Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu dạy học chuyên đề đạo hàm và tích phân
Ngày soạn Ngày dạy: Lớp dạy: CHỦ ĐỀ TÍCH HỢP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN (8tiết) I MỤC TIÊU: Qua học HS cần: Về kiến thức: - Nắm vững khái niệm nguyên hàm - Nhớ bảng nguyên hàm vận dụng vào tập - Nhớ tính chất nguyên hàm, biết vận dụng vào tập - Ý nghĩa thực tiễn số ứng dụng nguyên hàm vật lý, sở bàn toán tích phân - Hiểu khái niệm tích phân (hay tích phân xác định) bắt nguồn từ toán thực tế Chẳng hạn toán tính diện tích hình thang cong - Hiểu định nghĩa tích phân hàm số liên tục đoạn số hoàn toàn xác định nhờ vào nguyên hàm - Biết định nghĩa tích phân hàm số liên tục công thức: Newtơn – Laibonit - Biết tính chất tích phân áp dụng vào tập Kỹ năng: - Biết vận dụng tính chất nguyên hàm để tìm nguyên hàm hàm số không phức tạp - Áp dụng linh hoạt lý thuyết vào tập hai phương pháp nguyên hàm - Tính tích phân hàm số tương đối đơn giản định nghĩa hoặ phương pháp tính tích phân tầng phần áp dụng tố vòa tập - Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi rõ cách đổi biến số không đổi biến số qua lần) để tính tích phân, áp dụng tốt vào tập Tư thái độ: Say mê tìm tòi, hứng thú trước vấn đề Tích cực học tập, cẩn thận xác tính toán Năng lực cần phát triển: - Năng lực nhận biết, vận dụng - Năng lực phân tích tổng hợp, tư logic - Năng lực tính toán II BẢNG MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ NĂNG LỰC CẦN PHÁT TRIỂN MỨC ĐỘ Nội dung Nhận biết Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao Nguyên Tính Tính hàm nguyên hàm đơn nguyên hàm tính chất giản dựa vào định só hàm nghĩa thường gặp dựa nguyên hàm vào tính chất Tích phân tính chất Tính tích phân hàm đơn giản dựa vào nguyên hàm công thức Newtơn - Laibonit nguyên hàm Tính tích phân số hàm thường gặp dựa vào tính chất tích phân Phương pháp đổi biến số tính nguyên hàm tích phân Vận dụng phương pháp đổi biến vào tập tính nguyên hàm tích phân mức độ dễ vừa Vận dụng phương pháp nguyên hàm tích phân phần vào tập mức độ dễ vừa Phương pháp nguyên hàm tích phân phần Vận dụng phương pháp đổi biến vào tập tính nguyên hàm tích phân mức độ khó Vận dụng phương pháp nguyên hàm tích phân phần vào tập mức độ khó III Chuẩn bị GV HS 1) Giáo viên: Giáo án đồ dùng dạy học khác 2) Học sinh: Học kỹ cũ, chuẩn bị mới, tài liệu tham khảo IV Phương pháp dạy học: - Lấy học sinh làm trung tâm - Giáo viên định hướng: giúp học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức cách sử dụng kiến thức kỹ học vận dụng giải số toán theo phát triển lực mức độ khác từ thấp lên cao V Tiến trình dạy: Ổn định tổ chức, kiểm tra sĩ số Kiểm tra cũ Câu hỏi: H1: Tính đạo hàm hàm số: y = lnx ( x > 0) H2: Tính đạo hàm hàm số: y = sin x (∀ x ∈ |R) Bài mới: Tiết 1,2 I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Hoạt động 1: Tiết 1: Nguyên hàm GV cho HS làm ví dụ sau dẫn đến định nghĩa nguyên hàm Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh 4 Câu hỏi 1: Tìm hàm số f(x) cho HD: F(x) = x ( x )’ = 4x2 F’(x) = f’(x) f(x) = 4x với x∈ (-∞; +∞) 3 Câu hỏi 2: