BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Như Thị Ngọc Ánh MỘT VÀI TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Như Thị Ngọc Ánh MỘT VÀI TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN QUANG HUY Hà Nội – Năm 2017 i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Quang Huy tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài khóa luận Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Sinh viên Như Thị Ngọc Ánh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận hoàn thành tác giả hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Quang Huy Các kiến thức tài liệu trích dẫn khóa luận trung thực Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Sinh viên Như Thị Ngọc Ánh Mục lục Phần mở đầu 1 Khoảng cách Hausdorff 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Khoảng cách Hausdorff 10 Tính chất ứng dụng 2.1 15 Khoảng cách Hausdorff tập thỏa mãn điều kiện Bolzano-Weierstrass 2.2 2.3 15 Khoảng cách Hausdorff tập không gian định chuẩn 18 Ánh xạ đa trị Lipschitz 22 Tài liệu tham khảo 25 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Phần mở đầu Lý chọn đề tài Khái niệm khoảng cách tập hợp nghiên cứu Hausdorff Hiện nay, khoảng cách Hausdorff sử dụng rộng rãi lý thuyết ứng dụng nhiều lĩnh vực toán học bao gồm Giải tích không trơn, Lý thuyết tối ưu, Phép tính biến phân Hơn nữa, khái niệm sử dụng để giải toán xấp xỉ Khái niệm khoảng cách Hausdorff có mối liên hệ gần gũi với lý thuyết điểm bất động, tính đều, phủ tính chất liên quan đến phủ, tính Lipschitz giả Lipschitz ánh xạ đa trị Trong năm qua việc nghiên cứu tính chất ứng dụng khoảng cách Hausdorff phát triển mạnh mẽ Tuy nhiên khoảng cách Hausdorff lớp tập hợp đặc thù có tính chất ứng dụng riêng biệt, coi chủ đề thú vị để nghiên cứu ứng dụng nhiều lĩnh vực toán học Vì vậy, sau học xong kiến thức toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng dụng chúng, chọn đề tài nghiên cứu “Một vài tính chất ứng dụng khoảng cách Hausdorff ” Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số tính chất ứng dụng khoảng cách Hausdorff lớp tập hợp có tính chất đặc thù không gian định chuẩn Áp dụng kết đưa đặc trưng cho không gian định chuẩn hữu hạn chiều ánh xạ đa trị Lipschitz Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất ứng dụng khoảng cách Hausdorff; mối tương quan điểm thuộc hai tập hợp với khoảng cách Hausdorff hai tập Áp dụng vào nghiên cứu đặc trưng không gian định chuẩn hữu hạn chiều, ánh xạ đa trị Lipschitz tính ổn định lý thuyết tối ưu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Tính chất ứng dụng khoảng cách Hausdorff Phạm vi nghiên cứu: Không gian metric, không gian định chuẩn khoảng cách