BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐỖ THỊ KIM DUNG MÔĐUN CHÍNH TẮC TRÊN VÀNH ARTIN ĐỊA PHƯƠNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐỖ THỊ KIM DUNG MÔĐUN CHÍNH TẮC TRÊN VÀNH ARTIN ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS: ĐỖ VĂN KIÊN Hà Nội – Năm 2017 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung Lời cảm ơn Sau thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy cô giáo bạn sinh viên Đến nay, Khóa luận hoàn thành Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới thầy cô giáo tổ đại Số (Khoa Toán), thầy cô khoa Toán đặc biệt thầy giáo - Thạc Sĩ Đỗ Văn Kiên người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ, bảo tận tình cho suốt thời gian nghiên cứu, hoàn thành khóa luận Do hạn chế thời gian kiến thức thân nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý từ thầy cô bạn sinh viên Cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè bên cạnh, ủng hộ, động viên tinh thần để hoàn thành khóa luận này! Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Đỗ Thị Kim Dung i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp "Môđun tắc vành Artin địa phương" hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo - Thạc Sĩ Đỗ Văn Kiên Trong trình thực tham khảo số tài liệu viết phần tài liệu tham khảo Vì vậy, xin cam đoan kết khóa luận trung thực không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Đỗ Thị Kim Dung Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành iđêan 1.2 Môđun 12 Đối ngẫu không gian véctơ môđun nội xạ 19 2.1 Đối ngẫu không gian véctơ hữu hạn chiều 19 2.2 Môđun nội xạ 23 Môđun tắc vành Artin địa phương 28 3.1 Hàm tử đối ngẫu phạm trù môđun 28 3.2 Đỉnh đế môđun 35 3.3 Môđun tắc vành Artin địa phương 39 KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vành Cohen-Macaulay lớp vành rộng vô quan trọng đại số hình học Trong khoảng 50 năm trở lại đây, lớp vành nhiều nhà toán học giới nghiên cứu Một bất biến quan trọng vành Cohen-Macaulay môđun tắc Cho A vành Cohen-Macaulay, A ảnh đồng cấu vành Gorenstein, A có môđun hữu hạn sinh với chiều nội xạ hữu hạn Hơn môđun chọn môđun Cohen-Macaulay cực đại với kiểu ([BH]) Các môđun sai khác đẳng cấu ([BH], [HK])và gọi môđun tắc Môđun tắc đóng vai trò trung tâm lý thuyết đối ngẫu lý thuyết vành Cohen-Macaulay Nó đối tượng để phân loại lớp vành Nó "đo" sai khác vành Gorenstein Cohen-Macaulay ([GTT]) Đặc biệt vành CohenMacaulay vành Gorenstein đẳng cấu với môđun tắc Một ứng dụng quan trọng môđun tắc môđun tắc cho phép ta xây dựng tất hàm tử đối ngẫu phạm trù môđun Trong luận văn xét môđun tắc vành Norther địa phương (A, m) chiều không Trong trường hợp môđun tắc A bao nội xạ Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung trường thặng dư A/m Với lý chọn đề tài để nghiên cứu luận văn Mục đích nghiên cứu Quá trình nghiên cứu