BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Trần Thị Nhung LỚP BÀI TOÁN NEUMANN CÓ BA NGHIỆM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN LỚP BÀI TOÁN NEUMANN CÓ BA NGHIỆM Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Thạc sĩ Nguyễn Quốc Tuấn Hà Nội – Năm 2017 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG Lời cảm ơn Trong trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận "Lớp Bài toán Neumann có ba nghiệm", nhận quan tâm, động viên, khích lệ thây cô tổ Giải tích nói riêng khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung với hỗ trợ, giúp đỡ bạn sinh viên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Th.S Nguyễn Quốc Tuấn Thầy tận tình hướng dẫn suốt thời gian qua để hoàn thành khóa luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà trình bày hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Tôi kính mong bảo đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo, bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Trần Thị Nhung i Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG Lời cam đoan Khóa luận hoàn thành hướng dẫn thầy giáo, Th.S Nguyễn Quốc Tuấn với cố gắng thân Trong trình thực có tham khảo số tài liệu (như nêu mục tài liệu tham khảo) Tôi xin cam đoan nội dung trình bày khóa luận kết trình tìm hiểu, tham khảo học tập thân, không trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, Ngày tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Trần Thị Nhung ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Lời nói đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach, không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Không gian Hilbert Hàm lồi 1.2.1 Tập lồi 1.2.2 Hàm lồi 1.2.3 Hàm nửa liên tục 1.3 Hàm khả vi Gâteaux 1.4 Tôpô yếu, hàm Carathéodory 10 1.4.1 Tôpô yếu 10 1.4.2 Hàm Carathéodory 10 1.2 LỚP BÀI TOÁN NEUMANN CÓ BA NGHIỆM 2.1 Không gian Sobolev W 1,p (Ω) iii 12 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG 2.2 Một số định lý tồn nghiệm 13 2.3 Bài toán Neumann 20 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 28 iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG Lời nói đầu John Von Neumann nhà toán học người Mỹ gốc Hungary Ông có đóng góp vào vật lý lượng tử, giải tích, thống kê nhiều lĩnh vực toán khác Cả đời nghiệp, Neumann công bố nhiều công trình Trong có công trình nghiên cứu tồn nghiệm: On compact solutions of operational - differential equations (1935), The point source solution (1941), Sau đó, có nhiều nhà toán học nghiên cứu theo hướng ông như: Biagio Ricceri, P Binding, G Bonanno, Ngày nay, giới lấy tên ông để đặt cho lớp toán quan trọng toán học: "Bài toán Neumann" Năm 1985, nhà toán học E Zeidler nghiên