Hausdorff Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận nghiên cứu vấn đề Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt báo nước có liên quan đến vấn khóa luận đề cập Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Sinh viên Như Thị Ngọc Ánh Chương Khoảng cách Hausdorff Trong chương trình bày khái niệm khoảng cách Hausdorff số tính chất liên tục ánh xạ đa trị 1.1 Kiến thức chuẩn bị Cho Γ ánh xạ từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y cho x0 điểm thuộc X Ta nói Γ nửa liên tục x0 tập mở G G ∩ Γ(x0 ) = ∅ tồn lân cận U(x0 ) cho Γ(x) ∩ G = ∅ ∀x ∈ U (x0 ) Ta nói Γ nửa liên tục x0 với tập mở G Γ(x0 ) ⊂ G tồn lân cận U(x0 ) cho Γ(x) ⊂ G ∀x ∈ U (x0 ) Ánh xạ Γ liên tục x0 nửa liên tục nửa liên tục x0 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Nếu Γ ánh xạ đơn trị định nghĩa nửa liên tục nửa liên tục đưa trùng với định nghĩa liên tục thông thường Ta nói Γ nửa liên tục X nửa liên tục điểm X Và ta nói Γ nửa liên tục X nửa liên tục điểm X Ví dụ 1.1.1 Cho Γ ánh xạ từ X vào Y cho Γ(x) = K(x0 ), ∀x ∈ X, K0 tập compact Y Khi Γ nửa liên tục nửa liên tục liên tục Định lý 1.1 Điều kiện cần đủ để Γ nửa liên tục với tập mở G Y , tập Γ− (G) tập mở Chứng minh Giả sử Γ nửa liên tục Rõ ràng Γ− (G) tập mở tập rỗng Giả sử Γ− (G) = ∅ Nếu x0 ∈ Γ− (G) Γ(x0 ) ∩ G = ∅ lân cân U (x0 ) cho x ∈ U (x0 ) ⇒ Γ(x) ∩ G Do U (x0 ) ⊂ Γ− (G) Nên Γ− (G) lân cận điểm Γ− (G) tập mở Bây giả sử Γ− (G) tập mở với tập mở G Y Cho tập mở G giao với Γ(x0 ), Γ− (G) lân cận mở x0 ta có x ∈ Γ− (G) ⇒ Γ(x) ∩ G = ∅ Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Do ρ(A, C) = sup d(x, C) ≤ δ(A, B) + δ(B, C) x∈A Trong bất đẳng thức này, ta đổi chỗ A C cho mà thay đổi vế phải, δ(A, C) ≤ δ(A, B) + δ(B, C) Như vậy, ta coi T không gian metric với metric δ Định lý 1.8 Cho X Y hai không gian metric, K họ tập compact khác rỗng Y Γ ánh xạ từ X đến Y cho với x, Γ(x) = ∅ Khi Γ ánh xạ liên tục từ X tới Y ánh xạ đơn trị liên tục X K Chứng minh Kí hiệu δ(Γ(x), Γ(x0 )) ≤ ε ⇔ ⇔   Γ(x) ⊂ Bε (Γ(x0 )),  Γ(x0 ) ⊂ Bε (Γ(x),   Γ(x) ⊂ Bε (Γ(x0 )),  (∀Γ(x ) (y)) : Bε (y) ∩ Γ(x) = ∅ Nếu Γ ánh xạ liên tục từ X đến Y với ε > tồn sỗ η cho d(x, x0 ) ≤ η Nghĩa Γ(x) ⊂ intBε (Γ(x0 )) ⊂ Bε (Γ(x0 )) Hơn nữa, Γ(x0 ) compact chữa điểm y1 , y2 , ., yn cho 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh hình cầu B 2ε (yi ) phủ Γ(x0 ) Do tồn số η cho d(x, x0 ) ≤ η ⇒ (∀i) : B 2ε (yi ) ∩ Γ(x) = ∅ ⇒ (∀Γ(x0 ) y) : Bε (y) ∩ Γ(x) = ∅ Khi ta có d(x, x0 ) ≤ {η, η } ⇒ δ(Γ(x), Γ(x0 )) ≤ ε Ngược lại, giả sử Γ ánh xạ đợn trị liên tục X K Cho G tập mở Y chứa Γ(x0 ), tồn ε cho x ∈ Bη (x0 ) ⇒ Γ(x) ⊂ Bε (Γ(x0 )) ⊂ G Do Γ nửa liên tục Ngoài ra, G tập mở có giao với Γ(x0 ) tồn