Đang tải... (xem toàn văn)
cac phuong phap tinh tich phan, các phương pháp tính tích phân đặc biệt.các phương pháp tính tích phân đặc biệt,cac phuong phap tinh tich phan, các phương pháp tính tích phân đặc biệt.các phương pháp tính tích phân đặc biệt,cac phuong phap tinh tich phan, các phương pháp tính tích phân đặc biệt.các phương pháp tính tích phân đặc biệt,cac phuong phap tinh tich phan, các phương pháp tính tích phân đặc biệt.các phương pháp tính tích phân đặc biệt,cac phuong phap tinh tich phan, các phương pháp tính tích phân đặc biệt.các phương pháp tính tích phân đặc biệt,cac phuong phap tinh tich phan, các phương pháp tính tích phân đặc biệt.các phương pháp tính tích phân đặc biệt,cac phuong phap tinh tich phan, các phương pháp tính tích phân đặc biệt.các phương pháp tính tích phân đặc biệt,cac phuong phap tinh tich phan, các phương pháp tính tích phân đặc biệt.các phương pháp tính tích phân đặc biệt,cac phuong phap tinh tich phan, các phương pháp tính tích phân đặc biệt.các phương pháp tính tích phân đặc biệt,
http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN I PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn Đặt x = |a| sint; với t ; x = |a| cost; 2 với t 0; a2 x2 a a ; với t ; \ 0 x = ; sint cost 2 với t 0; \ 2 Đặt x = |a|tant; với t ; x = |a|cost; 2 với t 0; x a2 Đặt x = a2 x ax ax Đặt x = acos2t ax ax Đặt x = a + (b - a)sin2t x a b x a x2 Đặt x = atant; với t ; 2 Bài 1: Tính I 2 x2 dx x2 Giải: Đặt x = cost, t ; dx = - sint dt 2 Đổi cận: x t 1 Khi đó: I 2 = 2 1 x cos t sint dx = dt = x cos 2t sin t sin t dt = cos 2t sin t cos t dt = cos t 1dt 2 tan t t = (vì t 0; nên sint sin t sin t ) 4 http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân a Bài 2: Tính I x a x dx Giải: Đặt x = asint, t ; dx = acostdt 2 Đổi cận: x a t a Khi đó: I x a x dx = a sin t a sin t acostdt = a sin tcos 2tdt = 0 a sin 2tdt a = a4 a4 cos t dt = t sin t = 0 16 0 Bài 3: Tính I x x dx Giải: Đặt x = sint, t ; dx = costdt 2 Đổi cận: x t Khi đó: I x x dx = sin t sin t costdt = 0 1 sin tcos tdt = sin 2tdt = 40 40 1 1 = 1 cos 4t dt = t sin 4t = 80 8 16 Bài 4: Tính I x x dx Giải: Đặt t = x t2 = - x2 xdx = -tdt Đổi cận: x t 1 Khi đó: I x x dx = I x x xdx = e2 Bài 5: Tính I e 1 t t.tdt = t3 t5 t t dt = = 15 dx x ln x http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân Giải: Đặt t = lnx dt = Đổi cận: x t dx x e2 e e2 Khi đó: I e dx = x ln x 15 = 4t 64 dt t Bài 6: Tính I x3 x 1 dx Giải: Đặt t = x4 + dt = 4x3dx x 3dx Đổi cận: x t dt 4 Khi đó: I x3 x 1 dx = 31 t dt t 41 20 20 Bài 7: Tính I sin xcoxdx Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx Đổi cận: x