Cơ học bay – Các khái niệm Ngô Khánh Hiếu 09/2008 Cơ học bay – Các khái niệm 09/2008 Các khái niệm (1/8) Áp suất tĩnh (Static pressure): - Là áp lực lưu chất gây trạng thái nghỉ (fluid at rest) - Đối với dòng lưu chất chuyển động, «static pressure» áp suất dòng lưu chất «far upstream» vật thể nhúng - Phương trình Bernoulli cho lưu chất không nén cao độ xác định: 1 V2  p  V  p  pT 2 p: “free-stream pressure”, pT: total pressure (Stagnation pressure), p: áp suất tĩnh, có thỏa điều kiện “free-stream” hay không Ngô Khánh Hiếu - Áp suất tĩnh đo theo hướng thẳng góc với dòng khí chuyển động nhờ vào lỗ thành đo - Trong trường hợp lượng cung cấp thêm cho dòng khí, áp suất toàn phần không đổi điểm dòng - Trong trường hợp dòng khí nhận thêm lượng (như dòng sau cánh quạt,…), áp suất động bị thay đổi, dẫn đến thay đổi áp suất toàn phần Tuy nhiên áp suất tĩnh không thay đổi - Khi nói đến áp suất dòng khí chuyển động sách khí động lực học, ta thường hiểu nói đến áp suất tĩnh (static pressure) Cơ học bay – Các khái niệm 09/2008 Các khái niệm (2/8) - Phương trình trạng thái khí lý tưởng: p   RT - Điểm dừng (Stagnation point): điểm cố thể mà dòng lưu chất qua xem đứng yên (at rest) Áp suất điểm gọi áp suất điểm dừng: pT  V2  p V: vận tốc lưu chất xa cố thể trường hợp lưu chất chuyển động; vận tốc cố thể trường hợp cố thể chuyển động - Atmospheric air: gọi p0 áp suất không khí cao độ mặt nước biển, p áp suất không khí cao độ bất kỳ, ta có:  Ngô Khánh Hiếu p p0 Cơ học bay – Các khái niệm 09/2008 Các khái niệm (3/8) Nhiệt độ (Temperature): - Được dùng thước đo đánh giá chuyển động phân tử bên lưu chất - Nhiệt độ thường xác định theo nhiệt độ tuyệt đối Rankine (oR) Kelvin (oK) TF  TC  32 TK  TC  273.15  TF  459.67  TR  TF  459.67 - Nhiệt độ khí thay đổi đáng kể theo cao độ Gọi T0 nhiệt độ khí cao độ mặt nước biển, T nhiệt độ khí cao độ bất kỳ, ta có:  Ngô Khánh Hiếu T T0 Cao độ (Altitude) sử dụng mô hình ISA thường “Geopotential altitudes” “Geometric altitudes” (cao độ so với mực nước biển) Ta có: hgeometric  hgeopotential  Rearth Rearth  hgeopotential Tuy nhiên, khác biệt hai cao độ nhỏ, cụ thể cao độ 30 km, khác biệt nhỏ 0.5% Cơ học bay – Các khái niệm 09/2008 Các khái niệm (4/8) Khối lượng riêng (Density):   Mass Unit volume Đối với chất lỏng chất rắn, ảnh hưởng áp suất nhiệt độ lên thay đổi khối lượng riêng nhỏ Tính nén chất lỏng rắn theo thay đổi áp suất nhiệt độ khoảng 10-6 Bar-1, 10-5 K-1 Đối với chất khí, ảnh hưởng áp suất nhiệt độ lên thay đổi khối lượng riêng đáng kể Từ phương trình trạng thái khí lý tưởng, ta thấy khối lượng riêng tỉ lệ thuận theo áp suất, tỉ lệ nghịch theo nhiệt độ Gọi  khối lượng riêng không khí, 0 khối lượng riêng khí tiêu chuẩn cao độ mặt nước biển, ta có:  Ngô Khánh Hiếu Khối lượng riêng nước theo nhiệt độ (nguồn Wikipedia) Khối lượng riêng không khí theo nhiệt độ (nguồn Wikipedia)  0 Cơ học bay – Các khái niệm 09/2008 Các khái niệm (5/8) Tính nhớt (Viscosity): - Là thước đo sức cản lưu chất trước biến dạng dước tác động ứng suất trượt (shear stress) - Còn gọi lực cản bên lưu chất (Internal friction of fluid) Lưu chất lý tưởng lưu chất tính nhớt - Newton đưa định đề tính nhớt lưu chất sau: dòng chảy thẳng, song song đồng nhất, ứng suất trượt  lớp dòng chảy tỉ lệ thuận với gradient vận tốc theo hường vuông góc với lớp này, : hệ số nhớt động học u   y (Dynamic viscosity) - Độ nhớt động lực học (Kinematic viscosity):  Ngô Khánh Hiếu   - Đơn vị độ nhớt động học Pascal-second (Pa.s) với: Pa.s = kg/ms Poise = 0.1 kg/ms; cP = 0.001 kg/ms - Đơn vị độ nhớt động lực học Stokes với: stokes = 100 centistokes = 0.00001 m2/s centistokes = mm2/s - Đối với không khí, tính nhớt phụ thuộc phần lớn vào nhiệt độ Theo đó, tính nhớt tăng nhiệt độ tăng Độ nhớt không khí 15oC là:  = 1.78 × 10-5 kg/ms - Sự thay đổi độ nhớt động học theo nhiệt độ thể thực nghiệm đây: Gas Viscosity Cơ học bay – Các khái niệm 09/2008 Các khái niệm (6/8) Tính nhớt (Viscosity): - Ta dùng công thức thực nghiệm Sutherland sau:   0 T0  C  T    T  C  T0  T   C1 T  C2 (*) với: C1 = 1.458  10-6 (kg/ms) C2 = 110.4 (K) (nguồn Wikipedia) Ngô Khánh Hiếu (*) valid for temperature between < T < 555 K with an error due to pressure less than 10% below 3.45 MPa Cơ học bay – Các khái niệm 09/2008 Các khái niệm (7/8) Số Mach (Mach number): M V a - Ở nhiệt độ 15oC, cao độ mực nước biển, Mach 340.3 m/s - Tuy nhiên, Mach số Nó số phụ thuộc vào nhiệt độ, bởi: a   RT - Số Mach số vô thứ nguyên Do đó, máy bay bay Mach cao độ mực nước biển (340.3 m/s) chịu tác động sóng shock gần tương tự máy bay bay Mach cao độ 11000 m (295 m/s) - Phân loại chế độ dòng chảy theo số Mach: Incompressible subsonic flow Compressible subsonic flow Transonic flow Supersonic flow Hypersonic flow Ngô Khánh Hiếu < M < 0.3 0.3 < M < 0.8 0.8 < M < 1.2 1.2 < M < 5.0 5.0 < M Cơ học bay – Các khái niệm 09/2008 Các khái niệm (8/8) Phương trình Bernoulli cho lưu chất nén được: P  c.  - Giả thiết dòng đẳng entropy: 2 dP VdV   1 1   g 1 dz  P  V  gz  constant  1  - Đối với khí lý tưởng: a   RT   P     P0  V  a      P     1    V    P0  M    a  1  P    Ngô Khánh Hiếu    1     1  P0: áp suất điểm dừng (stagnation pressure)   1   Áp dụng công thức cho dòng nén âm (M < 1.0) Cơ học bay – Các khái niệm 09/2008 Bầu khí (The atmosphere) - Tầng đối lưu (Troposphere): nhiệt độ thay đổi tuyến tính theo cao độ  T   1 h T0 T0 g p    0 R p0 (với h  h1)   1 g    R     0 - Tầng bình lưu (Stratosphere): nhiệt độ không thay đổi theo cao độ   1  h  h1  g (với h1  h  h2)   1.e RT1  1   h  h1  g RT1     e  1  Ngô Khánh Hiếu h=0m p0 = 1.013 Bar 0 = 1.225 kg/m3 T0 = 15 oC 0 = - 0.0065 oC/m g = 9.80665 m/s2 R = 287.053 J/kg.K = 1.4 0 = 1.78938 x 10-5 kg/m.s 0 = 1.46072 x 10-5 m2/s 10 Cơ học bay – Longitudinal Motion (Stick Fixed) Stick fixed longitudinal motion (4/7) - The homogeneous solution to Eq (11) can be obtained by assuming a solution of the form: x = x r eλr t - (12) Substituting Eq (12) into Eq (11) yields: λrI  A x r  where I is the identity matrix - The roots r of equation: (13) 1 0 I=  0  0 0 0 0  0  0 1 λr I  A  are called the characteristics roots or eigenvalues Ngô Khánh Hiếu 30 Cơ học bay – Longitudinal Motion (Stick Fixed) 31 Stick fixed longitudinal motion (5/7) - The eigenvectors for the system can be determined once the eigenvalues are known from the following equation:  λ jI  A  Pij  (14) where Pij is the eigenvector corresponding to the jth eigenvalue - The set of equations making up Eq (14) is linearly dependent and homogeneous; therefore, the eigenvectors cannot be unique - One relatively straightforward technique for finding the eigenvectors is the following: Ngô Khánh Hiếu Cơ học bay – Longitudinal Motion (Stick Fixed) 32 Stick fixed longitudinal motion (6/7) - Because the long-period mode is characterized by changes in pitch attitude , altitude, and velocity at a nearly constant angle of attack, an approximation to the long-period mode can be obtained by neglecting the pitching moment equation and assuming that the change in angle of attack is α  Ngô Khánh Hiếu w uo α =  w = (15) Cơ học bay – Lateral Motion (Stick Fixed) Ngô Khánh Hiếu Cơ học bay – Lateral Motion (Stick Fixed) Introduction - The stick fixed lateral motion of an airplane disturbed from its equilibrium state is a complicated combination of rolling, yawing, and sideslipping motions - Three potential lateral dynamic instabilities are of interest to the airplane designer: directional divergence, spiral divergence, and