (  m < −1 m + m − m > m ⇔ m + m5 > m + m ⇔ m − m − > ⇔  m > So sánh điều kiện suy m>2 thỏa mãn [Phương pháp trắc nghiệm] r= b2 a + 16a − 2ab3 ⇒r= 4m + 16 + 16m3 = m2 + + m3 Sử dụng công thức r >1⇔ Theo ra: m2 1+ 1+ m >1⇔ m2 ( ) >1⇔ + m3 − m3 + m3 − > m  m < −1 + m3 > m + ⇔⇔ + m3 > m + ⇔ m2 − m − > ⇔  m > So sánh điều kiện suy m>2 thỏa mãn Câu 54: Tìm tất giá trị thực tham số y = mx − 3mx + 3m − 3 C m = −1 O gốc tọa độ) B m=− để đồ thị hàm số AB − (OA2 + OB ) = 20 A, B có hai điểm cực trị ( Trong m = −1 A m 17 11 D m =1 cho m =1 m=− 17 11 Hướng dẫn Chọn D y′ = m(3x − x) Ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Với cực trị m≠0 , ta có  x = ⇒ y = 3m − y′ = ⇔   x = ⇒ y = −m − Vậy hàm số có hai điểm A(0;3m − 3); B(2; −m − 3) Giả sử m = AB − (OA + OB ) = 20 ⇔ 11m + 6m − 17 = ⇔   m = − 17  11 Ta có : Vậy giá trị m 2 cần tìm là: m =   m = − 17  11 ( thỏa mãn) Câu 55: Trong tất hình chữ nhật có diện tích 48 cm 2, hình chữ nhật có chu vi nhỏ bằng: 16 A cm B cm C 24 cm D Hướng dẫn Chọn A Cách Gọi cạnh hình chữ nhật: a, b; 0)? a2 a2 2a 9 A B C a2 3 D Hướng dẫn Chọn A x, < x < Cạnh góc vng a ; cạnh huyền: a−x (a − x)2 − x Cạnh góc vng cịn lại là: S ( x) = Diện tích tam giác x a − 2ax S ′( x) = a (a − x) a − 2ax ; S ′( x) = ⇔ x = a Bảng biến thiên: a2 Tam giác có diện tích lớn cạnh góc vng a , cạnh huyền 2a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word cos x + cos x + y= cos x + Câu 57: Cho hàm số Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ hàm số cho Khi M+m A.– B.– C.– D Hướng dẫn Chọn D D=¡ Tập xác định: Đặt 2t + t + , ≤ t ≤1 t +1 t = f ′(t ) = ⇔  t = −2 ∉ [ 0;1] ⇒ f (0) = 1, f (1) = 2t + 4t (t + 1) f ′(t ) = t = cos x , ≤ t ≤ ⇒ y = f (t ) = ; y = 1, max y = ¡ ¡ Vậy y= Câu 58: Cho hàm số sin x + sin x + sin x + Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ hàm số cho Chọn mệnh đề 3 M = m+ M= m M = m+ M = m +1 2 A B C D Hướng dẫn Chọn B t = sin x, − ≤ t ≤ ⇒ y = f (t ) = Đặt t +1 t + t +1 f ′(t ) = , (t −t − 2t ) + t +1 t = ∈ [ −1;1] f ′(t ) = ⇔  ⇒ f (0) = 1, f ( − 1) = 0, f (1) = t = − ∉ − 1;1 [ ]  Câu 59: Cho M = 1, m = Vậy x ≠ 0, y ≠ hai số thực ( x + y) xy = x + y − xy A M = thay đổi thỏa mãn 1 A= + x y điều M Giá trị lớn biểu thức là: M = M = M = 16 B C D Hướng dẫn kiện Chọn D A= 1 x + y ( x + y )( x − xy + y )  x + y   1  + = 3 = = ÷ = + ÷ x3 y x y x3 y3  xy   x y  ( x + y ) xy = x + y − xy ⇒ (t + 1)ty = (t − t + 1) y x = ty Đặt Từ giả thiết ta có: Do t2 − t +1 t2 − t +1 y= ; x = ty = t +t t +1 2 Từ  1   t + 2t +  A= + ÷ = ÷  x y   t − t +1  t + 2t + −3t + ′ f (t ) = ⇒ f (t ) = t − t +1 ( t − t + 1) Xét hàm số x= y= Lập bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn A là: 16 đạt y= Câu 60: Đồ thị hàm số x+2 3x + có đường tiệm cận đứng x=a đường tiệm cận y =b m ≥ a+b ngang Giá trị số nguyên m nhỏ thỏa mãn −3 −1 −2 A B C D Hướng dẫn Chọn D Ta có đường tiệm cận đứng a = −3, b = Nên Do x = −3 y= đường tiệm cận ngang 3 m ≥ a + b ⇔ m ≥ − ⇒ m = −2 y= Câu 61: Cho hàm số cách từ A.5 M 2x − (C ) x−2 Gọi M điểm (C), d tổng khoảng đến hai đường tiệm cận đồ thị (C) Giá trị nhỏ d B.10 C.6 D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn Chọn D Tọa độ điểm M có dạng  2x −  M  x0 ; ÷ x0 −   x0 ≠ với