BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thu Hằng BAO ĐÓNG NGUYÊN CỦA VÀNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thu Hằng BAO ĐÓNG NGUYÊN CỦA VÀNH Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS ĐỖ VĂN KIÊN Hà Nội – Năm 2017 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo ThS Đỗ Văn Kiên bảo tận tình, hướng dẫn giúp đỡ em suốt thời gian thực khoá luận Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô tổ Đại số - khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ để em hoàn thành khoá luận Em xin cảm ơn gia đình bạn bè bên cạnh, ủng hộ, động viên tinh thần để em hoàn thành khóa luận Do thời gian lực thân hạn chế, lần làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn để khoá luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thu Hằng LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp "Bao đóng nguyên vành" hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu thân với hướng dẫn tận tình thầy giáo - ThS Đỗ Văn Kiên Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp không trùng lặp với khóa luận khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thu Hằng Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành, vành 1.1.1 Vành 1.1.2 Vành 1.2 Miền nguyên, trường 1.3 Iđêan 1.3.1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại 1.4 Vành thương 1.5 Đồng cấu vành 10 1.6 Vành đa thức 12 1.6.1 Vành đa thức ẩn 12 1.6.2 Vành đa thức nhiều ẩn 13 1.7 Trường phân thức 14 1.8 Môđun 15 1.8.1 Môđun, môđun môđun thương 15 1.8.2 Môđun sinh tập 18 1.8.3 Môđun thương 19 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu 1.8.4 Đồng cấu môđun 20 1.8.5 Môđun hữu hạn sinh, môđun trung thành 23 1.8.6 Địa phương hóa vành môđun 24 Bao đóng nguyên vành 2.1 29 Phần tử nguyên, mở rộng nguyên 29 2.1.1 Phần tử nguyên 29 2.1.2 Mở rộng nguyên 34 2.2 Bao đóng nguyên vành 37 2.3 Miền đóng nguyên 45 KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu LỜI MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Đại số chuyên ngành chiếm vị trí quan trọng toán học Nó góp phần thúc đẩy phát triển toán học học đại Tuy nhiên để nghiên cứu sâu Đại số cần có hiểu biết cách sâu sắc cấu trúc đại số Vì với niềm say mê Toán học mong muốn tìm hiểu sâu môn này, góc độ sinh viên sư phạm toán phạm vi khoá luận tốt nghiệp với hướng dẫn tận tình Ths Đỗ Văn Kiên em trình bày hiểu biết đề tài "Bao đóng nguyên vành" Mục đích nghiên cứu Quá trình nghiên thực đề tài giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học có hội tìm hiểu sâu Đại số, đặc biệt bao đóng nguyên vành thông qua khái niệm tính chất có liên quan đến bao đóng nguyên vành Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu trường hợp khác bao đóng nguyên vành Trong khuôn khổ đề tài mình, em nghiên cứu vấn đề vành giao hoán, có đơn vị Phương pháp, phương tiện Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khoá luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khoá luận chia làm hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Bao đóng nguyên vành Hà Nội, ngày tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thu Hằng Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày kiến thức sở vành môđun Đây kiến thức đại số đại cương ([Sha], [Si]) Các đối tượng chương chủ yếu iđêan, đồng cấu vành, vành thương, môđun, 1.1 1.1.1 Vành, vành Vành Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập tuỳ ý khác ∅ Trên X trang bị hai phép toán hai kí hiệu (+) (.) Khi X gọi vành X với hai phép toán cộng (+) nhân (.) thoả mãn ba điều kiện sau : (i) X phép cộng nhóm Abel (ii) Phép nhân có tính chất kết hợp, tức với x, y, z ∈ X ta có x(yz) = x(yz) (iii) Phép nhân phân phối phép cộng tức x, y, z ∈ X ta có x(y + z) = xz + yz, (x + y)z = xz + yz Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu Ta thường gọi tắt vành X thay cho vành (X, +, ) Chú ý 1.1.2 • Nếu phép nhân X có tính chất giao hoán X gọi vành giao hoán, phép nhân có phần tử đơn vị phần tử gọi phần tử đơn vị vành X • Nói riêng, phép nhân vừa giao hoán vừa có đơn vị X gọi vành giao hoán, có đơn vị • Đơn vị vành (nếu có) ký hiệu Các tính chất phép toán vành X cho mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.3 Cho X vành Khi ta có x.0 = 0.x = với x ∈ X; (−x)y = x(−y) = −xy với x, y ∈ X; (y − z)x = yx − zx, x(y − z) = xy − xz với x, y, z ∈ X; (x1 +x2 + +xn )y = x1 y +x2 y + +xn y với x1 , , xn , y ∈ X; x(y1 +y2 + +yn ) = xy1 +xy2 + +xyn với x, y1 , y2 , , yn ∈ X; (nx)y = x(ny) = nxy với n ∈ Z, x, y, z ∈ X   x + x + · · · + x, n >     n   nx = 0, n =        −x − x − · · · − x, n < −n Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu Vì q iđêan nguyên tố B nên B/q miền nguyên Do q iđêan B p = A ∩ q nên theo Mệnh đề 2.1.7 i) B/q nguyên A/p Suy A/p ⊂ B/q Mặt khác, p iđêan cực đại nên A/p trường Theo ệnh đề 2.3.4 B/q trường Suy q iđêan cực đại Ngược lại, ta có p = q ∩ A Ta chứng minh p iđêan nguyên tố A • p iđêan A Thật vậy, Dễ thấy p = ∅, p ⊂ A Với x, y ∈ p ta có x, y ∈ q x, y ∈ A Suy x − y ∈ q (vì q iđêan) x − y ∈ A Do x − y ∈ q ∩ A = p Với x ∈ p, a ∈ A ta có x ∈ q, A a ∈ A Suy ax, xa ∈ q (do q iđêan B ⊃ A) ax, xa ∈ A Do ax, xa ∈ q ∩ A = p • p iđêan nguyên tố A Với x, y ∈ p = q ∩ A Giả sử xy ∈ p suy xy ∈ q xy ∈ A Vì q iđêan nguyên tố nên x ∈ q y ∈ q Do x ∈ q ∩ A = p y ∈ q ∩ A = p Do p iđêan nguyên tố A nên A/p miền nguyên Vì q iđêan cực đại B nên q iđêan nguyên tố B Suy B/q miền nguyên Theo Mệnh đề 2.1.7 i) B/q nguyên A/p Theo giả thiết q iđêan cực đại nên B/q trường 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu Theo Mệnh đề 2.3.4 ta B/q trường A/q trường Do p iđêan cực đại A Hệ 2.2.6 Cho B vành, A vành B B nguyên A Cho q, q iđêan nguyên tố B cho q ⊆ q qc = q c = p Khi q = q Chứng minh Với p iđêan nguyên tố vành A S = A/p tập đóng nhân A Theo Mệnh