TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————oOo———— Nguyễn Thị Thanh Mai BÀI TOÁN PHÂN LOẠI CÁC NHÓM PHẢN XẠ HỮU HẠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội - Năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————oOo———— Nguyễn Thị Thanh Mai BÀI TOÁN PHÂN LOẠI CÁC NHÓM PHẢN XẠ HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Chu Gia Vượng Hà Nội - Năm 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, thầy cô tổ môn Đại số thầy cô tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Chu Gia Vượng, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để em hoàn thành khóa luận Do thời gian, lực điều kiện thân hạn chế nên Khóa luận tránh khỏi sai sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến góp ý quý báu thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Mai LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp "Bài toán phân loại nhóm phản xạ hữu hạn" hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu thân với giúp đỡ tận tình TS Nguyễn Chu Gia Vượng Tôi xin cam đoan Khóa luận tốt nghiệp không trùng lặp với kết tác giả khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Mai Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 1 NHÓM PHẢN XẠ HỮU HẠN 1.1 Giới thiệu chương 1.2 Phép phản xạ 1.3 Nhóm phản xạ hữu hạn số ví dụ 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Nhóm nhị diện 1.3.3 Nhóm đối xứng 1.3.4 Một số nhóm phản xạ hữu hạn khác 1.4 Nghiệm 1.5 Các hệ nghiệm dương hệ nghiệm đơn hệ nghiệm 11 1.6 Tính liên hợp hệ nghiệm dương hệ nghiệm đơn 16 1.7 Sự sinh phép phản xạ đơn 18 1.8 Hàm độ dài biểu diễn thu gọn 20 1.9 Các điều kiện xóa tráo 23 1.10 Tính truyền dẫn đơn phần tử dài 26 1.11 Các phần tử sinh quan hệ 27 1.12 Nhóm parabolic phần tử đại diện nhỏ lớp kề 29 1.13 Lưới nhóm parabolic 32 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Mai 1.14 Miền 32 1.15 Mỗi phép phản xạ W có dạng sα với α ∈ Φ 36 PHÂN LOẠI CÁC NHÓM PHẢN XẠ HỮU HẠN 37 2.1 Giới thiệu chương 37 2.2 Các phép đẳng cấu nhóm phản xạ hữu hạn 37 2.3 Các thành phần bất khả quy 39 2.4 Dạng song tuyến tính liên kết với đồ thị Coxeter 39 2.5 Một số đồ thị xác định dương 41 2.6 Một số đồ thị nửa xác định dương 45 2.7 Đồ thị 47 2.8 Phân loại đồ thị loại dương 50 2.9 Các nhóm tinh thể 52 2.10 Các hệ nghiệm tinh thể nhóm Weyl 53 2.11 Xây dựng hệ nghiệm 56 2.12 Cấp W 60 2.13 Các nhóm Weyl đặc biệt 61 2.14 Nhóm loại H3 H4 63 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Mai LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết nhóm nhánh đại số nghiên cứu tính chất nhóm - cấu trúc đại số Đây lý thuyết hình thành từ cuối kỷ 19 chủ đề nghiên cứu