ì ì P ị ì P t ì ì P ị ì P t ữớ ữợ ỡ õ tọ ỏ ỡ tợ t ổ trữớ ữ t ổ tr tờ ổ t ụ ữ t ổ t t t tr t ỳ tr tự qỵ t t ủ tr sốt q tr t ự r trữớ ữ t t ỡ ữợ r t t ú ù õ t t tốt õ tớ ỹ t ỏ õ ổ t tr ọ ỳ s sõt rt ữủ ỳ ỵ õ ỵ qỵ t ổ t ỡ õ t q ự t ữợ sỹ ữợ t t t r r q tr ự t t ự t ởt số t tr t t õ ỵ tỗ t t tố ữ ổ õ sỹ trũ ợ õ t ỡ ử ỡ õ ởt số tự t tố ữ ữủ ổtổổ ởt số ỵ tỗ t t tố ữ tỗ t tố ữ ỹ tỗ t ợ t ỹ tỗ t ữợ tt t ỗ ỹ tỗ t ố ợ t t t tr t t t õ ỵ t tố ữ qt t t ởt q t ởt tố trữợ ữ ởt t tố ữ t ữủ ởt t ỗ ởt õ ởt tr t t õ ỵ ự q trồ tr số t ởt tr ởt ữớ t q ởt ữớ ổ ọ t r ữớ ữ t tố t õ tờ tớ ó r tr tt ỳ t tự tr õ ữớ t số tố ỗ ữớ t tố ữ tố t õ tờ tớ t t r t ự t tử õ ởt ọ t r t tỗ t tố ữ ró ỡ tổ t ỵ tỗ t t tố ữ ự õ ú ữớ t õ t t ởt tố ữ ự ự ỵ tỗ t ởt số t tố ữ õ tốt t tỡ ố tữủ ự ố tữủ ự tỗ t ởt tố ữ P ự t tố ữ t t tố ữ ổtổổ Pữỡ ự ỷ ởt số ữỡ t t tố ữ t ữủ ổtổổ õ õ ỗ ữỡ ữỡ tự tr ỳ tự ỡ s t tố ữ t ữủ ổtổổ ữỡ ởt số ỵ tỗ t t tố ữ ỳ t ữỡ ỡ ự sỹ tỗ t s õ t ự ỵ tỗ t ợ t ỵ tỗ t ữợ tt t ỗ sỹ tỗ t t t t tr t C, C[u(ã)] C ữủ K(t, x0 ) t t tớ Q + (t, x) {(y , yT ) | ợ co(S ) ỗ T (t) t ữỡ ỡ tr Um (t0 , t1 ) ợ ữủ tứ Um Ur v , y = f (t, x, v), y f (t, x, v)} S [t0 , t1 ] Rm t1 >0 Um [0, t1 ] tứ ú ợ t r U ởt số t tr ú tọ st tr ú UBB ợ tr Um CBB (t) ữủ t tớ |ui (t)| = xi P tỷ tự ữỡ ỡ tr ợ t ổ i x Rm t sỷ ữỡ tự t tố ữ m, n số tỹ t tự x, i x, y tỡ ởt tr tỡ õ tữỡ ự xi , y i Rn , xT t t t ổ ữợ tữớ ũ n T xi y i , < x, y >= x y = i=1 n |xi |, |x| = x =< x, x > i=1 ữỡ ổ ữợ (t), t t õ t tự tr tỡ ữỡ ỡ tr Rm , [(t)]2 , ỏ t1 0, t Um [0, t1 ] = {u(ã)|u(t) Um = u(ã) ữủ tr Um [0, t1 ] t1 >0 s x(t) = {c|c Rm , |ci | 1, i = 1, 2, , m} ợ x2 (t) [0, t1 ]}, õ tốt t tỡ rứ õ ró r ổ t ổ tt u(ã) tở Um ộ ữủ õ ởt t r [0, t1 (u)] sỷ ợ ộ T (t) t0 t õ ởt t ủ t T (t) Rn tr õ T (t) Rn ởt t õ ỡ t tữớ t t t x = f (t, x, u), s ổ tt tr u(ã) Um , i i f f f (t, x, u), x j , uk [0, ) ì Rn ì Rm , T (t) tử (i, j = 1, , n, k = 1, , m) ũ t t q ú ữợ ỡ tt sỹ tỗ t ữỡ t t ợ ộ u(ã) Um ữỡ tr ữ ữủ t t u(ã) ữủ x = f (t, x, u(t)) ố ợ ộ x tử t x, õ ữủ tử tt ố tọ ỡ ộ ợ õ u(ã) s ữủ ởt x[t] = x(t; x0 , u(ã)) t t ỗ tữỡ ự tọ r ỗ ố ợ u(ã); t x[t1 ] T (t1 ) ợ ởt u(ã) ữợ x0 t u(ã) x0 u(ã) Um t1 > õ ú t õ [0, t1 ), (t1 +), tr õ ỗ tữỡ ự õ t t tr s t õ ổ [0, t1 ), õ t ỗ x(t; x0 , u(ã)) tr ởt [0, t1 ) ữ ợ ữỡ tr t t x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), ợ A(t) B(t) tử tr [0, t1 ), t ổ t tr ữủ [0, t1 ) õ t ỗ ởt ợ ữủ Um , ởt ữỡ tr tỡ ổ t ỹ ởt t t T (t) ởt t ỡ ổ t tr t õ tốt t tỡ ợ k ợ uk (ã) õ u (ã) , ỗ t tọ [t1 (k), t1 ] xk = f (t, xk , uk ), x(0) = x0 tr f tử {|x k |} ỗ tr ố ợ ợ u(ã) Ur [0, t1 ] Ur [0, T ], {xk [ã]} tử [0, t1 ] t sỷ r=2 U [0, T ] t õ ợ ộ t õ a, t < ; u(t) = b, < t < ; c, < t t1 , (a, b, c, , ) tở u(ã) ú t õ t õ = ởt ữợ t ợ tr[0, t1 ] s r ữ t t ự ợ tr õ tr (t, xk [t], uk (t)) [0, T ] ì [, ] ì [1, 1], [0, t1 (k)], xk = t1 (k) t1 , = = t1 ổ ữợ {uk (ã)} ỹ t ộ uk (ã) ữủ ổ t số ú t õ t sỷ r tử (ak , bk , ck , k , k ) k , k , ak a , bk b , ck c , tt tr tở ỡ k , k tở [0, t1 ] u (t) tr ú t ọ q [0, t1 ] (a , b , c , , ) ỹ t uk (ã) tr t1 uk (ã) u (ã) tr s t S = [0, ] [ + , ] [ + , t1 ] Rm , õ tốt ợ > ỗ ọ ợ {xk [ã]} tữỡ tỹ ữ ợ {xk [ã]} S t tỡ = , ự ợ ự t ỏ ỡ ỡ {uk (ã)} tử ỗ ỵ U xk [0] = x0 , |xk | õ ởt ỵ tử ởt ợ tr x (t) [0, t1 ] tr Sc ũ [0, t1 ], t f (t, x[t], u(t)) tử (t, xk [t], uk (t)) tr |f (t, xk [t], uk (t))|dt õ t ữủ ọ tũ ỵ ởt t t Sc ọ t uk (ã) u (ã) tr S , xk [t] = x0 + f (s, xk [s], uk (s))ds ú t õ t k , s õ t r t x (t) = x0 + f (s, x [s], u (s))ds õ x [ã] ỗ ố ợ u (ã) t P ỗ tố ữ õ t t ữủ t trữợ tớ t1 õ õ t ỡ ỵ ú ố ợ t õ tớ ố ố tớ t0 ú t õ t tớ ố t0 t tr t1 ố trữợ [0, T ] [0, T ], ú t õ t ọ tớ tr ởt ố ú t t ỗ õ q t ổ t t sỷ t0 t0 = ố f (t, x, v) (t) t ú t t1 (t)dt ợ t t1 ợ t0 t0 (t)dt f (t, x, v) (t) ợ t t1 tr t1 = + ợ ợ = + ự ỵ tỹ ữủ ổ t ốt tt ỗ t ổ ữủ õ tr tr õ tốt t tỡ ởt t t Rn rữớ ủ ổ ữủ t ợ tồ ú t õ t ởt t ợ hi (x1 , x2 , , xn ) 0, i = 1, 2, , r hi t q trồ ỳ (t, x(t), u(t)), ố ợ tử t t1 tr ởt t t ố ợ tt ỗ t ổ ự ỵ ổ t ỡ ữỡ ỡ t tr ữủ ữủ t t t t tử (t, x) t ỗ ổ q ữớ t õ t t số õ ợ , (x[t1 ]) max[t0 ,t1 ] [x(t)] tử tr t x0 tr t t T (t) õ t ữủ t t t õ rộ t tử t tớ X0 (t), X1 (t) tr Rn ỹ tỗ t ữợ tt t ỗ t t tr ởt ố [0, T ] ợ x0 T (t) f (t, x, u), f 0(t, x, u) tử sỷ (T ) = ỗ t ổ tọ ởt t t õ t f (t, x, ) = {(f 0(t, x, v), f T (t, x, v))T |v } ởt t ỗ tr Rn+1, t tỗ t ởt tố ữ rữợ ự ỵ ú t tt t ỗ tr f tữớ ữủ tr tố rở f (t, x, ) t t ổ ữợ t1 x = |u| , |u(s)| x(s)ds C[u(ã)] = õ õ tốt t tỡ f (t, x, ) f (t, x, ) = {(|v| 21 x, |v| 12 )| v 1} ỗ t1 ổ ữợ [u(s)]2 ds, f (t, x, ) = {(v , v)| x = u, C[u(ã)] = f0 v 1} ổ ỗ ũ f (t, x, u) = A(t, x)u + g(t, x), f (t, x, u) = a(t, x)T u + g (t, x) n ì n, tr n f a tr t t m f (t, x, ) = {(aT v + g , Av + g)| v } trữớ ủ f f0 tr ỗ g0 ỗ õ ỵ t t t ởt t ố q ỳ f0 f A tr tỹ t ữớ õ t t tứ r tt s r ữủ ợ ỗ u f0 f f (t, x, ) ỗ tt ổ ữủ ụ ổ ú ự õ ữ tr ự ỵ C[u(ã)] ữợ tr t (T ) ỗ t ổ c = inf C[u(ã)] tỗ t {uk (ã)} ởt ỹ t C[u(ã)] : C[uk (ã)] ck c ợ t ý tr u(ã) (T ) t tr ỗ rở Rn+1 = x x0 x , tr õ x = f (t, x, u), x0 (0) = 0, õ tốt t tỡ t õ f (s, x[s], u(s))ds, x0 [t1 ] = C[u(ã)] x0 [t] = ộ k [ã]) (uk (ã), x tr ởt t1 (k) < t1 t ự [0, t1 (k)] t õ t sỷ r t rở k [ã] x [t1 (k), t1 ] t1 (k) t1 T tr ổ k [t1 (k)] x ỹ rở d x = f (t, x, u), dt (0) = x , x0 ú t s r r õ ởt ỗ [t1 ] = x õ t u (ã) c tr [t] x f0 õ f= f tọ , tố ữ ự ữủ tỹ s { xk [ã]} { xk [ã]} ỵ k [t1 (k)] = (ck , 0)T , x tử ỗ tr [0, t1 ] ởt tử ởt ợ tử t1 (k) t1 , t õ (t1 ) = (c, 0)T x (t) x k [ã] x ởt ỗ t õ tố ữ [t] x ữủ A tử tt ố [0, t1 ] ữỡ ữỡ d xk dt A d xk d x dt A dt ợ t tử tr L2 [0, t1 ] d x , dt t1 t1 d xk (t) dt (t) dx , dt ợ [t] x tọ ữỡ tr s rở d x f (t, x (t), ) dt f (t, x , u ) (ã) L2 [0, t1 ] ) õ ợ ỗ t ởt u (ã) tố ữ ợ ỗ t t1 u Um [0, t1 ] x [t] s d x = dt õ tốt f { xk [ã]} tử { t tỡ d xk } dt tr [0, t1 ], ợ k [0] = (0, x0 )T x tử ỗ ú t ởt ỵ (ã) ữ { xk [ã]} tử tr [0, t1 ] ởt ợ tử x t tr (t1 ) = (c, 0)T x t fk [s] fk (s, xk [s], uk (s)) õ fk [s]ds, k (t) = x + x t õ k [t ]| l.|t t | | xk [t] x tr õ |f (t, x, u)| |f (t, x, u)| + |f (t, x, u)| l õ (t) x tử tt ố tr [0, t1 ], k l số t ý tọ [0, T ] ì [, ] ì [1, 1] d x tỗ t ỡ dt tr t t 0 t fk s r I A I d x ds d xk d x fk dt A A ds t d x ds ds ợ t ý ợ t ý I [0, t1 ] fk [s]ds õ d x ds ds fk [s]ds x (t) = x + k [t] x + x t t1 , ợ t ý t ữủ õ t A [0, t1 ] d x / f (t, x (t), )} ú t ố r r dt S 0, |S| = sỷ ữủ |S| > ợ ộ t S, t f (t, x (t), ) ỗ t õ tr b(t) số (t) s s d x n+1 x >= } t P (t) = { x | < b, ợ t tr R dt x T d T f (t, x (t), v) ợ v , õ ử t b > , b dt t S = {t | õ tốt t