t Khi đó: I sin xcoxdx t dt 0 12 Bài 8: Tính I tan xdx 12 12 sin x tan xdx cos x dx Giải: Ta có: 0 Đặt t = cos4x ; dt 4 s in xdx sin xdx Đổi cận: x t dt 12 http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân 12 Khi đó: I 12 tan xdx 0 1 sin x dt dt 1 dx ln t ln cos x 41 t 41 t 4 2 Bài 9: Tính I cos xdx Giải: Ta có: cos xdx cos xcoxdx sin x coxdx 0 Đặt t = sinx ; dt cosxdx Đổi cận: x t Khi đó: 2 I cos xdx sin x coxdx t 0 Bài 10: Tính I dt 2t t 2t t dt t 18 dx cos x Giải: Đặt t = tanx ; dt Đổi cận: x t Khi đó: I Bài 11: Tính I Giải: dx cos x t3 1 2 dx tan x dx t dt t 0 0 cos x cos x 30 cos x dx s in x Đặt t = sinx ; dt cosxdx Đổi cận: x t 1 http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân 1 cos x (1 s in x) 1 t 1 Khi đó: I dx cosxdx dt 1 dt t 2 s in x t t s in x 1t 6 2 Bài 12: Tính I sin xcos xdx Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx Đổi cận: x t Khi đó: 1 t4 t6 1 I sin xcos3 xdx sin x sin x cosxdx t t dt t t dt 12 0 0 Bài 13: Tính I esin x sin xdx Giải: Đặt t = sin2 x ; dt s in2 xdx Đổi cận: x t Khi đó: I e sin x sin xdx et dt et 0 e sin x dx cos x Bài 14: Tính I Giải: Đặt t = + cos2x ; dt s in xdx s in xdx dt Đổi cận: x t 2 sin x dt dt Khi đó: I dx ln t ln 2 t 1 t cos x Bài 15: Tính I tan xdx http://thaytoan.net Giải: Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân Đặt t = tanx ; dt 1 tan x dx 1 t dt dx Đổi cận: x t Khi đó: dt t 1 1 1 t3 t 2t t 1 d t 1 dt t dt tdt dt 2 2 t t t 2 t 0 0 I tan xdx 1 1 1 ln t ln 1 ln 2 2 1 dx x 1 Bài 16: Tính I Giải: Đặt t = x ; t x dx 2tdt Đổi cận: x t 1 1 1 t Khi đó: I dx dt 2 dt t ln t 1 ln 1 t 1 t x 1 0 Bài 17: Tính I x 3 x dx Giải: Đặt t = x t x x3dx t dt Đổi cận: x t 1 3 Khi đó: I x 3 x dx t 3dt t 40 16 16 0 Bài 18: Tính I x 1 dx 2x Giải: 0 1 dx 2 x 2x 1 1 x 1 Ta có: 3 dx Đặt x tan t với t ; dx tan t dt 2 Đổi cận: x -1 http://thaytoan.net t Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân 3 Khi đó: I dx dt t 6 x 2x 3 18 1 0 x3 dx x8 Bài 19: Tính I Giải: 1 x3 x3 Ta có: dx 0 x x8 dx Đặt x tan t với t ; x 3dx tan t dt 2 Đổi cận: x 0 t 1 x x Khi đó: I dx 1 x 0 1 x e Đặt t ln x t ln x 2tdt Đổi cận: x t 1 e Khi đó: I 1 Bài 21: Tính I Giải: 1 tan t 1 dx dt dt t tan t 40 16 ln x dx x Bài 20: Tính I Giải: dx x e ln x dx x ln x 2 x 2 t.2tdt 2 t dt 2 1 t3 2 2 1 31 dx Đặt t ln x dt dx 2 x Đổi cận: x t 1 ln2 ln ln x t ln ln 2 Khi đó: I dx tdt tdt 2 x 2 ln http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân cosx dx sin x Bài 22: Tính I Giải: Đặt sin x tan t với t ; cosxdx tan t dt 2 Đổi cận: x t 4 cosx tan t Khi đó: I dx dt dt 2 sin x tan t 0 Bài 23: Tính I Giải: dx sin x x 1 x 2dt dt tan