thực đề tài giúp bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học có hội tìm hiểu sâu đại số, đặc biệt môđun tắc cụ thể môđun tắc vành Artin địa phương Đó sở để định nghĩa vành Gorentein Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu tính đối ngẫu không gian véctơ; môđun nội xạ, bao nội xạ tính chất bao nội xạ; hàm tử đối ngẫu phạm trù môđun; đỉnh đế môđun; môđun tắc vành Artin địa phương Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Luận văn gồm chương • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong Chương 1, trình bày số kiến thức sở Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung đại số giao hoán là: Vành, iđêan môđun Các kiến thức phục vụ cho việc chứng minh mệnh đề định lý chương sau • Chương 2: Đối ngẫu không gian véctơ môđun nội xạ Trong Chương 2, đưa số tính chất lý thuyết đối ngẫu không gian véctơ Dựa tính chất này, chương sau xây dựng định nghĩa hàm tử đối ngẫu cho môđun Phần thứ hai chương, nhắc lại khái niệm môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, bao nội xạ số tính chất bao nội xạ Những kết sở để chứng minh mệnh đề chương sau • Chương 3: Môđun tắc vành Artin địa phương Trong Chương 3, trình bày hàm tử đối ngẫu phạm trù môđun, đưa định nghĩa môđun tắc vành Artin địa phương A Phần đầu chương đưa định nghĩa hàm tử đối ngẫu phạm trù môđun dựa tính chất đối ngẫu không gian véctơ xây dựng hàm tử đối ngẫu môđun đại số hữu hạn trường Đưa số tính chất hàm tử đối ngẫu bảo toàn linh hóa tử, bảo toàn độ dài, bảo toàn môđun đồng cấu Phần thứ hai chương trình bày đỉnh (top) đế (socle) môđun Sau trình bày định nghĩa đỉnh đế môđun nêu số ví dụ tính toán cụ thể tìm đỉnh đế môđun Các khái niệm dùng để đặc trưng vành Gorenstein Trong phần cuối Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung chương trình bày định nghĩa môđun tắc vành Artin địa phương số tính chất môđun tắc Môđun sở để định nghĩa vành Gorenstein Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức sở đại số giao hoán, phục vụ cho việc xây dựng khái niệm chứng minh tính chất chương sau Phần nhắc lại số kiến thức vành iđêan Phần thứ hai chương nêu khái niệm môđun, số tính chất môđun số môđun đặc biệt Cụ thể môđun Noether môđun Artin 1.1 Vành iđêan Định nghĩa 1.1.1 Cho A tập hợp khác rỗng, A trang bị hai phép toán hai gọi phép cộng phép nhân, kí hiệu (+) (.) tương ứng Khi A gọi vành thỏa mãn điều kiện sau (i) A với phép cộng nhóm abel; (ii) A với phép nhân nửa nhóm; (iii) Phép nhân phân phối phép cộng, tức với x, y, z ∈ A Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung hay bảo toàn môđun đồng cấu Cho đến hết tiết ta xét A vành giao hoán D : M odA −→ M odA hàm tử đối ngẫu Trước hết ta liệt kê số tính chất đơn giản hàm tử đối ngẫu Định lý 3.1.7 Cho M , N môđun hữu hạn sinh đối tượng sau bảo toàn qua đối ngẫu (i) Độ dài môđun, nghĩa A (M ) = A (D(M )); (ii) Iđêan linh hoá tử, nghĩa AnnA (M ) = AnnA (D(M )); (iii) Môđun đồng cấu, nghĩa HomA (N, M ) ∼ = HomA (D(M ), D(N )) Chứng minh (i) Cho dãy A - môđun = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mn = M , với Mi /Mi−1 ∼ = A/m Lấy đối ngẫu dãy = M0 → M1 → → Mn = M ta dãy toàn ánh D(M ) = D(Mn ) D(Mn−1 ) D(M1 ) D(M0 ) = Đặt Pi = Ker(D(Mn ) −→ D(Mn−i )) Ta chứng minh = P0 ⊂ P1 ⊂ ⊂ Pn = D(Mn ) (∗) dãy hợp thành D(M ) Từ dãy khớp ngắn −→ Mn−i −→ Mn −→ Mn /Mn−i −→ 0, qua đối ngẫu ta dãy khớp −→ D(Mn /Mn−i ) −→ D(Mn ) −→ D(Mn−i ) −→ Suy Pi ∼ = D(Mn /Mn−i ) Lại có dãy khớp −→ Mn−i /Mn−(i+1) −→ Mn /Mn−(i+1) −→ Mn /Mn−i −→ 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung Qua đối ngẫu ta dãy khớp → D(Mn /Mn−i ) → D(Mn /Mn−(i+1) ) → D(Mn−i /Mn−(i+1) ) → Theo nhận xét 3.1.6(iii) ta có D(Mn−i /Mn−(i+1) ) ∼ = A/m Do dãy −→ Pi −→ Pi+1 −→ A/m −→ khớp Từ đó, Pi+1 /Pi ∼ = A/m Vậy (∗) dãy hợp thành D(M ) Nói riêng, A (M ) =n= A (D(M )) (ii) Giả sử a ∈ AnnA (M ), D A - tuyến tính nên aD(M ) = D(aM ) = Suy AnnA (M ) ⊆ AnnA (D(M )).Từ AnnA (D(M )) ⊆ AnnA (D(D(M ))) = AnnA (M ) Vậy AnnA (M ) = AnnA (D(M )) (iii) Xét ánh xạ ϕ : HomA (N, M ) −→ HomA (D(M ), D(N )) f −→ ϕ(f ) = D(f ) ψ : HomA (D(M ), D(N )) −→ HomA (N, M ) g −→ ψ(g) = D(g) Chú ý ta dùng đẳng cấu HomA (N, M ) ∼ = HomA (D2 (N ), D2 (M )) Khi ϕ ◦ ψ(g) = ϕ(ψ(g)) = ϕ(D(g)) = D(D(g)) = g, ψ ◦ ϕ(f ) = ψ(ϕ(f )) = ψ(D(f )) = D(D(f )) = f , 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung với f , g Vậy ϕ đẳng cấu 3.2 Đỉnh đế môđun Trong tiết ta giả thiết (A, m, k) vành Noether địa phương M A - môđun hữu hạn sinh Mục trình bày định nghĩa số tính chất đỉnh (top) đế (socle) môđun M Đây khái niệm quan trọng để nghiên cứu vành Gorenstein địa phương chiều không Định nghĩa 3.2.1 Môđun thương M/mM gọi đỉnh (top) môđun M kí hiệu top(M ) Đế (socle) môđun M định nghĩa môđun (0 :M m) ∼ = HomA (k, M ) Ta kí hiệu đế M socle(M ) Ngoài cách định nghĩa trên, đế môđun có cách định nghĩa tương đương khác sau Bổ đề 3.2.2 socle(M ) hợp tất môđun đơn M Chứng minh Gọi N hợp tất môđun đơn M Một phần tử x ∈ M nằm N x = xA = k Dễ thấy N môđun Với x ∈ socle(M ), xét A - môđun Ax Ta có ánh xạ ϕ : A −→ Ax cho a −→ ax toàn cấu, với Ker(ϕ) = AnnA (x) = m Khi Ax ∼ = A/AnnA (x) ∼ = A/m Vậy Ax môđun đơn Suy Ax ∈ N Ngược lại, giả sử T ∈ N , T ∼ = A/m, suy T.m = 0, T ⊆ (0 :M m) = socle(M ) Vậy socle(M ) = N 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung Nhận xét 3.2.3 (i) Một hệ sinh top(M ) ảnh hệ sinh M Thật vậy, giả sử M/mM = (m1 , m2 , , mk ), mi ∈ M , i = 1, 2, , k Với x = (m1 , m2 , , mk ) x = a1 m1 + a2 m2 + + ak mk , ∈ A, i = 1, , n Suy x − (a1 m1 + a2 m2 + + ak mk ) ∈ mM , x ∈ (m1 , m2 , , mk ) + mM , hay M ⊆ (m1 , m2 , , mk ) + mM Theo bổ đề Nakayama suy M = (m1 , m2 , , mk ) (ii) Ngược lại, hệ sinh m1 , m2 , , mk