BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI —————————- TRẦN NGỌC THĂNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI —————————- TRẦN NGỌC THĂNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62460112 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim GS TSKH Đinh Thế Lục HÀ NỘI - 2017 LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Viện Toán ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim GS TSKH Đinh Thế Lục Các kết trình bày luận án chưa công bố công trình khác Các kết công bố chung với PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim GS TSKH Đinh Thế Lục đồng ý đồng tác giả đưa vào luận án Thay mặt tập thể hướng dẫn PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim Tác giả Trần Ngọc Thăng Lời cảm ơn Luận án thực hướng dẫn tận tình nghiêm khắc PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim GS TSKH Đinh Thế Lục Trong suốt trình nghiên cứu thực luận án, thầy cô bước dẫn dắt, truyền cho tác giả niềm đam mê nghiên cứu nhiều kinh nghiệm, kỹ năng, kiến thức quý báu, đồng thời động viên khích lệ để tác giả vượt qua thử thách bước đường làm khoa học Tác giả xin chân thành gửi tới thầy cô kính trọng lòng biết ơn sâu sắc Trong trình học tập, nghiên cứu thực luận án, tác giả nhận quan tâm, giúp đỡ với lời khuyên thiết thực quý báu GS Lê Dũng Mưu, GS Trần Vũ Thiệu, PGS Nguyễn Văn Châu, PGS TSKH Huỳnh Văn Ngãi, PGS TS Phan Nhật Tĩnh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Tổ chức cán bộ, Viện Đào tạo sau Đại học - Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình hoàn thành luận án Tác giả chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo toàn thể cán Viện Toán ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, động viên, giúp đỡ hỗ trợ nhiều mặt để tác giả yên tâm học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Quỹ Phát triển Khoa học Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) hỗ trợ kinh phí nghiên cứu thực luận án Xin chân thành cảm ơn TS Lê Quang Thủy, TS Nguyễn Cảnh Nam, TS Nguyễn Thị Toàn, TS Nguyễn Thị Thanh Huyền, TS Nguyễn Quang Thuận, TS Vũ Thành Nam, TS Tạ Anh Sơn, ThS Lê Quang Hòa, TS Trần Minh Hoàng, ThS Đỗ Xuân Hưng, ThS Phạm Thị Hoài, KS Bùi Văn Chung anh chị em nghiên cứu sinh bạn bè đồng nghiệp xa gần động viên khích lệ trao đổi hữu ích trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới phản biện độc lập dành nhiều thời gian để đọc đưa góp ý, nhận xét quý báu để tác giả chỉnh sửa luận án hoàn thiện Cuối cùng, cảm thông, động viên chia sẻ người thân gia đình động lực để tác giả bước hoàn thành luận án Vì vậy, tác giả xin dành tặng luận án cho gia đình thân yêu quà tinh thần để bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc Mục lục Một số ký hiệu chữ viết tắt iii Danh mục hình vẽ danh mục bảng vi Lời mở đầu viii Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng 1.1 Hàm lồi suy rộng 1.2 Điểm hữu hiệu hướng pháp tuyến 1.3 Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng 17 Thuật toán hướng pháp tuyến giải toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng 21 2.1 2.2 Xác định điểm ảnh hữu hiệu yếu hướng pháp tuyến Thuật toán hướng pháp tuyến không gian ảnh 23 27 2.3 Sự hội tụ thuật toán 33 2.4 Tính toán thử nghiệm 41 Thuật toán