Toán học Trong Khóa luận tìm hiểu nhóm phản xạ hữu hạn - lớp nhóm có nhiều ứng dụng hướng nghiên cứu khác Toán học Cụ thể hơn, quan tâm đến "Bài toán phân loại nhóm phản xạ hữu hạn" Khóa luận hình thành dựa vào việc tìm hiểu tài liệu "James E Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press 1990" Ngoài ra, tham khảo số tài liệu khác (xem mục tài liệu tham khảo) Công cụ để phân loại nhóm xạ hữu hạn phân loại hệ nghiệm dạng đồ thị Coxeter tương ứng Luận văn gồm hai chương Chương trình bày khái niệm nhóm phản xạ hữu hạn đưa số ví dụ cụ thể để minh họa Ngoài ra, đưa kiến thức quan trọng nhóm phản xạ hữu hạn như: hệ nghiệm, tính liên hợp hệ nghiệm, sinh phép phản xạ, miền Chương vào nội dung Khóa luận phân loại nhóm phản xạ hữu hạn Phân loại nhóm phản xạ hữu hạn thực dựa vào việc phân loại đồ thị Coxeter Kết quan trọng phần phân loại đồ thị Coxeter liên thông loại dương Trong chương này, xây dựng hệ nghiệm tinh thể, không tinh thể tương ứng với nhóm phản xạ tính toán cấp chúng Chương NHÓM PHẢN XẠ HỮU HẠN 1.1 Giới thiệu chương Trong Chương này, nghiên cứu nhóm hữu hạn sinh phép phản xạ không gian Ơclít Công cụ để nghiên cứu nhóm vectơ trực giao với siêu phẳng phản xạ Từ ta kí hiệu V không gian vectơ Ơclít V 1.2 Phép phản xạ Định nghĩa 1.2.1 Cho (V, , ) không gian vectơ Ơclít Với = α ∈ V, kí hiệu Lα đường thẳng Rα Hα siêu phẳng trực giao với α Khi V = Lα ⊕ Hα Định nghĩa sα phép phản xạ qua siêu phẳng Hα song song với đường thẳng Lα Như vậy, • Với λ ∈ Hα sα (λ) = λ • Với λ ∈ Lα sα (λ) = −λ • Cấp phép phản xạ 2, tức s2α = sα = Id Chú ý 1.2.1 Với = k ∈ R Hkα = Hα skα = sα Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Mai Một số tính chất sau trực tiếp suy từ định nghĩa Tính chất 1.2.1 (i) Với λ ∈ V ta có sα λ = λ − λ, α α α, α (ii) Toán tử tuyến tính sα trực giao, tức với λ, µ ∈ V sα λ, sα µ = λ, µ (iii) det sα = −1 1.3 Nhóm phản xạ hữu hạn số ví dụ Trong mục đưa định nghĩa nhóm phản xạ hữu hạn Đây định nghĩa quan trọng xuyên suốt nội dung chương Lưu ý rằng, kí hiệu dùng mục tương ứng với phân loại nhóm phản xạ theo dạng tìm hiểu Chương 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.3.1 Gọi O(V) nhóm phép biến đổi trực giao V Một nhóm O(V) gọi nhóm phản xạ có tập sinh gồm phép phản xạ Hơn nữa, nhóm hữu hạn gọi nhóm phản xạ hữu hạn 1.3.2 Nhóm nhị diện Định nghĩa 1.3.2 [1] Cho Pm , m ≥ đa giác m cạnh, tâm gốc tọa độ Tập phép biến đổi trực giao mặt phẳng bảo toàn Pm lập thành nhóm, gọi nhóm nhị diện Kí hiệu Dm Về sau nhóm nhị diện Dm tương ứng với nhóm phản xạ loại I2 (m) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Mai Tính chất 1.3.1 Nhóm Dm có cấp 2m, gồm m phép quay (quay quanh tâm Pm góc có hướng 2π mk với k = 0, m − 1) m phép phản xạ qua "đường chéo" Ở đây, đường chéo đường thẳng qua hai đỉnh trung điểm hai cạnh đối diện m chẵn đường thẳng qua đỉnh với trung điểm cạnh đối diện m lẻ Mệnh đề 1.3.1 Nhóm Dm nhóm phản xạ hữu hạn Chứng minh Phép quay góc 2π m thu từ tích hai phép phản xạ qua hai đường chéo liền kề tạo góc θ = π m Mà 2π m phần tử sinh phép quay nên phép quay khác phân tích thành tích hai phép phản xạ Hơn nữa, nhóm Dm sinh phần tử phản xạ Do Dm nhóm phản xạ hữu hạn Ví dụ 1.3.1 Ta tìm hiểu nhóm D4 không gian R2 Chọn siêu phẳng phản xạ đường thẳng Hα , Hβ cho (Hα , Hβ ) = θ = π (như hình vẽ) Lấy hai vectơ đơn vị trực giao với Hα , Hβ α = (sin θ, − cos θ), β = (0, 1) cho (α, β) = π − θ Do α, β = − cos θ Đồng đường thẳng Hβ với trục hoành Khi ta có ma trận biểu diễn sα sβ hệ sở tắc R2 là: cos 2θ sin 2θ sin 2θ − cos 2θ 0 −1 Do sα sβ phép quay góc 2θ = = π cos 2θ − sin 2θ sin 2θ cos 2θ ngược chiều kim đồng hồ Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Mai có tối đa hai nghiệm dài Nếu có "nghiệm dài" "nghiệm ngắn" tỉ số độ dài bình phương Nếu có "nghiệm dài" tất nghiệm gọi "nghiệm dài" Thông tin thêm vào đồ thi Coxeter trực tiếp cách mũi tên phía nghiệm ngắn đỉnh gần kề biểu diễn nghiệm dài nghiệm ngắn Theo quy ước, nhãn thay trường hợp cạnh bội hai bội ba tương ứng Kết nhận biểu đồ Dynkin Các sơ đồ dễ dàng nhận từ hình 2.5 Mục 2.11 sau (xem chi tiết [9, p 197] [7, p 58]) Một số ví dụ biểu đồ Dynkin có hạng 2: Hình 2.1: Một số biểu đồ Dynkin có hạng Việc xây dựng hệ nghiệm tinh thể khác phác thảo phần sau, theo Bourbaki [9] Để tham khảo sau, tóm tắt số định nghĩa kiện chung: (1) Đặt α∨ := 2α α,α tập Φ∨ gồm tất nghiệm đối α∨ (α ∈ Φ) hệ nghiệm tinh thể V Hệ nghiệm đơn ∆∨ := {α∨ |α ∈ ∆} gọi hệ nghiệm nghịch đảo 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Mai hệ nghiệm đối ngẫu Nhóm Weyl Φ∨ W với wα∨ = w(α)∨ Trong hầu hết trường hợp Φ∨ đẳng cấu đến Φ Tuy nhiên, hệ nghiệm loại Bn , Cn đối ngẫu Các nghiệm ngắn α hệ Φ loại Bn làm sinh nghiệm dài α∨ hệ Φ∨ loại Cn , ngược lại Lưu ý: Thay làm việc không gian Ơclít, Bourbaki định nghĩa hệ nghiệm không gian vectơ bất kỳ, với nghiệm đối thuộc không gian vectơ đối ngẫu Điều không làm thay đổi kết mà trích dẫn (2) Lưới sinh Φ ∈ V gọi lưới nghiệm Nó lưới không gian V sinh Φ, ta thường giả sử V Tương tự, ta định nghĩa lưới nghiệm đối L(Φ∨ ) Cả hai lưới W ổn định Ta có định nghĩa: Lưới trọng ˆ L(Φ) := {λ ∈ V| λ, α∨ ∈ Z, ∀α ∈ Φ} Lưới đối trọng ˆ ∨ ) := {λ ∈ V| λ, α ∈ Z, ∀α ∈ Φ} L(Φ ˆ ˆ ∨ ) nhóm số hữu hạn f Khi đó, L(Φ) ⊃ L(Φ ˆ ∨ ) ⊃ L(Φ) ˆ Tương tự L(Φ nhóm số f Ở đây, f định thức ma trận số