điểm y0 Γ(x0 ) ∩ G số ε cho Bε (y0 ) ⊂ G, tồn η cho x ∈ Bη (x0 ) ⇒ Γ(x) ∩ Bε (y0 ) = ∅ ⇒ Γ(x) ∩ G = ∅ Khi Γ nửa liên tục Hệ 1.2 Nếu Γ ánh xạ liên tục định nghĩa không gian metric đầy đủ X, Γ ánh xạ liên tục đều, với ε > tương đương với việc có số η cho với cặp (x, x ) ta có d(x, x ) ≤ n ⇒ δ(Γ(x), Γ(x )) ≤ ε Nhận xét 1.1 Khoảng cách Hausdorff cho phép ta tối ưu hóa họ T tập đóng khác rỗng X Trong trường hợp X không 13 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh không gian metric, ta có đề tổng quát hơn, là: kết hợp với T topo có cấu trúc cho việc nghiên cứu tính liên tục ánh xạ Γ với giá trị X chuyển sang ánh xạ đơn trị với giá trị T 14 Chương Tính chất ứng dụng Trong chương trình bày số tính chất ứng dụng khoảng cách Hausdorff không gian định chuẩn 2.1 Khoảng cách Hausdorff tập thỏa mãn điều kiện Bolzano-Weierstrass Định lý 2.1 Cho M N tập đóng, tập N thỏa mãn điều kiện Bolzano-Weierstrass, tức dãy bị chặn N có dãy hội tụ Khi ∀x ∈ M, ∃y ∈ N : ρ(x, y) ≤ h(M, N ) (2.1) Chứng minh Đặt r = h(M, N ) Không tính tổng quát giả sử r < ∞ Với x ∈ M theo định nghĩa khoảng cách Hausdorff suy với số tự nhiên n tồn yn ∈ N cho ρ(yn , x) ≤ r + n1 Vậy {yn } bị chặn Do tồn dãy {ynm } điểm y ∈ X cho {ynm } hội tụ tới y Theo giả thiết N tập đóng y ∈ N Chuyển qua giới hạn cho m → ∞ 15 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh bất đẳng thức: ρ(ynm , x) ≤ r + nm ta ρ(x, y) ≤ r Nhận xét 2.1 Rõ ràng, tập compact thỏa mãn điều kiện Bolzano-Weierstrass Hơn X = Rn định lý Bolzano-Weierstrass tập đóng N ⊂ Rn thỏa mãn điều kiện BolzanoWeierstrass Điều ngược lại không Cụ thể không gian vô hạn phần tử với metric rời rạc điều kiện (2.1) thỏa mãn với tập đóng M, N ; nhiên, tồn dãy bị chặn điểm hội tụ Thật vậy, cho X tập vô hạn phần tử, ρ metric rời rạc X ρ(x, y) =   0, x = y,  1, x = y Rõ ràng tập X tập đóng Hơn h(M, N ) = M = N Vậy điều kiện (2.1) thỏa mãn Cho {xn } dãy phần tử cho xn = xm , ∀n = m Hiển nhiên dãy bị chặn điểm hội tụ Trong giả thiết Định lý 2.1 dấu bất đẳng thức (2.1) thay dấu đẳng thức Hơn ví dụ sau, giả thiết Định lý 2.1 thỏa mãn, nhiên ∀x ∈ M, ∀y ∈ N : ρ(x, y) < h(M, N ) Ví dụ 2.1.1 Cho X = L2 , N = {0} M = xn = (xn1 , xn2 , ) ∈ N ; xnn = − n−1 ; xnj = 0; ∀j = n Do h(M, N ) = 1, nhiên, ρ(0, xn ) = − n−1 < ∀n 16 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Một ví dụ không gian X thỏa mãn điều kiện BolzanoWeierstrass, nhiên ∀x ∈ M, ∀y ∈ N : ρ(x, y) = h(M, N ) tồn điểm x, u ∈ M ; y, v ∈ N cho ρ(x, y) < h(M, N ); ρ(u, v) > h(M, N ) Ví dụ 2.1.2 Cho X = R M = {xn = 3n : n = 2, 3, } N = yn = 3n − + n−1 : n = 2, 3, ∀x ≥ ∀j ≥ 2, ta có ρ(xn , yi ) = 3(n − j) + − j −1 = 1, nhiên, ρ(xn , xn ) = − n−1 < 1; ∀n, ρ(x2 , y3 ) = + 3−1 > Bây ta giới thiệu mệnh đề đảm bảo tồn điểm x ∈ M y ∈ N cho khoảng cách chúng trùng với khoảng cách Hausdorff M N Mệnh đề 2.1 Cho M N tập compact Khi ∃x ∈ M, ∃y ∈ N : ρ(x, y) = h(M, N ) Chứng minh Từ định nghĩa khoảng cách Hausdorff ta suy h(M, N ) = max sup x∈M inf ρ(x, y) , sup y∈N y∈N inf ρ(x, y) x∈M Không tính tổng quát ta giả sử h(M, N ) = sup x∈M 17 inf ρ(x, y) y∈N Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Do hàm số x → inf ρ(x, y) liên tục tập M compact tồn y∈N điểm x ∈ M cho inf ρ(x, y) = h(M, N ) y∈N Do y → ρ(x, y) liên tục N compact, nên tồn điểm y ∈ N cho ρ(x, y) = h(M, N ) Chú ý rằng, tập M bị chặn h(M, N ) < ∞ tậpN bị chặn Trong trường hợp đó, hiển nhiên N compact thỏa mãn điều kiện Bolzano-Weierstrass 2.2 Khoảng cách Hausdorff tập không gian định chuẩn Trước tiên ta nhắc lại định nghĩa Birkhoff-James tính trực giao không gian định chuẩn chứng minh vài mệnh đề bổ trợ Định nghĩa 2.1 Vector x gọi trực giao với vector y không gian định chuẩn X, x ≤ x + αy ∀α ∈ R Kí hiệu x ⊥ y Một vector x gọi trực giao với không gian L ⊂ X, x⊥y ∀y ∈ L, điều tương đương với x ≤ x+y 18 ∀y ∈ L (2.2) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Định nghĩa 2.2 Chuỗi {en }∞ n=1 gọi trực chuẩn không gian định chuẩn X, với n nguyên dương ta có en = 1, en+1 ⊥ L (e1 , e2 , , en ) (2.3) Trong L(e1 , e2 , , en ) kí hiệu bao tuyến tính hệ vector e1 , e2 , , en Bổ đề 2.1 Cho X không gian hữu hạn chiều L không gian X, L = X Khi tồn x ∈ X cho x = x ⊥ L Chứng minh Do L = X, ∃y ∈ X cho y ∈ / L Ta định nghĩa hàm g sau g: L→R v → g(v) = v + y Dế thấy g liên tục ∃R ≥ : inf g(v) = inf g(v) v∈B(0,R)∩L v∈L Định lý Weierstrass tồn v0 ∈ L cho g(v0 ) = inf g(v) v∈L Đặt x = y + v0 Từ (2.4) ta có x = g(v0 ) ≤ g(v0 + v) = y + v0 + v = x + v , 19 (2.4) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh với v ∈ L Thêm nữa, x = trái lại y = v0 ∈ L mâu thuẫn với giả thiết y ∈ / L Bổ đề 2.2 Trong không gian định chuẩn vô hạn chiều, tồn chuỗi định chuẩn Chứng minh Cho X không gian định chuẩn vô hạn chiều, ta chứng minh quy nạp theo k Trước tiên, ta chọn vector đơn vị theo e1 ∈ X Do X không gian định chuẩn vô hạn chiều nên tồn vector f2 ∈ X cho e1 , f2 độc lộc tuyến tính Vì L(e1 ) không gian thực không gian hữu hạn chiều L(e1 , f2 ) Theo Bổ đề 2.1, tồn vector e2 ∈ L(e1 , f2 ) cho e1 ⊥ e2 Giả sử vector đơn vị e1 , , ek , fk+1 độc lập tuyến tính Vì vậy, L(e1 , , ek ) không gian thực không gian hữu hạn chiều L(e1 , , ek , fk+1 ) Theo Bổ đề 2.1 tồn vector đơn vị ek+1 ∈ L(e1 , , ek ) Bằng quy nạp, ta chứng minh tồn chuỗi trực chuẩn Định lý 2.2 Trong không gian định chuẩn vô hạn chiều X, tồn tập khác rỗng, đóng bị chặn M , N cho