ThS. on Vng Nguyờn CHUYấN H PHNG TRèNH I XNG LOI (KIU) I TểM TT GIO KHOA V PHNG PHP GII TON I. H i xng loi (kiu) I cú dng tng quỏt: f(x, y) = 0 g(x, y) = 0 ỡ ù ù ớ ù ù ợ , trong ú f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x) ỡ ù ù ớ ù ù ợ Phng phỏp gii chung: i) Bc 1: t iu kin (nu cú). ii) Bc 2: t S = x + y, P = xy vi iu kin ca S, P v 2 S 4P . iii) Bc 3: Thay x, y bi S, P vo h phng trỡnh. Gii h tỡm S, P ri dựng Viet o tỡm x, y. Chỳ ý: i) Cn nh: x 2 + y 2 = S 2 2P, x 3 + y 3 = S 3 3SP. ii) ụi khi ta phi t n ph u = u(x), v = v(x) v S = u + v, P = uv. iii) Cú nhng h phng trỡnh tr thnh i xng loi I sau khi t n ph. Vớ d 1. Gii h phng trỡnh 2 2 3 3 x y xy 30 x y 35 ỡ ù + = ù ớ ù + = ù ợ . GII t S x y, P xy= + = , iu kin 2 S 4P . H phng trỡnh tr thnh: 2 2 30 P SP 30 S 90 S(S 3P) 35 S S 35 S ỡ ù ù = ỡ ù = ù ù ù ù ớ ớ ổ ử ù ù - = ữ ỗ ù ù - = ợ ữ ỗ ù ữ ữ ỗ ù ố ứ ù ợ S 5 x y 5 x 2 x 3 P 6 xy 6 y 3 y 2 ỡ ỡ ỡ ỡ = + = = = ù ù ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ ớ ù ù ù ù = = = = ù ù ù ù ợ ợ ợ ợ . Vớ d 2. Gii h phng trỡnh 3 3 xy(x y) 2 x y 2 ỡ - = - ù ù ớ ù - = ù ợ . GII t t y, S x t, P xt= - = + = , iu kin 2 S 4P. H phng trỡnh tr thnh: 3 3 3 xt(x t) 2 SP 2 x t 2 S 3SP 2 ỡ ỡ + = = ù ù ù ù ớ ớ ù ù + = - = ù ù ợ ợ S 2 x 1 x 1 P 1 t 1 y 1 ỡ ỡ ỡ = = = ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ ù ù ù = = = - ù ù ù ợ ợ ợ . Vớ d 3. Gii h phng trỡnh 2 2 2 2 1 1 x y 4 x y 1 1 x y 4 x y ỡ ù ù + + + = ù ù ù ớ ù ù + + + = ù ù ù ợ . GII Trang 1 ThS. on Vng Nguyờn iu kin x 0,y 0ạ ạ . H phng trỡnh tng ng vi: 2 2 1 1 x y 4 x y 1 1 x y 8 x y ỡ ổ ử ổ ử ù ữ ữ ỗ ỗ ù + + + = ữ ữ ỗ ỗ ù ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ù ố ứ ố ứ ù ớ ù ổ ử ổ ử ù ữ ữ ỗ ỗ + + + = ữ ữ ù ỗ ỗ ữ ữ ù ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ù ợ t 2 1 1 1 1 S x y ,P x y ,S 4P x y x y ổ ử ổ ử ổ ửổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ = + + + = + + ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứố ứ ta cú: 2 1 1 x y 4 S 4 S 4 x y P 4 1 1 S 2P 8 x y 4 x y ỡ ổ ử ổ ử ù ữ ữ ỗ ỗ ù + + + = ữ ữ ỗ ỗ ù ỡ ỡ ữ ữ = =ù ù ữ ữ ỗ ỗ ù ố ứ ố ứ ù ù ù ớ ớ ớ ổ ửổ ử ù ù ù = - = ữ ữ ỗ ỗ ù ù ù ợ ợ + + = ữ ữ ỗ ỗ ù ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ù ố ứố ứ ù ợ 1 x 2 x 1 x 1 y 1 y 2 y ỡ ù ù + = ỡ ù = ù ù ù ù ớ ớ ù ù = ù ù ợ + = ù ù ù ợ . Vớ d 4. Gii h phng trỡnh 2 2 x y 2xy 8 2 (1) x y 4 (2) ỡ ù + + = ù ù ớ ù + = ù ù ợ . GII iu kin x,y 0 . t t xy 0= , ta cú: 2 xy t= v (2) x y 16 2tị + = - . Th vo (1), ta c: 2 t 32t 128 8 t t 4- + = - = Suy ra: xy 16 x 4 x y 8 y 4 ỡ ỡ = = ù ù ù ù ớ ớ ù ù + = = ù ù ợ ợ . II. iu kin tham s h i xng loi (kiu) I cú nghim Phng phỏp gii chung: i) Bc 1: t iu kin (nu cú). ii) Bc 2: t S = x + y, P = xy vi iu kin ca S, P v 2 S 4P (*). iii) Bc 3: Thay x, y bi S, P vo h phng trỡnh. Gii h tỡm S, P theo m ri t iu kin (*) tỡm m. Chỳ ý: Khi ta t n ph u = u(x), v = v(x) v S = u + v, P = uv thỡ nh tỡm chớnh xỏc iu kin u, v. Vớ d 1 (trớch thi H khi D 2004). Tỡm iu kin m h phng trỡnh sau cú nghim thc: x y 1 x x y y 1 3m ỡ ù + = ù ù ớ ù + = - ù ù ợ . GII Trang 2 ThS. Đoàn Vương Nguyên Điều kiện x,y 0³ ta có: 3 3 x y 1 x y 1 x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m ì ì ï ï + = + = ï ï ï ï Û í í ï ï + = - + = - ï ï ï ï î î Đặt S x y 0,P xy 0= + ³ = ³ , 2 S 4P.³ Hệ phương trình trở thành: 2 S 1 S 1 P m S 3SP 1 3m ì ì = = ï ï ï ï Û í í ï ï = - = - ï ï î î . Từ điều kiện 2 S 0,P 0,S 4P³ ³ ³ ta có 1 0 m 4 £ £ . Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình 2 2 x y xy m x y xy 3m 9 ì + + = ï ï í ï + = - ï î có nghiệm thực. GIẢI 2 2 x y xy m (x y) xy m xy(x y) 3m 9 x y xy 3m 9 ì ì + + = + + = ï ï ï ï Û í í ï ï + = - + = - ï ï î î . Đặt S = x + y, P = xy, 2 S 4P.³ Hệ phương trình trở thành: S P m SP 3m 9 ì + = ï ï í ï = - ï î . Suy ra S và P là nghiệm của phương trình 2 t mt 3m 9 0- + - = S 3 S m 3 P m 3 P 3 ì ì = = - ï ï ï ï Þ Ú í í ï ï = - = ï ï î î . Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm 2 2 3 4(m 3) 21 m m 3 2 3 (m 3) 12 4 é ³ - ê Û Û £ Ú ³ + ê - ³ ê ë . Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình x 4 y 1 4 x y 3m ì ï - + - = ï í ï + = ï î có nghiệm. GIẢI Đặt u x 4 0,v y 1 0= - ³ = - ³ hệ trở thành: 2 2 u v 4 u v 4 21 3m u v 3m 5 uv 2 ì + = ï ì ï + = ï ï ï Û í í - ï ï + = - = ï ï î ï î . Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 2 21 3m t 4t 0 2 - - + = (*). Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm / 3m 13 0 0 13 2 S 0 m 7 21 3m 3 0 P 0 2 ì ì - ï ï D ³ ï ï ³ ï ï ï ï Û ³ Û Û £ £ í í ï ï - ï ï ³ ³ ï ï ï ï î î . Trang 3 ThS. Đoàn Vương Nguyên Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình 2 2 x y 4x 4y 10 xy(x 4)(y 4) m ì ï + + + = ï í ï + + = ï î có nghiệm thực. GIẢI 2 2 2 2 2 2 (x 4x) (y 4y) 10 x y 4x 4y 10 xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m ìì ï + + + = ï + + + = ï ï Û í í ï ï + + = + + = ï ï î î . Đặt 2 2 u (x 2) 0,v (y 2) 0= + ³ = + ³ . Hệ phương trình trở thành: u v 10 S 10 uv 4(u v) m 16 P m 24 ì ì + = = ï ï ï ï Û í í ï ï - + = - = + ï ï î î (S = u + v, P = uv). Điều kiện 2 S 4P S 0 24 m 1 P 0 ì ï ³ ï ï ï ³ Û - £ £ í ï ï ³ ï ï î . BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau 1. 2 2 x y xy 5 x y xy 7 ì + + = ï ï í ï + + = ï î . Đáp số: x 1 x 2 y 2 y 1 ì ì = = ï ï ï ï Ú í í ï ï = = ï ï î î . 2. 2 2 x xy y 3 2x xy 2y 3 ì ï + + = ï í ï + + = - ï î . Đáp số: x 1 x 3 x 3 y 1 y 3 y 3 ì ì ì ï ï = - = = - ï ï ï ï ï ï Ú Ú í í í ï ï ï = - = - = ï ï ï î ï ï î î . 3. 3 3 x y 2xy 2 x y 8 ì + + = ï ï í ï + = ï î . Đáp số: x 2 x 0 y 0 y 2 ì ì = = ï ï ï ï Ú í í ï ï = = ï ï î î . 4. 3 3 x y 7 xy(x y) 2 ì ï - = ï í ï - = ï î . Đáp số: x 1 x 2 y 2 y 1 ì ì = - = ï ï ï ï Ú í í ï ï = - = ï ï î î . 5. 2 2 x y 2xy 5 x y xy 7 ì - + = ï ï í ï + + = ï î . Đáp số: 1 37 1 37 x x x 2 x 1 4 4 y 1 y 2 1 37 1 37 y y 4 4 ì ì ï ï - + ï ï = = ï ï ì ì = = - ï ï ï ï ï ï ï ï Ú Ú Ú í í í í ï ï ï ï = = - - - - + ï ï ï ï î î = = ï ï ï ï ï ï î î . 6. 2 2 2 2 1 (x y)(1 ) 5 xy 1 (x y )(1 ) 49 x y ì ï ï + + = ï ï ï í ï ï + + = ï ï ï î . Đáp số: x 1 x 1 7 3 5 7 3 5 x x 2 2 7 3 5 7 3 5 y y y 1 y 1 2 2 ì ì ì ì = - = - ï ï ï ï - + ï ï ï ï = = ï ï ï ï ï ï ï ï Ú Ú Ú í í í í - + ï ï ï ï = = ï ï ï ï = - = - ï ï ï ï ï ï ï ï î î î î . Trang 4 ThS. on Vng Nguyờn 7. x y y x 30 x x y y 35 ỡ ù + = ù ù ớ ù + = ù ù ợ . ỏp s: x 4 x 9 y 9 y 4 ỡ ỡ = = ù ù ù ù ớ ớ ù ù = = ù ù ợ ợ . 8. x y 7 1 y x xy x xy y xy 78 ỡ ù ù + = + ù ù ớ ù ù + = ù ù ợ (chỳ ý iu kin x, y > 0). ỏp s: x 4 x 9 y 9 y 4 ỡ ỡ = = ù ù ù ù ớ ớ ù ù = = ù ù ợ ợ . 9. ( ) 2 2 3 3 3 3 2(x y) 3 x y xy x y 6 ỡ ù + = + ù ù ớ ù + = ù ù ợ . ỏp s: x 8 x 64 y 64 y 8 ỡ ỡ = = ù ù ù ù ớ ớ ù ù = = ù ù ợ ợ . 