đề 2.1.7 ii) S −1 B = Bp nguyên S −1 A = Ap Cho m = pAp mở rộng p Ap n, n mở rộng q, q tương ứng Bp Gọi I iđêan Ap Giả sử I m Khi tồn α = a/s cho α ∈ I, α ∈ / m a ∈ p, s ∈ A p Vì α ∈ / m nên a ∈ / p Do a ∈ A p Suy a tồn phần tử khả nghịch a−1 Ap Do a/s khả nghịch Ap hay s/a ∈ Ap Suy (a/s)(s/a) ∈ I ⇒ 1/1 ∈ I ⇒ I = Ap Khi m iđêan cực đại Ap Vì q ⊆ q , qc = q c nên n ⊆ n nc = n c = m Theo Hệ 2.2.5 nc , n c iđêan cực đại nên n, n iđêan cực đại Bp Mà n ⊆ n nên n = n Do iđêan nguyên tố vành iđêan nguyên tố vành địa phương tương ứng một-một nên ta suy q = q Định lý 2.2.7 Cho B vành, A vành B B nguyên A Cho p iđêan nguyên tố A Khi tồn iđêan nguyên tố q B cho q ∩ A = p 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu Chứng minh Với p iđêan nguyên tố vành A S = A p tập đóng nhân A Theo Mệnh đề 2.1.7 ii)thì S −1 B = Bp nguyên S −1 A = Ap biểu đồ sau giao hoán i A −−→ B     g f j Ap −−→ Bp dó i, j phép nhúng Gọi pAp iđêan mở rộng p Ap Khi pAp vành địa phương với iđêan cực đại Ap Thật vậy, a Với α = ∈ / pAp a ∈ p, s ∈ A p Vì α ∈ / pAp nên a ∈ / p s Do a ∈ A p Suy s/a ∈ Ap Ta có (a/s)(s/a) = Ap nên a/s phần tử khả nghịch Ap Vậy Ap vành địa phương với iđêan cực đại pAp Chứng minh tương tự ta có pBp vành địa phương với iđêan cực đại Bp Mà Bp nguyên Ap nên theo Hệ 2.2.5 ta nhận pBp ∩ Ap = pAp Đặt q = pBp ∩ B, tức q = g −1 (pBp ) Vì pBp iđêan nguyên tố Bp (do iđêan cực đại iđêan nguyên tố) nên suy q iđêan nguyên tố B a Ta cần chứng minh q ∩ A = p Thật vậy, với a ∈ p ta có ∈ a pBp ⇒ g −1 ( ) ∈ q ⇒ a ∈ q ⇒ p ⊂ (q ∩ A) (do p ⊆ A) Ngược lại, với b ∈ q ∩ A = i−1 (q) ⇒ i(b) ∈ q = g −1 (pBp ) b b b ⇒ g(b) ∈ Bp ⇒ ∈ pBp ⇒ j −1 ( ) ∈ pBp ⇒ ∈ (pBp ∩ Ap ) = pAp ⇒ 1 b f −1 ( ) ∈ p ⇒ b ∈ p Suy (q ∩ A) ⊆ p Vậy q ∩ A = p 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu Định lý 2.2.8 (Định lý Going Up) Cho B vành, A vành B B nguyên A Cho p1 ⊆ ⊆ pn dãy iđêan nuyên tố A q1 ⊆ ⊆ qm (m < n) dãy iđêan nguyên tố B cho qi ∩ A = pi (1 ≤ i ≤ m) Khi dãy q1 ⊆ ⊆ qm mở rộng thành dãy q1 ⊆ ⊆ qn cho qi ∩ A = pi với ≤ i ≤ n Chứng minh Xét trường hợp m = 1, n = Giả sử p1 ⊆ p2 iđêan nguyên tố A, q1 iđêan nguyên tố B cho q1 ∩A = p1 Ta chứng minh tồn iđêan nguyên tố q2 ⊇ q1 cho q2 ∩ A = p2 Đặt A = A/p1 , B = B/q1 Vì A ⊆ B, p1 ⊂ q1 nên A ⊆ B Do q1 iđêan B p1 = q1 ∩ A nên theo Mệnh đề 2.1.7 ii) B nguyên A Ta có p2 = p2 /p1 iđêan nguyên tố A/p1 nên theo Định lý 2.2.7 tồn iđêan nguyên tố q2 = q2 /q1 cho q2 ∩ A = p2 iđêan nguyên tố B q2 ⊇ q1 Chứng minh q2 ∩ A = p2 Thật vậy, Lấy x ∈ q2 ∩ A Suy x ∈ q2 x ∈ A Do A/p1 vành B/q1 nên x + p1 = x + q1 với x ∈ A Suy x + p1 ∈ A/p1 x + q1 ∈ q2 q1 Do x + p1 = x + q1 ∈ (A/p1 ∩ (q2 /q1 ) = p2 p1 hay x + p1 = x + q1 ∈ A ∩ q2 = p2 Vì x + p1 ∈ q2 /q1 nên x + p1 = y + p1 với y ∈ p2 Suy x − y ∈ p1 (tính chất iđêan p1 ) Mà p1 ⊆ p2 nên x − y ∈ p2 x ∈ p2 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu Suy (q2 ∩ A) = p2 Ngược