nguyên Cartan α, β ∨ với α, β ∈ ∆ (3) Có thứ tự phần tự nhiên V (khi cố định ∆): ν ≤ λ λ − ν Z-tổ hợp tuyến tính với hệ số không âm ∆ Khi Φ bất khả quy, tồn nghiệm cao (một nghiệm dài), ký hiệu α ˜ Nó đóng vai trò quan trọng Mục 2.12 Φ có nghiệm ngắn cao (4) Các nghiệm dài (tương ứng nghiệm ngắn) tạo thành quỹ đạo tác động hoán vị W Φ, W bất khả quy 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Mai Trong trường hợp tất nghiệm nghiệm dài ta chứng minh điều sau Theo hệ 1.7.1, nghiệm W liên hợp với nghiệm đơn, biểu đồ Dynkin liên thông ta thấy nghiệm đỉnh liền kề W liên hợp Chúng có quỹ đạo nhóm (đẳng cấu với S3 ) sinh hai phép phản xạ đơn Tương tự, lưới nghiệm gồm nghiệm có hai độ dài khác nghiệm đơn chiều dài tương ứng với phần liên thông biểu đồ Dynkin loại Bn , Cn , F4 , G2 2.11 Xây dựng hệ nghiệm Kí hiệu ε1 , , εn sở trực chuẩn Rn Bất viết tổ hợp ±εi ± εj đây, hiểu dấu lựa chọn tùy ý Trong thực tế, gặp hệ nghiệm loại An , Bn , Dn mục 1.3 (và Cn đối ngẫu Bn ) Trong trường hợp W có mô tả đơn giản Với hệ đặc biệt E6 , E7 , E8 , F4 , G2 nhóm Weyl khó mô tả (ngoại trừ trường hợp dễ G2 ) Chúng ta phát triển phương pháp chung cho việc tính cấp W mục 2.12 bên dưới, mục 2.13 mô tả số nhóm Weyl đặc biệt Xét hệ (An , n ≥ 1) Cho V siêu phẳng Rn+1 chứa vectơ mà tổng tọa độ chúng Định nghĩa Φ tập tất vectơ có bình phương độ dài tập giao V với lưới tiêu chuẩn Zε1 + + Zεn+1 Khi Φ chứa n + vectơ εi − εj (1 ≤ i = j ≤ n + 1) Để xây dựng hệ nghiệm đơn ta xét ∆ = {α1 , , αn }, α1 = ε1 − ε2 , α2 = ε2 − ε3 , , αn = εn − εn+1 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Mai Khi α ˜ = ε1 − εn+1 Nhóm W đơn giản nhóm Sn+1 tác động cách hoán vị ε1 Xét hệ (Bn , n ≥ 2) Cho V = Rn , định nghĩa Φ tập tất vectơ có bình phương độ dài lưới tiêu chuẩn Do đó, Φ chứa 2n nghiệm ngắn ±εi 2n(n − 1) nghiệm dài ±εi ± εj (i < j), tổng 2n2 Để xây dựng hệ nghiệm đơn ta xét ∆ = {α1 , , αn }, α1 = ε1 − ε2 , α2 = ε2 − ε3 , , αn−1 = εn−1 − εn , αn = εn Khi α ˜ = ε1 + ε2 Nhóm W tích nửa trực tiếp Sn (hoán vị εi ) (Z/2Z)n Xét hệ (Cn , n ≥ 2) Bắt đầu với Bn , ta định nghĩa Cn hệ nghiệm nghịch đảo (trừ B2 C2 đẳng cấu) Nó chứa 2n nghiệm dài ±εi 2n(n − 1) nghiệm ngắn ±εi ± εj (i < j) Để xây dựng hệ nghiệm đơn ta xét ∆ = {α1 , , αn }, α1 = ε1 − ε2 , α2 = ε2 − ε3 , , αn−1 = εn−1 − εn , αn = 2εn Khi α ˜ = 2ε1 Xét hệ (Dn , n ≥ 4) Cho V = Rn , định nghĩa Φ tập tất vectơ có bình phương độ dài lưới tiêu chuẩn Do đó, Φ chứa 2n(n − 1) nghiệm ±εi ± εj (1 ≤ i < j ≤ n) Để xây dựng hệ nghiệm đơn ta xét ∆ = {α1 , , αn }, α1 = ε1 − ε2 , α2 = ε2 − ε3 , , αn−1 = εn−1 − εn , αn = εn−1 + εn Khi α ˜ = ε1 + ε2 W tích nửa trực tiếp Sn (hoán vị εi ) (Z/2Z)n−1 Xét hệ (G2 ) Cho V siêu phẳng R3 gồm vectơ mà tổng tọa độ chúng Định nghĩa Φ tập tất vectơ có bình phương độ dài tập giao V với lưới tiêu chuẩn Do đó, 57 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Mai Φ chứa nghiệm ngắn ±(εi − εj ) (i < j) nghiệm dài ±(2εi − εj − εk ) {i, j, k} = {1, 2, 3} Để xây dựng hệ nghiệm đơn ta xét ∆ = {α1 , α2 }, α1 = ε1 − ε2 , α2 = 2ε1 + ε2 + ε3 Khi α ˜ = 2ε3 − ε1 − ε2 Xét hệ (F4 ) Cho V = R4 Gọi L lưới tiêu chuẩn, đặt L := L + Z( 21 i=1 εi ) Đây lưới Ta định nghĩa Φ tập tất vectơ L có bình phương độ dài Do đó, Φ chứa 24 nghiệm dài 24 nghiệm ngắn: ± εi ± εj (i < j), ± εi , (±ε1 ± ε2 ± ε3 ± ε4 ) Để xây dựng hệ nghiệm đơn ta xét ∆ = {α1 , , α4 }, α1 = ε2 − ε3 , α2 = ε3 − ε4 , α3 = ε4 , α4 = (ε1 − ε2 − ε3 − ε4 Khi α ˜ = ε1 + ε2 Xét hệ (E8 ) Cho V = R8 Bắt đầu với lưới L gồm tất mà ci chẵn Khi cho L := L + Z( 21 i=1 εi ) ci εi , c ∈ Z Ta định nghĩa Φ tập tất vectơ L có bình phương độ dài Do đó, Φ chứa 240 nghiệm: ±εi ± εj (i < j), ±εi i=1 58 (số chẵn dấu "+") Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Mai Để xây dựng hệ nghiệm đơn ta xét ∆ = {α1 , α2 , α3 }, α1 = (ε1 − ε2 − ε3 − ε4 − ε5 − ε6 − ε7 + ε8 ), α2 = ε1 + ε2 , α3 = εi−1 − εi−2 (3 ≤ i ≤ 8) Do α ˜ = ε7 + ε8 Xét hệ (E7 ) Bắt đầu với hệ nghiệm loại E8 vừa xây dựng Cho V không gian αi (1 ≤ i ≤ 7) R3 cho Φ tập 126 nghiệm E8 nằm V ± εi ± εj (1 ≤ i < j ≤ 6), ± (ε7 − ε8 ), ± (ε7 − ε8 + ±εi ) (số dấu trừ tổng lẻ) i=1 Các nghiệm αi (1 ≤ i ≤ 7) đến từ hệ nghiệm đơn Do α ˜ = ε8 −ε7 Xét hệ (E6 ) Lại bắt đầu với hệ nghiệm loại E8 cho V không gian αi (1 ≤ i ≤ 6), với Φ xác định tập 72 nghiệm E8 nằm V ± εi ± εj (1 ≤ i < j ≤ 5), ± (ε8 − ε7 − ε6 + ±εi ) (số dấu trừ tổng lẻ) i=1 Các nghiệm αi (1 ≤ i ≤ 6) đến từ hệ nghiệm đơn Do α ˜ = (ε1 + ε2 + ε3 + ε4 + ε5 − ε6 − ε7 + ε8 ) 59 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.12 Nguyễn Thị Thanh Mai Cấp W Trong trường hợp có cấu trúc "tự nhiên" W , chẳng hạn loại An , Bn , Dn , I2 (m) việc tính toán cấp W dễ dàng Nhưng trường hợp khác, việc tính toán cấp W phức tạp Ở đây, mô tả phương pháp tổng quát dựa vào quan sát đơn giản lý thuyết nhóm: nhóm hữu hạn G tác động nhóm hoán vị tập X với x ∈ X, |G| = |G.x||Gx |, |G.x| quỹ đạo x |Gx | nhóm đẳng hướng x G Trong trường hợp chúng ta, W tác động tập Φ ta chọn nghiệm α hợp lý cho việc tính toán Wα đơn giản Khi đó, mô tả nhóm đẳng hướng cách rõ ràng Ở xem xét nhóm Weyl, nhóm H3 , H4 thảo luận Mục 2.14 sau Sự kiện quan trọng nêu (4) Mục 2.10 tất nghiệm dài (tương ứng nghiệm ngắn) tạo thành quỹ đạo W (khi W bất khả quy) Ta xét nghiệm α ˜ cao tập nghiệm dài Nghiệm tồn Nếu α ∈ ∆, có (˜ α, α) ≥ Ngoài