ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ KIỀU TRANG PHƯƠNG PHÁP LẶP MANN, PHƯƠNG PHÁP LẶP KRASNOSELSKIJ VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ KIỀU TRANG PHƯƠNG PHÁP LẶP MANN, PHƯƠNG PHÁP LẶP KRASNOSELSKIJ VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS NGUYỄN BƯỜNG TS NGUYỄN THỊ THU THỦY Thái Nguyên - 2016 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i Mục lục Lời cảm ơn iii Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Không gian Banach, không gian Hilbert toán điểm bất động 1.1 1.2 Không gian định chuẩn Không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuẩn 1.1.2 Không gian Banach 1.1.3 Ánh xạ J-đơn điệu Không gian Hilbert 1.2.1 1.2.2 1.3 Định nghĩa không gian Hilbert Toán tử đơn điệu 10 Bài toán điểm bất động 11 1.3.1 Bài toán điểm bất động 11 1.3.2 Nguyên lý ánh xạ co Banach 11 Chương Phương pháp lặp Krasnoselskij, phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động 2.1 Phương pháp lặp Krasnoselskij Phương pháp lặp 14 Mann 14 2.1.1 Phương pháp lặp Picard 15 2.1.2 2.1.3 Phương pháp lặp Krasnoselskij 18 Phương pháp lặp Mann 21 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii 2.2 So sánh tốc độ hội tụ lặp Krasnoselskij Mann không gian Hilbert 27 2.2.1 Sự hội tụ với ánh xạ Lipschitz, giả co suy rộng 28 2.2.2 Ví dụ 33 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người dành cho tác giả hướng dẫn bảo tận tình, truyền cho tác giả nhiều kiến thức kinh nghiệm quý báu suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8A (khóa 2014–2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Cuối tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp tận tình giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả Bùi Thị Kiều Trang S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Bảng ký hiệu R tập số thực H X không gian Hilbert thực không gian Banach X∗ C không gian đối ngẫu X tập đóng lồi H A dom(A) toán tử đơn điệu không gian Hilbert miền hữu hiệu toán tử A x, y tích vô hướng hai vectơ x y x xn → x chuẩn vectơ x xn hội tụ mạnh đến x xn I xn hội tụ yếu đến x ánh xạ đơn vị x S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Mở đầu Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng lý thuyết tối ưu, toán cân bằng, bất đẳng thức biến phân, Do đó, việc nghiên cứu phương pháp giải toán điểm bất động vấn đề thời thu hút quan tâm nhiều nhà toán học nước giới Bài toán tìm điểm bất động phát biểu sau: Cho C tập lồi không gian Hilbert H, T : C → H ánh xạ Tìm phần tử x∗ ∈ C cho T (x∗ ) = x∗ Có nhiều phương pháp để tìm điểm bất động ánh xạ phương pháp lặp Picard, phương pháp lặp Krasnoselskij, phương pháp lặp Mann, Các phương pháp hội tụ tới điểm bất động ánh xạ, tốc độ hội tụ khác Việc so sánh tốc độ hội tụ phương pháp thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Babu [4], Berinde [5], Mawuli Adzoro [7] Mục đích luận văn trình bày phương pháp lặp Krasnoselskij, phương pháp lặp Mann, để tìm điểm bất động lớp ánh xạ liên tục Lipschitz không gian Hilbert, đồng thời so sánh tốc độ hội tụ phương pháp Nội dung luận văn trình bày hai chương với nội