ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN QUANG HẢI PHƯƠNG PHÁP LƯỚI GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HÒA TRONG MIỀN TRÒN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Vinh Quang THÁI NGUYÊN - 2016 i MỤC LỤC Trang Mục lục i Danh mục bảng ii Mở đầu Chương 1: Một số kiến thức 1.1 Lý thuyết sai phân 1.2 Công thức Taylor 1.3 Các phương pháp sai phân đạo hàm 1.4 Phương trình song điều hòa 10 1.4.1 Dạng tổng quát 10 1.4.2 Phương pháp phân rã 11 1.5 Hệ tọa độ cực 12 1.5.1 Một số khái niệm 12 1.5.2 Biểu diễn toán biên chiều hệ tọa độ cực 13 1.6 Phương pháp truy đuổi đường chéo 14 1.6.1 Hệ truy đuổi đường chéo 14 1.6.2 Thuật toán truy đuổi phải 15 1.6.3 Thuật toán truy đuổi trái 16 Chương 2: Phương pháp giải trực tiếp nhanh phương trình song điều hòa miền hình tròn 20 2.1 Đặt vấn đề 20 2.2 Giới thiệu phương pháp 22 2.2.1 Công thức khai triển Fourier chặt cụt 23 2.2.2 Phương pháp sai phân 24 2.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 27 2.4 Thuật toán 30 2.5 Một số kết thực nghiệm 31 Chương 3: Một số kết mở rộng cho phương trình Navier – Stokes miền tròn 34 3.1 Dạng toán tổng quát 34 3.2 Hệ phương trình sai phân theo thời gian 36 3.3 Hệ sai phân theo không gian 37 3.4 Kết thực nghiệm 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Phần phụ lục 42 ii DANH MỤC CÁC BẢNG STT Tên bảng Trang Bảng 1: Kết kiểm tra RC0000.m Bảng 2: Kết kiểm tra RC0002.m Bảng 3: Kết thực nghiệm hàm nghiệm u * (r, )  (er  1)sin , N  64 30 Bảng 4: Kết thực nghiệm hàm nghiệm u * (r ,  )  sinr sin , N  64 30 Bảng 5: Kết thực nghiệm hàm nghiệm u * (r ,  ) r cos , N  64 30 Bảng 6: Kết thực nghiệm hàm nghiệm  x , y, t   2e 2t /Re cos x cos y,  x , y, t   2e  2t /Re cos x cos y 35 Mở đầu Một số toán học môi trường liên tục nghiên cứu đàn hồi qua mô hình hóa đưa toán biên cho phương trình song điều hòa phương trình cấp bốn dạng đặc biệt với hệ điều kiện biên khác Trong trường hợp điều kiện biên bình thường (đủ điều kiện biên với hàm đạo hàm cấp hai) đồng thời miền xét miền chữ nhật, sử dụng phương pháp phân rã phương trình cấp bốn phương trình cấp hai, người ta xác định nghiệm toán thông qua phương pháp sai phân truyền thống Trong trường hợp thiếu điều kiện biên với đạo hàm cấp hai, kết hợp với phương pháp toán tử biên miền, xây dựng phương pháp lặp để xác định nghiệm gần toán Tuy nhiên trường hợp miền xét toán miền tròn hệ điều kiện biên thiếu biểu thức đạo hàm cấp phương pháp không thực Trong tài liệu [8], tác giả Ming Chih Lai, Hsi Chi Liu đưa phương pháp sai phân toán song điều hòa miền tròn cách sử dụng hệ tọa độ cực (r, ) để chuyển toán song điều hòa toán cấp hai, từ xây dựng thuật toán lưới tìm nghiệm xấp xỉ toán gốc Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu nghiên cứu luận văn tìm hiểu mô hình toán học toán song điều hòa, phương pháp phân rã đặc biệt nghiên cứu phương pháp sai phân toán miền tròn sử dụng hệ trục tọa độ cực, xây dựng thuật toán giải hệ phương trình sai phân thông qua thuật toán giải hệ phương trình đại số tuyến tính, xây dựng chương trình thực nghiệm môi trường Matlab Kiểm tra tính xác thuật toán qua ví dụ thực tế Trong thời gian nghiên cứu thực luận văn tác giả nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ góp ý nhiều tập thể, cá nhân Trước hết tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Vũ Vinh Quang – Thầy trực tiếp hướng dẫn khoa học tận tâm bảo, giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn Với tình cảm chân thành sâu sắc tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo sau đại học, khoa Toán – Tin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô tận tình giảng dạy, dẫn cho tri thức, kinh nghiệm, học quý báu Xin chân thành cảm ơn anh chị, bạn bè khóa chuyên ngành Toán ứng dụng chia sẻ tinh thần tình cảm cho suốt khóa học Mặc dù cố gắng trình học tập, nghiên cứu đọc tài liệu để hoàn thành luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến dẫn quý thầy, cô, hội đồng chấm luận văn ý kiến đóng góp chân thành đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện với hiệu cao Thái Nguyên, ngày 30 tháng năm 2016 TÁC GIẢ LUẬN VĂN Nguyễn Quang Hải Chương Một số kiến thức Nội dung chương trình bày kiến thức phương pháp sai phân, kết xây dựng chương trình giải số toán biên miền hình chữ nhật qua phương pháp sai phân, phương trình song điều hòa phép biến đổi tọa độ cực áp dụng phương trình song điều hòa, thuật toán truy đuổi đường chéo Đây kiến thức bản, làm tảng để nghiên cứu kết trình bày chương luận văn Các kiến thức trình bày tham khảo tài liệu [1, 2, 3, 8, 9] 1.1 Lý thuyết sai phân Phương pháp lưới hay gọi phương pháp sai phân áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật Nội dung đưa toán vi phân xét giải hệ phương trình sai phân (tức hệ thức hệ thức liên hệ giá trị hàm số thời điểm khác nhau) phương pháp đại số 1.2 Công thức Taylor A/ Trường hợp hàm biến số Giả sử u x  hàm số xác định có đạo hàm đến cấp m1 khoảng  ,   chứa x x h , h đại lượng đủ nhỏ dương hay âm Khi giải tích toán học, có công thức khai triển Taylor sau h  u ''    u x  h  u x   hu ' x  h   x   (1.1) m 1 m m! h  2! u m  x   m  1! u m 1 c Trong c điểm khoảng từ x đến x  h ; để diễn tả điều ta viết c  x   x với    Ta giả thiết thêm: u m 1 x   M  const, x  (,  ) Khi số hạng cuối (1.1) vô bé h  công thức Taylor (2.3) viết gọn hơn: h  u '' x  u x  h   u x   hu ' x    2! h  u   x o(h )   m! m m (1.2) m Nhận xét: Về mặt ý nghĩa toán học tính toán công thức Taylor, giá trị hàm số điểm x  h tính