ra, sα α ˜ α ˜ cộng thêm bội dương α Do đó, sα α ˜ cao α ˜ theo thứ tự phần Do α ˜ nằm miền D với W mô tả Định lí 1.14.1 Theo phần (a) định lý đó, nhóm đẳng hướng α ˜ tạo phản xạ tương ứng với nghiệm đơn trực giao với α ˜ Chúng xác định cách dễ dàng trường hợp từ kiện Mục 2.11 Điều cho ta phương pháp quy nạp để tính toán cấp W mà áp dụng cho loại lại Loại F4 có 24 nghiệm dài Nghiệm cao α ˜ trực giao với tất nghiệm đơn trừ α1 Do vậy, nhóm đẳng hướng loại C3 (có 60 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Mai cấp 48) Vậy |W | = 24.48 = 1152 = 27 32 Loại E6 có 72 nghiệm tạo nên quỹ đạo đơn Nghiệm cao α ˜ trực giao với tất nghiệm đơn trừ α2 Do vậy, nhóm đẳng hướng loại A5 (có cấp 6!) Vậy |W | = 6!72 = 27 34 Loại E7 có 126 nghiệm tạo nên quỹ đạo đơn Nghiệm cao α ˜ trực giao với tất nghiệm đơn trừ α1 Do vậy, nhóm đẳng hướng loại D6 (có cấp 25 6!) Vậy |W | = 25 6!126 = 210 34 · Loại E8 có 240 nghiệm tạo nên quỹ đạo đơn Nghiệm cao α ˜ trực giao với tất nghiệm đơn trừ α8 Do vậy, nhóm đẳng hướng loại E7 (có cấp vừa tính) Vậy |W | = 214 35 52 Ta tóm tắt cấp số nghiệm tất nhóm Weyl bất khả quy bảng sau: An Bn /Cn Dn (n + 1)! 2n n! 2n−1 n! n(n + 1) 2n2 2n(n − 1) 2.13 E6 E7 E8 F4 G2 27 34 210 34 · 214 35 52 27 32 12 72 126 240 48 12 Các nhóm Weyl đặc biệt Ở đây, khảo sát ngắn gọn số cách mô tả nhóm Weyl loại F4 , E6 , E7 , E8 Chỉ có loại F4 xuất nhóm đối xứng đa diện Còn ba nhóm khác có dạng gần nhóm đơn giản: nhóm trực giao đối xứng F2 F3 (Xem tập Bourbaki [9, p 228-229]) Nhắc lại W có nhóm chuẩn tắc W + có số (hạt nhân đồng cấu định thức) Loại F4 nhóm đối xứng đa diện R4 có 24 mặt (ba chiều), hình bát diện [5] Lưu ý 24 nghiệm dài 61 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Mai Φ tạo thành hệ nghiệm Φ loại D4 Ta W nhóm tự đẳng cấu Φ Trong nhóm đó, nhóm Weyl W = W (D4 ) nhóm chuẩn tắc có cấp 192 (nhắc lại W (D4 ) ∼ = S4 (Z/2Z)n−1 ) Phép đẳng cấu khác Φ sinh tự nhiên từ nhóm đối xứng biểu đồ Dynkin: hoán vị đỉnh bên cách sử dụng S3 Vì vậy, W/W ∼ = S3 (với |W | = 27 32 tính trên) Thực tế, W tích nửa trực tiếp W S3 Vậy |W (F4 )| = 192 · = 1152 Loại E6 Có nhiều mô tả khác nhau, chẳng hạn W nhóm phép tự đẳng cấu cấu hình 27 đường thẳng nằm mặt bậc ba Nhóm W + W nhóm đơn có cấp 25920 có nhiều mô tả nhóm loại Lie Atlas: SU4 (2), P Sp4 (3), SO5 (3), O6− (2) Ta đồng dựa vào việc xét thương lưới nghiệm Ví dụ, L(Φ)/2L(Φ) không gian vectơ chiều F2 Tích thông thường (chia cho 2) sinh dạng toàn phương không suy biến không gian bất biến tác động W Điều sinh phép đẳng cấu W vào nhóm trực giao Loại E7 Nhóm W + W có hai mô tả nhóm đơn kiểu Lie, kí hiệu S6 (2) Atlas Mặt khác, L(Φ)/2L(Φ) không gian