giải số toán quy hoạch tích mở rộng 3.1 Thuật toán giải toán quy hoạch tích lồi suy rộng (GMP) 55 56 Thuật toán giải toán quy hoạch tích lõm mở rộng (GIMP) 3.2.1 Các thao tác lược đồ nhánh cận 64 69 3.2.2 Thuật toán nhánh cận không gian ảnh 74 3.2.3 Tính toán thử nghiệm 78 3.2 i Thuật toán giải toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu 4.1 4.2 83 Thuật toán giải toán (QP) với ϕ hàm tựa lõm 4.1.1 Phân hoạch toán 85 86 4.1.2 4.1.3 Thuật toán nhánh cận không gian ảnh Tính toán thử nghiệm 90 94 Thuật toán giải toán (DP) với ϕ hàm đơn điệu tăng 4.2.1 Đơn hình xấp xỉ lược đồ rẽ nhánh 98 99 4.2.2 4.2.3 Thuật toán nhánh cận - xấp xỉ 101 Tính toán thử nghiệm 106 Kết luận chung 111 Danh mục công trình công bố 114 Danh mục tài liệu tham khảo 115 Danh mục thuật ngữ 124 ii Một số ký hiệu chữ viết tắt Rn không gian Euclide n chiều Rn+ tập véc tơ không âm Rn x chuẩn Euclide véc tơ x ∈ Rn |x| giá trị tuyệt đối x ∈ R xi dãy điểm Rn x, y tích vô hướng x y [x, y] đoạn thẳng nối hai điểm x, y ∈ Rn , tức [x, y] = {q ∈ Rn | q = λ x + (1 − λ )y, ≤ λ ≤ 1} B [x, y] Hộp chữ nhật tạo hai đỉnh x, y ∈ Rn , tức B [x, y] = {q ∈ Rn | x ≤ q ≤ y} VolP Thể tích đa diện P ⊂ Rn conv x1 , x2 , , xk bao lồi điểm x1 , x2 , , xk tập x = ∑ki=1 λi xi : λi ≥ 0, ∑ki=1 λi = intX phần tương đối tập X ∂X biên tập X NX (x0 ) nón pháp tuyến X x0 ∈ X A+B tổng véc tơ hai tập A B A−B hiệu véc tơ hai tập A B t.ư viết tắt cụm từ "tương ứng" v.đ.k viết tắt cụm từ "với điều kiện" iii (LMOP) Bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính (CMOP) Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi (CBOP) Bài toán quy hoạch hai mục tiêu lồi (GMOP) Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (QP) Bài toán (P) với hàm ϕ tựa lõm (DP) Bài toán (P) với hàm ϕ đơn điệu (MP) Bài toán quy hoạch tích (LMP) Bài toán quy hoạch tích tuyến tính (CMP) Bài toán quy hoạch tích lồi (GMP) Bài toán quy hoạch tích tựa lồi suy rộng (GIMP) Bài toán quy hoạch tích lõm mở rộng XE Tập nghiệm hữu hiệu toán quy hoạch đa mục tiêu (MOP) theo nghĩa cực tiểu XW E Tập nghiệm hữu hiệu yếu toán quy hoạch đa mục tiêu (MOP) theo nghĩa cực tiểu MinQ Tập điểm hữu hiệu tập Q theo nghĩa cực tiểu WMinQ Tập điểm hữu hiệu yếu tập Q theo nghĩa cực tiểu MaxQ Tập điểm hữu hiệu tập Q theo nghĩa cực đại WMaxQ Tập điểm hữu hiệu yếu tập Q theo nghĩa cực đại Min(Q, θ ) Tập điểm hữu hiệu θ - xấp xỉ tập Q theo nghĩa cực tiểu WMin(Q, θ ) Tập điểm hữu hiệu yếu θ - xấp xỉ tập Q theo nghĩa cực tiểu iv Danh mục hình vẽ 1.1 Minh họa tập S 1.2 q1 ∈ WMinQ, q2 ∈ WMinQ q3 ∈ MinQ 10 1.3 1.4 Hai nón pháp tuyến NQ (q1 ) NQ (q2 ) Hướng pháp tuyến dương (t.ư., không âm) Q điểm hữu hiệu 11 1.5 q3 (t.ư hữu hiệu yếu q1 ) Minh họa tập Q Q+ 12 14 1.6 Cách xác định điểm hữu hiệu yếu tập Q+ 15 2.1 Minh họa Ví dụ 2.1 43 2.2 Hình bên trái bao gồm đường thẳng biểu diễn siêu phẳng cắt chứa diện Y out , hình bên phải biểu diễn điểm hữu hiệu yếu tập ảnh Y Ví dụ 2.4 Tập xấp xỉ Y out Y điểm hữu hiệu yếu tập ảnh 46 Y Ví dụ 2.5 2.4 Bên trái tập xấp xỉ Y out ; bên phải tập đỉnh tập 47 xấp xỉ Y in Ví dụ 2.6 Tập ảnh hữu hiệu yếu WMinY phân phối điểm ảnh hữu 48 2.3 2.5 hiệu yếu sinh ba phương pháp Trường hợp Ví dụ 2.6 2.6 49 Tập ảnh hữu hiệu yếu WMinY phân phối điểm ảnh hữu hiệu yếu sinh