M dẫn đến hệ sinh m1 , m2 , , mk k - không gian véctơ top(M ) Nói riêng, dimk top(M ) số phần tử sinh cực tiểu A - môđun M Số thường kí hiệu µA (M ) Ví dụ 3.2.4 Cho S = k[x, y], I = (x2 , xy , y ) Đặt A = S/I, m = (x, y) iđêan cực đại S Ta có {1, x, y, xy, y } xét phần tử A hệ sinh k - không gian véctơ A Khi socle(A) = (xy, y ) Thật vậy, đặt f = f + I = a + bx + cy + dxy + ey + I ∈ A với a, b, c, d, e ∈ k Khi f ∈ socle(A) f.m ⊆ I hay f.x ∈ I f.y ∈ I Ta có f x = ax + bx2 + cxy + dx2 y + exy ∈ I ax+cxy ∈ I Do I không chứa đơn thức bậc nên a = 0, kéo theo c = Tương tự, f y ∈ I a = b = c = Do f phải có dạng f = dxy + ey Dễ kiểm tra xy, y ∈ socle(A) Từ suy socle(A) = (xy, y ) Ta có top(A) ∼ = A/m = k Ví dụ 3.2.5 Cho S = k[x, y, z], I = (xa , y b , z c ) với a, b, c ∈ N a, b, c ≥ Đặt A = S/I Khi socle(A) = (xa−1 y b−1 z c−1 ) Thật vậy, đặt m = (x, y, z) iđêan cực đại S J iđêan A sinh xa−1 y b−1 z c−1 Đặt f = f +I = xa−1 y b−1 z c−1 +I ∈ J Ta 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung có f x = xa y b−1 z c−1 ∈ I, f y = xa−1 y b z c−1 ∈ I, f z = xa−1 y b−1 z c ∈ I Suy f.m ⊆ I hay f ∈ socle(A) Vậy J ⊆ socle(A) Ngược lại, đặt g = g + I = λ1 xa−1 y b−1 z c−1 + λ2 xa−2 y b−1 z c−1 + λ3 xa−1 y b−2 z c−1 +λ4 xa−1 y b−1 z c−2 + +λn−3 x+λn−2 y+λn−1 z+λn +I ∈ A với λi ∈ k, i = 1, 2, , n Giả sử g ∈ socle(A), suy gm ⊆ I Kéo theo gx ∈ I, gy ∈ I, gz ∈ I Ta có gx = λ1 xa y b−1 z c−1 + λ2 xa−1 y b−1 z c−1 + λ3 xa y b−2 z c−1 + λ4 xa y b−1 z c−2 + + λn−3 x2 + λn−2 xy + λn−1 xz + λn x, hay gx tổ hợp k - tuyến tính đơn thức với biến x có bậc nhỏ a, hai biến y z có bậc nhỏ b − 1, c − Mà gx ∈ I gx tổ hợp S - tuyến tính xa , y b , z c Suy gx ∈ I xa | gx hay xa−1 | g Tương tự ta có gy ∈ I, gz ∈ I y b−1 | g z c−1 | g Do xa−1 y b−1 z c−1 | g, suy g ∈ J Vậy socle(A) ⊆ J Đỉnh đế hai khái niệm đối ngẫu với theo nghĩa sau Cho D : M odA −→ M odA hàm tử đối ngẫu Mệnh đề 3.2.6 Đối ngẫu top(A) socle(D(A)) Nói riêng, top(A) môđun đơn socle(D(A)) môđun đơn Chứng minh Do top(A) = A/m, nên ta có D(top(A)) ∼ = HomA (A, D(A/m)) ∼ = HomA (D(D(A/m)), D(A)) ∼ = HomA (A/m, D(A)) ∼ = (0 :D(A) m) = socle(D(A)) Do đối ngẫu top(A) socle(D(A)) Mà top(A) A - môđun đơn, theo Định lí 3.1.7 suy (socle(D(A))) = (D(top(A))) = (top(A)) = Từ socle(D(A)) A - môđun đơn 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung Ví dụ 3.2.7 Cho vành A = k[x, y]/(x2 , y ) Nếu hình vẽ sau mô tả sở k - không gian véctơ bao gồm đơn thức A đối ngẫu D(A) A có sở (k - không gian véctơ) mô tả hình vẽ Trong hình vẽ, ta có phần ô bị bôi đen tượng trưng cho đế A D(A) Như vậy, A môđun đối ngẫu D(A) có đỉnh đế môđum đơn 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.3 Đỗ Thị Kim Dung Môđun tắc vành Artin địa phương Luôn giả thiết (A, m, k) vành Artin địa phương Trong tiết trình bày định nghĩa số tính chất môđun tắc ωA vành địa