x − = ( d1 ) , y − = ( d ) Phương trình tiệm cận đứng, ngang d = d ( M , d1 ) + d ( M , d ) = x0 − + ≥2 x0 − Ta có Câu 62: Cho hàm số : y = x3 − mx − x + m + 3 ( Cm ) ( Cm ) Tất giá trị x1 , x2 , x3 Ox cắt trục ba điểm phân biệt có hồnh độ tham số m để x12 + x22 + x32 > 15 thỏa m >1 m < −1 A có đồ thị B m < −1 C m>0 D m >1 Hướng dẫn Chọn A Phương pháp tự luận: (C ) Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng d : x − mx − x + m + = ⇔ ( x − 1)  x + ( −3m + 1) x − 3m −  = 3 x = ⇔  x + ( −3m + 1) x − 3m − = (1)  4 44 4 43  g ( x) ( Cm ) cắt biệt khác Ox ba điểm phân biệt ⇔ (1) phương trình có hai nghiệm phân 9m + 6m + > ∆ g > ⇔ ⇔ ⇔m≠0 −6m ≠  g ( 1) ≠ x1 = ( 1) x2 , x3 Gọi  x2 + x3 = 3m −   x2 x3 = −3m − nghiệm phương trình nên theo Viet ta có Vậy x12 + x22 + x32 > 15 ⇔ + ( x2 + x3 ) − x2 x3 > 15 ⇔ ( 3m − 1) + ( 3m + ) − 14 > ⇔ 9m − > ⇔ m > ∨ m < −1 Vậy chọn m > ∨ m < −1 Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra đáp án m = −2 + Với , ta giải phương trình bậc ba: x + 2x2 − x − = 3 thu x1 = −6.37 , x2 = 1, x3 = −0.62 nghiệm Ta chọn giá trị nhỏ nghiệm kiểm tra điều kiện toán ( −6.4 ) Cụ thể ta tính + Với m=2 + 12 + ( −0.63) = 42.3569 > 15 ⇒ loại C, D x1 = 6.27 , x2 = 1, x3 = −1.27 , ta làm tương tự thu nghiệm 6.22 + 12 + ( −1.3) = 41.13 > 15 ⇒ Tính Vậy chọn m > ∨ m < −1 y= Câu 63: Cho hàm số loại B x −1 ( x + 1) ( C) M ( x0 ; y0 ) x0 > −1 có đồ thị Gọi điểm với ( C) , ( C) M điểm thuộc biết tiếp tuyến điểm cắt trục hoành, trục tung A, B OAB G hai điểm phân biệt tam giác có trọng tâm nằm x0 + y0 d : 4x + y = đường thẳng Hỏi giá trị bao nhiêu? 7 5 − − 2 2 A B C D Hướng dẫn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Chọn A • Gọi • Gọi  x −1 M  x0 ;  ( x + 1)   ∈ C ÷ ÷ ( )  x0 ≠ −1 với điểm cần tìm ( C) ∆ tiếp tuyến M ∆ : y = f '( x0 )( x − x0 ) + ta có phương trình x0 − x −1 = ( x − x0 ) + 2( x0 + 1) ( x0 + 1) 2( x0 + 1) • Gọi  x02 − x0 −  A − ;0÷  A = ∆ ∩ Ox ⇒  • Khi ∆ tạo với hai trục tọa độ ∆OAB  x02 − x0 −  B  0; ÷ B = ∆ ∩ Oy ⇒  2( x0 + 1)  có trọng tâm  x − x0 − x02 − x0 −  G− ; ÷ 6( x0 + 1)   • Do G thuộc đường thẳng ⇔ 4= • Vì nên chọn y= Câu 64: Cho hàm số −x + 2x − x02 − x0 − x02 − x0 − −4 + =0 6( x0 + 1) 4x + y = ⇒ ( x0 + 1) A, B (vì khơng trùng 1    x0 + =  x0 = − ⇔ ⇔ x + = − x = −  2  x0 > −1 O x02 − x0 − ≠ nên )  3 x0 = − ⇒ M  − ; − ÷ ⇒ x0 + y0 = −  2 ( C) có đồ thị d : y = x+m m , đường thẳng Với ( C) k1 , k2 A, B d ta ln có cắt điểm phân biệt Gọi hệ số góc ( C) k1 + k A, B m tiếp tuyến với Tìm để tổng đạt giá trị lớn m = −1 m = −2 m=3 m = −5 A B C D Hướng dẫn ... cận ? ?ứng D Đồ thị hàm số (1) khơng có tiệm cận ngang có hai tiệm cận x = ? ?1, x = ? ?ứng đường thẳng Hướng dẫn giải Chọn B y= x + 2 017 (1) x +1 Hàm số ? ?ứng có tập xác định ¡ , nên đồ thị khơng có. .. 2 018 n 2 018 n Ta chứng minh Giả sử x2 + x + 1 1 = 1+ = 1+ − x +x x ( x + 1) x x +1 m n m ⇔ f ( 1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2 017 ) = n ⇔ 2 018 − = 2 018 − 2 018 phân số tối giản ước chung Khi ta có. .. 2 018 − 2 018 , suy 1Md ⇔ d = ? ?1 2 018 2 − 1Md 2 018 Md ⇒ 2 018 2 Md http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word m n Suy Vậy 2 018 2 − 2 018 m − n = ? ?1 phân số tối giản, nên m = 2 018 2