Tìm hàm F(x) trên: π π − ; HD: F(x) = tanx x∈ ∀ F ' ( x) = f ( x) π π f ( x) = cos x ; x ∈ − ; 2 tan’x = cos x GV : Ký hiệu k khoảng k đoạn nửa khoảng |R Cho hàm số f(x) xác định k, hàm số F(x) gọi nguyên ham hàm số f(x) k F’(x) = f(x) (∀ x ∈k) Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Câu hỏi 1: Tìm nguyên hàm HD: Hàm số F(x) =x3 + x2 nguyên hàm hàm số: f(x) = 3x2 + 2x ∀ x ∈|R hàm số f(x) = 3x2 + 2x Vì F’(x) =3x2 + 2x ∀ x ∈|R Câu hỏi 2: Tìm nguyên hàm hàm số: f(x) = ∀ x∈ (0; +∞) x HD: Hàm số F(x) = lnx ∀ x∈ (0; +∞) nguyên hàm hàm số: (0; +∞) vì: x F’(x) = (lnx)’ = ∀ x∈ (0; +∞) x f(x) = GV : Vậy thì: F1(x) = x3 + x2 + F2(x) = x3 + x2 + 2… Cũng có phải nguyên hàm hàm số f(x) = 3x2 + 2x hay không GV yêu cầu HS tìm thêm nguyên hàm khác GV nêu: Định lý 1: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) k với số (C), hàm số G(x) = F(x) + C nguyên hàm f(x) k Định lý 2: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) k nguyên hàm f(x) k dạng F(x) + C với C số GV nêu ý: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) k F(x) + C (C∈|R) họ tất nguyên hàm f(x) k Ký hiệu: ∫ f ( x)dx = F ( x) + C Biểu thức f(x)dx vi phân nguyên hàm F(x) f(x) vì: dF(x) = F’(x) = f(x)dx Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Câu hỏi 1: Với x ∈ (-∞; +∞) tính ∫ xdx HD: ∫ xdx = x2 + C Câu hỏi 2: x ∈ |R tính ∫ sin xdx Câu hỏi 3: t ∈ |R tính ∫ e t dt s ∈ (0; +∞) tính ∫ S ds ∫ sin xdx = - cos x + C HD: ∫ e dt = et + C ∫ S ds = ln S + C HD: t Tiết 2: Tính chất nguyên hàm Hoạt động 2: GV : Từ định nghĩa ta có tính chất 1: ∫ f ' ( x)dx = f ( x) + C (Hướng dẫn HS nhà CM tính chất 3) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Câu hỏi 1: Tìm nguyên hàm HS: HD: ∀ x ∈ (-∞; +∞) : ∫ sin xdx = 3∫ sin xdx = a y = 3sinx ∀ x ∈ (-∞; +∞) -3cosx + C b y = 4x ∀ x ∈ (-∞; +∞) x3 2 x dx = x dx ∫ ∫ =4 +C Câu hỏi 2: (∀ x ∈ (-∞; +∞) 2 HD: ∫ (3 sin x + x )dx = ∫ sin xdx + 4∫ x dx ( sin x + x ) dx Tính ∫ = -3cosx + x3 + C Hoạt động 3: Sự tồn nguyên hàm GV : Thừa nhận định lý sau: Mọi hàm số f(x) liên tục k có nguyên hàm k Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh α Câu hỏi 1: ∀ x ∈ (0; +∞) tính: ∫ x dx HD: xα dx = x α +1 + C ∀ x ∈ (0; +∞) ∫ α +1 (Với α≠ -1) Nếu α = -1 ∫ dx = lnx + C x Câu hỏi 2: ∀ x ∈ (kπ; (k+1)π) 1 HD: ∫ dx = -cotx + C ∀x∈(kπ; (k+1)π) k∈Ζ Tính ∫ dx sin x sin x Hoạt động 4: Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp GV : * Giành thời gian phút cho HS điền vào bảng HDD5 SGK * Treo bảng nguyên hàm SGK trang 97 Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Câu hỏi 1: Tính: ∫ (2 x + x2 HD: ∀ x ∈ (0; +∞) ∫ (2 x + ) dx ∀ x ∈ (0; +∞) − x −1 Câu hỏi 2: Tính ∫ (3 cos x − )dx ∀ x ∈ (0; +∞) 2 x2 ) dx = x dx + x dx = x + 33 x + C ∫ ∫ HD: ∀ x ∈ (0; +∞) ∫ (3 cos x − x −1 )dx 3∫ cos xdx − x x −1 dx +C = 3sin x 3∫ ln GV nêu ý: Từ tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định Củng cố, dặn dò HS sinh học nhà Hướng dẫn HS nhà học bảng nguyên hàm Làm BT 1, SGK trang 100-101 Tiết 3.4: THÔNG QUA TỔ CM TÍCH PHÂN VÀ TÍNH CHẤT 1) Ổn định tổ chức 2) Kiểm tra cũ H1: Tính: ∫ x dx H2: Nêu tính