dx dx 2 2 1 t2 1 2tdt Ta tính: dx dt 2t t t sin x 1 t2 Đổi cận: x t 3 1 1 Khi đó: I dx dt ln t ln ln t sin x 3 3 Đặt t tan e Bài 24: Tính I 1 dx x 1 ln x Giải: Đặt t ln x dt Đổi cận: x t 1 e Khi đó: I dx x e 2 dt dx ln t ln x 1 ln x t 1 http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân Bài 25: Tính I x5e x dx Giải: Đặt t x3 dt 3x dx x dx Đổi cận: x t 0 1 Khi đó: I x 5e x dx 1 Bài 26: Tính I dt 1 t t1 t e t1 te dt te e dt e 0 3 0 3 x2 dx x4 x2 1 Giải: 1 Ta có: x 1 dx x x2 1 Đặt t x Đổi cận: x 1 x2 x2 1 x2 dx 1 1 x dx 1 x 1 x 1 dt dx x x t 1 1 1 dt 1 t2 Khi đó: I Đặt t tan u dt tan u du Đổi cận: x t 0 4 dt tan u Vậy I du du u 2 1 t tan u 0 0 Bài 27: Tính I dx x x3 Giải: Ta có: x dx x3 x dx x3 x3 Đặt t x3 t x 2tdt 3x dx x dx 2tdt http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân Đổi cận: x t 2 Khi đó: I dx x x3 x dx x x3 3 dt t 1 3 1 t t dt t 1 1 1 1 ln t ln t ln ln ln ln ln 1 2 1 t 1 Bài 28: Tính I 2 1 3x3 dx x2 x Giải: Ta có: x3 3x3 dx 0 x x 0 x 12 dx Đặt t x dt dx Đổi cận: x t Khi đó: 3 3 t 3t 3t t 1 3x3 3x I dx dx dt dt 2 x x t t x 0 1 t2 1 3 2 3t 3t dt 9t 9ln t 32 12 1 ln ln1 ln t t1 1 ln Bài 29: Tính I e x 3e x dx e x 3e x Giải: Đặt t e x dt e x dx Đổi cận: x ln2 t 10 http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân t 2t t 17 Khi đó: I t 2t t dt t 2t t dt 12 2 sin xcosx Bài 51: Tính I a 2cos x b sin x dx Giải: sin xcosx Ta có: I a 2cos x b sin x dx sin xcosx a sin x b sin x dx sin xcosx dx b a sin x a 2tdt b a sin xcosxdx Đặt t b2 a sin x a t b a sin x a tdt sin xcosxdx b a2 Đổi cận: x t |a| |b| b b ba tdt 1 Khi đó: I t 2 2 2 b a ab a b a a t b a Bài 52: Tính I x 1 dx 3x Giải:Đặt t 3 x t x 3t dt 3dx; x Đổi cận: x t t3 2 t3 2 t5 t 42 37 Khi đó: I t dt t t dt 1 t 3 5 15 3 2 dx Bài 53: Tính I x x 9 Giải: dx tdt tdt Đặt t x t x t tdt xdx; x x t 9 Đổi cận: x t dt t 3 Khi đó: ln ln t 9 t 3 4 18 http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân dx tan x Bài 54: Tính I Giải: Đặt t tan x dt Đổi cận: x dt dt dx tan x dx dx 2 cos x tan x t t 1 dt t 1 2 1 t 1 t2 1 t t I Khi đó: 1 dt 1 tdt 1 dt dt 01 t t 1 t2 1 J1 J2 J3 Tính: J1 ln dt ln t t 1 2 Tính: J 1 ln tdt d t 1 ln t 2 0 t 0 t 4 Tính: J dt du (với t = tanu) t 1 Vậy I ln ln ln 8 Bài 55: Tính I dx sin x Giải: 3 dx sin xdx sin xdx Ta có: 2 sin x sin x co s x Đặt t cosx dt sin xdx Đổi cận: x t Khi đó: 2 2 dt dt 1 dt dt 1 3 I dt ln t ln t ln ln 2 1 t 1 t 1 t t 1 t 1 2 2 1 t 0 19 http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân 1 ln ln 3 x sin x Bài 56: Tính I dx cos x Giải: 1 x sin x xdx sin x Ta có: I dx dx 2 cos x cos x cos x 0 I1 Tính I1 I2 xdx cos x u x du dx Đặt dv