x − y > h(M, N ), với x ∈ M y ∈ N Chứng minh Ta xây dựng tập M N Theo Bổ đề 2.2 tồn chuỗi trực chuẩn en ∞ n=1 Đặt fn = n−1 fn − k=1 n+1 n en , ta có ak f k ≥ f n = + n 20 (2.5) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Kí hiệu M tập tất vector x ∈ X biểu diến dạng tổng số chẵn vector f1 , f2 , Sự biểu diễn vector f1 , f2 , độc lâp tuyến tính Với x ∈ M kí hiệu m(x) số lớn tổng tương ứng Tương tự ta kí hiệu N tập tất vector y ∈ X cho y biểu diễn dạng tổng số lẻ vector f1 , f2 , Với y ∈ N kí hiệu n(n) số lớn tổng tương ứng Từ bất đẳng thức (2.5) suy M N tập đóng Hơn nữa, ta có y−x ≥1+ > 1, max {m(x), n(y)} với x ∈ M, y ∈ N tùy ý Giờ ta đánh giá khoảng cách Hausdorff h(M, N ) Với x ∈ M vector y = x + fk thuộc tập N với k > m(x) Hơn y − x = fk → k → ∞ Hoàn toàn tương tự, với y ∈ N vector x = y + fk thuộc tập M vói k > n(y) Hơn x − y = fk → k → ∞ Do h(M, N ) ≤ Ta xây dựng tập đóng bị chặn M ⊂ X N ⊂ X cho h(M, N ) < x − y > với x ∈ M, y ∈ N Định lý (2.1) và(2.2) đặc điểm không gian định chuẩn hữu hạn chiều Mệnh đề 2.2 Không gian định chuẩn X hữu hạn chiều với tập khác rỗng, đóng bị chặn M ⊂ X N ⊂ X, ta có ràng buộc sau ∀x ∈ M, ∃y ∈ N : ρ(x, y) ≤ h(M, N ) 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 Như Thị Ngọc Ánh Ánh xạ đa trị Lipschitz Sử dụng kết phần trước, ta so sánh hai định nghĩa thông dụng ánh xạ đa trị Lipschitz thường sử dụng giải tích đa trị Định nghĩa 2.3 Ánh xạ đa trị Γ : X ⇒ Y gọi β-Lipschitz theo định nghĩa Hausdorff hY (Γ(x), Γ(y)) ≤ β.ρX (x, u) ∀x, u ∈ X (2.6) Định nghĩa 2.4 Một ánh xạ đa trị Γ : X ⇒ Y gọi β Lipschitz Γ(u) ⊂ B(Γ(x), β.ρX (x, u)) ∀x, u ∈ X (2.7) Kết rút trực tiếp từ định nghĩa Mệnh đề 2.3 (i) Nếu ánh xạ đa trị Γ : X ⇒ Y β -Lipschitz β -Lipschitz theo nghĩa khoảng cách Hausdorff Nếu ánh xạ đa trị Γ : X ⇒ Y β-Lipschitz theo nghĩa khoảng (ii) cách Hausdorff với ε > ánh xạ (β + ε)-Lipschits Trong Mệnh đề 2.3 trường hợp tổng quát cho ε = Ta xem xét ví dụ sau Ví dụ 2.3.1 Cho X không gian vô hạn chiều theo Định lý 2.2 vừa chứng minh tồn tập đóng bị chặn khác 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh rống M, N ⊂ Y cho hY ≤ ρY (y, v) > ∀y ∈ M, v ∈ N Cho x1 , x2 hai điểm phân biết không gian metric X cho ρx (x1 , x2 ) = Ta định nghĩa ánh xạ đa trị Γ : X ⇒ Y sau Γ(x1 ) := M ; Vì hY (M, N ) ≤ 1, Γ(x2 ) := N Γ 1-Lipschitz theo nghĩa metric Hausdorff, tức bất đẳng thức (2.6) thỏa mãn Tuy nhiên, ρY (y, v) > 1, ∀y ∈ M, v ∈ N Do đó, Γ không 1-lipschitz, tức quan hệ (2.7) không làm cho β = Ví dụ 2.3.2 Thấy β-Lipschitz theo nghĩa metric Hausdorff không ánh xạ β-Lipschitz, tức tính chất (2.6) không kéo theo (2.7) Chú ý thông thường kết tồn điểm bất động điểm trùng hợp sử dụng Định