ba phương pháp Trường hợp Ví dụ 2.6 50 3.1 Đường cong hữu hiệu MaxY − 67 3.2 Sinh điểm hữu hiệu phép chiếu 68 v đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP) Tính hội tụ thuật toán Định lý 3.1 Nghiên cứu toán (GIMP) cực đại hàm mục tiêu tổng hàm lõm với tích p ≥ hàm lõm tập chấp nhận tập lồi compact khác rỗng, đưa việc giải toán giải toán (EPY − ) cực đại hàm liên tục, đơn điệu tăng tập điểm hữu hiệu yếu tập lồi có thứ nguyên đầy đủ R2 Thuật toán nhánh cận Solve(EPY − ) giải toán (EPY − ) xây dựng dựa cấu trúc đặc biệt tập điểm hữu hiệu chứng minh hội tụ (Định lý 3.2) Các kết tính toán thử nghiệm cho thấy thuật toán giải toán có số biến lớn Đề xuất hai thuật toán không gian ảnh để giải hai toán tối ưu hàm mục tiêu có dạng h(x) = ϕ( f (x)) tập nghiệm hữu hiệu XE toán quy hoạch hai mục tiêu lồi (CBOP), hàm véc tơ lồi f (x) = ( f1 (x), f2 (x)) hàm mục tiêu toán (CBOP), dựa cấu trúc đặc biệt tập giá trị hữu hiệu YE = f (XE ) tính đặc thù hàm ϕ: • Thuật toán nhánh cận giải toán cực tiểu hàm h(x) = ϕ( f (x)) XE , ϕ : R2 → R hàm tựa lõm (Thuật toán Solve(QPY + )); • Thuật toán nhánh cận kết hợp xấp xỉ giải toán cực đại hàm h(x) = ϕ( f (x)) XE , ϕ : R2 → R đơn điệu tăng (Thuật toán Solve(DPY + )) Cả hai thuật toán chứng minh hội tụ (Định lý 4.1 Định lý 4.2) Tính toán thử nghiệm với nhiều toán khác cho thấy thuật toán xây dựng theo hướng tiếp cận không gian ảnh cho phép giảm đáng kể chi phí tính toán Một số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: Sử dụng phương pháp hướng pháp tuyến không gian ảnh để giải lớp toán tối ưu khác toán quy hoạch lõm, toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu, toán quy hoạch toàn phương, toán tối ưu với ràng buộc không lồi, 112 Đề xuất thuật toán giải lớp toán quy hoạch tích mở rộng khác nảy sinh từ vấn đề thực tế lĩnh vực kinh tế, viễn thông, công nghiệp, Mở rộng thuật toán giải hai toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu trình bày Chương cho trường hợp toán quy hoạch đa mục tiêu có số mục tiêu lớn Nghiên cứu đề xuất thuật toán hiệu giải lớp toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng khác, hàm mục tiêu hàm tựa lồi, hàm phân thức hàm đa thức, Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc với biến số nguyên Ứng dụng thuật toán đề xuất vào việc giải toán nảy sinh thực tế, chẳng hạn toán tối ưu danh mục đầu tư, toán tối ưu hóa sản xuất, toán luồng cực đại mạng, toán xử lý ảnh, 113 Danh mục công trình công bố tác giả có liên quan đến luận án Nguyen Thi Bach Kim, Tran Ngoc Thang (2013), Optimization over the efficient set of a bicriteria convex programming problem, Pac J Optim., 9(1), 103-115 (ISI) Tran Ngoc Thang (2015), Outcome-based branch and bound algorithm for optimization over the efficient set and its application, Adv Int Syst Comput., Springer Publishing Switzerland, 341, 31-47 (SCOPUS) Tran Ngoc Thang, Nguyen Thi Bach Kim (2016), Outcome space algorithm for generalized multiplicative problems and optimization over the efficient set1 , J Ind Manag Optim., 12(4), 1417 - 1433 (ISI) Tran Ngoc Thang, Dinh The Luc, Nguyen Thi Bach Kim (2016), Solving generalized convex multiobjective programming problems by a normal direction method, Optimization, 65(12), 2269-2292 (ISI) Thuộc