cos x dx v tan x Áp dụng công thức tính tích phân phần ta được: 3 xdx sin x 3 d cosx I1 x tan x tan xdx dx ln cosx 3 cos x cosx cosx 0 0 0 ln d cosx sin x Tính I dx 1 2 cos x cos x cosx 0 ln x3 Bài 57: Tính I dx x2 1 x Giải: Ta có: Vậy I I x x 1 x3 x3 dx x x2 x x 1 x 1 x x3 x 1.dx x x x 1.xdx 0 dx x3 x2 1 x x 1 x dx x x x dx x5 1 x x 1.xdx 0 Đặt t x dt xdx Đổi cận: x t 1 20 http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân Khi đó: 1 12 1 12 12 I t 1 t dt t t dt t dt t dt 21 5 21 21 1 2 2 2 1 2 2 t t 2 31 5 5 3 5 15 15 Bài 58: Tính I x dx 4x Đặt t x dt 4dx Đổi cận: x -1 t 1 Giải: I Khi đó: 1 5t 9 dt t x 1 4 dx dt dt tdt 16 t 812 t 16 4x t 9 5 13 t t 1 27 1 8 16 24 12 Bài 59: Tính I x xdx Giải: Đặt t x dt dx Đổi cận: x t -8 Khi đó: 8 I x xdx 43 3 468 t t 2 2 8 7 4 1 t t dt t t dt 8 dx sin x sin x 6 Bài 60: Tính I Giải: dx dx 2dx sin x sin xcosx sin x sin x sin x sin x cosx 6 6 2 I 21 http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân 2dx co s x 2 tan x tan x 2d tan x tan x tan x 3 d tan x tan x tan x 1 3 d tan x tan x tan x 2 d tan x 2 tan x d ln tan x ln tan x tan x 6 3 tan x ln ln ln ln 3 3 ln ln ln 2 dx e 3 Bài 61: Tính I 2x Giải: Đặt t e x dt e x dx Đổi cận: x t Khi đó: e e e e e d t2 dx dt tdt 2tdt I 2x 2 e 1 t t 1 t t 1 t t t t 3 e e 1 1 1 1 e2 2 d t ln t ln t ln 1 6 31t t 6 Bài 62: Tính I dx 11 x 2 Giải: Đặt t 11 x dt 5dx Đổi cận: x -2 t 6 dx dt 1 1 Khi đó: I 2 t t 30 11 x 2 e Bài 63: Tính I sin ln x x Giải: Đặt t ln x dt Đổi cận: x dx dx x e 22 http://thaytoan.net t Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân sin ln x e Khi đó: I x 1 dx sin tdt cost cos1 cos cos1 Bài 64: Tính I x 9dx Giải: t2 2t t t2 t2 x2 t x t dx dt 2t 2t 2t Đổi cận: x t Khi đó: 9 t2 t t2 81 t 81 I x 9dx dt dt ln t 2t 2t 2t 4t 6t 8 3 3 t x x2 x Đặt Bài 65: Tính I sin x cosx dx 12 Giải: I sin x cosx dx 12 dx cot x sin x 12 12 1 Bài 66: Tính I sin xdx Đặt t x dx 2td Đổi cận: x t Khi đó: 1 I t sin tdt u t du dt Đặt dv sin tdt v cosx Áp dụng công thức tính tích phân phần ta được: 1 1 I 2 tcost costdt 2 tcost sin t sin1 cos1 0 0 II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 23 http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân Tích phân hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)eax P(x) đa thức Đặt u P x dv u ln x dv Tích phân hàm số dạng P(x)lnx P(x) đa thức Đặt Bài 1: Tính I xe x dx du dx u x Đặt 2x 2x dv e dx v e Áp dụng công thức tính tích phân phần: 1 1 1 2x 1 2x 2x 1 e2 2x I xe dx xe e dx e e d x e e x e e 1 20 40 4 Bài 2: Tính I x dx cos x u x du dx Đặt dx v tan x dv co s x Áp dụng công thức tính tích phân phần: x 3 sin x 3 d cosx