dung sau: Chương nhắc lại số khái niệm không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert số tính chất Chương trình bày phương pháp lặp Krasnoselskij, phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động lớp ánh xạ liên tục Lipschitz không gian Hilbert, đồng thời so sánh tốc độ hội tụ phương pháp lớp ánh xạ liên tục Lipschitz sở tổng hợp kết từ [6] [7] S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chương Không gian Banach, không gian Hilbert toán điểm bất động Chương trình bày khái niệm không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert toán điểm bất động Cụ thể, Mục 1.1 giới thiệu khái niệm không gian định chuẩn, không gian Banach, ánh xạ giả co không gian Banach, ánh xạ J-đơn điệu mối liên hệ chúng Mục 1.2 giới thiệu không gian Hilbert toán tử đơn điệu không gian Hilbert Mục 1.3 trình bày khái niệm toán điểm bất động nguyên lý ánh xạ co tồn điểm bất động ánh xạ Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2] [3] 1.1 Không gian định chuẩn Không gian Banach Cho X tập hợp Ký hiệu 2X họ tập khác rỗng X Cho T ánh xạ với miền xác định D(T ) miền giá trị R(T ) Nhiều kiện quan trọng giải tích thật dựa tính chất khoảng cách, mà không liên quan tới tính chất khác đường thẳng, mặt phẳng không gian ba chiều thông thường Vì vậy, muốn khảo sát chất kiện đó, người ta đưa khái niệm khoảng cách để tới khái niệm không gian mêtric, không gian định chuẩn S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 1.1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Một tập X gọi không gian mêtric (a) Với cặp phần tử x, y X xác định, theo quy tắc đó, số thực d(x, y), gọi khoảng cách x y; (b) Quy tắc nói thỏa mãn điều kiện sau đây: (d1 ) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X; d(x, y) = ⇔ x = y; (d2 ) d(y, x) = d(x, y) với x, y ∈ X; (d3 ) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với x, y, z ∈ X Hàm số d(x, y) gọi mêtric không gian Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian tuyến tính R Một chuẩn X hàm giá trị thực kiện sau thỏa mãn: · : X → [0, ∞) cho điều (n1 ) x ≥ với x ∈ X; x = ⇔ x = 0; (n2 ) kx = |k| x với k ∈ R, x ∈ X; (n3 ) x + y ≤ x + y với x, y ∈ X Cặp (X, ) gọi không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.3 Cho X Y không gian tuyến tính R Ánh xạ T : X → Y gọi ánh xạ tuyến tính T (αx + βy) = αT (x) + βT (y) (1.1) với x, y ∈ X, α, β ∈ R Đôi ta sử dụng toán tử tuyến tính phép biến đổi tuyến tính thay cho ánh xạ tuyến tính Điều kiện (1.1) tương đương với T (x + y) = T (x) + T (y), T (αx) = αT (x), S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN ∀x, y ∈ X; ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R http://www.lrc.tnu.edu.vn (1.2) Định nghĩa 1.1.4 Cho (X, ) không gian định chuẩn R Ánh xạ T từ tập lồi đóng Ω ⊂ X vào gọi ánh xạ co tồn số ≤ q < cho với x, y ∈ Ω, Tx − Ty ≤ q x − y Cho (X, ) không gian định chuẩn R, T : X → X ánh xạ Ta nói x ∈ X điểm bất động ánh xạ T T (x) = x Ký hiệu tập tất điểm bất động T Fix(T ) := {x ∈ X : T (x) = x} Nguyên lý ánh xạ co Banach khẳng định tồn điểm bất động x∗ ánh xạ T tập lồi đóng Ω X nhất, đồng