vectơ chiều F2 Tích quen thuộc (chia cho 2) cảm sinh dạng toàn phương không suy biến không gian bất biến tác động W Điều sinh phép đẳng cấu W vào nhóm trực giao với hạt nhân ±1 Từ cho ta đẳng cấu W + ∼ = O7 (2) (đây nhóm phản xạ đơn Lie kiểu B3 (2)) Loại E8 L(Φ)/2L(Φ) không gian vectơ chiều F2 Tích quen thuộc sinh dạng bậc toàn phương không suy biến không gian bất biến tác động W Đây đồng cấu nhóm W vào nhóm trực giao, với ker ±1 Nhóm W + W vào nhóm đơn có số nhóm trực giao, 62 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Mai kí hiệu O8+ (2) Atlas Đây nhóm đơn Lie loại D4 (2) có cấp 212 35 52 2.14 Nhóm loại H3 H4 Cuối cùng, xem xét nhóm không tinh thể loại H3 H4 Cả hai phát sinh tự nhiên nhóm đối xứng đa diện Nhóm loại H3 nhóm đối xứng khối 20 mặt (với 20 mặt hình tam giác) R3 khối 12 mặt (với 12 mặt hình ngũ giác đều) Nhóm W có cấp 120, chứa 15 phép phản xạ tự đẳng cấu tích trực tiếp {±1} nhóm đơn cấp 60 (Xem [8] để biết chi tiết nhóm khối 20 mặt) Nhóm loại H4 nhóm đối xứng khối 120 mặt (với mặt khối 20 mặt đều) R4 , khối 600 mặt (xem [5, p.153]) Nó có cấp 14400 chứa 60 phép phản xạ Cách tốt để xây dựng hệ nghiệm H4 R4 đồng vectơ với phần tử thực vành H quaternions: λ = (c1 , c2 , c3 , c4 ) tương ứng với λ = c1 + c2 i + c3 j + c4 k, {1, i, j, k} sở quen thuộc H Theo dạng này, tích λ, µ R4 trở thành ˜ (λ˜ ν + µλ), ˜ := c1 − c2 i − c3 j − c4 k Sử dụng kết chuẩn λ := λλ ¯ ta λ có công thức phần tử nghịch đảo vành thương H λ−1 = ¯ λ λ Nếu α ∈ H có chuẩn phép phản xạ sα tác động lên H quy luật ¯ λ → −αλα 63 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Mai Bổ đề sau hệ nghiệm H4 có vai trò tập H Bổ đề 2.14.1 Bất kỳ nhóm G có cấp chẵn H hệ nghiệm (nếu tập R4 ) Chứng minh Ta có phần tử G phải có chuẩn Thật vây, λr = nên λ r = Do λ = (là số thực dương) Đảo lại, G nghịch đảo đóng nên liên hợp đóng Dễ dàng kiểm tra quaternion có cấp ngoại trừ −1 Do nhóm cấp chẵn chứa phần tử có cấp nên −1 phải nằm G (và G chứa nghiệm âm phần tử) Ngược lại, từ công thức sα ta có sα G = G (G đóng theo liên hợp) Như vậy, G thỏa mãn điều kiện 1.4.1 cho hệ nghiệm Xét Φ gồm vectơ đơn vị H thu từ 1, 12 (1 + i + j + k) a + 21 i + bj cách hoán vị số chẵn tọa độ thay đổi dấu tùy ý Dễ kiểm tra Φ nhóm có cấp 120, hệ nghiệm Xét nhóm phản xạ W tương ứng Dễ kiểm tra W bất khả quy, tức phân tích hệ nghiệm Φ tương ứng thành hai tập trực giao khác rỗng Từ việc phân loại W phải loại H4 Chúng ta mô tả hệ đơn: α1 = a − i + bj α2 = −a + i + bj α3 = + bi − aj α4 = − − + bk Các kết phù hợp với loại đồ thị H4 Để tính cấp W sử dụng phương pháp mục 2.12 64 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Mai Đầu tiên, ta