chất nguyên hàm 3) Bài mới: Tiết I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN Hoạt động 1: Diện tích hình thang cong GV nêu định nghĩa hình thang cong cho hàm số y = f(x) liên tục không đổi dấu [a;b] hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b gọi hình thang cong GV nêu cách tính diện tích S Diện tích hình thang cong Hoạt động 2: GV củng cố ví dụ SGK BT: Tính diện tích hình thang cong giới hạn đường cong y = x2 trục hoành đường thẳng x = x = GV treo hình 48, 49 SGK y y y=x2 y=x2 F E Q P x x x+h x x M N Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Câu hỏi 1: Gọi S diện tích phần hình HD: h>0, x+h tương tự S(x) = lim h→0 S ( x + h) − S ( x ) = x , x ∈(0; 1) h Câu hỏi 2: Tính S’(0); S’(1) kết luận HD: S’(0); S’(1) = S(x) nguyên hàm f(x) = x2 [0’1] Câu hỏi 3: Tìm nguyên hàm f(x) HD: F(x) = Câu hỏi 4: Tính diện tích hình cần tìm HD: Do S(0) = C = S(1) = x3 + C (C∈|R) 3 GV : Diện tích hình thang cong giới hạn đường thẳng x = a; x = b (a < b) trục hoành đường cong y = f(x) Trong f(x) hàm liên tục không âm [a; b] S = F(b) - F(a) Hoạt động 3: Định nghĩa tích phân: GV cho học sinh phát biểu định nghĩa tích phân: Cho hàm số f(x) liên tục [a; b] giả sử F(x) nguyên hàm f(x) [a; b] Hiệu số F(b) - F(a) gọi TÍCH PHÂN từ a đến b (hay tích phân xác định [a; b] hàm số f(x) KH a ∫ a f ( x )dx ; b ∫ f ( x)dx a = F ( x) |b = F (b) − F (a ) b a ∫ : dấu hiệu tích phân ; a cận dưới, b cận trên; f(x)dx biểu thức dấu tích b phân GV nêu ý nhận xét: a ∫ f ( x)dx a = F (b) − F (a) = F ( x) |b áp dụng biết F(x) b a ∫ f ( x)dx số, nguyên hàm họ b a ∫ f ( x)dx không phụ thuộc vào chữ viết biến số dấu tích phân mà phụ thuộc vào b hàm f [a; b] Diện tích hình thang cong minh họa hình học tích phân hàm số không âm a công thức tính diện tích hình thang cong: S = ∫ | f ( x) | dx b a Nếu a = b a > b ta quy ước: ∫ b f ( x )dx = 0; b ∫ a f ( x)dx = - a ∫ f ( x)dx b 4) Củng cố, hướng dẫn học sinh làm nhà Tính tích phân sau: π /2 e B = ∫ dt t A = ∫ ( x − x)dx C= Hoạt động giáo viên Câu hỏi 1: Tính A = ∫ ( x − x)dx e Câu hỏi 2: Tính B = ∫ t dt ∫ (sin x + cos x)dx Hoạt động học sinh 23 1 x3 + x 12 = + 2 − + 1 3 HD: B = ln| t | |1e = ln e - ln = HD: A = π /2 Câu hỏi 3: Tính C = ∫ (sin x + cos x)dx HD: C = (-cosx + 2sinx) |π0 / π π = (-cos + 2sin ) - (-cos + 2sin 0) = Tiết 4: II TÍCH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 1) Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số 2) Bài cũ : π /2 H1: Tính ∫ 3xdx H2: Tính ∫ sin xdx 3) Bài mới: Hoạt động 1: GV cho HS thực tính chất tính chất 2: b b a a Tính chất 1: ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx b b b a a a Tính chất 2: ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx Hoạt động giáo viên Câu hỏi 1: Hãy chứng minh tính chất Hoạt động học sinh b b HD: A = ∫ kf ( x)dx = (k ( F ( x) |a = kF (b) − kF (a ) a b b = k(F(b) - F(a)) = kF(x) |a = k ∫ f ( x) a b HD: b b a a a b a a Câu hỏi 2: Hãy chứng minh: b ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ( F ( x) + G( x)) | = F(b) + G(b) - (F(a) - G(a)) = F(b) - F(a) + G(b) - G(a) ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b = ∫ a b f ( x) dx + ∫ g ( x) dx a GV hướng dẫn HS tính A = ∫ ( x + x + 1)dx Hoạt động giáo viên Câu hỏi 1: Dùng tính chất viết lại tích phân A Hoạt động học sinh 4 1 HD: A = ∫ x dx + ∫ x dx + ∫ dx Câu hỏi 2: Hãy tính tính chất HD: ∫ x dx = ∫3 x 43 − 63 |1 = = 3 x dx = x / |14 = 14 ∫ dx = x | = A = 38 1 Hoạt động 2: b GV nêu tính chất 3: ∫ f ( x)dx = a c ∫ a b f ( x)dx + ∫ f ( x)dx c Hoạt động giáo viên Câu hỏi 1: Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) [a; b]; F(x) có phải nguyên hàm f(x) đoạn [a; c]; [c; b] không Câu hỏi 2: Tính vế trái tính chất Hoạt động học sinh HD: Có HD: c b a c ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = (F(c) - F(a) + (F(b) b - F(c)) = F(b) - F(a) = ∫ f ( x)dx a 2π ∫ GV cho HS tính B = − cos x dx để củng cố tính chất Hoạt động giáo viên Câu hỏi 3: Hãy biến đổi 1-cos2x theo sinx Câu hỏi 4: Viết lại tích phân B theo tính chất Hoạt động học sinh HD: - cos2x = 2sin2x 2π HD: ∫ = = 2π − cos x dx = ∫ | sin x | dx π 2π π ( ∫ | sin x | dx + ∫ | sin x | dx) π 2π π ( ∫ sin xdx − ∫ sin xdx = ( B1 − B2 ) HD: B = 2[(cos x) |π0 +(cos x |π2π ] = Câu hỏi 5: Hãy tính kết B 4) Củng cố, hướng dẫn học sinh nhà học GV hướng dẫn HS nhà làm tập 1,2 trang 101 1, SGK trang 112 HD lớp làm 1c 2a 2 dx 1c A = ∫ x ( x + 1) 1/ a B = ∫ | − x | dx Hoạt động giáo viên Câu hỏi 1: Hãy viết lại dạng : x( x + 1) A B + x x +1 HD: 1 = − x( x + 1) x x +1 2 Câu hỏi 2: Tính A = Hoạt động học sinh dx x ( x + 1) 1/ ∫ Câu hỏi 3: Hãy biểu diễn |1-x| đoạn [0; 1] [1; 2] đoạn [0; 1]; [1; 2] Câu hỏi 5: Tính B Hay A = ln |x|| 12/ - ln|x+1|| 12/ = ln2 1 − x neu ≤ x ≤ x − neu ≤ x ≤ HD: |1-x| = Câu hỏi 4: Viết lại B = ∫ | − x | dx 1 dx dx )dx = ∫ −∫ HD: A = ∫ ( − x x +1 x 1/ x + 1/ 1/ 2 HD: B = ∫ | − x | dx = ∫ (1 − x)dx + ∫ (1 − x)dx HD: B = ∫ (1 − x)dx + ∫ (1 − x)dx = THÔNG QUA TỔ CM TIẾT II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM A Ổn định lớp, kiểm tra sỉ số B Bài cũ : 10 H1: Tính A = ∫ x dx B = ∫ (2 x + 1) d (2 x + 1) H2: Nhắc lại công thức tính nguyên hàm: x α ∫ a dx ∫ x dx ∫ cos xdx C Bài mới: Hoạt động 1: Phương pháp đổi biến số GV nêu định lý 1: Nếu ∫ f (u )du = F (u ) + C U = U(x) hàm có đạo hàm liên tục thì: ∫ f (U ( x))U ' ( x)dx = F (U ( x)) + C GV hướng dẫn HS chứng minh định lý thông qua hoạt động sau: Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Câu hỏi 1: Hãy viết theo công thức tính HD: (F(U(x)))’ = F’(U).U’(x) đạo hàm hợp: (F(U(x)))’ = ? HD: F’(u) = f(u) = f(u(x)) Câu hỏi 2: Chứng tỏ rằng: (F(U(x)))’ = (F’(U(x)))’ = f(u(x)) U’(x) f(U(x)).U’(x) Câu hỏi 3: Chứng tỏ: HD: ∫ f (U ( x))U ' ( x)dx = F (U ( x)) + C GV nêu hệ quả: Với : U = ax + b : ∫ f (u )du = F (U ) + C ∫ f (U ( x))U ' ( x)dx = F (U ( x)) + C ∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C Hoạt động 2: GV hướng dẫn HS làm ví dụ 7, SGK trang 88, 99 Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Câu hỏi 1: Áp dụng hệ vào HD: Ta có: ∫ sin Udu = − cos u + C công thức: ∫ sin Udu = − cos u + C sin(3 x − 1) dx = - cos(3x-1)+C ∫ Tính: ∫ sin(3 x − 1) dx HD: U’ = Câu