thời dãy lặp xn+1 = T xn , n = 1, 2, hội tụ mạnh tới x∗ Định nghĩa 1.1.5 Cho (X, d) không gian mêtric Ánh xạ T : X → X ánh xạ co yếu tồn số δ ∈ (0, 1) L ≥ cho: d(T x, T y) ≤ δd(x, y) + Ld(y, T x), ∀x, y ∈ X (1.3) Chú ý 1.1.6 Do tính đối xứng khoảng cách, điều kiện co yếu (1.3) bao gồm d(T x, T y) ≤ δd(x, y) + Ld(x, T y), ∀x, y ∈ X (1.4) Thật vậy, ta thay (1.3) tương ứng d(T x, T y) d(x, y) d(T y, T x) d(y, x), sau hoán đổi x y Do đó, để kiểm tra tính co yếu T cần kiểm tra (1.3) (1.4) Định nghĩa 1.1.7 Cho (X, d) không gian mêtric Ánh xạ T : X → X gọi là: (1) Liên tục Lipschitz (hoặc L-liên tục Lipschitz) tồn số L > cho d(T x, T y) ≤ Ld(x, y) ∀x, y ∈ X; (2) Không giãn T 1-liên tục Lipschitz; S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 23 số Lipschitz Từ định nghĩa {xn } ta có: xn+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n = 1, 2, (2.11) thế, ta có xn = xn+1 + αn xn − αn T xn = (1 + αn )xn+1 + αn (I − T − kI)xn+1 − (2 − k)αn xn+1 + αn xn + αn (T xn+1 − T xn ) = (1 + αn )xn+1 + αn (I − T − kI)xn+1 − (2 − k)αn [(1 − αn )xn + αn T xn ] + αn xn + αn (T xn+1 − T xn ) = (1 + αn )xn+1 + αn (I − T − kI)xn+1 − (1 − k)αn xn + (2 − k)αn (xn − T xn ) + αn (T xn+1 − T xn ) Vì T p = p nên xn − p = (1 + αn )(xn+1 − p) + αn (I − T − kI)(xn+1 − p) − (1 − k)αn (xn − p) + (2 − k)αn (xn − T xn ) + αn (T xn+1 − T xn ) Sử dụng bất đẳng thức (1.8) ta nhận xn − p ≥ (1 + αn ) xn+1 − p − (1 − k)αn xn − p − (2 − k)αn xn − T xn − αn T xn+1 − T xn Vì T liên tục Lipshitz, nên T xn+1 − T xn ≤ L xn+1 − xn ≤ L(L + 1)αn xn − p , xn − p ≥ (1 + αn ) xn+1 − p − (1 − k)αn xn − p − (2 − k)αn xn − T xn − L(L + 1)αn xn − p S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 24 Suy xn+1 − p ≤ [1 + (1 − k)αn ](1 + αn )−1 xn − p + (2 − k)αn2 (1 + αn )−1 xn − T xn + L(L + 1)αn2 (1 + αn )−1 xn − p (2.12) ≤ [1 + (1 − k)αn ](1 − αn + αn ) xn − T xn + L(L + 1)αn xn − p , ta nhận xn+1 − p ≤ (1 − kαn ) xn − p + M αn , với số M > Sử dụng phần (ii) Định lý 2.1.8, dãy {xn } hội tụ mạnh tới điểm bất động p T Định lý 2.1.10 Cho X không gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng X, T : K → K ánh xạ thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1.3 Khi đó, dãy lặp Mann {xn } xác định (2.9) với {αn } thỏa mãn điều kiện: (i) α1 = 1; (ii) ≤ αn < với n > 1; (iii) ∞ n=1 αn (1 − αn ) = ∞, hội tụ tới điểm bất động T Chứng minh Định lý 2.1.3 khẳng định T có điểm bất động K, ta ký hiệu p Với x1 ∈ K, từ công thức xác định dãy lặp Mann, ta có: xn+1 − p ≤ (1 − αn ) xn − p + αn T xn − p Từ giả thiết ánh xạ T , suy T xn − p ≤ x n − p chứng tỏ dãy { xn − p } giảm Ta có xn − T xn = (xn − p) − (T xn − p) ≤ xn − p S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 25 Ta giả thiết tồn số a > cho xn − p ≥ a với n Giả sử dãy { xn − T xn }n≥1 không hội tụ tới Khi có khả xảy ra: tồn số ε > cho xn − T xn ≥ ε với n lim inf n→∞ xn − T xn = Trong trường hợp thứ nhất, sử dụng bổ đề Babu [4] với b = 2δ (ε/ x0 − p ) ta có: xn+1 − p ≤ (1 − αn (1 − αn )b) xn − p ≤ xn−1 − p − αn−1 (1 − αn−1 )b xn − p − bαn (1 − αn ) (xn − p) ≤ xn−1 − p − b[αn−1 (1 − αn−1 ) + αn (1 − αn )] (xn − p) Bằng phép quy nạp thu n a ≤ xn+1 − p ≤ x0 − p − b αk (1 − αk ) xn − p k=1 Vì n αk (1 − αk ) xn − p ≤ x0 − p a+b k=1 điều mâu thuẫn với (iii) Trong trường hợp thứ hai, tồn dãy {xnk } cho lim xnk − T xnk = k→∞ (2.13) Nếu xnk , xnl thỏa mãn điều kiện (C1) Định lý 2.1.3, nghĩa T xn k − T xn l ≤ α x n k − x n l , T xnk − T xnl ≤ α[ xnk − T xnk + T xnk − T xnl + T xnl − xnl ], S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 26 suy T xnk − T xnl ≤ α(1 − α)−1 [ xnk − T xnk + T xnl − xnl ], xnk , xnl thỏa mãn điều kiện (C2) T xnk − T xnl ≤ β[ xnk − T xnk + xnl − T xnl ], xnk , xnl thỏa mãn điều kiện (C3) T xnk − T xnl ≤ γ[ xnk − T xnl + xnl − T xnk ], suy T xnk − T xnl ≤ γ(1 − 2γ)−1 [ xnk − T xnk + xnl − T xnl ] Do đó, trường hợp {T xnk } dãy Cauchy suy hội tụ Giả sử dãy hội tụ tới u Từ (2.13) ta có: lim xnk = lim T xnk = u k→∞ k→∞ Hơn nữa, u − T u ≤ u − xnk + xnk − T xnk + T xnk − T u Ta chứng tỏ u = T u, tức u điểm bất động T Thậy vậy, xnk , u thỏa mãn (C1) T xn k − T u ≤ α x n k − u Nếu xnk , u thỏa mãn (C2) T xnk − T u ≤ β[ xnk − T xnk + u − T u ] dẫn đến u − T u ≤ [ u − xnk + (1 + β) xnk − T xnk ]/(1 − β), S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 27 cuối cùng, xnk , u thỏa mãn (C3) T xnk − T u ≤ γ[ xnk − T u + u − T xnk ] ≤ γ[ xnk − T xnk + T xnk − T u + u − T xnk ], T xnk − T u ≤ γ(1 − γ)−1 [ xnk − T xnk + u − T xnk ] Suy u = T u Vì p điểm bất động T , suy p = u hai điều kiện lim xnk = u(= p) { xn − p } dãy giảm theo n nk →∞ suy lim xn = p n→∞ 2.2 So sánh tốc độ hội tụ lặp Krasnoselskij Mann không gian Hilbert Trong mục này, ta quan tâm đến tốc độ hội tụ đến điểm bất động phương pháp lặp Krasnoselskij phương pháp lặp Mann cho lớp ánh xạ Lipschitz giả co suy rộng không gian Hilbert ∞ Định nghĩa 2.2.1 Cho {an }∞ n=0 , {bn }n=0 hai dãy số thực hội tụ tương ứng tới a b Giả sử tồn | an − a | n→∞ | bn − b | l = lim (a) Nếu l = ta nói dãy {an }∞ n=0 hội tụ tới a nhanh dãy {bn }∞ n=0 hội tụ tới b; ∞ (b) Nếu < l < ∞ ta nói dãy {an }∞ n=0 dãy {bn }n=0 có tốc độ hội tụ; ∞ (c) Nếu l = ∞ ta nói dãy {bn }∞ n=0 hội tụ nhanh dãy {an }n=0 ∞ Định nghĩa 2.2.2 Cho hai dãy {un }∞ n=0 {vn }n=0 hội tụ tới điểm p cho bất đẳng thức sau thỏa mãn: un − p ≤ an , S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN n = 0, 1, 2, http://www.lrc.tnu.edu.vn (2.14) 28 − p ≤ bn , n = 0, 1, 2, (2.15) ∞ {an }∞ n=0 {bn }n=0 hai dãy số dương (cùng hội tụ tới 0) ∞ Khi đó, dãy {an }∞ n=0 hội tụ nhanh dãy {bn }n=0 ta nói dãy ∞ ∞ {un }∞ n=0 hội tụ nhanh {vn }n=0 đơn giản, dãy {un }n=0 tốt dãy {vn }∞ n=0 ∞ Chú ý 2.2.3 Dãy {un }∞ n=0 tốt {vn }n=0 un − p ≤ − p , ∀n Ví dụ 2.2.4 Cho p = 0, un = n+1 = n1 , n ≥ 1, dãy {un } tốt dãy {vn } theo định nghĩa này, nghĩa un − p ≤ − p , ∀n, dãy {un } {vn } có tốc độ hội tụ theo Định nghĩa 2.2.1, un n→∞ lim = Ví dụ 2.2.5 Cho T : [0, 1] → [0, 1] ánh xạ xác định T (0) = T (1) = T x = với < x < Khi đó, FixT = {0} phương pháp lặp Mann Mn (x1 , αn , T ) với < x1 < αn = n1 , n ≥ hội tụ tới 1, không điểm bất động ánh xạ T 2.2.1 Sự hội tụ với ánh xạ Lipschitz, giả co suy rộng Định lý sau chứng tỏ phương pháp