phương chiều không A Môđun quan trọng, trước hết sở để định nghĩa vành Gorenstein địa phương chiều không Hơn nữa, môđun tắc cho phép ta xây dựng tất hàm tử đối ngẫu phạm trù môđun Trước hết ta có bổ đề đơn giản sau Bổ đề 3.3.1 Mọi A - môđun M chứa môđun đơn Nói cách khác, socle(M ) = Chứng minh Do A vành địa phương chiều không nên iđêan nguyên tố tối đại Suy Spec(A) = {m} Khi Ass(M ) = {m} với m = AnnA (x), x ∈ M Xét ánh xạ x : A −→ M , a −→ ax Ta có Ker(x) = {a ∈ A | ax = 0} = AnnA (x) = m Suy Im(x) ∼ = A/m Đặt Im(x) = N , N môđun đơn M Mệnh đề 3.3.2 Cho F hàm tử đối ngẫu từ phạm trù A - môđun hữu hạn sinh đến Khi F (−) ∼ = HomA (−, F (A)) Hơn F (A) bao nội xạ A/m Hệ là, hàm tử đối ngẫu tồn Chứng minh Vì F phép đồng nên ánh xạ HomA (M, N ) −→ HomA (F (N ), F (M )), cho ϕ −→ F (ϕ) đẳng cấu Do ta có 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung F (M ) ∼ = = HomA (F (F (M )), F (A)) ∼ = HomA (A, F (M )) ∼ HomA (M, F (A)) Suy F (−) ∼ = HomA (−, F (A)) Theo Bổ đề 3.2.2 ta có socle(M ) chứa tất môđun đơn M , giao với môđun M khác rỗng, M mở rộng cốt yếu socle(M ) Thật vậy, A có chiều không nên theo bổ đề 3.3.1 ta có môđun N A chứa môđun đơn, suy socle(N ) = Giả sử N ⊆ M môđun con, socle(N ) ⊆ socle(M ) Mà socle(N ) ⊆ N nên socle(M ) ∩ N = socle(N ) = Vậy M mở rộng cốt yếu socle(M ) Ta có A môđun xạ ảnh nên F (A) môđun nội xạ Do top(A) = A/m môđun đơn nên socle(F (A)) môđun đơn, hay socle(F (A)) ∼ = A/m Từ suy k ∼ = A/m ∼ = socle(F (A)) ⊆ F (A) Theo chứng minh ta có F (A) mở rộng cốt yếu socle(F (A)) nên mở rộng cốt yếu A/m Từ mệnh đề trên, ta đưa định nghĩa môđun tắc vành địa phương chiều không sau Định nghĩa 3.3.3 Môđun tắc ωA vành Artin địa phương A bao nội xạ trường thặng dư A, hay ωA = EA (A/m) Trước đưa công thức cho hàm tử đối ngẫu, ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.3.4 Ta có HomA (A/m, ωA ) ∼ = A/m 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung Chứng minh Do ωA bao nội xạ A/m socle(ωA ) hợp tất môđun đơn ωA nên A/m = socle(ωA ) ⊆ ωA Xét đồng cấu ϕ : A/m → ωA cho λ −→ ϕ(λ) Ta có mλ = nên mϕ(λ) = Vì ϕ(λ) ∈ (0 :ωA m) = socle(ωA ) Suy HomA (A/m, ωA ) ∼ = = HomA (A/m, A/m) ∼ = HomA (A/m, socle(ωA )) ∼ A/m Định lý sau cho ta ví dụ cụ thể hàm tử đối ngẫu phạm trù môđun vành A Định lý 3.3.5 Hàm tử M −→ D(M ) = HomA (M, ωA ) hàm tử đối ngẫu phạm trù A - môđun hữu hạn sinh Chứng minh Dễ thấy D A - tuyến tính hàm tử khớp ωA A - môđun nội xạ Ta chứng minh D2 phép đồng Cho α : −→ D2 ánh xạ tự nhiên cho tương ứng αM : M −→ HomA (HomA (M, ωA ), ωA ) biến phần tử m ∈ M thành đồng cấu ϕ ∈ HomA (M, ωA ) đến ϕ(m) Khi α đẳng cấu αM đẳng cấu Thật vậy, ta chứng minh quy nạp theo độ dài môđun M Giả sử (M ) = 1, suy M ∼ = A/m với m iđêan cực đại A Theo Bổ đề 3.3.4, HomA (A/m, ωA ) ∼ = A/m Do HomA (HomA (A/m, ωA ), ωA ) ∼ = HomA (A/m, ωA ) ∼ = A/m