danh sách công trình thưởng năm 2016 Chương trình Trọng điểm Quốc gia phát triển Toán học giai đoạn 2010 - 2020 114 Danh mục tài liệu tham khảo Tiếng Việt Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền (2009), Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội Nguyễn Thị Bạch Kim (2014), Giáo trình phương pháp tối ưu: Lý thuyết thuật toán, NXB Bách Khoa, Hà Nội Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội Tiếng Anh An L.T.H., Tao P.D., Muu L.D (1996), Numerical solution for optimization over the efficient set by d.c optimization algorithm, Oper Res Lett., 19, 117128 An L.T.H., Tao P.D., Nam N.C., Muu L.D (2010), Method for optimizing over efficient and weakly efficient the sets of an affine fractional vector optimization program, Optimization, 59(1), 77-93 Ashtiani A.M.M., Ferreira P.A.V (2011), On the solution of generalized multiplicative extremum problems, J Optim Theory Appl., 149, 411-419 Armand P., Malivert C (1991), Determination of the efficient set in multiobjective linear programming, J Optim Theory Appl., 70, 467 - 489 Avriel M., Diewert W.E., Schaible S., Zang I (1988), Generalized concavity, Plenum Press, New York Benoist J (2001), Contractibility of the efficient set in strictly quasiconcave vector maximization, J Optim Theory Appl., 110, 325-336 10 Benson H.P (1991), An all-linear programming relaxation algorithm for optimization over the efficient set, J Global Optim., 1, 83 - 104 115 11 Benson H.P (1998), An outer approximation algorithm for generating all efficient extreme points in the outcome set of a multiple objective linear programming problem, J Global Optim., 13, 1-24 12 Benson H.P (1999), An outcome space branch and bound-outer approximation algorithm for convex multiplicative programming, J Global Optim., 15, 315-342 13 Benson H.P (2004), On the global optimization of sums of linear fractional functions over a convex set, J Optim Theory Appl., 121(1), 19–39 14 Benson H.P (2008), Global maximization of a generalized concave multiplicative function, J Optim Theory Appl., 137, 105-120 15 Benson H.P (2010), Simplicial branch-and-reduce algorithm for convex programs with a multiplicative constraint, J Optim Theory Appl., 145, 213-233 16 Benson H.P (2012), An outcome space algorithm for optimization over the weakly efficient set of a multiple objective nonlinear programming problem, J Global Optim., 52, 553-574 17 Benson H.P., Boger G.M (1997), Multiplicative programming problems: Analysis and efficient point search heuristic, J Optim Theory Appl., 94, 487-510 18 Benson H.P., Boger G.M (2000), Outcome-space cutting-plane algorithm for linear multiplicative programming, J Optim Theory Appl., 104, 301-322 19 Benson H.P., Sayin S (1994), Optimization over the efficient set: four special case, J Optim Theory Appl., 80, 3-18 20 Ben-Tal A (1980), Characterization of Pareto and lexicographic optimal solutions, Lecture Notes in Eco and Math Sys., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 177, 1-11 21 Cantor G (1897), Contributions to the foundation of transfinite set theory, Math Ann., 49, 207–246 116 22 Chen P.C., Hansen P., Jaumard B (1991), On-line and off-line vertex enumeration by adjacency lists, Oper Res Lett., 10, 403-409 