qua giá trị hàm đạo hàm cấp điểm x Nếu giữ đến số hạng chứa đạo hàm cấp m kết tính toán đảm bảo sai số xấp xỉ đại lượng vô bé o(h m ) B/ Trường hợp hàm biến số Giả sử u x , y  hàm số xác định có đạo hàm riêng theo biến đến cấp m1 miền   R chứa điểm (x , y ) (x  h, y  k ) , h , k đại lượng đủ nhỏ dương hay âm Khi tương tự hàm biến số, có công thức khai triển Taylor sau u u k  x y 2  2u  2u  u [h  hk  k ]   o(h m  k m ) 2 2! x x y y   u x  h, y  k  u x , y   h (1.3) Nhận xét: Về mặt ý nghĩa toán học tính toán công thức Taylor, giá trị hàm số điểm (x  h , y  k ) tính qua giá trị hàm đạo hàm riêng cấp điểm (x , y ) Nếu giữ đến số hạng chứa đạo hàm cấp m kết tính toán đảm bảo sai số xấp xỉ đại lượng vô bé o(h m ) Sau luận văn đưa số kết xây dựng phương pháp sai phân dựa công thức Taylor 1.3 Các phương pháp sai phân đạo hàm A/ Trường hợp chiều  Phát biểu toán Cho khoảng x , X  Tìm hàm u  u  x  xác định x , X  thỏa mãn: u '  f x, u  x0  x  X ux    (1.4) (1.5) Trong f x, u  hàm số cho trước  số cho trước Giả sử toán (1.4), (1.5) có nghiệm u  u  x  đủ trơn, nghĩa có đạo hàm liên tục đến cấp mà ta cần  Lưới sai phân Ta chia đoạn x , X  thành N đoạn nhau, đoạn dài h  b  a  N điểm x i (i  N ), x i  x  ih Tập điểm xi gọi lưới sai phân x , X , ký hiệu h , điểm x i gọi nút lưới, h gọi bước lưới  Hàm lưới Đó hàm số xác định nút lưới h Một số hàm u x  xác định x  a, b tạo hàm lưới u có giá trị nút x i u i  u x i   Đạo hàm lưới Xuất phát từ công thức Taylor trường hợp biến số, có công thức tính xấp xỉ đạo hàm lưới với độ xác cấp sau: Công thức đạo hàm tiến: ux'  Công thức đạo hàm lùi ux'  i i Công thức đạo hàm cấp hai: ui  '' ui 1  ui h  o(h ) ui  ui 1  o(h ) h (ui 1  2ui  ui1 )  o(h ) h Ta thấy h bé đạo hàm lưới “xấp xỉ” đạo hàm thường B/ Trường hợp chiều  Lưới sai phân Xét toán u  f , x  ,    u  g, x    (1.6)   (x , y )  R2 , a  x  b, c  y  d  , chọn số nguyên N > M  , đặt h = (b - a)/N gọi bước lưới theo x, k = (d - c)/M gọi bước lưới theo y Đặt x i  a  ih, y j  c  jk , i  N , j  M Mỗi điểm ( xi , y j ) gọi nút lưới ký hiệu nút (i, j ); tập tất nút ký hiệu hk ; nút biên  gọi nút biên; tập tất nút biên ký hiệu hk , tập hk = hk  hk gọi lưới sai phân   Hàm lưới: Mỗi hàm số xác định nút lưới gọi hàm lưới, giá trị hàm lưới u(x,y) nút lưới (i, j ) viết tắt ui , j Mỗi hàm ui , j xác định ( x, y )   tạo hàm lưới u xác định ui , j  Bài toán sai phân: Sử dụng công thức Taylor trường hợp biến số, thu công thức tính gần giá trị đạo hàm nút lưới (i, j ) sau u x  (u  ui, j )  o(h) (i , j ) h i 1, j u y  (u  ui, j )  o(h) (i , j ) k i, j 1  2u x  (i , j )  2u y  (i , j ) ui 1, j  2ui , j  ui 1, j h2 ui , j 1  2ui , j  ui , j 1 k  o(h )  o(k ) Đặt hk u  ui 1, j  2ui , j  ui 1, j h  ui , j 1  2ui , j  ui , j 1 k (1.7) Khi chứng tỏ:  kh u =  u  o (h  k ) 2 Số hạng o(h  k ) vô bé bậc hai Ta nói toán tử  kh xấp xỉ toán tử  , điều cho phép thay phương trình vi phân phương trình sai phân: hk u  fij , fij  f ( xi ,y j ), ( xi ,y j ) hk tức là: 31 O  By    ; Bz   F  phương pháp xác định ma trận nghịch đảo B 1 sử dụng thuật toán truy đuổi đường chéo Bước Xác định nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính ban đầu T y công thức x  y  z Trong Bước 2, độ phức tạp tính toán  T z O(MN) Từ xác định vectơ Ui  uk (ri ), i  1,2, , M  1, Vi  vk (ri ), i  1,2, , M  Bước Sử dụng khai triển Fourier (2.9),(2.10) ta thu nghiệm số toán lưới điểm (ri , j ), i  1,2, , M  1; j   N N , ,  2 Trong bước này, độ phức tạp tính toán (M N LogN) Có thể thấy độ phức tạp tính toán toàn thuật toán đánh giá O(M N LogN) với lưới M N điểm 2.5 Một số kết thực nghiệm Chúng sử dụng phương pháp phân rã đưa toán song điều hòa miền tròn toán cấp hai sau sử dụng phương pháp sai phân với lưới xuyên tâm đưa toán cấp hai hệ phương trình đại số với vectơ nghiệm U, V dạng (2.19)-(2.20) sau sử dụng bước thuật toán để xác định nghiệm hệ phương trình sai phân từ xác định nghiệm xấp xỉ toán miền tròn Để kiểm tra độ xác thuật * toán, cho trước nghiệm u (r, ) từ xác định giá trị vế 32 phải f (r, ) giá trị điều kiện biên g(), h() Sai số tính toán xác định   u * (ri , j )  u(ri , j )  toàn lưới điểm M N Các chương trình lập trình ngôn ngữ Matlab thực máy tính PC, phần chương trình chi tiết trình bày đầy đủ phần phụ lục luận văn Bảng 3: Kết thực nghiệm hàm nghiệm u * (r, )  (er  1)sin , N  64 Số điểm lưới M Sai số Số điểm lưới M Sai số 0.001 128 6.0686e-6 16 3.6757e-4 256 1.5231e-6 32 9.4797e-5 512 3.8153e-7 64 2.4085e-5 1024 1.0234e-7 Bảng 4: Kết thực nghiệm hàm nghiệm u * (r ,  )  sinr sin , N  64 Số điểm lưới M Sai số Số điểm lưới M Sai số 4.5189e-4 128 1.9748e-6 16 1.1982e-5 256 4.9563e-7 32 3.0876e-5 512 1.2415e-7 64 7.1385e-6 1024 7.2341e-8 33 Bảng 5: Kết thực nghiệm hàm nghiệm u * (r ,  ) r cos , N  64 Số điểm lưới M Sai số Số điểm lưới M Sai số 0.0121 128 5.3257e-5 16 0.0032 256 1.3367e-5 32 8.3231e-4 512 3.3348e-6 64 2.1137e-4 1024 1.2345e-6 Nhận xét + Qua kết thực nghiệm máy tính điện tử chứng tỏ thuật toán giải trực tiếp nhanh toán song điều hòa miền tròn đảm bảo tìm 2 nghiệm xấp xỉ toán với độ xác cấp hai O(h  k ) Tốc độ tính toán nhanh + Thuật toán áp dụng toán song điều hòa miền tròn với hàm vế phải điều kiện biên tùy ý Kết luận Nội dung chương trình bày thuật toán giải trực tiếp nhanh toán song điều hòa miền tròn kết kiểm tra độ xác thuật toán máy tính điện tử Các kết ứng dụng chương luận văn 34 Chương Một số kết mở rộng cho phương trình Navier – Stokes miền tròn Nội dung chương đưa số kết nghiên cứu phương pháp giải trực