cứu phiếm hàm phi tuyến ứng dụng Đến năm 1993, nhà toán học G Tarantello nghiên cứu kết tính bội toán Neumann với số mũ tới hạn Trên sở số kết nghiên cứu toán Neumann, nhà Toán học Biagio Ricceri nghiên cứu đa nghiệm toán Neumann Điển hình "Ba nghiệm toán Neumann"(xem [5]) vào năm 2002 Dưới góc độ sinh viên sư phạm Toán đặc biệt giúp đỡ Th.S Nguyễn Quốc Tuấn, xin mạnh dạn nghiên cứu báo [5] Ricceri để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Chương "Kiến thức chuẩn bị" trình bày số kiến thức không gian Banach, hàm khả vi Gâteaux, Ở chương hai "Lớp Bài toán Neumann có ba nghiệm", trình bày định nghĩa Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG không gian Sobolev W 1,p (Ω) Tiếp đến, nói số định lý tồn nghiệm Trong đó, Định lý 2.2: "Cho X không gian Hilbert thực hữu hạn chiều cho J : X → R hàm C cho J(x) x →+∞ x lim inf ≥ Giả sử, điểm x0 ∈ X r, s ∈ R, với < r < s, cho inf J(x) < x∈X inf x−x0 ≤s J(x) ≤ J(x0 ) ≤ inf r≤ x−x0 ≤s J(x) ˆ > cho phương trình x + λJ ˆ (x) = x0 có Khi đó, tồn λ ba nghiệm" cung cấp cho công cụ mạnh việc nghiên cứu đa nghiệm Bài toán Neumann Cuối cùng, trình bày số định lý lớp Bài toán Neumann đa nghiệm Trong đó, Định lý 2.5 toán    −∆u = α(x) |u|q−2 u − u + λf (x, u)   ∂u = ∂v Ω; ∂Ω có ba nghiệm không gian W 1,2 (Ω) Trong trình hoàn thành khóa luận, trình độ thời gian hạn chế nên tránh khỏi sai sót Kính mong quý thầy cô đóng góp ý kiến để khóa luận hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Trần Thị Nhung Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Không gian Banach, không gian Hilbert Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian định chuẩn không gian tuyến tính X trường R với ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu · đọc chuẩn thỏa mãn tiên đề sau đây: i Với x ∈ X x ≥ 0, x = x = 0; ii Với x ∈ X, α ∈ R αx = |α| x ; iii Với x, y ∈ X x + y ≤ x + y Số x gọi chuẩn vectơ x Ta ký hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề i, ii, iii gọi hệ tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Dãy {x}n∈N không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X lim xn − x = n→∞ Định nghĩa 1.1.3 Dãy {x}n∈N không gian định chuẩn X gọi dãy (hay dãy Cauchy) ε > nhỏ tùy ý tồn Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG N (ε) > cho xm − xn < ε với m, n > N (ε) Định nghĩa 1.1.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ Định nghĩa 1.1.5 Một tập A không gian X gọi compact dãy vô hạn phần tử thuộc A chứa dãy hội tụ tới phần tử thuộc A Tập A gọi compact địa phương với điểm a ∈ A tồn lân cận U a cho U ∩ A tập compact Định nghĩa 1.1.6 Cho A B hai tập X Tập A gọi trù mật B B ⊂ A Nếu A = X A gọi trù mật khắp nơi X Định nghĩa 1.1.7 Không gian X gọi không gian tách tập X chứa tập đếm trù mật khắp nơi không gian X 1.