hỏi 2: Giả sử U = x + tính U’ Câu hỏi 3: viết biến u Câu hỏi 4: Tính ∫ x dx theo ( x + 1) U −1 du U5 x U −1 dx = du ( x + 1) U5 U −1 HD: ∫ du = U −4 −5 ∫ U − U du = ∫ U du − ∫ U du HD: =Câu hỏi 5: Bằng cách thay u = x+1 Tính: ∫ x dx ( x + 1) 1 1 + +C u3 u4 HD: Thay u = x + x ∫ ( x + 1) dx = 1 1 − +C ( x + 1) x + Phương pháp tính nguyên hàm phần GV đưa toán tính ∫ x sin xdx Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Câu hỏi 1: Tính (x cosx)’ HD: (x cosx)’= cos x – x sinx Từ rút ra: -x sinx -x sinx = (x cosx)’ + cox x Câu hỏi 2: Lấy nguyên hàm vế cách tính: ∫ ( x cos x)' dx ; ∫ cos xdx ∫ x sin xdx HD: = - ∫ ( x cos x)' dx + ∫ cos xdx Do ∫ ( x cos x)' dx = xcosx + C1 Hãy suy ra: ∫ x sin xdx ∫ cos xdx = sinx + C2 ∫ x sin xdx = -x cosx + sinx + C GV nêu định lý: Nếu hai hàm u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục k thì: ∫ u ( x)v' ( x)dx = u( x).v( x) − ∫ u ' ( x).v( x)dx Câu hỏi 3: Tính đạo hàm hàm tích: (U(x) V(x))’ HD: (U(x) V(x))’= U’(x) V(x)+ U(x) V’(x) U(x) V’(x) = U(x) V(x))’- U’(x) V(x) (*) Câu hỏi 4: Hãy lấy nguyên hàm vế bt (*) HD: ∫ (U ( x)V ' ( x)dx = ∫ (U ( x).V ( x))' dx − ∫ U ' ( x).V ( x)dx HD: ∫ (U ( x)V ' ( x)dx = U ( x).V ( x) − ∫ U ' ( x).V ( x)dx Câu hỏi 5: Hãy nêu kết luận GV nêu ý: Vì U(x)dx = dv; U’(x)dx = du nên ∫ U ' ( x) dx = U ( x) + C ∫ V ' ( x)dx = V ( x) + C ∫ Udv = UV − ∫ Vdu (Cần nhấn mạnh điểm này) và: Hoạt động 2: GV hướng dẫn HS tính: x a ∫ xe dx b ∫ x cos xdx Hoạt động giáo viên Câu hỏi 1: Hãy chọn u toán tính: x x ∫ xe dx tính ∫ xe dx Câu hỏi 2: Chọn u tính: ∫ x cos xdx c ∫ ln xdx Hoạt động học sinh HD: Đặt u = x du = dx Dv = exdx v = ex ∫ xe dx = x.ex - ∫ e dx x x = x.ex – ex + C HD: u = x du = dx Dv = cosxdx v = sinx 10 ∫ x cos xdx = x sinx - ∫ sin xdx Câu hỏi 3: Chọn u tính: ∫ ln xdx = x sinx + cosx + C HD: Đặt u = lnx du = dx x Dv = dx v = x ∫ ln xdx = x lnx - ∫ dx = x lnx – x + C Hoạt động 3: GV hướng dẫn HS làm hoạt động rút đặc điểm quy tắc ∫ p( x)e dx ∫ p( x) cos xdx x ∫ p( x) ln xdx U(x) p(x) p(x) lnx dv exdx cosxdx p(x)dx Chú ý: Các toán thường sử dụng phương pháp này: - Nguyên hàm hàm logarit - Nguyên hàm hàm tích U(x) V’(x) - Nguyên hàm hàm lũy thừa với số mũ tự nhiên: n Cách thức: B1: Chọn U theo ưu tiên: Hàm logarit Hàm số mũ tự nhiên Hàm ex, sinx, cosx B2: Tính du = u’(x)dx B3: Phần lại dv u B4: Áp dụng công thức tính D Củng cố, hướng dẫn học sinh học nhà x GV hướng dẫn HS tính: ∫ ( x + x − 1)e dx Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Câu hỏi 1: Hãy chọn u tính du HD: u = x2 + 2x -1 du = (2x+2)dx toán nói Câu hỏi 2: Hãy tính v áp dụng công HD: dv = exdx v = ex thức ( x + x − 1)e x dx = ex(x2+2x-1)- (2 x + 2)e x dx ∫ x Câu hỏi 3: Tính: ∫ ( x + 1)e dx từ suy kết quả: ∫ ( x + x − 1)e dx x ∫ ∫ (2 x + 2)e dx = 2((x+1)ex-ex) Vậy: ∫ ( x + x − 1)e dx =ex(x2+2x-1) +2ex.x + C x HD: x GV hướng dẫn HS nhà làm tập SGK trang 101 A ∫ x ln(1 + x)dx Chọn u = ln(1+x); dv = xdx B ∫ x sin( x + 1)dx Chọn u = x; dv = sin (2x+1)dx C ∫ (1 − x) cos xdx Chọn u = 1-x; dv = cosxdx THÔNG QUA TỔ CM TIẾT III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 