tiếp nhanh áp dụng cho phương trình Navier-Stokes môi trường dòng chảy không nén, kết tham khảo tài liệu [5, 8] 3.1 Dạng toán tổng quát Các phương trình Navier-Stokes dòng chảy không nén có dạng tổng quát u  u.u  p  u, t Re (3.1) u  (3.2) kí hiệu u(x,t) đặc trưng cho vận tốc dòng xoáy, p(x, t ) đặc trưng cho áp suất Re số Reynolds Phương trình thứ (3.1) mô tả định luật bảo toàn động lượng phương trình thứ hai (3.2) mô tả định luật bảo toàn khối lượng Trong không gian chiều, thấy phương trình Navier-Stokes (3.1)-(3.2) thường gọi hệ phương trình xác định hàm tính vận tốc dòng chảy môi trường chất lỏng không nén Lấy tích phân phương trình (3.2) để loại trừ số hạng građient áp suất, thu   J ,    t Re ( 3.3)  thành phần xoáy khác không theo thành phần z,  kí hiệu   hàm dòng định nghĩa u = u  ez   , J ,  kí hiệu định 35 thức Jacobian phép biến đổi Chú ý hàm xoáy u tự động thỏa mãn ràng buộc không nén (3.2) Sử dụng định nghĩa hệ  , ta có mối quan   cho    (3.4) Như phương trình Navier-Stokes không gian chiều ban đầu (3.1)-(3.2) với ba biến số thỏa mãn phương trình (3.3)-(3.4) với hai biến số chưa biết Chúng ta tập trung nghiêm cứu tìm nghiệm xấp xỉ phương trình (3.3)-(3.4) miền tròn   0  r  1,0    2  ; Sử dụng phương pháp biến đổi hệ tọa độ cực, định thức Jacobian phép biến đổi xác định dạng:        J ,     r  r   r  (3.5) Và toán tử Laplace  biểu diễn dạng: 2  2    r r r  r (3.6) Vận tốc xuyên tâm vận tốc góc phương vị xác định từ hàm dòng công thức: ur     , u  r  r (3.7) Hàm xoáy viết lại sau  u  r  u r  u  r  (3.8) Chúng ta hạn chế xét dòng chảy bên miền tròn đơn vị với vận tốc riêng đặc trưng biên thỏa mãn ur  u  h () r  (Điều kiện tương ứng với điều kiện biên ứng với điều kiện dòng chuẩn) Khi hệ điều kiện biên toán trở thành 36  1,    0,  1,   h   r (3.9) Như thu hệ phương trình (3.6)-(3.7) điều kiện biên (3.9) Nhận xét: Có thể thấy có hai điều kiện biên cho hàm dòng  điều kiện biên cho hàm xoáy  Điều hoàn toàn tương tự với trường hợp giải hệ phương trình phân rã phương trình song điều hòa (2.2)(2.3) 3.2 Hệ phương trình sai phân theo thời gian Chúng ta sử dụng sơ đồ sai phân đạo hàm với độ xác cấp hai, ta có kết quả: 3 n 1  4 n   n 1   2J  n , n  J ( n 1, n 1    n 1 (3.10)   R 2t e    n 1   n 1  n 1 n 1 1,    0, r 1,    h   (3.11) (3.12) t kí hiệu bước lưới thời gian Nhận xét + Có thể nhận thấy sơ đồ sai phân theo thời gian có sai số cấp hai O(t ) + Ta thấy rằng, bước thời gian, cần giải hệ phân rã toán Poisson phương trình (2.2) – (2.3) Do phương pháp giải trực tiếp toán song điều hòa đưa phần trước áp dụng mà không cần có nhiều phép biến đổi 37 3.3 Hệ sai phân theo không gian Để sai phân theo không gian, cần phải tính đạo hàm   Sử dụng công thức sai phân trung tâm bậc hai Chúng ta