10. Cho x, y, z l nghim ca h phng trỡnh 2 2 2 x y z 8 xy yz zx 4 ỡ ù + + = ù ớ ù + + = ù ợ . Chng minh 8 8 x,y,z 3 3 - Ê Ê . HNG DN GII H phng trỡnh 2 2 2 2 2 x y 8 z (x y) 2xy 8 z xy z(x y) 4 xy z(x y) 4 ỡ ỡ ù + = - ù + - = - ù ù ớ ớ ù ù + + = + + = ù ù ợ ợ 2 2 (x y) 2[4 z(x y)] 8 z xy z(x y) 4 ỡ ù + - - + = - ù ớ ù + + = ù ợ 2 2 (x y) 2z(x y) (z 16) 0 xy z(x y) 4 ỡ ù + + + + - = ù ớ ù + + = ù ợ 2 2 x y 4 z x y 4 z xy (z 2) xy (z 2) ỡ ỡ + = - + = - - ù ù ù ù ớ ớ ù ù = - = + ù ù ợ ợ . Do x, y, z l nghim ca h nờn: 2 2 2 2 2 (4 z) 4(z 2) 8 8 (x y) 4xy z ( 4 z) 4(z 2) 3 3 ộ - - ờ + - Ê Ê ờ - - + ờ ở . i vai trũ x, y, z ta c 8 8 x,y,z 3 3 - Ê Ê . 11. x y 1 1 1 16 16 2 x y 1 ỡ ù ổ ử ổ ử ù ữ ữ ỗ ỗ ù + = ữ ữ ỗ ỗ ù ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ớ ố ứ ố ứ ù ù + = ù ù ợ . ỏp s: 1 x 2 1 y 2 ỡ ù ù = ù ù ớ ù ù = ù ù ợ . 12. sin (x y) 2 2 2 1 2(x y ) 1 p + ỡ ù = ù ớ ù + = ù ợ HNG DN GII Cỏch 1: sin (x y) 2 2 2 2 2 2 sin (x y) 0 x y (1) 2 1 2(x y ) 1 2(x y ) 1 (2)2(x y ) 1 p + ỡ ỡ ỡ p + = + ẻ ù = ù ù ù ù ù ớ ớ ớ ù ù ù + = + =+ = ù ù ù ợ ợợ Z 2 2 2 2 1 2 2 x x 1 2 2 2 (2) x y 2 x y 2 1 2 2 2 y y 2 2 2 ỡ ỡ ù ù ù ù Ê - Ê Ê ù ù ù ù ù + = ị ị ị - Ê + Ê ớ ớ ù ù ù ù Ê - Ê Ê ù ù ù ù ợ ù ợ . x y 0 (1) x y 1 ộ + = ờ ị ờ + = ờ ở th vo (2) gii. Trang 5 ThS. Đoàn Vương Nguyên Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành: sinS 2 2 S 2 1 4P 2S 12(S 2P) 1 p ì ì Î ï = ï ï ï Û í í ï ï = -- = ï ï îî Z . Từ điều kiện 2 S 4P³ ta suy ra kết quả tương tự. Hệ có 4 nghiệm phân biệt 1 1 1 1 x x x x 2 2 2 2 1 1 1 1 y y y y 2 2 2 2 ì ì ì ì ï ï ï ï ï ï ï ï = = - = = - ï ï ï ï ï ï ï ï Ú Ú Ú í í í í ï ï ï ï ï ï ï ï = = - = - = ï ï ï ï ï ï ï ï î î î î . Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu 1. Tìm m để hệ phương trình 2 2 x xy y m 6 2x xy 2y m ì ï + + = + ï í ï + + = ï î có nghiệm thực duy nhất. HƯỚNG DẪN GIẢI Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành: 2 2 2 2 2 3x m 6 3x 6 m m 3 m 21 x 4x m x 4x 3x 6 ì ì é ï = + ï - = = - ï ï ê Û Þ í í ê ï ï = + = + = - ê ï ï ë î î . + m = – 3: 2 2 2 x xy y 3 (x y) xy 3 2(x y) xy 3 2(x y) xy 3 ì ì ï + + = ï + - = ï ï Û í í ï ï + + = - + + = - ï ï î î x y 0 x y 2 x 3 x 3 x 1 xy 3 xy 1 y 1 y 3 y 3 ì ì ì ì ì ï ï + = + = - = = - = - ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï Û Ú Û Ú Ú í í í í í ï ï ï ï ï = - = = - = - = ï ï ï ï ï î î î ï ï î î (loại). + m = 21: 2 2 2 x xy y 27 (x y) xy 27 2x xy 2y 21 2(x y) xy 21 ì ì ï + + = ï + - = ï ï Û í í ï ï + + = + + = ï ï î î x y 8 x y 6 x 3 xy 37 xy 9 y 3 ì ì ì + = - + = = ï ï ï ï ï ï Û Ú Û í í í ï ï ï = = = ï ï ï î î î (nhận). Vậy m = 21. 