BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Đỗ Triệu Hải TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA LỚP HỆ DBLS KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Đỗ Triệu Hải TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA LỚP HỆ DBLS Chuyên ngành: Toán ứng dụng KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS Nguyễn Trung Dũng Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Trước hết cho bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Trung Dũng hết lòng giúp đỡ, động viên suốt trình nghiên cứu đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa bạn sinh viên đóng góp cho lời khuyên bổ ích Trong trình nghiên cứu không tránh khỏi sai sót Vì mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc để viết hoàn thiện Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Đỗ Triệu Hải i Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp "Tìm hiểu toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ DBLS " hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ tận tình thầy Nguyễn Trung Dũng Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp không trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Đỗ Triệu Hải ii Kí hiệu toán học R Tập tất số thực Rn Không gian Euclide n chiều N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên Z0 Tập số nguyên dương P( | ) Xác suất có điều kiện UT Ma trận chuyển vị ma trận U E Kì vọng ∼ P Số đo xác suất σ -đại số tập không gian mẫu x(t) diag( ) Chuẩn vectơ x(t) Ma trận đường chéo iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, vấn đề nghiên cứu định tính hệ Markov nhận ý quan tâm nhiều nhà khoa học nước giới Việc nghiên cứu có nhiều ứng dụng kỹ thuật mô máy tính, hệ thống kĩ thuât, sinh hoc, y tế Chính thế, nghiên cứu tính ổn định hệ Markov đóng vai trò vô quan trọng trình nghiên cứu lý thuyết hệ động lực Dựa định hướng Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng, chọn đề tài: Tìm hiểu toán ổn định ổn định hóa lớp hệ DBLS làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu khái niệm ổn định, ổn định hóa lớp hệ DBLS - Bài toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ DBLS Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày kiến thức hệ tuyến tính rời rạc với trễ thời gian hệ DBLS; - Trình bày số tiêu chuẩn ổn định hệ DBLS Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức hệ DBLS - Phạm vi nghiên cứu: Tiêu chuẩn ổn định , ổn định hóa, ổn định vững hệ Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức kết bổ trợ Chương 2: Bài toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ DBLS v Mục lục MỞ ĐẦU Một số kiến thức kết bổ trợ 1.1 Xích Markov 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Ma trận xác suất chuyển 1.1.3 Phân phối ban đầu 1.2 Hệ DBLS 1.2.1 Mô tả hệ 1.2.2 Một số khái niệm ổn định 1.3 Một số bất đẳng thức Bài 2.1 2.2 2.3 toán ổn Các tiêu Các tiêu Các tiêu định ổn định hóa chuẩn ổn định chuẩn ổn định hóa chuẩn ổn định vững ví dụ cho lớp hệ iv 2 6 11 DBLS 12 12 17 19 Chương Một số kiến thức kết bổ trợ 1.1 