sử dụng lưới M N tương tự toán song điều hòa    ri , j   (i  2)r, j, r  (3.13) 2 ;   2M  N Giả sử giá trị rời rạc hàm vô hướng  kí hiệu i, j   ri , j  ,các đạo hàm cấp theo r  tính công thức xấp xỉ với độ xác cấp hai       r    i 1, j  i 1, j (3.14) 2r i, j           i , j 1  i , j 1 (3.15) 2 i, j Sự rời rạc không gian tương tự áp dụng vào tính hàm xoáy Ta cần xác định giá trị biên: + Giá trị  0, j xác định công thức gần  0, j   1, j  N + Tại rM 1  ta có  n 1 M 2 j  2r  n 1 M 2 j n 1 Mj  hj (3.16) giá trị chưa biết nằm bên miền tính toán Do vậy, xác định gần theo công thức 38  Thế giá trị  n 1 M 2 j n1 = M 2 j  n 1 Mj  2rh j sử dụng điều kiện  n 1 M 1 j (3.17)  với j, tính giá trị xoáy biên công thức:  n 1 M 1, j   n 1 M 1, j  2 n 1 M 1, j  2rhj (r )2  hj (3.18) 3.4 Kết thực nghiệm Trong phần này, luận văn đưa kết kiểm tra tính xác sơ đồ tính toán việc giải lược đồ sai phân cho phương trình Navier-Stokes miền hình tròn Để kiểm tra, cho trước nghiệm thỏa mãn phương trình Navier-Stokes, sau sử dụng thuật toán phân rã giải hệ phương trình sai phân chương 2, từ so sánh sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ lưới điểm xuyên tâm Trong bảng kết quả, kí hiệu 1 ()   * (ri , j )  (ri , j ) *  , 2 ()   * (ri , j )  (ri , j )  , *  (r, ),  (r, ) nghiệm tương ứng với hàm dòng hàm xoáy (r, ), (r, ) nghiệm xấp xỉ xác định từ thuật toán, kết tính toán thực với lưới chia M N tùy chọn M lưới điểm theo tia N lưới điểm theo góc, số Reynolds chọn Re  20, bước thời gian chọn t = 0,01 Các kết tính toán tham khảo tài liệu [8] 39 Bảng 6: Kết thực nghiệm hàm nghiệm  x , y, t   2e 2t /Re cos x cos y,  x , y, t   2e  2t /Re cos x cos y MxN Sai số 1 ( ) Sai số 2 () 16 x 32 1.6555e-03 3.2481e-04 32 x 64 6.0361e-04 8.3609e-05 64 x 128 1.7393e-04 2.1269e-05 128 x 256 4.1738e-05 5.3372e-06 Nhận xét: + Các kết luôn đảm bảo với độ xác cấp 2, phù hợp với lược đồ sai phân cấp hai sử dụng + Lược đồ sai phân đảm bảo tìm nghiệm gần phương trình Navier-Stokes miền tròn với hệ điều kiện biên tùy ý 40 KẾT LUẬN Nội dung luận văn đề cập đến phương pháp giải trực tiếp nhanh dạng phương trình song điều hòa miền hình tròn ứng dụng phương trình Navier-Stokes Các kết luận văn gồm có: Trình bày kiến thức liên quan đến phương pháp sai phân, phương trình song điều hòa, thuật toán truy đuổi đường chéo, thư viện số giải toán song điều hòa miền hình chữ nhật Trên sở tài liệu [5, 6, 8], luận văn đưa sở lý thuyết xây dựng thuật toán giải trực tiếp nhanh phương trình song điều hòa miền hình tròn Mô tả chi tiết bước cần tiến hành thuật toán Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab version 7.0 tiến hành xây dựng chi tiết thuật toán, kiểm tra độ xác thuật toán máy tính điện tử Ứng dụng thuật toán nghiên cứu phương