Với ∈ A/m phần tử đơn vị, xét đồng cấu αA/m : A/m −→ HomA (HomA (A/m, ωA ), ωA ), 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung biến thành đồng cấu nhúng i ∈ HomA (A/m, ωA ) đến i(1) Suy αA/m = αA/m đẳng cấu Giả sử (M ) > định lý với môđun có độ dài nhỏ độ dài môđun M Gọi M môđun thực M đặt M = M/M Do α ánh xạ tự nhiên, D2 hàm tử khớp nên ta có biểu đồ sau giao hoán với dòng khớp /  f M αM / / D (M ) f / M  g αM D2 (M ) / / M  αM g / D2 (M ) / Vì M M có độ dài nhỏ độ dài M nên theo giả thiết quy nạp ta có αM αM đẳng cấu Ta chứng minh αM đẳng cấu Giả sử x ∈ Ker(αM ), kéo theo (αM ◦ g)(x) = (g ◦ αM )(x) = g (αM (x)) = Suy g(x) ∈ Ker(αM ) = hay g(x) = Do x ∈ Ker(g) = Im(f ), tồn y ∈ M : x = f (y) Suy f (αM (y)) = αM (x) = hay αM (y) = f đơn cấu Kéo theo y = x = f (y) = Vậy αM đơn cấu Giả sử y ∈ D2 (M ) Nếu g (y) = suy y ∈ Ker(g ) = Im(f ), tồn x ∈ M : y = (f ◦ αM )(x) = (αM ◦ f )(x) = αM (f (x)) Nếu g (y) = suy tồn z ∈ M : g (y) = (αM ◦ g)(z) = (g ◦ αM )(z) = g (αM (z)) Do ta có αM (z) − y ∈ Ker(g ) = Im(f ) Vì tồn x ∈ M : αM (z) − y = (f ◦ αM )(x) = αM (f (x)) Suy y = αM (z − f (x)) Vậy αM toàn cấu Từ Mệnh đề 3.3.2 Định lý 3.3.5 ta có hai hệ sau Hệ 3.3.6 Luôn tồn hàm tử đối ngẫu M odA 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung Hệ 3.3.7 (i) D(A) = ωA D(ωA ) = A; (ii) socle(ωA ) ∼ = A/m Hệ sau suy trực tiếp từ Hệ 3.3.7 Định lý 3.1.7 Hệ 3.3.8 (i) AnnA (ωA ) = 0; (ii) A (A) = A (ωA ); (iii) EndA (ωA ) ∼ = A Nếu vành địa phương chiều không A không gian véctơ hữu hạn chiều k môđun tắc biểu diễn phần tử trường sau: Một hàm tử đối ngẫu không gian véctơ có dạng Homk (−, k), ta có ωA ∼ = Homk (A, k) Tiếp theo ta thấy với thay đổi nhỏ thay trường vành địa phương Mệnh đề 3.3.9 Cho (B, mB ) vành địa phương, A B - đại số B - môđun hữu hạn sinh Giả thiết mB ⊆ mA E bao nội xạ trường thặng dư B Khi ωA ∼ = HomB (A, E) Đặc biệt, B có chiều không ωA ∼ = HomB (A, ωB ) Chứng minh Đặt M = HomB (A, E) Theo Mệnh đề 2.2.10 ta có M A - môđun nội xạ Để chứng minh M bao nội xạ trường thặng dư A ta chứng minh mở rộng cốt yếu kA Do A B - môđun hữu hạn sinh suy kA không gian véctơ hữu hạn chiều kB Từ ta có kA ∼ = ωk A ∼ = HomkB (kA , kB ) 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung kA - môđun (đây trường hợp đặc biệt mệnh đề với A, B trường) Giả sử S ⊆ M A - môđun mà Ker đồng cấu S chứa mA , hay mA f = với f ∈ S Ta có socle(M ) = (0 :M mA ) = {f ∈ M : f mA = 0} Với a ∈ mA , đồng cấu af : A −→ E cho u −→ af (u) = f (au) Do af = af (u) = 0, với u ∈ A, tương đương f (a) = 0, hay a ∈ Ker(f ) Suy mA f = Mà S tập thoả mãn điều kiện mA f = với f ∈ M , S = socle(M ) Với f ∈ S, mB ⊆ mA ⊆ Ker(f ) nên mB f = 0, suy mB Im(f ) = Do Im(f ) ⊆ socle(E) Lại có E bao nội xạ kB nên socle(E) = kB Im(f ) ⊆ kB Ta có đồng cấu f ∈ S mA ⊆ Ker(f ) Từ ta có đồng cấu cảm sinh f : kA −→ E xác