tỡ (n = 2) x T (t) d T (t)f (t, x (t), v) b > max b v dt T (t)f (t, x (t), uj (t)) lim sup b j T (t)f (t, xj (t), uj (t)) = lim sup b j f tử t õ t sỷ õ t b(t) xj [t] x (t) b(t) t tự tr t ỗ t tỷ ỳ t tt tr ổ ữủ tr |S| > 0, õ õ ởt tr ố tọ tr ởt t A S, |A | > õ ợ b d xj = f (t, xj , uj ) dt x xj T ( d T f (t, xj , uj )dt > lim sup b T d b )> lim sup b , 0 j j dt dt A A r A t tự ố t ữ t ợ sỹ tử d xj dt d x dt õ ú t õ t dx dt d x f(t, x [t], ) dt ỡ tr ởt t ọ q ỳ ỡ ố ũ ự ú t t ự õ tốt t tỡ Rm t g(t, u) tử tứ R ì Rn+1 sỷ (ã) ởt ữủ tứ R (t, ) õ õ ởt ữủ u(ã) ợ u(t) ợ t, Rn+1 ợ (t) g s (t) = g(t, u(t)) r tứ = f (t, x(t), u) d x (t, u) = ,g dt ự ợ t [0, t1] ố t (t, v)} rộ C1 C = {v | (t) = g tr v õ v1 C1 t v2 ọ t õ t rộ C2 t t t t C1 g C ỗ ỳ C tử ỗ ỳ tr v s ọ t õ t tử q tr ú t t ữủ ởt t rộ Cm ỵ r Cm ỗ ởt tr ú t u(t) tr ú t r r r u(ã) ữủ tr L = {t| u1 (t) } t t u ợ Fk k > sỷ tr õ õ t t õ t sỷ r tr v õ q tử tr t k > 0, (t) ú t s r 2k t / L Fk , u1 (tj ) < u1 (t) tử t õ ự t ú t [0, t1 ] ợ |[0, t1 ] Fk | < số ự õ ợ số tỹ ú ỵ r t ỵ s ợ số õ [0, t1 ] Fk õ {u(tj )} L Fk õ {tj } L Fk t Fk tử ởt ợ u1 (tj ) v , v < u1 (t) (tj , u(tj )) (tj ) (t) (ã) tử tr Fk ụ t (tj ) = g (t, v), (t) = g ợ v < u1 (t) õ tốt t tỡ t ợ ỹ k õ L Fk ữủ L Fk Fk ợ ởt t ữủ L Fk ) k=1 [0, t1 ] ởt t ổ L ( k=1 L [0, t1 ] õ ợ (L Fk ) = L ( k=1 ữ ợ u(ã), ữủ Fk ) k=1 ụ ữủ t s ự ỵ ụ ú ợ ỵ tt tr ỵ f (t, x, ) ởt t ỗ t õ t ự t tữỡ ự ỗ tr f (t, x, ) t Rn f (t, x, ) f (t, x, ) q s ỵ r r t ự ỗ t t t q t t R Rn+1 K(t; x0 ) ỗ t tử t t ữợ tt ỵ K(t; x0 ) t t tử t tớ ự ỗ ữủ tứ ổ tự ỗ t x[t] = x0 + f (s, x[s], u(s))ds t ỗ f (s, x[s], ) ỗ tọ ởt t t r K(t, x0 ) õ t t xk x Rn õ ộ xk K(t, x0 ) {xk } K(t, x0 ) tr ởt ỗ ợ xk [s] t s = t ú t ự ỵ tứ tứ ởt ọ ỵ ụ tự t ợ [t], f (t, x, u) x ởt x (s) ợ ự ổ {xk [s]} tử t r ỗ x (t) = x , ữủ tự ự x[t], f (t, x, u) K(t; x0 ) ữủ ự tr ởt x (s) tỹ sỹ ỗ ởt x K(t, x0 ) tử ú t r r K(t , x0 ) ữủ ợ K(t; x0 ) |t t | ọ õ tốt t tỡ trữợ ởt t õ t |x[t] x[t ]| |f (r, x[r], u(r))|dr < |t t | < () t tỗ t tr ỡ ú t õ t rở õ K(t; x0 ) ọ õ ý t t, õ ữủ ự tr ởt [0, t], [0, t ] |x[t] x[t ]| < t ợ |t t | K(t , x0 ) ợ t ữủ ố ũ ú t tr ổ ự ởt ỵ tỗ t tờ qt ỡ s ợ ỵ t f (t, x, ) ú t t s t Q + (t, x) = {(y , yT ) | ợ ởt số v , y = f (t, x, v), y f (t, x, v)} t1 t t ổ ữợ [u(s)]2 ds x = x + u, C[u(ã)] = õ ợ t ý (t, x) : Q + (t, x) = {(y , y) | y = x + v, y v ú ỵ r f (t, x, ) ổ ỗ tr ợ ởt Q + (t, x) v } ỗ f (t, x, ) ỗ t Q + (t, x) ụ ỗ ữ tr r ữủ ổ ú õ ỵ s tờ qt ỡ ỵ t t tr ởt ố [0, T ] sỷ r (T ) = tt ỗ t ổ x[ã] tọ ởt t sỷ f tử f ỷ tử ữợ Q+(t, x) ỗ ợ (t, x) [0, T ] ì {|x| } õ tỗ t ởt tố ữ ởt q trồ ợ t ữủ ỵ t t ợ x = A(t)x + B(t)u + b(t), õ tốt t tỡ Q + (t, x) ợ x = 0, x = t1 t1 |x[t] y(t)|2 dt + C[u(ã)] = tr õ y(t) |u(t)|2 dt, ữỡ tr ợ ởt q ố sỷ t t ợ |u(t)|2 y(t) x[t] s ụ ữ ỡ t tử ỵ ổ ữủ t t ố tr tr õ f0 ỏ f t t t ỵ ữủ t ỹ tỗ t ố ợ t t t tr t r ỵ s ú ỵ r ổ õ tt t ỗ t t t1 x = A(t)x + b(t, u), {aT (t)x[t] + (t, u(t))}dt, C[u(ã)] = ợ A, b, a ữủt tr tử n ì n, n ì 1, n ì tr tỹ tử ữ tữớ x0 ữủ tt ố T (t) tỗ t ởt t ổ ( = ) ỗ t ổ tọ ởt t t tỗ t ởt tố ữ õ tốt t t tỡ ú t ự ỵ tr trữớ ủ ổtổổ t1 x = Ax + b(u), {aT x[t] + [u(t)]}dt C[u(ã)] = ợ A, b a ổ ự trữớ ủ ổ ổtổổ tỹ t ố t trứ ỵ t ổ ổtổổ t ỵ tr ữỡ ởt số rở ỵ ú t tr t s ự ỵ õ r ự ú ổ ổtổổ ỵ ú t s sỷ ỵ ữợ s sỷ ợ S Rm x = Ax + Bv, õ t t ý tr Rn KS (t, x0) t t ố v(t) S , x(0) = x0 , KS (t, x0 ) = Kco(S ) (t, x0 ), v(ã) ữủ co(S ) ỗ S ự ỵ : ú t s ự sỹ ỗ rở y [t] ố ợ ởt ởt út t t = y tr õ y0 , y (t) v T y = a y + v (t), (u), b(u) số t t y = Ay + v(t), = v v0 v ữủ tở ỗ t = () ì b() tr x0 Rn+1 t t T (t) = | R tr Rn+1 , ợ = x õ tốt t tỡ ú t s r r tọ tt ỵ ợ C[ v(ã)] = y (t1 ) õ tt õ ởt t ổ u(t) t ố õ ởt t ổ t ỗ [t] y t t x T (t) = ((u), bT (u)) v tọ ởt t t t tố rở ố ợ aT y + v Ay + v t ỗ t t t v | v (t) v ữủ tr ởt t ỗ ỵ t s ự õ t t ợ trữợ ởt tố ữ v(ã)] ú t t r t õ C[ (t) co() v ợ ỗ tố ữ ỵ tỗ t ởt (t) v ụ tố ữ õ ởt u (ã) (t) (t) v (t) () ì b() v u (ã) Um s ợ x [t] ợ ũ ỗ t t t1 , t v0 (t) = [u (t)], v(t) = b[u (t)] t tố ữ ố ợ t r õ ú tổ t ỵ tỗ t t tố ữ t q tổ tr tr õ ữỡ ợ t sỡ ữủ t tố ữ t ữủ ổtổổ ữỡ ỵ tỗ t ởt số t tố ữ ỵ tỗ t ợ t ỵ tỗ t ữợ tt t ỗ ỵ tỗ t ố ợ t t t tr t õ tr õ tổ tr ữủ ỵ tỗ t t tố ữ ởt số ỵ ứ ỡ s tổ ố s t tử ự sỹ tỗ t ởt số t tố ữ t rt t tr r rrr r r trss trt t t tr r rr r r rs ts t tr r r trss trt t t tr r tr ts rts sr tt s rrr r