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian tuyến tính X trường R Ta gọi tích vô hướng không gian X ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường R, ký hiệu ·, · , thỏa mãn tiên đề: i Với x, y ∈ X y, x = x, y ; ii Với x, y, z ∈ X x + y, z = z, x + y, z ; iii Với x, y ∈ X, α ∈ R αx, y = α x, y ; iv Với x ∈ X x, x > x = 0, x, x = x = Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG Từ định nghĩa Φ, ta suy x1 x2 hai cực tiểu địa phương hàm số x → J(x) + λ∗ x − x0 Do hàm J(·) + λ∗ · −x0 thỏa mãn điều kiện Palais-Smale áp dụng Hệ [14], ta suy hàm J có ba điểm tới hạn mà ba điểm nghiệm phương ˆ= trình (2.3), với λ 2λ∗ Ta suy điều phải chứng minh Ví dụ 2.1 Xét L2 ([0, 1]) với tích vô hướng thông thường Cho ϕ : R → R hàm C bị chặn thỏa mãn ϕ(t) = với t ∈ (−∞, δ] (δ > 0) ϕ(1) < − 21 Với u ∈ L2 ([0, 1]), đặt 1 J(u) = u2 (t)dt tu (t)dt + ϕ 0 Ta thấy J phiếm hàm C L2 ([0, 1]) thỏa mãn (2.1) Ngoài u2 (t)dt < δ ra, ta ý thêm J(1) < Hơn nữa, ta có J(u) ≥ J(0) = Vì vậy, bất đẳng thức (2.2) với điều kiện x0 = √ < r < s < δ Giả sử λ ∈ R, u ∈ L2 ([0, 1]) thỏa mãn phương trình u + λJ (u) = Điều nghĩa với v ∈ L2 ([0, 1]), ta có 1 u2 (τ )dτ + 2λ t + ϕ u(t)v(t)dt = 0 Do u2 (τ )dτ + 2λ t + ϕ u(t) = đoạn [0, 1] Từ đó, ta suy u = Nhận xét 2.1 Ở nhận xét này, ta nói đến việc chứng minh Định lí 2.2 trường hợp vô hạn chiều thêm số giả thiết thích hợp Ngoài giả thiết Định lí 2.2, giả sử X vô hạn chiều x0 cực tiểu địa phương J Khi đó, bất đẳng thức cuối 16 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG (2.2) Chúng ta gọi trường hợp tầm thường Giả sử, hàm J nửa liên tục yếu theo dãy với λ > phiếm hàm x → J(x) + λ x − x0 thỏa mãn điều kiện Palais-Smale Từ bất đẳng thức đầu (2.1), tồn x˜ ∈ X với x˜ − x0 < s thỏa )−J(˜ x) mãn J(˜ x) < J(x0 ) Khi đó, với λ ∈ 0, J(xx˜0−x phiếm hàm x → J(x) + λ x − x0 bức, nửa liên tục yếu theo dãy, có cực tiểu toàn cục khác x0 (tùy theo giá trị λ) Từ Hệ [14], x0 gần với cực tiểu địa phương phiếm hàm Do đó, trường hợp tầm thường ta chứng minh trực tiếp mà không cần sử dụng đến Mệnh đề 2.1 Theo điều kiện compact theo dãy Mệnh đề 2.1, xét tôpô mạnh mà xét tôpô yếu X Giả sử, ta xét hàm số g : (0, β) → X thỏa mãn Φ(g(t)) = t với t ∈ (0, β) Khi đó, g liên tục r2 tôpô yếu Vì dim(X) = ∞, chuẩn không liên tục yếu theo dãy nên kết luận Ánh xạ t → xˆk liên tục yếu (đưa i Mệnh đề 2.1) không đủ để kết luận ii Vì vậy, ánh xạ t → xˆk liên tục mạnh (nếu ii không đúng) Theo Hệ 2.13 [13], ta thấy ánh xạ liên tục mạnh khoảng (t∗ , +∞), t∗ = inf t > : inf x−x0 =t J(x) < J(x0 ) Thấy J liên tục yếu theo dãy Do x0 không cực tiểu địa phương J hàm t → inf