lặp Krasnoselskij phù hợp phương pháp lặp Mann cho xấp xỉ điểm bất động ánh xạ Lipschitz ánh xạ giả co suy rộng Định lý 2.2.6 Cho H không gian Hilbert thực K tập lồi đóng không rỗng H Cho T : K → K ánh xạ Lipshitz, giả co suy rộng tương ứng với số L ≥ < r < Khi đó, (1) T có điểm bất động p K; (2) Với x0 ∈ K λ ∈ (0, a) với a cho (2.8), dãy lặp Krasnoselskij {xn }∞ n=0 = Kn (x0 , λ, T ) xác định (2.6) hội tụ mạnh S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 29 tới p; (3) Với y0 ∈ K {αn }∞ n=0 ∈ [0, 1] thỏa mãn (2.10), dãy lặp Mann {yn }∞ n=0 xác định (2.9) hội tụ mạnh tới p; (4) Với dãy lặp Mann hội tụ tới p, với ≤ αn ≤ b < 1, tồn dãy lặp Krasnoselskij hội tụ nhanh tới p Chứng minh (1)-(2) Với λ ∈ [0, 1], xét ánh xạ Tλ K cho Tλ x = (1 − λ)x + λT x, x ∈ K (2.16) Vì K tập lồi, nên Tλ (K) ⊂ K với λ ∈ [0, 1] Từ điều kiện giả co suy rộng điều kiện Lipschitz T Tλ x − Tλ y = (1 − λ)(x − y) + λ(T x − T y) = (1 − λ)2 x − y 2 + 2λ(1 − λ) T x − T y, x − y + λ2 T x − T y , ta tìm Tλ x − Tλ y ≤ [(1 − λ)2 + 2λ(1 − λ)r + λ2 L2 ] x − y , đó, Tλ x − Tλ y ≤ θ · x − y , ∀x, y ∈ K, (2.17) 1/2 < θ = [(1 − λ)2 + 2λ(1 − λ)r + λ2 L2 ] < λ < a Vì K tập lồi đóng không gian Hilbert, K không gian mêtric đủ Sử dụng nguyên lý ánh xạ co Banach, Tλ có điểm bất động q ∈ K dãy lặp Picard ứng với ánh xạ Tλ , xn+1 = Tλ xn , n≥0 (2.18) hội tụ mạnh tới q với x0 ∈ K Bây giờ, sử dụng {xn }∞ n=0 cho (2.18), dãy lặp Krasnoselskij (2.6) với ánh xạ T , đồng thời Fix(T ) = Fix(Tλ ) với S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 30 λ ∈ (0, 1), suy p = q điểm bất động T Suy ra, ta có (1) (2) ∞ (3) Cho {yn }∞ n=0 lặp Mann với {αn }n=0 ⊂ [0, 1] thỏa mãn điều kiện ∞ αn = ∞ n=0 Ta đưa t với < t < 1, ký hiệu an = 1t αn với n = 0, 1, 2, dãy lặp Mann cho yn+1 = (1 − tan )yn + tan T yn , n = 0, 1, 2, Ta có yn+1 − p = (1 − an )yn + an [(1 − t)yn + tT yn ] − p ≤ (1 − an ) yn − p (2.19) + an (1 − t)(yn − p) + t(T yn − T p) Sử dụng tính chất T , ta nhận t(T yn − T p) + (1 − t)(yn − p) = (1 − t)2 yn − p + t2 T yn − p + 2t(1 − t) T yn − p, yn − p (2.20) Từ (2.19) (2.20) ta yn+1 − p ≤ {1 − an + an [(1 − t)2 + 2t(1 − t)r + t2 L2 ] } yn − p = (1 − (1 − θ)an ) yn − p n ≤ (1 − (1 − θ)ak ) yk − p , k=1 (2.21) 1/2 ≤ θ = [(1 − t)2 + 2t(1 − t)r + t2 L2 ] S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN 0, f đạt cực tiểu x = λmin với λmin cho (2.24) Giá trị cực tiểu f (x) fmin = (L2 − r2 )/(1 − 2r + L2 ) Chứng tỏ giá trị cực tiểu θ θ = [(L2 − r2 )/(1 − 2r + L2 )] Đây điều phải chứng minh 2.2.2 Ví dụ Trong mục này, tác giả đưa ví dụ số (viết ngôn ngữ Matlab chạy máy tính Asus với vi xử lý Core i3 2.4 GHz, RAM 2GB, hệ điều hành Window Ultimate) để minh họa cho tốc độ hội tụ phương pháp lặp Krasnoselskij phương pháp lặp Mann Cho K = [0, 1] T : K → K ánh xạ xác định T x = (1 − x)10 Xét toán tìm điểm bất động ánh xạ T Sử dụng phương pháp lặp Krasnoselskij phương pháp lặp Mann ta nhận kết sau • Phương pháp lặp Krasnoselskij: chọn điểm ban đầu x0 = ∈ K λ = 0, ∈ [0, 1] Ta nhận kết tính toán cho bảng sau: S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 34 k xk T (xk ) 0.5000 