2. Tìm m để hệ phương trình: 2 2 x xy y m 1 x y xy m ì + + = + ï ï í ï + = ï î có nghiệm thực x > 0, y > 0. HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 x xy y m 1 (x y) xy m 1 xy(x y) m x y xy m ì ì + + = + + + = + ï ï ï ï Û í í ï ï + = + = ï ï î î x y 1 x y m xy m xy 1 ì ì + = + = ï ï ï ï Û Ú í í ï ï = = ï ï î î . Hệ có nghiệm thực dương 2 m 0 1 0 m m 2 1 4m m 4 4 ì > ï ï Û Û < £ Ú ³ í ï ³ Ú ³ ï î . Vậy 1 0 m m 2 4 < £ Ú ³ . Trang 6 ThS. on Vng Nguyờn 3. Tỡm m h phng trỡnh x y m x y xy m ỡ ù + = ù ù ớ ù + - = ù ù ợ cú nghim thc. HNG DN GII ( ) 2 2 x y m x y m x y m m m x y xy m xy x y 3 xy m 3 ỡ ù ỡ + = ỡ ù + = ù ù + = ù ù ù ù ù ù ớ ớ ớ - ù ù ù + - = = + - = ù ù ù ù ợ ù ù ợ ù ợ . Suy ra x, y l nghim (khụng õm) ca phng trỡnh 2 2 m m t mt 0 3 - - + = (*). H cú nghim (*) cú 2 nghim khụng õm / 2 2 0 m 4m 0 m 0 S 0 m 0 1 m 4 P 0 m m 0 ỡ ỡ ù ù D - Ê ù ù ộ = ù ù ù ù ờ ớ ớ ờ ù ù Ê Ê ờ ù ù ở - ù ù ù ù ợ ợ . Vy m 0 1 m 4= Ê Ê . 4. Tỡm m h phng trỡnh 2 2 2 x y 2(1 m) (x y) 4 ỡ ù + = + ù ớ ù + = ù ợ cú ỳng 2 nghim thc phõn bit. HNG DN GII 2 2 2 2 2 x y 2(1 m) (x y) 2xy 2(1 m) (x y) 4 (x y) 4 ỡ ỡ ù + = + ù + - = + ù ù ớ ớ ù ù + = + = ù ù ợ ợ xy 1 m xy 1 m x y 2 x y 2 ỡ ỡ = - = - ù ù ù ù ớ ớ ù ù + = + = - ù ù ợ ợ . H cú ỳng 2 nghim thc phõn bit khi ( ) 2 2 4(1 m) m 0 = - = . 5. Cho x, y l nghim ca h phng trỡnh 2 2 2 x y 2m 1 x y m 2m 3 ỡ + = - ù ù ớ ù + = + - ù ợ . Tỡm m P = xy nh nht. HNG DN GII t S x y, P xy= + = , iu kin 2 S 4P. 2 2 2 2 2 x y 2m 1 S 2m 1 x y m 2m 3 S 2P m 2m 3 ỡ ỡ + = - = - ù ù ù ù ớ ớ ù ù + = + - - = + - ù ù ợ ợ 2 2 2 S 2m 1 S 2m 1 3 (2m 1) 2P m 2m 3 P m 3m 2 2 ỡ = - ù ỡ ù = - ù ù ù ớ ớ ù ù - - = + - = - + ù ù ợ ù ợ T iu kin suy ra 2 2 4 2 4 2 (2m 1) 6m 12m 8 m . 2 2 - + - - + Ê Ê Xột hm s 2 3 4 2 4 2 f(m) m 3m 2, m 2 2 2 - + = - + Ê Ê . Ta cú 4 2 11 6 2 4 2 4 2 minf(m) f , m ; 2 4 2 2 ổ ử ộ ự - - - + ữ ỗ ờ ỳ ữ = = " ẻ ỗ ữ ỗ ờ ỳ ữ ữ ỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ Vy 11 6 2 4 2 minP m 4 2 - - = = . Trang 7 . điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm 2 2 3 4(m 3) 21 m m 3 2 3 (m 3) 12 4 é ³ - ê Û Û £ Ú ³ + ê - ³ ê ë . Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình x 4 y. = xy. Hệ trở thành: sinS 2 2 S 2 1 4P 2S 12(S 2P) 1 p ì ì Î ï = ï ï ï Û í í ï ï = -- = ï ï îî Z . Từ điều kiện 2 S 4P³ ta suy ra kết quả tương tự. Hệ có