11 A Ổn định lớp, kiểm tra sỉ số B Bài cũ : H1: Nêu phương pháp đổi biến số nguyên hàm H2: Tính: A = ∫ (2 x + 1) dx B = ∫ cos x sin xdx C Bài mới: Hoạt động 1: Phương pháp đổi biến số: Hoạt động SGK: Cho tích phân: I = ∫ ( x + 1) dx GV yêu cầu HS tính: I = ∫ ( x + x + x + 1)dx = 15 GV đưa cách tính mới: Đặt x + = u du = dx Đổi cận : x y 1 I = ∫ u dx = u 2 15 |1 = − = 4 4 GV : Đưa định lý: Yêu cầu HS nhà chứng minh định lý Cho hàm số f(x) liên tục [a; b], giả sử hàm số x = f(x) có đạo hàm liên tục (α; β) cho ψ(α) = a ; ψ(β) = b a ≤ ψ(t) ≤ b ∀ t ∈[α; β], đó: b β ∫ f ( x)dx = α∫ f (ϕ (t )ϕ ' (t )dt a GV hướng dẫn HS làm ví dụ SGK Tính dx ∫ 1+ x Hoạt động giáo viên Câu hỏi 1: Theo em nên lựa chọn x = ? để đưa vế tích phân đơn giản hơn? Hãy đổi cận Câu hỏi 2: Hãy đưa tích phân Hoạt động học sinh π π HD: x = tan t; - < t < ta có x’(t) = x = t = 0; x = t = π /4 HD: I = ∫ + tan Câu hỏi 3: Tính I π /4 HD: I = ∫ dt = t | HD: Vậy I = π dt t cos t π /4 0 Câu hỏi 4: Hãy kết luận cos t = π π GV : Em có nhận xét việc lựa chọn biến GV đưa quy tắc: B1: Đặt x = ϕ(t) xác định [α; β] cho ϕ(α) = a; ϕ(β) = b a ≤ ϕ(t) ≤ b; ∀ t ∈[α; β] B2: Biến đổi f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t )ϕ ' (t )dt = g (t )dt B3: Tìm nguyên hàm G(t) g(t) 12 b B4: Tính ∫ g (t )dt = G ( β ) − G (α ) a b ∫ f ( x)dx = G(β ) − G(α ) B5: Kết luận: a Hoạt động 2: GV : Đưa ví dụ SGK π /2 Tính A = ∫ sin x cos xdx B x ∫ (1 + x Hoạt động giáo viên Câu hỏi 1: Để lựa chọn A nên lựa chọn biến gì? Hãy đổi cận đưa A ) dx Hoạt động học sinh HD: Vì (sinx)’ = cosx nên đặt u = sinx u’ = cosx; x = v u = v π X = u = A = ∫ u du u = 4 Câu hỏi 2: Hãy tính A Câu hỏi 3: Có nhận xét quan hệ 1+x2 x tích phân B HD: A = Câu hỏi 4: Nêu cách tính B HD: Đặt u = 1+x2 u’ = 2x x=0u=1 x=1u=2 HD: (1+x)2 = 2x du B= ∫1 u 2 1 HD: B = ∫ u −4 du = − |12 = 21 6u 48 Câu hỏi 5: Hãy tính B GV đưa quy tắc: B1: Đặt u = u(x) B2: Biểu thị f(x)dx theo u = u(x) du cho: f(x)dx = g(x)dx B3: Tìm nguyên hàm G(x) g(x) U (b ) ∫ g (u)du = G(u(b)) − G(u(a)) B4: Tính U (a) b B5: KL: ∫ f ( x)dx = G(u(b)) − G(u(a)) a Hoạt động 3: GV nhắc lại tính chất tích phân: b b a a ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx b b b ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx a a a b c b a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx 13 GV hướng dẫn tập a, b, c, g SGK trang 112 Hoạt động giáo viên Câu hỏi 1: Tính A = 1/ ∫ (1 − x ) dx Hoạt động học sinh 1/ ∫ HD: A = −1 / −1 / cách biến đổi dx = -d(1-x) 1/ (1 − x) / 3+1 +1 π Câu hỏi 2: Tính B = ∫ sin( − x)dx π cách biến đổi dx = -d( − x ) 1/ = π − x )dx = HD: B= ∫ sin( π = cos ( − x) dx x (x + 1) 1/ ∫ π ∫ sin( − x)d ( − x) π /2 =0 2 dx d ( x + 1) x = ln = ln Khi đó: C = ∫ − ∫ x 1/ x + x + 1/ 1/ π /2 π /2 HD: D= ∫ sin x cos xdx = ∫ (sin x − sin x)dx −π / −π / Câu hỏi 4: Hãy biến đổi sin3x.cos5x π /2 π /2 tổng tính D = π 1/ 1 = − x( x + 1) x x + HD: (33 − 1) 103 −1 / 1/ Câu hỏi 3: Hãy biến đổi: A B = + tính: C= x( x + 1) x x + (1 − x ) dx = - =− ∫ sin 3x.cos xdx −π / π /2 1 cos x + cos x =0 16 −π / −π / Hoạt động 3: b GV nhắc