định a −→ f (a) Suy S ∼ = HomB (kA , E) ∼ = HomB (kA , kB ) ∼ = kA Ta có kA ∼ = S ∼ = socle(M ), để chứng minh M mở rộng cốt yếu kA ta chứng minh mở rộng cốt yếu S Xét N = Af với = f ∈ M môđun M Vì A vành Artin nên tồn n ∈ N : mnA = 0, suy mnA f = Do tồn t t ∈ N : mtA f = mt+1 A f = Vì tồn a ∈ mA : af = Đặt g = af ∈ Af = N , suy mA g = mA af ⊂ mA mtA f = 0, g ∈ socle(M ) = S Suy S ∩ N = g = Vậy M bao nội xạ kA hay ωA = HomB (A, E) 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung KẾT LUẬN Khóa luận nghiên cứu "Môđun tắc vành Artin địa phương" gồm nội dung sau: (1) Trình bày khái niệm số tính chất vành, iđêan môđun (2) Trình bày khái niệm số tính chất hàm tử đối ngẫu phạm trù không gian véctơ; môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, bao nội xạ môđun vành (3) Xây dựng hàm tử đối ngẫu môđun đại số hữu hạn trường Đưa số tính chất hàm tử đối ngẫu phạm trù môđun bảo toàn độ dài, bảo toàn iđêan linh hóa tử bảo toàn môđun đồng cấu (4) Định nghĩa khái niệm đỉnh, đế môđun, số tính chất quan trọng đỉnh đế qua đối ngẫu đưa số ví dụ tính toán cụ thể tìm đỉnh đế môđun (5) Định nghĩa chứng minh số tính chất môđun tắc vành Artin địa phương Xây dựng công thức cụ thể hàm tử đối ngẫu môđun thông qua môđun tắc Mặc dù cố gắng, thời gian kiến thức thân hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót Vì mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Một lần xin cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy giáo - Thạc Sĩ Đỗ Văn Kiên, thầy cô khoa toán, Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Kim Dung bạn sinh viên giúp hoàn thành khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Tác giả khóa luận Đỗ Thị Kim Dung Tài liệu tham khảo [BH] W Bruns, J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, 1993 [D] Vũ Thị Duyên, Môđun tắc vành Gorenstein trường hợp chiều thấp, Luận văn tốt nghiệp cao học Đại số, Đại học Sư phạm Thái Nguyên, 2014 [E] David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer Verlag, 1995 [GTT] Goto, Takahashi, Taniguchi, Almost Gorenstein rings-towards a theory of higher dimension, Journal of pure and app Algebra (2015) [HK] J Herzog, E Kunz, Der kanonische Modul eines CohenMacaulay-Rings, Lecture Notes in Mathematics, 238, SpringerVerlag, Berlin-New York, 1971 ... Môđun hữu hạn sinh vành Artin môđun Artin Hệ 1.2.25 Nếu I iđêan vành Artin vành A/I vành Artin Mệnh đề 1.2.26 Cho M A - môđun, N A - môđun M Khi M A - môđun Artin (Noether) N M/N A - môđun Artin. .. 23 Môđun tắc vành Artin địa phương 28 3.1 Hàm tử đối ngẫu phạm trù môđun 28 3.2 Đỉnh đế môđun 35 3.3 Môđun tắc vành Artin địa phương 39 KẾT LUẬN... biệt vành CohenMacaulay vành Gorenstein đẳng cấu với môđun tắc Một ứng dụng quan trọng môđun tắc môđun tắc cho phép ta xây dựng tất hàm tử đối ngẫu phạm trù môđun Trong luận văn xét môđun tắc vành