23 Cohon J.L (1978), Multiobjective programming and planning, New York, Academic Press 24 Dan N.D., Muu L.D (1996), Parametric simplex method for optimizing a linear function over the efficient set of a bicriteria linear problem, Acta Math Vietnam., 21, 59-67 25 Das I., Dennis J.E (1998), Normal-boundary intersection: A new method for generating the Pareto surface in nonlinear multicriteria optimization problems, SIAM J Optim., 8, 631-657 26 Dauer J.P., Fosnaugh T.A (1995), Optimization over the eficient set, J Global Optim., 7, 261-277 27 Dauer J.P., Liu Y.H (1990), Solving multiple objective linear programs in objective space, Eur J Oper Res., 46, 350–357 28 Dauer J.P., Gallagher R.J (1996), A combined constraint-space, objectivespace approach for determining high-dimensional maximal efficient faces of multiple objective linear programs, Eur J Oper Res., 88, 368-381 29 Ehrgott M., L¨ohne A., Shao L (2012), A dual variant of Benson’s “outer approximation algorithm” for multiple objective linear programming, J Global Optim., 52(4), 757–778 30 Ehrgott M., Shao L., Schobel A (2011), An approximation algorithm for convex multi-objective programming problems, J Global Optim., 50, 397416 31 Fulop J., Muu L.D (2000), Branch-and-bound variant of an outcome-based algorithm for optimizing over the efficient set of a bicriteria linear programming problem, J Optim Theory Appl., 105, 37-54 117 32 Gao Y., Wu G., Ma W (2010), A new global optimization approach for convex multiplicative programming, Appl Math Comput., 216, 1206-1218 33 Gourion D., Luc D.T (2008), Generating the weakly efficient set of nonconvex multiobjective problems, J Global Optim., 41, 517-538 34 Gourion D., Luc D.T (2010), Finding efficient solutions by free disposal outer approximation, SIAM J Optim., 20, 2939-2958 35 Greenberg H.J., Pierskalla W.P (1971), A review of quasi-convex functions, Oper Res., 19, 1553–1570 36 Haimes Y.Y., Lasdon L.S., Wismer D.A (1971), On a bicriterion formulation of the problems of integrated system identification and system optimization, IEEE Trans Syst Man Cyber., ,296-297 37 Hausdorff F (1906), Investigations concerning order types, Math Physic Class., 58, 106-169 38 Horst R., Thoai N.V (1997), Utility function programs and optimization over the efficient set in multiple-objective decision making, J Optim Theory Appl., 92 , 605-631 39 Horst R., Thoai N.V., Yamamoto Y., Zenke D (2007), On optimization over the efficient set in linear multicriteria programming, J Optim Theory Appl., 134, 433-443 40 Huy N.Q (2003), Topology of the efficient sets of convex sets in R2 , Vietnam J Math., 31(1), 45-55 41 Jaumard B., Meyer C., Tuy H (1997), Generalized convex multiplicative programming via quasiconcave minimization, J Global Optim., 10, 229-256 42 Kim N.T.B (2000), An algorithm for optimizing over the efficient set, Vietnam J Math., 28, 329-340 43 Kim N.T.B (2007), Finite algorithm for minimizing the product of two linear functions over a polyhedron, J Ind Manag Optim., 3(3), 481-487 118 44 Kim N.T.B., Luc D.T (2000), Normal cone to a polyhedral convex set and generating efficient faces in linear multi-objective programming, Acta Math Vietnam., 25(1), 101-124 45 Kim N.T.B., Luc D.T (2002), Normal