so-called Dutch roll oscillation Directional divergence: occurs when the airplane lacks the directional or weather-cock stability (directional static stability) If disturbed from its equilibrium state such an airplane will tend to rotate to ever-increasing angles of sideslip, and it will fly a curved path at large sideslip angles Obviously, such a motion can be avoided by proper design of the vertical tail surface to ensure directional stability Spiral divergence: is a non-oscillatory divergence motion that can occur when directional stability is large and lateral stability is small When disturbed from equilibrium, the airplane enters a gradual spiraling motion The spiral becomes tighter and steeper as time proceeds and can result in a high-speed spiral dive if corrective action is not taken Dutch roll oscillation: is a coupled lateral-directional oscillation This motion is characterized by a combination of rolling and yawing oscillations that have the same frequency but are out of phase with each other The period can be on the order of to 15 seconds Ngô Khánh Hiếu Cơ học bay – Lateral Motion (Stick Fixed) Pure rolling motion (1/4) - Consider a wind-tunnel model free to roll about its x axis, the equation of motion for this model of a pure rolling motion is:  Rolling moments = Ix  L L  δ a   p = I x   δa p (1) where the contributions of the rolling moment in the left hand side are due to the deflection of the ailerons and the roll-damping - Because the roll rate p is equal to   , we can rewrite Eq (1) as follows: τ  p  p =  Ngô Khánh Hiếu Lδa δ a Lp L p  L   p Ix  where τ   ,  L δa Lp  Lδa   Ix (2) Cơ học bay – Lateral Motion (Stick Fixed) Pure rolling motion (2/4) - The solution to Eq (2) for a step change in the aileron angle is: p  t    -  τ  δ a (3) The steady-state roll rate can be obtained from Eq (3), by assuming that time t is large enough that e-t/ is essentially 0: pss =  - L δa  e t Lp Clδa QSb/I x L δa δ a   δ a Lp Clp  b 2u o  QSb/I x Cl pss b   δa δa 2u o Cl p (4) (4) for full aileron deflection can be used for sizing the aileron The minimum requirement for this ratio is a function of the class of airplane under consideration (ex., Cargo or transport airplanes: 0.07; Fighter airplanes: 0.09) Ngô Khánh Hiếu Cơ học bay – Lateral Motion (Stick Fixed) Pure rolling motion (3/4) Example problem 1: (1/2) Calculate the roll response of the F104A to a 5o step change in aileron deflection Assume the airplane is flying at sea level with a velocity of 87 m/s the F104A has the following aerodynamic and geometric characteristics: Clp  0.285 (/rad) S  18 (m ) Clδa  0.039 (/rad) b  6.7 (m) I x  4676 (kg.m ) Solution: b  0.0385 (s) 2u o Q  ρu o2  4636.0125 (N/m ) b L p  C lp QSb/I x  1.312 (/s)  τ    0.7622 (s) 2u o Lp L δa  Clδa QSb/I x  4.6632 (/s ) Ngô Khánh Hiếu  pss   Lδa Lp δa  0.31 (rad/s)  17.76 (deg/s) Cơ học bay – Lateral Motion (Stick Fixed) Pure rolling motion (4/4) Example problem 1: (2/2) p (deg/sec) If we fit the solution to the differential equation of motion to the response we can obtain values for La and Lp, in turn, Cla and Clp The technique of extracting aerodynamic data from the measured response is often called the inverse problem or parameter identification pss b  0.012 2u o Time (sec) Example problem 2: Calculate the roll response of the De Havilland Canada airplane to a 5o step change in aileron deflection Assume the airplane is flying at sea level with a velocity of 87 m/s Clp  0.779 (/rad) S  945 (ft ) Ngô Khánh Hiếu Clδa  0.17 (/rad) b  96 (ft) I x  273000 (slug.ft ) Cơ học bay – Lateral Motion (Stick Fixed) Roll control reversal - The aileron control power per degree, (pb/2uo)/a, is essentially a constant when