lại, lấy x x ∈ p2 ⊂ A Suy x ∈ A Suy x + p1 ∈ p2 /p1 ⊂ q2 /q1 Do x + p1 = y + q1 với y ∈ q2 Mặt khác x + p1 = x + q1 ( A/p1 vành B/q1 ) Suy x + q1 = y + q1 ⇒ x − y ∈ q1 ⊂ q2 ⇒ x ∈ q2 Do x ∈ q2 ∩ A hay p2 ⊂ q2 ∩ A Vậy p2 = q2 ∩ A Bằng chứng minh quy nạp, ta dãy q1 ⊆ ⊆ qm mở rộng thành dãy q1 ⊆ ⊆ qn cho qi ∩ A = pi với ≤ i ≤ n 2.3 Miền đóng nguyên Định nghĩa 2.3.1 Một miền nguyên gọi đóng nguyên miền nguyên đóng nguyên trường phân thức Ví dụ 2.3.2 • Z đóng nguyên Q Thật vậy, lấy x ∈ Z Vì Z ⊂ Q nên x ∈ Q Mà x nguyên Z nên suy Z đóng nguyên Q • Một miền nhân tử hoá X đóng nguyên Thật vậy, gọi X trường thương nhỏ chứa X X Với a/s ∈ X với a, b ∈ X Giả sử a, b nhân tử bất khả quy chung phân tích (tức a = p1 p2 pn , q = q1 q2 qm với{pi ∩ qj } = ∅) Suy U CLN (a, b) phần tử khả nghịch hay U CLN (a, b) = 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu Giả sử a/s ∈ X nguyên X, a/b thoả mãn phương trình sau (a/b)n + (a/b)n−1 r1 + (a/b)rn−1 + rn = với ri ∈ X, i = 1, , n Do an + an−1 br1 + + abn−1 rn−1 + bn rn = ⇔ an = −b(an−1 r1 + + abn−2 rn−1 + bn−1 rn ) Suy an ∈ (b) ⇒ an = bc = q1 q2 qm c Bởi a có nhân tử bất khả quy qi với i = 1, , m (mâu thuẫn với giả thiết {pi } ∩ {qj } = ∅) Suy a/b = a/1 = a ∈ X Vậy X đóng nguyên X Mệnh đề 2.3.3 Cho A miền nguyên Khi điều kiện sau tương đương (i) A đóng nguyên; (ii) Ap đóng nguyên với p iđêan nguyên tố; (iii) Am đóng nguyên với m iđêan cực đại Chứng minh Gọi K trường phân thức A, C bao đóng 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu nguyên A K cho f : A → C ánh xạ đồng Ta chứng minh A miền đóng nguyên f toàn cấu (2.6) Thật vậy, A đóng nguyên nên A = C Vì ánh xạ f : A → C ánh xạ đồng Suy f toàn cấu Ngược lại, giả sử f toàn cấu mà f ánh xạ đồng nên f đơn cấu Suy f đẳng cấu Do ánh xạ f phép nhúng nên A = C Với p iđêan nguyên tố A S = A p tập đóng nhân A Khi S −1 A = Ap gọi vành địa phương Ap Theo Mệnh đề 2.2.3 Cp bao đóng nguyên Ap Kp = K Vì A đóng nguyên nên A = C Ap đóng nguyên Với m iđêan cực đại A Suy m iđêan nguyên tố Khi S = A/p tập đóng nhân A Khi S −1 A = Am gọi vành địa phương Am Theo Mệnh đề 2.2.3 Cm bao đóng nguyên Am Km = K Vì A đóng nguyên nên A = C Am đóng nguyên Chứng minh tương tự ta suy Ap đóng nguyên fp : Ap → Cp toàn cấu (2.7) Am đóng nguyên fm : Am → Cm toàn cấu (2.8) 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu Áp dụng Mệnh đề 1.8.42 suy f toàn cấu ⇔ fp toàn cấu ⇔ fm toàn cấu (2.9) Từ (2.6)(2.7)(2.8)(2.9) ta suy điều phải chứng minh Định nghĩa 2.3.4 Cho B vành, A vành B a iđêan A Một phân tử B gọi nguyên a thoả mãn phương trình phụ thuộc nguyên A với tất hệ số nằm Bao đóng nguyên a B tập hợp tất phần tử B mà nguyên a Bổ đề 2.3.5 Cho C bao đóng nguyên A B ae kí hiệu mở rộng a C Khi bao đóng nguyên a B ae Chứng minh Nếu x ∈ B nguyên a x thoả mãn phương trình có dạng xn + a1 xn−1 + + an = với ∈ ⇒ xn = −(a1 xn−1 + + an ) với ∈ ⊂ A Suy x nguyên A hay