cone method in solving linear multiobjective problem, J Stat Manag Sys., 5, 341 - 358 46 Kim N.T.B., Nam N.C., Thuy L.Q (2013), An outcome space algorithm for minimizing the product of two convex functions over a convex set, J Ind Manag Optim., 9(1), 243-253 47 Kim N.T.B., Muu L.D (2002), On the projection of the efficient set and potential application, Optimization, 51, 401-421 48 Kim N.T.B., Trang N.T.L., Yen T.T.H (2007), Outcome-space outer approximation algorithm for linear multiplicative programming, East West J Math., 9, 81-98 49 Kim N.T.B., Thuy L.Q (2010), An algorithm for generating efficient outcome points for convex multiobjective programming problem, Lecture Notes in Comp Sci., 5991, 390-399 50 Klamroth K., Tind J., Wiecek M.M (2002), Unbiased approximation in multicriteria optimization, Math Meth Oper Res., 56, 413-457 51 Konno H and Kuno T (1990), Generalized linear multiplicative and fractional programming, Ann Oper Res., 25, 147-162 52 Konno H., Kuno T (1992), Linear multiplicative programming, Math Program., 56, 51-64 53 Kuno T (2001), A finite branch-and-bound algorithm for linear multiplicative programming, Comput Optim Appl., 20, 119-135 54 Kuno T., Yajima Y., Konno H (1993), An outer approximation method for minimizing the product of several convex functions on a convex set, J Global Optim., 3, 325-335 119 55 Lohne A., Rudloff B., Ulus F (2014), Primal and dual approximation algorithms for convex vector optimization problems, J Global Optim., 60, 713736 56 Luc D.T (1987), Connectedness of the efficient point sets in quasiconcave vector maximization, J Optim Theory Appl., 122, 346-354 57 Luc D.T (1989), Theory of vector optimization, Lecture Notes in Econom and Math Systems, 319, Springer-Verlag, Germany 58 Luc D.T (2005), Generalized convexity in vector optimization, Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, Springer, New York, 195–236 59 Luc D.T (2016), Multiobjective Linear Programming, Springer, Switzerland 60 Luc L.T., Muu L.D (1997), Global optimization approach to optimization over the efficient set, Lecture Notes in Econom and Math Systems, 452, Springer-Verlag, Berlin, Germany, 213-221 61 Luc D.T., Phong T.Q., Volle M (2005), Scalarizing functions for generating the weakly efficient solution set in convex multiobjective problems, SIAM J Optim., 15, 987-1001 62 Luc D.T., Phong T.Q., Volle M (2006), A new duality approach to solving concave vector maximization problems, J Global Optim., 36, 401-423 63 Matsui T (1996), NP-hardness of linear multiplicative programming and related problems, J Global Optim., 9, 113-119 64 Marler R., Arora J (2004), Survey of multi-objective optimization methods for engineering, Struct Multi Optim., 26(6), 369–395 65 Miettinen K (1999), Nonlinear Multiobjective Optimization, Kluwer Academic Publishers, Boston 66 Mangasarian O.L (1969), Nonlinear Programming, McGraw-Hill, New York 120 67 Muu L.D (2000), A convex-concave programming method for optimizing over the efficient set, Acta Math Vietnam., 25, 67-85 68 Muu L.D., Tam B.T (1992), Minimizing the sum of a convex function and the product of two affine functions over a convex set, Optimization, 24, 57-62 69 Muu L.D., Thuy L.Q (2011), Smooth optimization