1.1.1 Xích Markov Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1 Cho {rk , k ∈ Z0 } dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, A, P ) nhận giá trị tập đếm E Ta nói {rk , k ∈ Z+ }là xích Markov rời rạc P {rn+1 = j|rn = i, rn−1 = in−1 , , r1 = i1 , r0 = i0 } = P {rn+1 = j|rn = i}, ∀n ∈ Z+ ∀ i0 , i1 , , in−1 , i, j ∈ E Tập hợp E gọi không gian trạng thái, phần tử E kí hiệu i, j, k, (có số không) Ví dụ 1.1.1 Cho r0 , r1 , , rn , dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập Ek tập hợp giá trị rk , Ek hữu hạn hay đếm (k = 0, 1, , n, ).Đặt E = ∪∞ k=0 Ek , rõ ràng E tập hợp không đếm Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI Khi đó, ta có P {rn+1 = j|r0 = i0 , , rn−1 = in−1 , rn = i} = P {rn+1 = j} = P {rn+1 = j|rn = i}, với i0 ∈ E0 , i1 ∈ E1 , , in−1 ∈ En−1 , ∈ En , j ∈ En+1 Như vậy, {rn ; n = 0, 1, 2, } xích Markov Ví dụ 1.1.2 Cho r0 , η1 , , ηn , dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, nhận giá trị số nguyên Đặt Xn = r0 + η1 + η2 + + ηn (n = 1, 2, ) Ta có P {Xn+1 = j|r0 = i0 , X1 = i1 , , Xn−1 = in−1 , Xn = i} = P {Xn + ηn+1 = j|ξ0 = i0 , η1 = i1 − i0 , , ηn = i − in−1 } = P {ηn+1 = i − j|ξ0 = i0 , η1 = i1 − i0 , , ηn = i − in−1 } = P {ηn+1 = i − j}, P {Xn+1 = j|Xn = i} = P {Xn + ηn+1 = j|Xn = ξ0 + η1 + η2 + + ηn−1 + ηn = i} = P {ηn+1 = j − i|Xn = ξ0 + η1 + η2 + + ηn−1 + ηn = i} = P {ηn+1 = i − j} Vậy {Xn , n ∈ Z0 } xích Markov Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI với i=1,2 ,s √ J1T = [ πi1 AT1 (i)Q(1), , (πis )AT1 (i)Q(s)], √ J1T = [ πi1 AT2 (i)Q(1), , (πis )AT2 (i)Q(s)] Chứng minh Điều kiện đủ Không giảm tính tổng quát ta giả sử ξ(k) biến ngẫu nhiên chuẩn tắc N(0,1) Xét hàm Lyapunov V (k, x(k), ηk ) := xT (k)Q(ηk )x(k) Q(i) = 1, , s ma trận đối xứng xác định dương , toán tử với sai phân xác định ∆V˜ (k, x(k), i) = E[V (k + 1, x(k + 1), ηk+1 ) − V (k, x(k), ηk )|Fk , ηk = 1] Chúng ta có s ∆V˜ (k, x(k), i) = πij E[xT (k)((A1 (i) + A2 (i)ξ(k))T Q(i)(A1 (i) + A2 (i)ξ(k)) j=1 s πij xT (k)[Q(j) − Q(i)]x(k) − Q(i))x(k)] + j=1 Khi phương trình dược viết sau ∆V˜ (k, x(k), i) = E[xT (k)(AT1 (i)G(i)A1 (i)+AT2 (i)G(j)A2 (i)−Q(i))x(k)], với s G(i) = πij Q(j) j=1 Lưu ý rằng, theo bổ đề phần bù Schur , bất đẳng thức LMI (2.2) tương 13 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI đương với AT1 (i)G(i)A1 (i) + AT2 (i)G(i)A2 (i) − Q(i) ≡ Ω(i) < với i = 1, 2, , s Đặt α = inf {λmin (−Ωi ), i = 1, s} với T ≥ có T xT (k)x(k) E[V (T + 1, x(T + 1), ηT +1 )] − E[V (x0 , η0 )] ≤ −αE k=0 suy T xT (k)x(k) ≤ E k=0 (E[V (x0 ), η0 ] − E[V (T + 1, x(T + 1), ηT +1 )]) α ≤ E[V (x0 ), η0 ] α Do bất đẳng thức dẫn đến ∞ xT (k)x(k) ≤ E k=0 E[V (x0 ), η0 < ∞ α Điều dẫn đến hệ (1.1) ổn định ngẫu nhiên u(k) = Điều kiện cần Giả sử hệ (1.1) với u(k) ≡ ổn định ngẫu nhiên nghĩa ∞ x(k)T x(k)|(η0 , x0 ) ≤ T (ηk0 , x(k0 )) E Định nghĩa, N T xT (k)P (ηk )x(k)|(x(n), ηn ) x (n)Q(N − n, ηn )x(n) = E k=n với P (ηn ) > Chú ý xT (n)Q(N − n, ηn )x(n) đơn điệu không 14 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI giảm bị chặn