x ∈ C Ta có ae = aC = { n i=1 ci | ∈ a, ci ∈ C} Khi xn ∈ ae Suy x ∈ r(ae ) = {x ∈ C | ∃n ∈ N∗ : xn ∈ ae } Ngược lại, x ∈ r(ae ) tồn n ∈ N∗ cho xn ∈ ae Khi xn = n i=1 xi với ∈ A, xi ∈ C 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu Vì xi nguyên A nên M = A[x1 , , xn ] A-môđun hữu hạn sinh Xét tự đồng cấu môđun ϕ : M → M cho xn → xn M cho ϕ(M ) = xn M ⊆ aM Khi ϕ thoả mãn phương trình có dạng ϕm + a1 ϕm−1 + + an = với ∈ Khi ϕm (M ) + a1 ϕm−1 (M ) + + am−1 ϕ(M ) + am = ⇔ [(xn )m +a1 (xn )m−1 + +an ]M = ⇔ (xn )m +a1 (xn )m−1 + +an = với ∈ Suy xn nguyên a Do x nguyên a Mệnh đề 2.3.6 Cho B miền nguyên, A ⊆ B miền nguyên A đóng nguyên Cho x ∈ B nguyên iđêan a A Khi x đại số trường phân thức K A đa thức có bậc nhỏ x K tn + a1 tn−1 + + an a1 , , an nằm r(a) Chứng minh Vì x ∈ B nguyên a nên tồn đa thức khác bậc nhỏ f (t) = tn + a1 tn−1 + + an với ∈ nhận x nghiệm Vì K trường phân thức A nên ∈ a ∈ K Suy x phần tử đại số K Do tồn đa thức monic có bậc nhỏ x K, chẳng hạn g(t) = tm + b1 tm−1 + + bm , bj ∈ K Ta cần bj ∈ r(a), ∀j Rõ ràng đa thức g(t) bất khả quy K Gọi x1 , x2 , , xn nghiệm trường phân rã K gọi L = K(x1 , x2 , , xn ) mở rộng trường K Vì f (x) = g(x) = g(t) bất khả quy K nên g(t)|f (t) Do x1 , x2 , , xn nghiệm f (t) Điều kéo theo xi phải nguyên a Từ Bổ đề 2.3.5 đề , bj nguyên a Mặt khác A đóng nguyên nên lại theo Bổ đề 2.3.5 nhận 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu bj ∈ r(a), ∀j Định lý 2.3.7 (Định lý Going down) Cho A ⊆ B miền nguyên, A đóng nguyên B nguyên A Cho p1 ⊇, , ⊇ pn dãy iđêan nguyên tố A q1 , , qm (m < n) dãy iđêan nguyên tố B cho qi ∩ A = pi (1 i n) Khi dãy q1 , , qm mở rộng thành dãy q1 , , qn cho qi ∩ A = pi (1 i n) Chứng minh Giống định lý Going up ta cần chứng minh trường hợp m = 1, n = tức cho p1 ⊇ p2 iđêan nguyên tố A q1 iđêan nguyên tố B cho q1 ∩ A = p1 Chứng minh tồn iđêan q2 ⊆ q1 cho q2 ∩ A = p2 Đặt q2 = Bq1 p2 Ta cần p2 co rút idean Bq1 p2 vành Bq1 tức Bq1 p2 ∩ A = p2 Mọi phần tử b ∈ Bq1 p2 b = (a1 /1)(y1 /s1 ) + + (an /1)(yn /sn ) ∈ p2 , yi /si ∈ Bq1 , si ∈ B q1 , i = 1, , n Khi b = (a1 s1 sn y1 + + an s1 sn−1 yn )/(s1 s2 sn ) Đặt y = a1 s1 sn y1 + + an s1 sn−1 yn ∈ Bp2 s = s1 s2 sn ∈ B q1 Khi theo Bổ đề 2.3.5 y nguyên p2 Do theo Mệnh đề 2.3.6 phương trình nhỏ y trường phân thức K A có dạng y r + u1 y r−1 + + ur = u1 , , ur ∈ p2 50 (2.10) Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu Xét ánh xạ f : A → Bq1 a → a/1 p2 → T = {a/1 | a ∈ p2 } Ta có p2 ⊆ f −1 (T ) = Bq1 p2 ⊆ f −1 (Bq1 p2 ) = Bq1 p2 ∩ A Suy p2 ⊆ Bq1 p2 ∩ A Ngược lại, giả sử x ∈ Bq1 p2 ∩ A + Nếu x = x ∈ p2 suy Bq1 p2 ∩ A ⊂ p2 + Nếu x = Khi x = f −1 (y/s) hay f (x) = y/s Suy x/1 = y/s hay x−1 = s/y với x−1 ∈ K Chia phương trình (2.10) cho xr ta phương trình bậc nhỏ s K có dạng sr + v1 sr−1 + + vr = (2.11) vi = ui /xi (2.12) Vì vậy, xi vi = ui ∈ p2 (1 i r) (2.13) Theo Mệnh đề 2.3.6, với a =< > a = A Khi