algorithms for optimizing over the Pareto efficient set and their application to minmax flow problems, Vietnam J Math., 39(1), 31-48 70 Muu L.D., Tuyen H.Q (2002), Bilinear programming approach to optimization over the efficient set of a vector affine fractional problem, Acta Math Vietnam., 27, 119 - 139 71 Oliveira R.M., Ferreira P.A.V (2008), A convex analysis approach for convex multiplicative programming, J Global Optim., 41, 579-592 72 Payne A.N., Polak E., Collins D.C., Meisel W.S (1975), An algorithm for bicriteria optimization based on the sensitivity function, IEEE Trans Autom Control, 20, 546 - 548 73 Philip J (1972), Algorithms for the vector maximization problem, Math Program., 2, 207-229 74 Phu H.X (2005), On Efficient Sets in R2 , Vietnam J Math., 33(4), 463–468 75 Polak E (1976), On the approximation of solutions to multiple-criteria decision making problems, Lecture Notes in Econom and Math Systems, 123, Springer, 271- 282 76 Rockafellar R.T (1970), Convex analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 77 Rockafellar R.T., Wets R.B (2010), Variational Analysis, Springer-Verlag, Berlin, Germany 78 Ruzika S., Wiecek M.M (2005), Approximation methods in multiobjective programming, J Optim Theory Appl., 126, 473-501 121 79 Sach P.H (1999), Characterization of scalar quasiconvexity and convexity of locally lipschitz vector-valued maps, Optimization, 46, 283-310 80 Schaible S., Sodini C (1995), Finite algorithm for generalized linear multiplicative programming, J Optim Theory Appl., 87, 441-455 81 Shao L., Ehrgott M (2014), An objective space cut and bound algorithm for convex multiplicative programmes, J Global Optim., 58, 711-728 82 Shao L., Ehrgott M (2016), Primal and dual multi-objective linear programming algorithms for linear multiplicative programmes, Optimization, 65(2), 415-431 83 Steuer R.E (1986) Multiple criteria optimization: Theory, computation and application, Wiley, New York 84 Thang T.N., Kim N.T.B., Hung D.X (2017), An outcome-space normal cone method for generalized concave multiplicative problems, Pac J Optim., (đã nhận đăng) 85 Thieu T.V., Tam B.T., Ban V.T (1983), An outer approximation method for globally minimizing a concave function over a compact convex set, Acta Math Vietnam., 8, 21-40 86 Thoai N.V (1991), A global optimization approach for solving the convex multiplicative programming problem, J Optim Theory Appl., 1, 341-357 87 Thoai N.V (2000) , A class of optimization problems over the efficient set of a multiple criteria nonlinear programming problem, Eur J Oper Res., 122, 58-68 88 Thoai N.V (2010), Reverse convex programming approach in the space of extreme criteria for optimization over efficient sets, J Optim Theory and Appl., 147, 263-277 89 Tuy H (1998), Convex analysis and global optimization, Kluwer Academic Publishers 122 90 Tuy H., Nghia N.D (2003), Reverse polyblock approximation for generalized multiplicative/fractional programming, Vietnam J Math., 31(4), 391-402 91 Yamamoto Y (2002), Optimization over the efficient set: overview, J Global Optim., 22, 285-317 92 Wiecek M.M., Ehrgott M., Engau A (2016), Continuous multiobjective programming, Multiple criteria decision analysis: State of the art surveys, Oper Res