I dx x tan x tan xdx dx ln cosx ln 2 cos x cosx cosx 3 0 0 0 Bài 3: Tính I x 2e x dx u x du xdx Đặt x x dv e dx v e Áp dụng công thức tính tích phân phần: 1 x x x I x e dx x e xe dx e 2 xe x dx 0 0 Tiếp tục tính: J xe x dx u x du dx Đặt x x dv e dx v e Áp dụng công thức tính tích phân phần: 24 http://thaytoan.net J xe x dx xe x Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân 1 xe x dx Vậy I = e - Bài 4: Tính I 3x 1 e 3 x dx du 3dx u 3x Đặt 3 x 3 x dv e dx v e Áp dụng công thức tính tích phân phần: 1 1 1 1 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x I 3x 1 e dx 3x 1 e e dx 3x 1 e e d e3 x x 1 e 3 x e 3 x 0 30 3 0 Bài 5: Tính I x sin xdx 2 cos x Ta có: I x sin xdx x dx xdx xcos xdx 2 0 0 x2 2 0 xdx 2 Tính xcos xdx du dx u x Đặt dv cos xdx v sin x Áp dụng công thức tính tích phân phần: 12 cos x 0 xcos xdx x sin x 0 sin xdx 0 Vậy I x sin xdx 2 4 16 Bài 6: Tính I esin x sin xdx Giải: Ta có: I esin x sin xdx esin x sin xcosxdx 0 Đặt t sin x dt cosxdx 25 http://thaytoan.net Đổi cận: x Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân t Khi đó: 1 I esin x sin xcosxdx tet dt 0 u t du dt Đặt t t dv e dt v e Áp dụng công thức tính tích phân phần: 1 t t t t t te dt te e dt te e 1 0 0 0 Vậy I = e Bài 7: Tính I x 1 ln xdx dx u ln x du Đặt x dv x 1 dx v x x Áp dụng công thức tính tích phân phần: e e e e I x 1 ln xdx x x ln x x 1 dx 2e e x x e 1 1 Bài 8: Tính I x ln x 1 dx Đặt t x dt xdx Đổi cận: x t Khi đó: 2 I x ln x 1 dx ln tdt 21 dx u ln t du Đặt t dv dt v t Áp dụng công thức tính tích phân phần: 2 1 ln tdt t ln t 1 dt ln 1 Vậy I x ln x 1 dx ln 26 http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân Bài 9: Tính I cosx ln sin x dx cosx dx u ln sin x du Đặt sin x dv cosdx v sin x Áp dụng công thức tính tích phân phần: 2 I cosx ln sin x dx sin x ln sin x cosxdx in x ln sin x 6 Bài 10: Tính I sin x ln xdx sin x u x du dx Đặt dx v cot x dv sin x Áp dụng công thức tính tích phân phần 3 xdx I x cot x cot xdx ln sin x 3 sin x 4 ln 36 2 Bài 11: Tính I e x cos xdx u cosx du sin xdx Đặt x x dv e dx v e Áp dụng công thức tính tích phân phần 2 I e x cos xdx e x cosx e x sin xdx 0 I1 Tính I1 e x sin xdx u sin x du cosxdx Đặt x x dv e dx v e Áp dụng công thức tính tích phân phần 27 http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân x x I1 e sin xdx e sin x e co s xdx e sin x I 0 0 x x e 1 Suy ra: I e x cos xdx e x cosx e x sin x 0 sin x x e dx c osx Bài 12: Tính I x x sin x x e dx sin x x e dx sin x x e dx e dx e dx cosx cosx cosx cos x cosx 0 I2 Ta có: I I1 e x dx Tính: I1 cos x x u e du e x dx Đặt dv dx x v tan x cos Áp dụng công thức tính tích phân