J(x) không tăng (xem [13], Bổ đề 2.1), ta x−x0 =t suy t∗ = Tuy nhiên, tính đơn điệu t → inf x−x0 =t bất đẳng thức cuối (2.2) không 17 J(x) nên Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG Nhận xét 2.2 Định lý 2.2 không thiếu điều kiện (2.1).Thật vậy, xét hàm J : R → R cho J(x) =   0 x ≤ 1;   −(x − 1)2 x > Rõ ràng, J hàm số C thỏa mãn (2.2) với x = phương trình x + λJ (x) = có nhiều hai nghiệm với λ ∈ R Các hàm (trong R) J(x) = x2 J(x) = x cho phản ví dụ cho Định lí 2.2 Khi đó, bất đẳng thức cuối (2.2) không Để kết luận, áp dụng Định lí 2.2 với toán biên rời rạc Xét n ∈ N, (n ≥ 2) fk : R → R (k = 1, , n) n hàm số Cho λ > 0, xét toán cổ điển   −(xk+1 − 2xk + xk+1 ) = λfk (xk ) k = 1, , n (Pλ )  x0 = xn+1 = Tập X = (x0 , x1 , , xn , xn+1 ) ∈ Rn+2 : x0 = xn+1 = Cho X với tích vô hướng n+1 x, y = − (xk − xk−1 )(yk − yk−1 ) k=1 Dễ thấy ∞ x, y = − (xk+1 − 2xk + xk−1 )yk (2.4) k=1 Chúng ta đặt γ = inf max |xk | δ = x∈X, x =1 1≤k≤n 18 sup max |xk | x∈X, x =1 1≤k≤n Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG Định lý 2.3 Cho fk : R → R (k = 1, , n) n hàm số liên tục thỏa mãn t fk (τ )dτ lim sup ≤0 t2 |t|→∞ (2.5) với k = 1, , n Giả sử, tồn hai số r, s với < r < s, cho n sup k=1 n t t∈R t sup fk (τ )dτ > k=1 |t| cho toán (Pˆ ) có ba nghiệm Khi đó, tồn λ λ Chứng minh Với x ∈ X, đặt n xk J(x) = − fk (t)dt k=1 Chúng ta thấy J hàm C X theo (2.4), nghiệm toán (Pλ ) nghiệm phương trình x + λJ (x) = Chúng ta áp dụng Định lí 2.2 (với x0 = 0) Chú ý, từ điều kiện (2.1) kéo theo (2.5) (Định lí 3, [10]) Khi n inf J(x) = − x∈X t sup k=1 19 t∈R fk (τ )dτ Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG n inf J(x) ≥ − x ≤s t sup k=1 |t|≤δs fk (τ )dτ Ta suy bất đẳng thức đầu (2.1) theo (2.6) Xét x ∈ X thỏa mãn r ≤ x ≤ s Với k ∈ N, ≤ k ≤ n, |xk | ≥ γr theo (2.7) ta thấy J(x) ≥ (bất đẳng thức cuối (2.2)) Vì vậy, tất giả thiết Định lí 2.2 thỏa mãn Ta suy điều phải chứng minh 2.3 Bài toán Neumann Trong phần này, xét toán Neumann dạng    −∆u = α(x) |u|q−2 − u + λf (x, u)   ∂u = ∂v Ω; (2.8) ∂Ω Trong [7], ta áp dụng lý thuyết đưa với giả thiết thích hợp Khi đó, tồn khoảng mở A ⊆ R số thực dương cho với λ ∈ A, Bài toán (2.8) nhận ba nghiệm W 1,2 (Ω) mà chuẩn nhỏ Mệnh đề 2.3.1 (Xem [7], Định lí 3) Cho X không gian Banach thực tách phản xạ, khoảng I ⊂ R g : X × I → R hàm liên tục thỏa mãn điều kiện sau: i Với x ∈ X hàm số g(x) lõm; ii Với λ ∈ I, hàm số g(·, λ) nửa liên tục yếu theo dãy, khả 20 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG vi Gâteaux liên tục, thỏa mãn điều kiện Palais-Smale lim g(x, λ) = ∞; x →∞ iii Tồn hàm lõm liên tục h : I → R thỏa mãn sup inf (g(x, λ) + h(λ)) < inf sup (g(x, λ) + h(λ)) λ∈I x∈X x∈X λ∈I Khi đó, tồn khoảng mở