P (ηn ) > với n Do tồn giới hạn kí hiệu xT (n)Q(i)x(n) = lim xT (n)Q(N − n, ηn )x(n) N −→∞ Vì phương trình với x(n), ta Q(i) = lim Q(N − n, ηn ) N −→∞ Bây giờ, ta xét E[xT (n)Q(N − n, ηn )x(n) − xT (n + 1)Q(N − n − 1, η(n+1) )x(n + 1)|(x(n), ηn = i) s πij xT (n)(AT1 (i)Q(N − n − 1, j)A1 (i) + AT2 (i)Q(N − n − 1, j)A2 (i))x(n) =− j=1 + x(n)T Q(N − n, i)x(n) = x(n)T P (i)x(n) Vì phương trình với giá trị x(n), nên ta s πij (AT1 (i)Q(N − n − 1, j)A1 (i) + AT2 (i)Q(N − n − 1, j)A2 (i)) Q(N − n, i) − j=1 = P (i) > Cho N −→ ∞ ta s πij (AT1 (i)Q(j)A1 (i) + AT2 (i)Q((j)A2 (i)) = P (i) > Q(i) − j=1 15 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI Vậy, s πij (AT1 (i)Q(j)A1 (i) + AT2 (i)Q((j)A2 (i)) − Q(i) < j=1 dẫn đến AT1 (i)Q(j)A1 (i) + AT2 (i)Q((j)A2 (i) − Q(i) < Vậy định lý chứng minh Ví dụ 2.1.1 Xét hệ ngẫu nhiên chuyển mạch Markov x(k + 1) = A1 (ηk )x(k) + A2 (ηk )x(k)ξ(k) ηk ∈ S xích Markov với trạng thái ξ(k) dãy biến ngẫu nhiên độc lập N (0, 1) độc lập với x(k)  A1 (1) =  0.96 0.00 0.06 1.08  A2 (1) =  0.5 0.00 0.5 0.06    , A1 (2) =   −0.1 0.0 −0.2 −0.1   , A2 (2) =   0.1 0.0 −0.2 0.1    Ma trận xác suất chuyển cho  (πij )2×2 =  0.4 0.6 0.3 0.7   Chúng ta cần tìm ma trận đối xứng, xác định dương Q(1) Q(2), thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính thỏa mãn bất đẳng thức LMI (2.2) bất đẳng thức đại số Riccati (2.1) (ARI) 16 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI πij (AT1 (i)Q(i)A1 (i) + AT2 (i)Q(i)A2 (i)) − Q(i) ≡ Ω(i) < j=1 Chúng ta tìm  Q(1) =  1128.9 141.0 141.0 864.1    , Q(2) =  455.5196 −89.9518 −89.9518 27.4329   thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1 hệ ổn định ngẫu nhiên 2.2 Các tiêu chuẩn ổn định hóa Để ổn định hóa hệ (1.1), xét điều khiển ngược có dạng sau u(k) = K(ηk )x(k) k(ηk ) ma trận điều khiển ngược cần xác định Định lý 2.2 [1] Hệ (1.1) với điều khiển ngược u(k) = K(ηk )x(k), ổn định ngẫu nhiên tồn ma trận đối xứng xác định dương X = diag(X1 , x2 , , Xs ), Y = (Y1 , Y2 , , Ys ) thỏa mãn bất đẳng thức tuyến tính sau  J1iT J2iT −Xi    J1i −X  J2i −X 17     < 0,  Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI √ √ J1iT = [ πi1 (A1 (i)Xi + B1 (i)Yi )T , , πis (A1 (i)Xi + B1 (i)Yi )T ] √ √ J2iT = [ πi1 Xi AT2 (i), , πis Xi AT2 (i)] Khi điều khiển ngược u(k) = K(ηk )x(k) (2.3) có ma trận điều khiển ngược xác định K(i) = Y (i)Xi−1 với i = 1, 2, , s ổn định hóa hệ (1.1) Chứng minh Thế (2.3) vào hệ (1.1) ta thu hệ đóng x(k + 1) = [A1 (ηk ) + B1 (ηk )K(ηk )]x(k) + A2 (ηk )x(k)ξ(k) Đặt A1 (ηk ) = A1 (ηk ) + B1 (ηk )K(ηk ) Suy x(k + 1) = A1 (ηk )x(k) + A2 (ηk )ξ(k) Khi từ Định lý 2.1, cần tồn ma trận đối xứng xác định dương, s Q = (Q(1), , Q(s)) > 0, G(i) = πij Q(j) j=1 cho s T πij (A1 (i)Q(i)A1 i + AT2 (i)Q(j)A2 (i)) − Q(i) < (2.4) j=1 A(ηk ) = A1 (ηk ) + B1 (ηk )K(ηk ) Đặt G(i) = sj=1 πij Q(j) bất đẳng thức (2.4) viết lại sau 18 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI T A1 (i)G(i)A1 (i) + AT2 (i)G(i)A2 (i) − Q(i) ≡ Ω(i) < (2.5) Đặt Xi = Q−1 (i) Nhân trước sau (2.5) với Xi ta thu