phần x 2 e dx x x x I1 e x tan tan e x dx e tan e x dx x cos 2 2 0 x x co s 2 2sin sin x x 2 e x dx tan x e x dx Tính: I e dx 0 x cosx 0 2cos 2 Vậy I e TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH GIÁN TIẾP Bài 1: Tính I sin x dx sin x cosx Giải: t dx dt Đổi cận: Đặt x 28 http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân x t Khi đó: sin t 2 I sin t cos t 2 2 Vậy I I I co s t co s x dt dx co s t s int co s x s in x dt sin x cosx dx dx x I sin x cosx 0 sin x Bài 2: Tính I dx sin x cos x Giải: Đặt x t dx dt Đổi cận: x t Khi đó: sin t 2 co s t co s x 2 I dt dt dx 3 3 co s t sin t co s x sin x 3 3 0 sin t co s t 2 2 2 sin x cos x Vậy I I I dx dx x I sin x cos x 0 1 ex e x Bài 3: Tính tích phân: I x x dx I x x dx e e e e 0 Ta có: I J dx 1 I J Từ suy ra: I d e x e x e x e x e2 x x 1 dx ln e e ln e e ln ln 0 e x e x e x e x 2e 1 2e 1 e2 1 ln J 1 ln 2 2e 2 e 1 29 http://thaytoan.net Bài 4: Tính I ln Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân s inx dx 1+cosx Giải: t dx dt Đổi cận: x t Khi đó: s in t 2 co s t co s x I ln dt ln dt ln dx 1+sint 1+sinx 0 1+cos t 2 Đặt x Vậy s inx cosx cosx s inx I I I ln ln dx ln dx ln1 dx 0dx I s inx co s x s inx co s x 0 0 0 sin x dx 6 sin x cos x Bài 5: Tính I t dx dt Đổi cận: x t Khi đó: sin t 2 co s t co s x 2 I dt dt 0 co s6 x sin x dx co s t sin t sin t co s t 2 2 6 2 sin x cos x Vậy I I I dx dx x I sin x cos x 0 Giải: Đặt x 2 Bài 6: Tính I sin sin x nx dx Giải: Đặt t t dt dx Đổi cận: 30 http://thaytoan.net x t Khi đó: Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân 2 I sin sin t n t dt sin sin t n nt dt sin sin t nt cos n dt sin sin t nt s in n dt I sin sin t nt cos n dt (do sin n ) Đặt y t dy dt Đổi cận: t y Khi đó: I sin sin y ny cos n dy sin sin y ny cos n dy sin sin y ny cos n dy sin sin t nt cos n dy I I I I Bài 7: Tính I sin x sin x cosx dx Giải: t dx dt Đổi cận: x t Khi đó: 4sin t 2 4co s t 4co s x 2 I dt dt dx 3 co s t sin t co s x sin x t co s t sin 2 Đặt x I I 2I sin x sin x cosx dx 4co s x sin x cosx dx sin x cosx dx dx 2 2cos x 4 31 http://thaytoan.net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân tan x I 4 32 ...http:/ /thaytoan. net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân a Bài 2: Tính I x a x dx Giải: Đặt... Tính I e 1 t t.tdt = t3 t5 t t dt = = 15 dx x ln x http:/ /thaytoan. net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân Giải: Đặt t = lnx dt = Đổi cận: x t dx x e2... Giải: Ta có: 0 Đặt t = cos4x ; dt 4 s in xdx sin xdx Đổi cận: x t dt 12 http:/ /thaytoan. net Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân 12 Khi đó: I 12 tan xdx 0 1 sin x