the speed is low But at high speeds, it decreases until a point is reached where roll control is lost This point is called the aileron reversal speed - The loss and ultimate reversal of aileron control is due to the elasticity of the wing U rev   where 2kClδ ρc 2Clα C mδ (5) k: the torsional stiffness of the wing, Cl, Cl: the lift coefficients with respect to a change in angle of attack and aileron angle, Cm: the moment coefficient with respect to a change in angle of attack Ngô Khánh Hiếu Cơ học bay – Lateral Motion (Stick Fixed) Pure yawing motion (1/4) - Examine the motion of an airplane constrained so that it can perform only a simple yawing motion The equation of motion can be written as follows:  Yawing moments = Ix ψ or N  I z  ψ N N N N where N  β   β r  δ r β r δ r β - (6) Because the center of gravity is constrained, we have: ψ  β  ψ   β  ψ  r    ψ   N r  N   ψ + Nβ ψ  N δ r δ r β  where N r  (7) N  δ r N r N β N  β ; Nβ  ;N  ; N δr  Iz Iz Iz Iz β Ngô Khánh Hiếu Undamped natural frequency: ωn  Nβ Damping ratio:    Nr Nβ Cơ học bay – Lateral Motion (Stick Fixed) Pure yawing motion (2/4) In the case of the pure yawing motion, the frequency of oscillation is a function of the airplane’s static stability (weathercock or directional stability) and the damping ratio is a function of the aerodynamic damping derivative Example problem 3: Suppose an airplane is constrained to a pure yawing motion, using the data for the general aviation airplane in Appendix B, determine the following: a The yawing moment equation rewritten in state-space form b The characteristic equation and eigenvalues for the system C nβ  0.071 (/rad), Cn r  0.125 (/rad) c The damping ratio, and undamped natural frequency C nδr  0.072 (/rad), u o  176 (ft/s) d The response of the airplane to a 5o rudder input Assume the initial conditions are (0) = 0, r(0) = Sw  184 (ft ), b w  33.4 (ft) Ngô Khánh Hiếu I z  3530 (slug.ft ) Cơ học bay – Lateral Motion (Stick Fixed) 10 Pure yawing motion (3/4) Solution Ex 3: (1/2) a The yawing moment equation rewritten in state-space form where N  in the state-space form: x  Ax  Bη β (7)   ψ  N r  ψ + Nβ ψ  N δr δ r   ψ  r   r = N r r  Nβ ψ + N δ δr  r     ψ      ψ  +    δ     Nβ N r   r   N δ  r   r   r   b The characteristic equation and eigenvalues for the system Nβ =Cnβ QSb  4.5504 (/s ) Iz N r  Cn r b QSb  0.7602 (/s) 2u o I z N δr  Cn δr Ngô Khánh Hiếu QSb  4.6145 (/s2 ) Iz λI  A   λ  0.7602λ  4.5504   λ12  0.38008  2.09904i Cơ học bay – Lateral Motion (Stick Fixed) 11 Pure yawing motion (4/4) Solution Ex 3: d The response of the airplane to a 5o rudder input The damping ratio:   Nr Nβ  0.1782 The undamped natural frequency: ωn  Nβ  2.1332 (rad/s) The damped natural frequency: ω  ωn    2.099 (rad/s) The time for halving the amplitude: t halve  0.693  1.82 (s)  ωn Amplitude degrees or degrees/second c (2/2) r ψ The number of cycles for halving the amplitude: N  cycles halve  0.110 Ngô Khánh Hiếu ω  0.61 (cycle)  ωn Time - seconds Cơ học bay – Lateral Motion (Stick Fixed) Lateral-directional equation of motion (1/) Ngô Khánh Hiếu 12 ... Ngô Khánh Hiếu Double empennage, B -2 4 21 Cơ học bay – Các khái niệm 09 /20 08 Airplane Nomenclatures (3 /20 ) Butterfly empennage, Fouga magister Empennage in T, Vicker 10 Ngô Khánh Hiếu 22 Cơ học bay. .. khái niệm 09 /20 08 Airplane Nomenclatures (4 /20 ) Ngô Khánh Hiếu 23 Cơ học bay – Các khái niệm 09 /20 08 Airplane Nomenclatures (5 /20 ) Control Yoke of Boeing 737 Ngô Khánh Hiếu 24 Cơ học bay – Các khái... không khí đo cao độ Ngô Khánh Hiếu 15 Cơ học bay – Các khái niệm 09 /20 08 Bài tập: 1- Một máy bay bay cao độ 20 000 ft (hiển thị thiết bị đo cao độ), biết nhiệt độ không khí bên -1 5 oF, tìm áp suất