T Xi A1 (i)G(i)A1 (i)Xi + Xi AT2 (i)G(i)A2 (i)Xi − Xi < (2.6) Đặt Y (i) = K(i)X(i) Khi sử dụng bổ đề phần bù Schur bất đẳng thức (2.6) tương đương với bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.2) Do định lý chứng minh 2.3 Các tiêu chuẩn ổn định vững Định lý 2.3 [1] Hệ (1.2) với u(k) = ổn định ngẫu nhiên tồn tập ma trận đối xứng xác định dương Q = (Q1 , Q2 , , Qs ) > 0,các số 1i , 2i , i ∈ S, 1i I − DT (i)G(i)D(i) > 0, T 2i I − D (i)G(i)D(i) > thỏa mãn LMI sau  J0 (i)   T D (i)G(i)A1 (i) −  DT (i)G(i)A2 (i) AT2 (i)G(i)D(i) AT1 (i)G(i)D(i) T 1i I + D (i)G(i)D(i)     < 0, ∀i ∈ S  T − 2i I + D (i)G(i)D(i) (2.7) j0 (i) = AT1 (i)G(i)D(i) + AT2 (i)G(i)D(i) + T 1i Ea1 (i)Ea1 (i) + T 2i Ea2 (i)Ea2 (i) s G(i) = πij Q(j) j=1 Chứng minh Sử dụng điều kiện đủ Định lý 2.1 cho ổn định vững hệ chắn (1.2), ta phải ồn tập hợp ma trận đối xứng xác định dương, Q = (Q(1), , Q(s)) > 0, G(i) = sj=1 πij Q(j) 19 − Q(i) Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI thỏa mãn bất đẳng thức sau AT1∆ (i)G(i)A1∆ (i) + AT2∆ (i)G(i)A2∆ (i) − Q(i) = Ω(i) < 0, i = 1, 2, , s Sử dụng Bổ đề 1.2 với 1i > 0, 1i I − DT (i)G(i)D(i) > có AT1∆ (i)G(i)A1∆ (i) ≤ AT1 (i)G(i)A1 (i) + + + AT1 G(i)D(i) Tương tự, với 1i I > 0, 2i − DT (i)G(i)D(i) 2i I 2i I −1 T 1i Ea1 (i)Ea1 (i) DT (i)G(i)A1 (i) − DT (i)G(i)D(i) > có AT2∆ (i)G(i)A2∆ (i) ≤ AT2 (i)G(i)A1 (i) + + AT2 G(i)D(i) (2.8) − DT (i)G(i)D(i) T 2i Ea2 (i)Ea2 (i) −1 DT (i)G(i)A2 (i) Như bất đẳng thức (2.8) trở thành AT1 (i)G(i)A1 (i) − AT1 (i)G(i)D(i) + T 1i Ea1 (i)Ea1 (i) − AT2 G(i)D(i) 1i I − DT (i)G(i)D(i) + AT2 (i)G(i)A2 (i) + 2i I − DT (i)G(i)D(i) −1 DT (i)G(i)A1 (i) T 2i Ea2 (i)Ea2 (i) −1 DT (i)G(i)A2 (i) − Q(i) < Áp dụng bổ đề phần bù Schur cho bất đẳng thức thu LMI (2.7) Do định lý chứng minh Định lý 2.4 Hệ (1.2) ổn định vững ngẫu nhiên u(k) = K(ηk )x(k) tồn tập ma trận đối xứng xác định dương X = diag(X1 , X2 , , Xs ) > 0, Y = (Y1 , Y2 , , Ys ) số thực 1i > , 2i > 0, 3i > 0, i ∈ S thỏa 20 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau                   −Xi 0 − 1i I − 2i I U1iT U2iT U4iT U5iT U3iT 0 0 U3iT 0 0 U1iT U3i −Z 0 U2i U3i −Z 0 U4i 0 0 U5i 0 0 − 1i I 0 − 2i I           < 0, ∀i ∈ S         (2.9) √ √ πi1 (A1 (i)Xi + B1 (i)Yi )T , , πis (A1 (i)Xi + B1 (i)Yi )T , √ √ U2iT = πi1 Xi AT2 (i), , πis Xi AT2 (i) , √ √ πi1 DT (i), , πis DT (i) , U3iT = U1iT = U4iT = (Ea1 Xi + Eb1 Yi )T , U5iT = (Ea2 Xi )T , Z = diag [X1 , X2 , , Xs ] , s πij Q(j) G(i) = j=1 Khi hệ (1.2) ổn định vững với ma trận điều khiển ngược xác định K(i) = Y (i)Xi−1 , i = 1, 2, , s Chứng minh Với điều khiển ngược u(k) = K(ηk )x(k) hệ đóng 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI (1.2) cho x(k + 1) = (A1∆ (ηk ) + B 1∆ (ηk )K(ηk ))x(k) + A1∆ (ηk )x(k)ξ(k) Sử dụng điều kiện đủ Định lý 2.2 ổn định ngẫu nhiên hệ không chắn (1.2) , ta rằng: tồn tập hợp ma trận đối xứng xác định dương Q = (Q(1), , Q(s) > 0, G(i) = sj=1 πij Q(j) thỏa mãn bất đẳng thức sau s T T πij (A1∆ (i)Q(j)A1∆ (i) + A2∆ (i)Q(j)A2∆ (i)) − Q(i) < (2.10) j=1 A1∆ (ηk ) = A1 (ηk ) + B1 (ηk )K(ηk ) + D(ηk )∆(ηk )(Ea1 (ηk ) + Eb1 (ηk )K(ηk ) A2∆ (ηk ) = A2 (ηk ) + D(ηk )∆(ηk )Ea2 (ηk ) Đặt G(i) = s j=1 πij Q(j) Bất đẳng thức (2.10) viết sau T A1∆ (i)G(i)A1∆ (i) + AT2∆ (i)G(i)A2∆ (i) − Q(i) ≡ Ω(i) < 0, i = 1, 2, , s Sử dụng Bổ đề 1.2 , với T 1i > 0, 1i I − DT (i)G(i)D(i) > ta có T A1∆ (i)G(i)A1∆ (i) ≤ A1 (i)G(i)D(i) + 1i (Ea1 (i) 1i I − DT (i)G(i)D(i) −1 D(i)G(i)A1 (i) + Eb1 (i)K(i))T (Ea1 (i) + Eb1 K(i)) T + A1 (i)G(i)A1 (i) Tương tự, với 2i > 0, 2i I − DT (i)G(i)D(i) > ta có AT2∆ (i)G(i)A2∆ (i) ≤ AT2 (i)G(i)D(i) 2i I − DT (i)G(i)D(i) + AT2 (i)G(i)A2 (i) + 22 −1 T 2i Ea2 (i)Ea2 (i) D(i)G(i)A2 (i) Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI Sử dụng bồ đề phần bù Schur, ta thu LMI sau  [A1 (i) + B1 (i)K(i)]T G(i)D(i) J1 (i)   T  D (i)G(i)[A1 (i) + B1 (i)K(i)]  DT (i)G(i)A2 (i) − 1i I + AT2 (i)G(i)D(i) DT (i)G(i)D(i)    ma trận điều khiển ngược , K(1) K(2) thỏa mãn bất đẳng thức đại số Riccati: (A1 (i)+B(i)K(i))T G(i)(A1 (i)+B(i)K(i))+AT2 (i)G(i)A2 (i)−Q(i) ≡ Ω(i) < s G(i) = πij Q(j) j=1 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỖ TRIỆU HẢI Chúng ta tìm  Q(1) =  7.5074 1.6404 4.6404 10.8013    , Q(2) =  5.5964 1.2793 1.2793 9.7052  , ma trận điều khiển ngược K(1) = −0.2023 −0.8218 , k(2) = 25 0.0642 −0.7379 KẾT LUẬN Trên nội dung khóa luận "Tìm hiểu toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ DBLS " Khóa luận trình bày nội dung sau đây: • Chương Ở chương này, trình bày số khái niệm xích Markov, hệ DBLS, khái niệm ổn định • Chương Chương này, trình bày toán ổn định ổn định áp dụng cho lớp hệ DBLS, đưa tiêu chuẩn ổn định, ổn định hóa , ổn định vững cho lớp hệ DBLS Song song với việc làm khóa luận tốt nghiệp với đề tài: " Tìm hiểu toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ DBLS ", tìm hiểu phần mềm soạn thảo Latex Khóa luận soạn thảo Latex Tuy nhiên, thời gian thực khóa luận không nhiều có sai sót, mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Tôi xin chân thành cám ơn! Tài liệu tham khảo [1] S.Sathananthan, carlos Beane, G.S.Ladde Stabilization of stochastic systems under Markovian switching , Nonlinear Analysus: Hybrid System (2010) 804-817 [2] E K Boukas, Stochastic Switching System,Analysis and Design, Boston: Birkhauser, 2006 [3] Y S Wang, L Xie, C E De Souza, Robust control of a class of uncer ystems, System and control letters 19 (1992) 139-149 27 ... cứu - Tìm hiểu khái niệm ổn định, ổn định hóa lớp hệ DBLS - Bài toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ DBLS Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày kiến thức hệ tuyến tính rời rạc với trễ thời gian hệ DBLS; ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Đỗ Triệu Hải TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA LỚP HỆ DBLS Chuyên ngành: Toán ứng dụng KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP... A + E T E 11 Chương Bài toán ổn định ổn định hóa cho lớp hệ DBLS 2.1 Các tiêu chuẩn ổn định Định lý 2.1 [1] Hệ (1.1) với u(k) ≡ ổn định ngẫu nhiên tồn ma trận đối xứng xác định dương s Q = (Q(1),