A ⊆ I số thực dương cho với λ ∈ A, phương trình g (x, λ) = có ba nghiệm X mà chuẩn nhỏ Định lý 2.4 Cho X không gian Banach thực tách phản xạ, hai hàm Φ, Ψ : X → R khả vi Gâteaux liên tục Giả sử Φ nửa liên tục yếu theo dãy, Ψ liên tục yếu theo dãy Với λ ∈ R, hàm số Φ + λΨ thỏa mãn điều kiện Palais-Smale lim (Φ(x) + λΨ(x)) = ∞ x →∞ Giả sử, tồn x1 , x2 ∈ X r ∈ R thỏa mãn điều kiện sau: i inf Φ(x) < x∈X inf x∈Ψ−1 (r) Φ(x); ii Φ(x1 ) = Φ(x2 ) = inf Φ(x); x∈X iii Ψ(x1 ) < r < Ψ(x2 ) Khi đó, tồn khoảng mở A ⊆ R số thực dương 21 cho với Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG λ ∈ A, phương trình Φ (x) + λΨ(x) = chứa ba nghiệm X mà chuẩn nhỏ Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh điều kiện i Lấy I = R g(x, λ) = Φ(x) + λ(Ψ(x) − r) với (x, λ) ∈ X × R Chúng ta thấy hàm g liên tục thỏa mãn điều kiện i ii Ta suy điều kiện iii Ta chứng minh điều phản chứng Đặc biệt, giả sử sup inf (Φ(x) + λ(Ψ(x) − r)) = inf sup(Φ(x) + λ(Ψ(x) − r)) λ∈R x∈X x∈X λ∈R Ta thấy sup inf (Φ(x) + λ(Ψ(x) − r)) = λ∈R x∈X inf Φ(x) inf Φ(x) x∈Ψ−1 (r) Đặt inf sup(Φ(x) + λ(Ψ(x) − r)) = x∈X λ∈R x∈Ψ−1 (r) (2.9) Theo điều kiện iii, ta suy lim inf (Φ(x) + λ(Ψ(x) − r)) ≤ lim (Φ(x1 ) + λ(Ψ(x1 ) − r)) = −∞, λ→∞ x∈X λ→∞ lim inf (Φ(x) + λ(Ψ(x) − r)) ≤ lim (Φ(x2 ) + λ(Ψ(x2 ) − r)) = −∞ λ→−∞ x∈X λ→−∞ Hàm thực λ → inf ((Φ(x) + λ(Ψ(x) − r)) (hàm liên tục R, lõm) x∈X 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG đạt cận Do đó, cho λ∗ ∈ R thỏa mãn inf (Φ(x) + λ∗ (Ψ(x) − r)) = sup inf (Φ(x) + λ(Ψ(x) − r)) x∈X λ∈R x∈X Từ (2.9), ta suy inf (Φ(x) + λ∗ (Ψ(x) − r)) = x∈X inf x∈Ψ−1 (r) Φ(x) (2.10) Từ ii., ta thấy λ∗ = Theo ii, iii (2.10) suy inf −1 x∈Ψ (r) Φ(x) ≤ {Φ(x1 ) + λ∗ (Ψ(x1 ) − r), Φ(x2 ) + λ∗ (Ψ(x2 ) − r)} , hay inf x∈Ψ−1 (r) Φ(x) < inf Φ(x) x∈X Ta suy điều phải chứng minh Hệ 2.1 Cho X không gian Banach thực tách phản xạ, hai phiếm hàm Φ, Ψ : X → R khả vi Gâteaux liên tục Giả sử Φ hàm chẵn nửa liên tục yếu theo dãy, Ψ hàm lẻ liên tục yếu theo dãy Với λ ∈ R, phiếm hàm Φ + λΨ thỏa mãn điều kiện Palais-Smale lim (Φ(x) + λΨ(x)) = ∞ x →∞ Cuối cùng, giả sử inf Φ(x) < x∈X inf x∈Ψ−1 (0) Φ(x) Khi đó, kết luận Định lí 2.4 Chứng minh Xét u cực tiểu toàn cục Φ Từ giả thiết, ta suy Ψ(u) = Giả sử Ψ(u) < Khi đó, Φ chẵn Ψ lẻ nên 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG thỏa mãn ba điều kiện Định lí 2.4 Ta dễ thấy r = 0, x1 = u, x2 = −u suy điều phải chứng minh Định lý 2.5 Cho Ω ⊂ Rn tập mở liên thông bị chặn, có biên thuộc lớp C f : Ω × R → R hàm Carathéodory Giả sử, n+2 n−2 tồn b > 0, p ≥ với p < 2n n ≥ 3, s ∈ [0, 2), β ∈ L n+2 (Ω), 2n γ ∈ L 2n−(2n−2)s (Ω), δ ∈ L1 (Ω) cho i |f (x, ξ)| ≤ b|ξ|p + β(x) với x ∈ Ω ξ ∈ R; ξ f (x, t)dt ≤ γ(x)|ξ|s + β(x)|ξ| + δ(x) với x ∈ Ω ξ ∈ R; ii iii Với x ∈ Ω, hàm số f (x, ·) hàm chẵn Với α ∈ L∞ (Ω), ess inf α > 0, q ∈ (1, 2) c > thỏa mãn Ω  f (x, ξ)dξ  dx =  Ω  c 2−q (2.11) Khi đó, tồn khoảng mở A ⊂ R số thực dương cho với λ ∈ A, toán Neumann    −∆u = α(x) c|u|q−2 u − u + λf (x, u)   ∂u = ∂v Ω; (2.12) ∂Ω (Trong v pháp tuyến đơn vị ∂Ω) chứa ba nghiệm yếu W 1,2 (Ω) mà chuẩn nhỏ Trong trường hợp tổng quát, ϕ : Ω × R → R hàm Carathéodory nghiệm yếu toán 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG    −∆u = ϕ(x, u)   ∂u = ∂v Ω; ∂Ω (Trong v pháp tuyến đơn vị ∂Ω) u ∈ W 1,2 (Ω) cho ϕ(x, u(x))v(x)dx = 0, v ∈ W 1,2 (Ω) ∇u(x)∇v(x)dx − Ω Ω Chứng minh Cho α ∈ L∞ (Ω) với ess inf α > 0, q ∈ (1, 2) c > Ω thỏa mãn (2.11) Áp dụng Định lí 2.4, lấy X = W 1,2 (Ω) với chuẩn |∇u(x)|2 + α(x)|u(x)|2 dx u = Ω Đặt J(u) = c q α(x)|u(x)|q dx, Φ(u) = Ω u 2 − J(u), u(x) Ψ(u) = − dx, với u ∈ X f (x, ξ)dξ Ω Theo kết trước, phiếm hàm Φ Ψ khả vi Gâteaux liên tục X, điểm tới hạn Φ + λΨ nghiệm yếu Bài toán (2.12) Ngoài ra, theo định lí Rellich-Kondrachov, hai toán tử J Ψ compact Đặc biệt, phiếm hàm Φ nửa liên tục yếu theo dãy phiếm hàm Ψ liên tục yếu theo dãy Theo điều kiện ii, Định lí phép nhúng Sobolev Bất đẳng thức H¨older, η > 0, ta suy Φ(u) + λΨ(u) ≥ u 2 −η( u 25 q + |λ|( u s + u + 1)) Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG với u ∈ X λ ∈ R Do q, s < nên lim (Φ(u) + λΨ(u)) = ∞ u →∞ Ta suy phiếm hàm Φ + λΨ thỏa mãn điều kiện Palais-Smale (xem Ví dụ 38.25, [11]) Ta thấy phiếm hàm Φ hàm chẵn theo điều kiện iii phiếm hàm Φ hàm lẻ Do đó, ta suy kết luận từ Định lí 2.4 Hơn nữa, cho ta thấy inf Φ(u) < u∈X inf u∈Ψ−1 (0) Φ(u) (2.13) Do đó, với x ∈ Ω hai điểm c 2−q −c 2−q hai cực tiểu toàn cục hàm số ξ → α(x) 2 |ξ| q − cα(x) q |ξ| Kí hiệu w hàm Ω lấy giá trị c 2−q Khi đó, u ∈ X với |u| = w, ta suy Φ(u) ≥ > α(x)|u(x)|2 dx − Ω 1 2−q − c q c q α(x)|u(x)|q dx Ω α(x)dx = Φ(w) Ω Điều nghĩa w −w hai cực tiểu toàn cục phiếm hàm Φ X (Ω liên thông từ kết trước cực tiểu Φ liên tục) Do Ψ−1 (0) đóng yếu theo dãy nên phiếm hàm Φ|Ψ−1 (0) có cực tiểu toàn cục Nhưng theo (2.11) cực tiểu khác với w −w Theo (2.13), ta suy điều phải chứng minh 2n Mệnh đề 2.2 Cho α, γ ∈ L∞ (Ω), ess inf α > 0, β ∈ L n+2 (Ω), q thuộc Ω khoảng (1, 2), h số nguyên dương chẵn, k số nguyên dương lẻ, 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG h < k, c > Giả sử h k c k(2−q) h+k γ(x)dx = − Ω β(x)dx (2.14) Ω Khi đó, tồn khoảng mở A ⊆ R số thực dương cho với λ ∈ A toán Neumann    −∆u = α(x) c|u|q−2 u − u + λ(f (x)u hk + β(x))   ∂u = ∂v Ω; ∂Ω (2.15) chứa ba nghiệm yếu w1,2 (Ω) mà chuẩn nhỏ 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG Kết luận Khóa luận “Lớp Bài toán Neumann có ba nghiệm” trình bày vấn đề sau đây: Hệ thống lại khái niệm không gian Banach, không gian Hilbert số tính chất liên quan ; Trình bày số định lí tồn nghiệm; Trình bày lớp Bài toán Neumann đa nghiệm Sau trình nghiên cứu, tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận quan tâm, đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Trần Thị Nhung 28 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Huỳnh Thế Phùng (2009), Cơ sở giải tích lồi, Nxb Đại học Khoa học Huế [3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, Nxb Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [4] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nxb Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [5] B Ricceri (2002), Three solutions for a Neumann problem, Nonlinear Anal 20, 275 – 281 [6] B Ricceri (2009), A multiplicity theorem in Rn , Journal of Convex Analysis 16, No 3, 987 – 992 [7] B Ricceri (2000), On a three critical points theorem, Arch Math (Basel) 75, 220 – 226 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN THỊ NHUNG [8] B Ricceri (2008), Well-posedness of constrained minimization problems via saddle-points, J Global Optim, 40, 389 – 397 [9] E Zeidler (1985), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, vol III, Spriger - Verlag [10] F Faraci and A Iannizzotto (2007), Multiplicity theorems for discrete boundary value problems, Aequationes Math, 74, 111 – 118 [11] G Bonano(online), Multiple solutions for a Neumann boundary value problem, J Nonlinear Convex Anal Volume 4, Number pp 287 – 290 [12] G Tarantello (1993), Multiplicity results forr an inhomogeneous Neumann problem with critical exponent, Manuscripta Math 81, 57 – 78 [13] M Schechter and K Tintarev (1985), Sherical maxima in Hilbert space and semilinear elliptic eigenvalue problems, Differential Integral Equations, 60, 142 – 149 [14] P Pucci and J Serrin (1985), A mountain pass theorem, J Differential Equations, 60, 142 – 149 [15] V Neumann and S Bochner (1935), On compact solutions of operational-differential equations, J Differential Equations, 36, 255 – 291 [16] V Neumann (1941), The point source solution, Div B Report AM-9, 219 – 237 30 ... Trờn c s mt s kt qu ó c nghiờn cu v bi toỏn Neumann, nh Toỏn hc Biagio Ricceri nghiờn cu s a nghim ca bi toỏn Neumann in hỡnh l "Ba nghim ca mt bi toỏn Neumann" (xem [5]) vo nm 2002 Di gúc mt sinh... 1.2 LP BI TON NEUMANN Cể BA NGHIM 2.1 Khụng gian Sobolev W 1,p () iii 12 12 Khúa lun tt nghip i hc TRN TH NHUNG 2.2 Mt s nh lý tn ti nghim 13 2.3 Bi toỏn Neumann ... mỡnh Chng mt "Kin thc chun b" trỡnh by mt s kin thc v khụng gian Banach, hm kh vi Gõteaux, chng hai "Lp Bi toỏn Neumann cú ba nghim", chỳng tụi trỡnh by v nh ngha Khúa lun tt nghip i hc TRN