trình Navier-Stokes môi trường dòng chảy không nén Hướng phát triển luận văn mở rộng ứng dụng thuật toán giải trức tiếp nhanh số toán thực tế phức tạp 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Tạ Văn Đĩnh (2002), Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Vũ Vinh Quang, Trần Thị Xuân (2010), “Kết xây dựng phần mềm Q_X_2010 tìm nghiệm số toán biên hỗn hợp”, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, T.69(07):72-77 [3] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Nguyễn Thị Tuyển (2010), “Xây dựng chương trình RC2009 giải số toán biên elliptic với hệ số hằng”,Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, T.69(07):56-63 Tài liệu tiếng Anh [4] A Karageorghis and T Tang (1996), A spectral domain decomposition apptoach for steady Navier-Stokes problems in circular geometries, Com-put Fluids, 25, 541-549 [5] M.-C Lai (2002), A simple compact fourth-order Poisson solver on polar geometry, J Comput Phys., 182.337-345 [6] M.-C Lai (2002), Fourth- order finite difference scheme for the incompressible Navier-Stokes equations in a disk, Int J Numer Methods Partial Differential Eq., 18, 56-68 [7] Marchuk G.I (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York [8] Ming Chih Lai, Hsi Chi Liu, Fast direct solver for the biharmonic equation on a disk and its application to incompressible flows Corresponding author Department of Applied Mathematics, National Chiao Tung University, 101, Ta Hsueh Road, Hsinchu 300, TAIWAN E-mail: mclai@math.nctu.edu.tw [9] Samarskij A and Nikolaev E (1989), Numerical methods for Grid Equations, vol 2, Birkhauser, basel 42 PHẦN PHỤ LỤC Thuật toán truy đuổi đường chéo function u=truyduoi(a,b,c,f,n) alpha(1)=-b(1)/c(1);beta(1)=f(1)/c(1); %Buoc xuoi for k=2:n-1; alpha(k)=-b(k)/(a(k)*alpha(k-1)+c(k)); beta(k)=(f(k)-a(k)*beta(k-1))/(a(k)*alpha(k-1)+c(k)); end; %Buoc nguoc u(n)=(f(n)-a(n)*beta(n-1))/(a(n)*alpha(n-1)+c(n)); for k=(n-1):-1:1; u(k)=alpha(k)*u(k+1)+beta(k); end; %%%%% % chuong trinh test he truy duoi clear; clc; a(1)=0;a(2)=4;a(3)=1; c(1)=100;c(2)=18;c(3)=25; b(1)=-4;b(2)=4;b(3)=0; f(1)=7;f(2)=23;f(3)=39; x=truyduoi(a,b,c,f,3) f f1=c(1)*x(1)+b(1)*x(2) f2=a(2)*x(1)+c(2)*x(2)+b(2)*x(3) f3=a(3)*x(2)+c(3)*x(3) Thuật toán giải trực tiếp nhanh giải hệ phương trình sai phân miền tròn function nghiem_tdcuc = nghiem_tdcuc(m) clc; M=2^m; deltar=2/(2*M+1); k=1;gk=g(1);hk=h(1); D=zeros(M,M);E=D;T=D;O=D; F=zeros(2*M,1);alpha=F;beta=F; for i=1:M ri=(i-1/2)*deltar; d(i)=-2-k^2/(i-1/2)^2; s(i)=1+1/(2*(i-1/2)); l(i)=1-1/(2*(i-1/2)); F(i+M)=f(ri)*deltar^2; end; alpha(2*M)=2*s(M)/deltar^2; beta(M)=1; F(M)=-s(M)*gk; F(2*M)=F(2*M)-s(M)*((-2/deltar^2-k^2)*gk+(2/deltar+1)*hk); for i=2:M-1 43 