nghĩa 2.3 Tuy nhiên, để thuận tiện người ta sử dụng Định nghĩa 2.4 thay cho 2.3 Ta giải thích lý sủ dụng định lý điểm bất động Nabler Định lý 2.3 Cho X không gian metric đầy đủ, ánh xạ đa trị Γ : X ⇒ Y β-Lipschitz theo nghĩa khoảng cách Hausdorff với β ∈ [0, 1) đồng thời thỏa mãn ràng buộc (2.3) Thì với x ∈ X vày ∈ Γ(x): ∀ε > 0, ∃ξ ∈ X : ξ ∈ Γ(ξ) ρX (x, ξ) ≤ ρX (x, y) + ε 1−β Đây kết định lý điểm bất động Nabler 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Định lý 2.4 Giả sử X không gian metric đầy đủ, ánh xạ đa trị Γ : X ⇒ Y β-Lipschitz với β ∈ [0, 1) đồng thời ràng buộc (2.4) thỏa mãn Khi với x ∈ X với y ∈ Γ(x) ∃ξ ∈ X : ξ ∈ Γ(ξ); ρX (x, ξ) ≤ ρX (x, y) 1−β Không khó để Định lý 2.3 hệ trực tiếp Định lý 2.4 Hơn ánh xạ Γ ánh xạ co đơn trị với số co < β < Γ β-Lipschitz β-Lipschitz theo nghĩa khoảng cách Hausdorff đồng thời (2.6) (2.7) thỏa mãn Tuy nhiên trường hợp Định lý 2.3 biểu diễn sau ∀ε > 0∃ξ ∈ X : ξ = Γ(ξ) ρX (x, ξ) ≤ ρX (x, Γ(x)) + ε 1−β Nhưng trái lại Định lý 2.4 biểu diễn tính chất với ε = mệnh đề mạnh Định lý ánh xạ co Banach 24 Kết luận Khóa luận tập trung nghiên cứu số vấn đề tính chất ứng dụng khoảng cách Hausdorff lớp tập hợp tính chất đặc thù không gian định chuẩn Áp dụng kết để đưa đặc trưng cho không gian định chuẩn hữu hạn chiều ánh xạ đa trị Lipschitz 25 Tài liệu tham khảo [1] NGUYỄN VĂN KHUÊ, LÊ MẬU HẢI, Giáo trình giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia, 2010 [2] HOÀNG TỤY, Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia, 2003 [3] BERGE, C., Topological Space, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 1997 [4] ARUTYUNOV,A.V., VARTAPETOV,S.A.,ZHUKOVKIY, S.E., Some Properties and Applications of the Hausdorff Distance, J Optim Theory Appl 171 (2016), pp 527–535 [5] MORDUKHOVICH, B.S, Variational Analysis and Generalized Differentiationl: Basic Theory, Springer, Berlin, 2006 [6] NADLER, S.B, Multi-valued contraction mappings, Pac J Math 30 (1969), pp 475–488 [7] ARUTYUNOV, A.V, Covering mappings in metric spaces and fixed points, Dokl Math 76 (2007), pp 665–668 [8] CHMIELINSKI,J, On an ε-Birkhoff orthogonality, JIPAM (2005), pp 1–7 26 ... ứng dụng chúng, chọn đề tài nghiên cứu Một vài tính chất ứng dụng khoảng cách Hausdorff ” Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số tính chất ứng dụng khoảng. .. cứu tính chất ứng dụng khoảng cách Hausdorff phát triển mạnh mẽ Tuy nhiên khoảng cách Hausdorff lớp tập hợp đặc thù có tính chất ứng dụng riêng biệt, coi chủ đề thú vị để nghiên cứu ứng dụng. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Như Thị Ngọc Ánh MỘT VÀI TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF Chuyên ngành: Toán giải tích