lại tính chất sau: ∫ | f ( x) |dx = a c ∫ b f ( x)dx + a ∫ − f ( x)dx ∀x ∈ [a; c] f(x) ≥ 0; c ∀x ∈ [c; b] f(x) ≤ GV hướng dẫn HS làm tập 2a, c, d SGK trang 112 Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Câu hỏi 1: Hãy |1 - x| [0; 2] tính: 1 − x nêu ≤ x ≤ HD: |1 - x| = x + nêu ≤ x ≤ A = ∫ | − x | dx 2 A = ∫ (1 − x)dx + ∫ ( x − 1)dx = e x +1 + Câu hỏi 2: Hãy khai triển tính ex ln 2 x +1 e +1 dx B= ∫ x e Câu hỏi 3: Hãy biến đổi sin2x.cos2x π tổng tính: D = ∫ sin x cos xdx 0 HD: Ta có: ln e x +1 e +1 x +1 B = ∫ e d ( x + 1) − = ex+1+ e-x x ln ∫e −x d (− x ) = e + HD: sin2x.cos2x = sin2x( + cos x ) 1 sin x + sin x π π 1 sin xdx + sin xdx D= ∫ 20 ∫0 = 14 π = − cos x − π cos x = 16 π Câu hỏi 4: Có thể tính D theo phương pháp khác không? Gọi phương pháp gì? π HD: Có D= ∫ sin x cos xdx = ∫ cos xd (cos x) =-2 π cos x =0 Phương pháp tính tích phân tung phần GV tương tự nguyên hàm tầng phần ta có định lý sau: Nếu U = U(x) V = V(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục [a; b] b b b ∫U ( x).V ' ( x)dx = U ( x).V ( x) |a −∫U ' ( x).V ( x)dx a a b b a a b Hay ∫ udv = uv |a − ∫ vdu GV hướng dẫn HS làm ví dụ 8, SGK π /2 VD8: A = e ∫ x sin xdx VD9: Hoạt động giáo viên Câu hỏi 1: Để tính A cần chọn biến u dv = phần lại gì? Câu hỏi 2: Hãy tính A Câu hỏi 3: Để tính B theo nguyên hàm tầng phần ta chọn u Câu hỏi 4: Hãy tính B ln x dx x2 ∫ Hoạt động học sinh HD: u = x du = dx Dv = sinxdx v = -cosx π /2 HD: A = -xcosx |0 + π /2 ∫ cos xdx = + = HD: u = lnx du = dx x 1 dx → u = − x x e dx e ln x | + = 1− HD: B = ∫ x e x dv = THÔNG QUA TỔ CM TIẾT 7, LUYỆN TẬP A Ổn định lớp, kiểm tra sỉ số B Bài cũ : H1: Nêu phương pháp tính ∫ f (u )du với u = u(x) 15 Áp dụng tính: ∫ cos x sin xdx H2: Nêu phương pháp tính Áp dụng tính: ∫ x cos xdx ∫ fu ( x).v' ( x)dx C Bài mới: Hoạt động 1: GV : F(x) nguyên hàm hàm f(x) F’(x) = f(x) Hướng dẫn HS làm tập Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh -x -x -x Câu hỏi 1: Tính (e )’ (-e )’ só sánh HD: (e )’ = -e-x ; (-e-x)’ = e-x e-x –e-x nguyên hàm Câu hỏi 2: Tính đạo hàm y = sin2x HD: (sin2x)’ = 2sinx.cosx = sin2x Câu hỏi 3: Tính đạo hàm hàm số: 4 x x y = 1 − e x ; y = 1 − e x Câu hỏi 4: Dựa vào kết câu kết luận x HD: y’ = 2(1- ) 2 x )e ex + (1x x + + 1) x x2 x 4 y' = e x + (1 − )e x = (1 − ) e x x x x 4 x HD: y = 1 − e nguyên hàm của: x = (1- )ex( 2 y = 1 − e x x Hoạt động 2: Hướng dẫn tập –tr100 GV nhắc lại tính chất nguyên hàm ∫ f ' ( x)dx = f ( x) + C ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx Hoạt động giáo viên Câu hỏi 1: Tính nguyên hàm hàm số: y= x + x +1 x Câu hỏi 2: Tính nguyên hàm hàm số: y= sin x cos x Câu hỏi 3: Tính: ∫ sin x cos xdx Hoạt động học sinh 1 − x + x +1 dx = ∫ x + x + x )dx HD: ∫ x = x5/3 + x7/6 + x2/3 + C HD: dx =∫ dx = −2 cot x + C x cos x sin x HD: ∫ sin x cos xdx = ∫ (sin x + sin x)dx 1 = - cos x − cos x + C 16 ∫ sin 3− x Câu hỏi 4: Tính: ∫ e dx 16 3− x HD: ∫ e dx = - 3−2 x e d (3 − x ) 2∫ = - e3−2 x + C GV : Nếu ∫ Hoạt động 3: Hướng dẫn tập –tr100 f ( x)dx = F (u ) + C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục ∫ fU ( x)U ' ( x)dx = FU ( x) + C Hoạt động giáo viên Câu hỏi 1: Hãy viết x(1+x2)2/3dx dạng f(u(x)).u’(x)dx 2/3 Câu hỏi 2: Tính A = ∫ x(1 + x ) dx Hoạt động học sinh (1+x2)2/3(1+x2)’dx 2 2/3 HD: A = ∫ x(1 + x ) dx = 2 2/3 ∫ (1 + x ) (1 + x )dx Đặt u = 1+x2 HD: x(1+x2)2/3dx = du=(1+x2)’dx u 2/3du = u / + C ∫ 10 5/3 Hay: A = (1 + x ) + C 10 A= Câu hỏi 3: Để tính B = đặt Câu hỏi 4: Tính: B ∫e x dx nên + e−x + HD: u = ex + du = exdx dx = + e−x + −1 +C Hay: B = x e +2 HD: B = ∫e x du ∫ (u + 1) =− +C u +1 GV : Nêu U(x) V(x) có đạo hàm liên tục k thì: ∫ U ( x).V ' ( x)dx = U ( x).V ( x) − ∫ U ' ( x)V ( x)dx GV hướng dẫn HS làm tập 4a, c Hoạt động giáo viên Câu hỏi 1: Để tính A = ∫ x ln(x + 1) dx Nên chọn u, dv nào? Hoạt động học sinh HD: u = ln(x+1) du = xdx = dv v = x2 Câu hỏi 2: Tính A = ∫ x ln( x + 1)dx HD: A = Câu hỏi 3: Lựa chọn u, v tính: B = ∫ x sin( x + 1)dx HD: u = x du = dx Câu hỏi 4: Tính: B = ∫ x sin( x + 1)dx dx x +1 x2 x2 ln( x + 1) − ( − x ) − ln( x + 1) + C 2 2 1 Hay A= ( x − 1) ln( x + 1) − x + x + C 2 x HD: B = - cos(2 x + 1) + ∫ cos(2 x + 1) dx 2 dv = sin(2x+1)dx v = - cos(2 x + 1) 17 =- x cos(2 x + 1) + sin( x + 1) + C Hoạt động 4: GV treo bảng tích phân đổi biến số, tích phân tầng phần Và hướng dẫn HS nhà làm tập 3, 4, 5, SGK trang 113 GV hướng dẫn làm BT 3b Tính: B = ∫ − x dx Hoạt động giáo viên Câu hỏi 1: Nêu cách đổi biến tích ∫ phân: B = − x dx Hoạt động học sinh HD: x = sint dx = cost dt, t ∈[0; π ] x=0t=0 π x=1t= Câu hỏi 2: Đưa tích phân B biến π /2 HD: B = ∫ − sin t cos tdt = = Câu hỏi 3: tính B = π /2 ∫ (1 + cos 2t )dt π /2 π /2 ∫ | cos t | cos tdt ∫ (1 + cos t )dt HD: B = π /2 π π /2 t + sin 2t = 4 D Củng cố, hướng dẫn học sinh nhà học 3a Đặt u = x + 3c Đặt u = + xex 3d Đặt x = asint GV hướng dẫn lớp làm tập 4c Tính C = ∫ ln(1 + x)dx Hoạt động giáo viên Câu hỏi 1: Để tính C nêu cách chọn u du Hoạt động học sinh HD: u = ln(1+x) du = Dv = dx v = x dx x +1 1 Câu hỏi 2: Hãy tính C = ∫ ln(1 + x)dx 1 = ln - x + ln( x + 1) = ln − HD tập 4a, b, d HỌC SINH nhà làm tập 4a Chọn u = x + du = dx; dv = sinxdx v = -cosx 4b Chọn u = lnx2 du = HD: C = ∫ ln(1 + x)dx = xln (1 + x) − ∫ xdx dx x3 = ; dv = x dx v = x x2 4d Chọn u = (x2 - 2x -1) du = (2x-2)dx; dv = e-xdx v = -e-x Củng cố hướng dẫn nhà 18 x dx x +1 GV nhắc HS học nhà Nhớ bảng nguyên hàm Nắm tính chất nguyên hàm tích phân Biết sử dụng phương pháp tính nguyên hàm, tích phân để sử dụng giải tập Bài tập nhà: BT sách tập GT12 trang 145, 146, 147, 151, 152, 153 THÔNG QUA TỔ CM 19 20 ...2 Tích phân tính chất Tính tích phân hàm đơn giản dựa vào nguyên hàm công thức Newtơn - Laibonit nguyên hàm Tính tích phân số hàm thường gặp dựa vào tính chất tích phân Phương pháp... nguyên hàm tích phân Vận dụng phương pháp đổi biến vào tập tính nguyên hàm tích phân mức độ dễ vừa Vận dụng phương pháp nguyên hàm tích phân phần vào tập mức độ dễ vừa Phương pháp nguyên hàm tích phân. .. biến vào tập tính nguyên hàm tích phân mức độ khó Vận dụng phương pháp nguyên hàm tích phân phần vào tập mức độ khó III Chuẩn bị GV HS 1) Giáo viên: Giáo án đồ dùng dạy học khác 2) Học sinh: Học