T(i,i)=d(i);T(i,i+1)=s(i);T(i,i-1)=l(i); D(i,i)=-deltar^2; end; T(1,1)=d(1);T(1,2)=s(1);T(M,M-1)=l(M);T(M,M)=d(M);D(1,1)=-deltar^2; D(M,M)=-deltar^2; E(M,M)=2*s(M)/deltar^2; B=[T D;O T]; y=inv(B)*F; z=inv(B)*alpha; x=y-(beta'*y/(1+beta'*z))*z; for i=1:M uk(i)=x(i); end; saiso=0; for i=1:M ri=(i-1/2)*deltar; if abs(u(ri)-uk(i))>saiso saiso=abs(u(ri)-uk(i)); end; end; saiso function u=u(r) %u=r^4; %u=sin(r); u=exp(r)-1; function du=du(r); %du=4*r^3; %du=cos(r); du=exp(r); function v=v(r) k=1; %v=(16-k^2)*r^2; %v=-sin(r)+cos(r)/r-k^2*sin(r)/r^2; v=(1+1/r-k^2/r^2)*exp(r)+k^2/r^2; function dv=dv(r) k=1; %dv=2*(16-k^2)*r; %dv=(-1-(1+k^2)/r^2)*cos(r)+(-1/r+2*k^2/r^3)*sin(r); dv=(-1/r^2+2*k^2/r^3+1+1/r-k^2/r^2)*exp(r)-2*k^2/r^3; function d2v=d2v(r) k=1; %d2v=2*(16-k^2); %d2v=2*(1+k^2)/r^3*cos(r)-(-1-(1+k^2)/r^2)*sin(r)+(1/r^2-6*k^2/r^4)*sin(r) +(-1/r+2*k^2/r^3)*cos(r); d2v=(2/r^3-6*k^2/r^4-1/r^2+2*k^2/r^3-1/r^2+2*k^2/r^3+1 +1/r-k^2/r^2)*exp(r)+6*k^2/r^4; function f=f(r) k=1; f=d2v(r)+1/r*dv(r)-k^2/r^2*v(r); 44 function g=g(r) g=u(r); function h=h(r) h=du(r); Thuật toán giải trực tiếp nhanh toán song điều hòa miền tròn function nghiem_tdcuc_1 = nghiem_tdcuc_1(m) clc; M=2^m;N=M; for k=1:N for j=1:M; utong(k,j)=0; end; end; deltar=2/(2*M+1);gk=1;hk=4; for k=-N/2:N/2-1; teta=2*pi/N; D=zeros(M,M);E=D;T=D;O=D; F=zeros(2*M,1);alpha=F;beta=F; for t=1:M rt=(t-1/2)*deltar; d(t)=-2-k^2/(t-1/2)^2; s(t)=1+1/(2*(t-1/2)); l(t)=1-1/(2*(t-1/2)); F(t+M)=f(rt,teta)*deltar^2; end; alpha(2*M)=2*s(M)/deltar^2; beta(M)=1; F(M)=-s(M)*gk; F(2*M)=F(2*M)-s(M)*((-2/deltar^2-k^2)*gk+(2/deltar+1)*hk); for t=2:M-1 T(t,t)=d(t);T(t,t+1)=s(t);T(t,t-1)=l(t); D(t,t)=-deltar^2; end; T(1,1)=d(1);T(1,2)=s(1);T(M,M-1)=l(M);T(M,M)=d(M);D(1,1)=deltar^2;D(M,M)=-deltar^2; E(M,M)=2*s(M)/deltar^2; B=[T D;O T]; y=inv(B)*F; z=inv(B)*alpha; x=y-(beta'*y/(1+beta'*z))*z; for t=1:M uk(t)=x(t)*exp(i*k*teta); end; uk %utong(k,:)=uk; end; saiso=0; for t=1:M for j=1:N 45 rt=(t-1/2)*deltar; tetaj=2*j*pi/N; if abs(u(rt,tetaj)-utong(t,j))>saiso saiso=abs(u(rt,tetaj)-utong(t,j)); end; end; end; saiso function u=u(r,teta) u=r^4; function du=du(r,teta) du=4*r^3; function f=f(ri,teta) k=1; f=(4-k^2)*(16-k^2); ... Chương Phương pháp giải trực tiếp nhanh phương trình song điều hòa miền hình tròn Nội dung chương trình bày kết nghiên cứu phương pháp giải trực tiếp toán song điều hòa miền hình tròn phương pháp. .. chương trình RC2009, trình bày mô hình toán song điều hòa phương pháp phân rã chuyển toán song điều hòa toán elliptic cấp hai lời giải số toán song điều hòa miền hình chữ nhật Cuối chương trình... tìm hiểu mô hình toán học toán song điều hòa, phương pháp phân rã đặc biệt nghiên cứu phương pháp sai phân toán miền tròn sử dụng hệ trục tọa độ cực, xây dựng thuật toán giải hệ phương trình sai