9.7656.10−4 0.2505 0.0559 0.1714 0.1526 0.1664 0.1620 0.1653 0.1642 10 0.1650 0.1648 12 0.1649 0.1649 15 0.1649 0.1649 • Phương pháp lặp Mann: chọn điểm ban đầu x0 = ∈ K, αn = 1/(n + 1) ∈ [0, 1] Ta nhận kết tính toán cho bảng sau: k xk T (xk ) 0.5000 9.7656.10−4 0.3337 0.0173 0.2142 0.0897 0.1825 0.1333 10 0.1690 0.1571 20 0.1654 0.1639 30 0.1651 0.1646 40 0.1650 0.1648 50 0.1650 0.1649 55 0.1649 0.1649 60 0.1649 0.1649 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 35 • Đồ thị so sánh tốc độ hội tụ phương pháp lặp Krasnoselskij phương pháp lặp Mann Ví dụ số cho thấy phương pháp lặp Krasnoselskij hội tụ nhanh phương pháp lặp Mann S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 36 Kết luận Luận văn trình bày lại có hệ thống vài phương pháp lặp phương pháp lặp Picard, phương pháp lặp Krasnoselskij, phương pháp lặp Mann toán điểm bất động Cụ thể là: (1) Trình bày khái niệm không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian Banach toán điểm bất động (2) Giới thiệu phương pháp lặp Picard, phương pháp lặp Krasnoselskij, phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động ánh xạ (3) So sánh tốc độ hội tụ phương pháp lặp Krasnoselskij Mann không gian Hilbert trình bày ví dụ số (viết ngôn ngữ Matlab) để minh họa cho tốc độ hội tụ hai phương pháp Trong kết luận văn nghiên cứu hội tụ so sánh tốc độ hội tụ phương pháp Krasnoselskij phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Việc cải tiến phương pháp lặp nhằm gia tăng hiệu cho toán tìm điểm bất động ánh xạ không giãn, điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert không gian Banach vv hướng phát triển đề tài S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [4] Babu, G.V.R, Vara Prashad K.N.V (2006), "Mann iteration converges faster than Ishikawa interation for the class of zamfirescu operators", Fixed point theory and Applications, Article ID 49615, pages 16 DOI 10.1155/FPTA/2006/49615 [5] Berinde V (2004), "Comparing Krasnoselskij and Mann iterations for Lipschitzian generalized pseudocontractive operators", Fixed point theory and Applications, (Valencia, 2003), Yokohama Publishers, Yokohama [6] Mann, W.R (1953), "Mean value methods in iteration", Proc Amer Math Soc, 44, 506-510 [7] Mawuli A (2009), "Comparing Krasnoselskij and Mann iterative methods for Lipschitzian generalized pseudo-contractive operators in Hilbert spaces", Faculty of Physical Sciences College of Science S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ... độ hội tụ phương pháp lặp Krasnoselskij phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động ánh xạ Cụ thể, Mục 2.1 giới thiệu phương pháp lặp Picard, phương pháp lặp Krasnoselskij, phương pháp lặp Mann trình... ánh xạ phương pháp lặp Picard, phương pháp lặp Krasnoselskij, phương pháp lặp Mann, Các phương pháp hội tụ tới điểm bất động ánh xạ, tốc độ hội tụ khác Việc so sánh tốc độ hội tụ phương pháp. .. số r = 1.3 1.3.1 Bài toán điểm bất động Bài toán điểm bất động Định nghĩa 1.3.1 Phần tử x ∈ D(T ) không gian Banach X gọi điểm bất động ánh xạ T x = T x Ký hiệu tập điểm bất động ánh xạ T Fix(T