s nguyên A nên vi ∈ r(A) = A Giả sử x ∈ / p2 từ (2.13) suy vi ∈ p2 Do từ (2.12) ta suy sr ∈ Bp2 ⊆ Bp1 ⊆ q1 ( mâu thuẫn với giả thiết s ∈ / q1 ) Suy x ∈ p2 hay Bq1 p2 ∩ A ⊂ p2 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu Vậy Bq1 p2 ∩ A = p2 hay q2 ∩ A = p2 Mệnh đề 2.3.8 Cho A miền đóng nguyên, K trường phân thức A L mở rộng đại số tách hữu hạn K B bao đóng nguyên A L Khi tồn sở v1 , , L K cho B ⊆ n j=1 Avj Chứng minh Nếu v phần tử thuộc L v đại số K Do dó v thoả mãn phương trình a0 v r + a1 v r−1 + + an−1 v + an = với ∈ A Nhân phương trình với ar−1 ta r−1 (a0 v)r + a1 (a0 v)r−1 + + an−1 ar−2 =0 (a0 v) + an a0 với ∈ A Đặt a0 v = u phương trình trở thành r−1 ur + a1 ur−1 + + an−1 ar−2 =0 u + an a0 với ∈ A Suy u nguyên A hay u ∈ B Cho sở L K, ta nhân phần tử sở với phần tử phù hợp A để tạo thành sở u1 , , un cho ui ∈ B, i = 1, , n Gọi T vết ánh xạ tuyến tính từ L vào K Vì L/K mở rộng tách nên ánh xạ song tuyến tính (x, y) → T (xy) L (xét 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu không gian vectơ K) không suy biến Do ta có sở đối ngẫu v1 , , L K, định nghĩa T (ui vj ) = δij Lấy x ∈ B x = j xj vj (xj ∈ K) Ta có xui ∈ B ui ∈ B Do T (xui ) ∈ A theo mệnh đề 2.3.6 Mặt khác T (xui ) = j T (xj ui vj ) = Do xi ∈ A Vì B ⊆ j Avj 53 j xj T (ui vj ) = j xj δij = xi Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thu KẾT LUẬN Trong khóa luận nghiên cứu "Bao đóng nguyên vành" em nghiên cứu trình bày định nghĩa, định lý tính chất liên quan đến trường hợp đặc biệt bao đóng nguyên mở rộng nguyên miền đóng nguyên Tuy nhiên nội dung mẻ, thời gian nghiên cứu hạn chế lần thực khoá luận nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên để khoá luận em hoàn thiện Một lần em xin cảm ơn hướng dẫn, bảo tận tình thầy giáo - ThS Đỗ Văn Kiên, thầy cô khoa toán, bạn sinh viên tạo điều kiện để em hoàn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn! Tác giả khóa luận Nguyễn Thu Hằng Tài liệu tham khảo [AM] M.F.Atiyah and I.G.Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Cambridge University Press (1969) [SH] Irena Swanson and Craig Huneke, Integral Closure of Ideals, Rings, and Modules, Cambridge University Press (2006) [Sha] Rodney Y Sharp, Steps in commutative algebra, Cambridge University Press (2000) [Si] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục(1997) ... hóa vành môđun 24 Bao đóng nguyên vành 2.1 29 Phần tử nguyên, mở rộng nguyên 29 2.1.1 Phần tử nguyên 29 2.1.2 Mở rộng nguyên 34 2.2 Bao đóng. .. vành vành gọi vành thương vành X theo iđêan A Chú ý 1.4.1 Phần tử không vành thương X/A + A Nếu X vành giao hoán, có đơn vị vành thương X/A vành giao hoán có đơn vị + A Ví dụ 1.4.2 a) Cho X vành, ... trọng đồng cấu vành, việc chứng minh chúng sơ cấp Mệnh đề 1.5.2 a) Tích đồng cấu vành (nếu có) đồng cấu vành; b) Cho f : X → Y đồng cấu vành, A vành vành X, B iđêan vành Y f (A) vành vành Y f −1