Manag Sci., Springer, New York, 233, 739-815 93 Yu P.L (1985), Multiple-criteria decision making: Concepts, techniques and extensions, Plenum Press, New York 94 Zeleny M (1982), Multiple criteria decision making, New York, McGraw Hill 123 Danh mục thuật ngữ ), 69 (Psub ), 72 (Psub 2-đơn hình, 70, 88 toán (Pro(z∗ )), 68 (CBMP), 93 (RP(E )), 71 (SP(E )), 69 (CBOP), 83, 93 (CMOP), 17 (T (yO )), 100 nới lỏng, 71, 88 (CMP), 56, 57 (DP), 85 tối ưu biến, 72 (DPY + ), 85, 98 (GIMP), 55 (GMOP), 17 (GMP), 55, 57 tập nghiệm hữu hiệu, x, 83 cấu trúc (LMOP), 17 (LMP), 56 (P(v)), 16 tập điểm hữu hiệu, 67 tập ảnh hữu hiệu, 18 cận (QP), 85 (QPY + ), 85 (SPi ), 84 (P(vk )), 24 (PM (i)), 15 (Pm (i)), 15 (IPi ), 68 (DP(S(yL , yR ))), 103 (EPY − ), 66 (GIMPY ), 65 (GIMP), 64 tốt tại, 58 tốt tại, 59 đồng phôi, 13, 84 đơn hình, 32 đường cong hữu hiệu, 84 liên thông, 67 điều kiện Slater, 8, 21, 26, 55 tối ưu, 11 điểm 124 ảnh giả lồi vô hướng, 6, 21, 55 hữu hiệu, 18 hữu hiệu yếu, 18 lồi, tựa lồi, 6, 21 chia đôi, 74, 87, 101 dừng, 4, tuyến tính, giá trị hữu hiệu, 18 hữu hiệu yếu, 18, 27 hữu hiệu yếu θ − xấp xỉ, 22 hữu hiệu, θ -xấp xỉ, 10 hữu hiệu yếu, θ − xấp xỉ ngoài, 28 KKT, lý tưởng, 15, 83 tụ, 77, 92 hướng pháp tuyến, 10 dương, 11, 86 không âm, 11 không gian ảnh, ix giá trị, ix định, viii khoảng cách Hausdorff, 33 lược đồ rẽ nhánh, 101 liên thông, 17, 18 đường, 17, 18 đường gấp khúc, 13 đoạn cong hữu hiệu, 86 hình chiếu, 33, 68 nón pháp tuyến, 11, 27 hàm đơn điệu tăng, 99 nửa không gian tựa, 11 nghiệm afin, giả lồi, chấp nhận tốt tại, 59 giả lõm, lồi, hữu hiệu, 18 θ − xấp xỉ, 19 lồi suy rộng, hữu hiệu yếu, 18 θ − xấp xỉ, 19 lõm, phân thức, tối ưu địa phương, tựa lồi, tựa lõm, toàn cục, 4, 57, 77 xấp xỉ, 90, 102 ε- xấp xỉ, 58 hàm véc tơ giả lồi, 125 phân hoạch, 73 hữu hiệu, 22 phân phối điểm ảnh hữu hiệu, 48 phương pháp mức dưới, hướng pháp tuyến, 23 liệt kê đỉnh, 33 trên, nghiệm hữu hiệu, 18, 19 xấp xỉ ngoài, ix, 57 hữu hiệu xấp xỉ, 19 hữu hiệu yếu, 18, 19, 22 quy hoạch đa mục tiêu, viii lồi, viii, 1, 17, 21 lồi suy rộng, 1, 17, 21 tuyến tính, viii, 17, 21 hai mục tiêu lồi, 83 lồi, 68, 100 tích lồi, xi, 56 lồi suy rộng, 55 lõm mở rộng, 64 hữu hiệu yếu xấp xỉ, 19 tương đương hữu hiệu, 14 thứ tự phần, thủ tục Solve(SP(yL , yR )), 89 Solve(SP(E )), 72 thuật toán hướng pháp tuyến, 22, 23, 27 nhánh cận, 74, 90 nhánh cận - xấp xỉ ngoài, 101 tuyến tính, xi, 56 Solve(DPY + ), 103 Solve(EPY − ), 74 tối ưu đa mục tiêu, viii véc tơ, viii, tập ảnh, 18 hữu hiệu, 18 hữu hiệu yếu, 18 Solve(QPY + ), 90 Solve(GMPY ), 59 Solve(GMOP), 29 tiếp cận xấp xỉ, 19 tiêu chí dừng, 48 số véc tơ pháp tuyến, 11, 86 ràng buộc thỏa mãn chặt, 8, 25 giá trị, 18 126 ... VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI —————————- TRẦN NGỌC THĂNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62460112 LUẬN ÁN TIẾN... [78] Hai toán tối ưu toàn cục quan trọng có liên quan chặt chẽ đến toán quy hoạch đa mục tiêu toán tối ưu hàm thực tập nghiệm hữu hiệu toán quy hoạch đa mục tiêu (gọi tắt Bài toán tối ưu tập nghiệm... chỉnh thuật toán giải toán tối ưu đa mục tiêu lồi suy rộng [92] Hơn nữa, nhu cầu ứng dụng, việc nghiên cứu xây dựng thuật toán hiệu để giải toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng, toán quy hoạch