thấy 120 nghiệm tạo thành quỹ đạo đơn W Vì nghiệm W -liên hợp với nghiệm đơn Từ đó, ta kiểm tra nghiệm đơn thuộc đỉnh liền kề đồ thị Coxeter W -liên hợp Cho dù cạnh gắn nhãn 5, thu trước với thực tế chung tất nghiệm nhóm nhị diện Dm nằm quỹ đạo m lẻ Lưu ý nghiệm α1 , α2 , α3 tạo thành hệ nghiệm đơn đồ thị loại H3 , có 30 nghiệm nghiệm trực giao với k = (0, 0, 0, 1) Theo phần (c) Định lí 1.14, nhóm đẳng hướng nghiệm có cấp 120 Cuối |W | = 120 · 120 = 14 400 65 KẾT LUẬN Xuyên suốt khóa luận "Bài toán phân loại nhóm phản xạ hữu hạn", tập trung vào việc đưa tất nhóm phản xạ hữu hạn phân loại chúng theo dạng đồ thị Coxeter Các kết mà đạt khóa luận là: (1) Đưa ví dụ cụ thể nhóm phản xạ hữu hạn (2) Chỉ quan hệ tương ứng 1-1 nhóm phản xạ hữu hạn hệ nghiệm (3) Chứng minh phép phản xạ nhóm W có dạng sα với α ∈ Φ (4) Phân loại nhóm phản xạ hữu hạn thành dạng đồ thị Coxeter loại dương (5) Chỉ mối quan hệ tương ứng 1-1 hệ nghiệm tinh thể nhóm phản xạ tinh thể (6) Xây dựng hệ nghiệm nhóm phản xạ cổ điển, nhóm phản xạ tinh thể (nhóm Weyl) nhóm phản xạ không tinh thể H3 , H4 kết tham khảo từ sách "Reflection groups and Coxeter groups" tác giả James E.Humphreys 66 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [2] Hoàng Xuân Sính (2005), Đại số đại cương, Nhà xuấ Giáo dục [3] Phan Hồng Trường (2001), Đại số tuyến tính, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Dr Dmitriy Rumynin (2000), Lecture note Reflection groups, Anna Lenna Winstel, Autumn term [5] H.S.M Coxeter (1973), Regular Polytopes, 3rd edn., Dover, New York [6] James E Humphreys (1990), Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press [7] J.E Humphreys (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer, New York [8] L.C Grove, C T Benson (1985), Finite Reflection Groups, 2nd edn., Springer, New York 67 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thanh Mai [9] N Bourbaki (1981), Groupes et algebres de Lie, Chapter 4-6, Hermann, Paris, 1968; Masson, Paris [10] Richard Kane (2001), Reflection groups and Invariant Theory, Springer-Verlag New York 68 ... quan trọng nhóm phản xạ hữu hạn như: hệ nghiệm, tính liên hợp hệ nghiệm, sinh phép phản xạ, miền Chương vào nội dung Khóa luận phân loại nhóm phản xạ hữu hạn Phân loại nhóm phản xạ hữu hạn thực... Mỗi phép phản xạ W có dạng sα với α ∈ Φ 36 PHÂN LOẠI CÁC NHÓM PHẢN XẠ HỮU HẠN 37 2.1 Giới thiệu chương 37 2.2 Các phép đẳng cấu nhóm phản xạ hữu hạn 37 2.3 Các thành... liệu tham khảo) Công cụ để phân loại nhóm xạ hữu hạn phân loại hệ nghiệm dạng đồ thị Coxeter tương ứng Luận văn gồm hai chương Chương trình bày khái niệm nhóm phản xạ hữu hạn đưa số ví dụ cụ thể